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(共35张PPT)
难点三　存在性问题
1．特殊三角形(包括等腰三角形、直角三角形、相似三角形等)的存在性问题等．
2．平行四边形、特殊平行四边形的存在性问题．
1．没有找出隐含的条件．
2．分类讨论不够全面．
1．如图，在平面直角坐标系中有A，B两点，则在x轴上是否存在点C，使△ABC是等腰三角形？请写出解答思路．
解：①几何法
画出点C可能存在的所有位置：两圆一线．
两圆：以点A为圆心、AB为半径画圆；以点B为圆心、AB为半径画圆．
一线：线段AB的垂直平分线．
则共有如图五个点．
②代数法
2.如图，在平面直角坐标系中有A，B两点，则在x轴上是否存在点C，使△ABC是直角三角形？请写出解答思路．
解：①几何法
画出点C可能存在的所有位置：两线一圆．
两线：分别以A，B为垂足作线段AB的垂线．
一圆：以AB为直径画圆．
如图，两线一圆上所有的点都能与A，B两点形成直角三角形，则共有如图四个点．
②代数法
3.如图，在平面直角坐标系中有三个点A，B，C，则在坐标平面内是否存在点D，使以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形？请写出解答思路．
(1)求抛物线C1的表达式．
(2)将抛物线C1向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线C2，求抛物线C2的表达式，并判断点D是否在抛物线C2上．
(3)在x轴上方的抛物线C2上，是否存在点P，使△PBD是等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
则∠DHP＝∠BGD＝90°，BG＝1，DG＝3.
∵∠BDG＋∠PDH＝90°，∠PDH＋∠DPH＝90°，∴∠BDG＝∠DPH.
又∠DGB＝∠PHD＝90°，BD＝DP，∴△DGB≌△PHD(AAS)．
∴DH＝BG＝1，PH＝DG＝3.∴点P(2,2)．
②当∠DBP为直角时，如图，过点B作BP⊥BD且BP＝BD，连接DP，则△BDP为等腰直角三角形．
过点B作GH∥y轴，过点D作DH∥x轴，过点P作PG∥x轴，如图所示．
则∠DHB＝∠PGB＝90°，BH＝1，DH＝3.
同理，可得△BGP≌△DHB(AAS)．
∴BG＝DH＝3，PG＝BH＝1.∴点P(－1,3)．
③当∠BPD为直角时，如图，作等腰直角三角形BDP.
过点P作GH∥x轴，过点B作BH∥y轴，过点D作DG∥y轴，如图所示．
设点P(x，y)．
同理，可得△PHB≌△DGP(AAS)．
(1)求反比例函数的表达式．
(2)在x轴上是否存在点P，使得△ABP的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)在直线BC上是否存在点D，使以O，A，B，D为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)正比例函数y＝x的图象向下平移3个单位长度后的函数表达式为y＝x－3，
把点B(4，m)代入y＝x－3，得m＝4－3＝1.∴B(4,1)．
1.特殊三角形(包括等腰三角形、直角三角形、相似三角形等)的存在性问题：首先挖掘目标三角形外的图形的隐含条件，然后通过转化将其转移到目标三角形中，再结合特殊三角形的边角关系求解即可．
2．函数图象上因动点产生的平行四边形(包括正方形、菱形、矩形等)问题： 解决此类问题可分三步： 找点—求点—定点. 找点可利用尺规作图， 求点需利用等量关系或联立解析式， 定点指依题意确定符合要求的点坐标．
1．(2024·泸州)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋bx＋3经过点A(3,0)，与y轴交于点B，且关于直线x＝1对称．
(1)求该抛物线的解析式．
(2)当－1≤x≤t时，y的取值范围是0≤y≤2t－1， 求t的值．
(3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点， 过点C作x轴的垂线交直线AB于点D，在y轴上是否 存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是 菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由．
解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋3经过点A(3,0)，与y轴交于点B，且关于直线x＝1对称，
(2)∵抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝1，∴抛物线上点到对称轴的距离越远，函数值越小．
∵－1≤x≤t时，0≤y≤2t－1，
①当t≤1时，则当x＝t时，函数有最大值，即2t－1＝－t2＋2t＋3.
解得t＝－2或t＝2，均不符合题意，舍去．
②当t>1时，则当x＝1时，函数有最大值，即2t－1＝－12＋2＋3＝4.
(3)存在．
当x＝0时，y＝3.∴B(0,3)．
设直线AB的解析式为y＝kx＋3，把A(3,0)代入，得k＝－1.
∴y＝－x＋3.
设点C(m，－m2＋2m＋3)(0∴CD＝－m2＋2m＋3＋m－3＝－m2＋3m，
当B，C，D，E为顶点的四边形是菱形时，
∵点E在y轴上，且BE∥CD，∴BE，CD为菱形的边．
可作如下分类讨论：
2.(2025·贵州模拟)图①，图②是人教版八年级下册教材“实验与探究”中我们研究过的两个图形．
(1)如图①，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，OA1交AB于点E，OC1交BC于点F，则AE与BF的数量关系为_______________.
(2)受图①启发，兴趣小组画出了图③：直线m，n经过正方形ABCD的对称中心O，直线m分别与AD，BC交于点E，F，直线n分别与AB，CD交于点G，H，且m⊥n，若正方形ABCD的边长为8，求四边形OEAG的面积．
AE＝BF
(3)受图②启发，兴趣小组画出了图④：正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，顶点E在BC的延长线上，且BC＝6，CE＝2.在直线BE上是否存在点P，使△APF为直角三角形？若存在，求出BP的长度；若不存在，说明理由．
解：(2)如图③，连接OA，OB.
∵m⊥n，∴∠EOG＝90°.∴∠AOE＋∠AOG＝∠BOG＋∠AOG，即∠AOE＝∠BOG.∴△AOE≌△BOG(ASA)．
∴S△AOE＝S△BOG.∴S四边形OEAG＝S△AOE＋S△AOG＝S△BOG＋S△AOG＝S△AOB＝16.
(3)存在．分以下三种情况讨论：
①当∠AFP＝90°时，如图④，延长EF，AD相交于点Q.
∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，∴∠BAD＝∠B＝∠E＝90°.∴四边形ABEQ是矩形．
∴AQ＝BE＝BC＋CE＝8，EQ＝AB＝6，∠Q＝∠E＝90°.
∴∠EFP＋∠EPF＝90°.
③当∠PAF＝90°时，如图⑥，过点P作AB的平行线交DA的延长线于点M，延长EF，AD交于点N，同①的方法，得四边形ABPM是矩形．∴PM＝AB＝6，AM＝BP，∠M＝90°.
同①的方法，得四边形ABEN是矩形．∴AN＝BE＝8，EN＝AB＝6.∴FN＝EN－EF＝4.
同①的方法，得△AMP∽△FNA．

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