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(共42张PPT)
难点二　最值问题
类型2　几何最值问题
1．知道几何最值问题中的相关几何性质．
2．应用轨迹法、构图法、寻找隐圆等方法解决几何最值问题．
1．几何最值问题中不能抓准几何特征．
2．几何最值问题中找不到点的运动轨迹．
1．如图，从甲地到乙地有四条道路，最近的一条是(　 　)
A．① B．②
C．③ D．④
C
2．如图，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，奶站P应建在什么地方，才能使从A，B到P的距离之和最短？请画出点P的位置．
解：如图，点P即为所求．
3．(1)问题理解：如图①，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，点E是AC边的中点，点P是线段AD上的动点，请在图①中画出PC＋PE取得最小值时点P的位置；
(2)问题运用：如图②，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，AD＝12，AD是∠BAC的平分线，当点E，P分别是AC和AD上的动点时，求PC＋PE的最小值．
解：(1)如图①，点P′即为所求．
(2)如图②，过点C作CT⊥AB于点T.
∵AC＝AB，AD平分∠CAB，
∴AD垂直平分线段BC．
∴AC，AB关于AD对称．
如图②，作点E关于AD的对称点E′，
连接PE′，则PE＝PE′.
4.⊙O的半径是3 cm，P是⊙O内一点，PO＝1 cm，则点P到⊙O上各点的最小距离是____________，最大距离是____________.
5．⊙O的半径是3 cm，P是⊙O外一点，PO＝5 cm，则点P到⊙O上各点的最小距离是____________，最大距离是____________.
2 cm
4 cm
2 cm
8 cm
(1)根据以上作图，你能得出什么结论？
(2)若△ABC的面积是6，点P，N分别为BF，AB上的点，求PA＋PN长度的最小值．
解：(1)根据作法描述，所作的是∠ABC的平分线，即BF平分∠ABC．
(2)如图，连接PN，PA，PC，过点C作CQ⊥AB于点Q.
由(1)可知，BF平分∠ABC．
∵AB＝CB，∴BF垂直平分AC．
∴PA＝PC．
∴PA＋PN＝PC＋PN.
∴当P，C，N三点共线，且与AB垂直，即线段CP，PN与线段CQ重合时，
PC＋PN的长度最小，最小值为线段CQ的长．
∴PA＋PN长度的最小值为3.
1.两定点异侧，共线和最小(模型1)
当定点A与定点B在直线l的异侧时，直线l上有一动点P，求作出点P，使得AP＋PB的值最小. L＝AP＋PB ≥ AB，则当A，P，B三点共线时，Lmin＝AB.
依据：①两点之间线段最短；②三角形两边之和大于第三边．
2.寻找隐圆
如图，在三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝6.点D为平面 内一个动点，∠ADB＝45°，则线段CD长度的最小值为_____________.
可利用圆的定义确定隐圆，也可利用动点对两定点的张角为定角确定隐圆．
定点与圆中各点之间的距离：如果定点是圆外一点，定点与圆心的直线交圆于两点，最大距离为定点与远点的长度，而最小距离则是定点与近点的长度．
3．四点共圆
(2021·贵阳)在综合实践课上，老师要求同学用正方形纸片剪出正三角形且正三角形的顶点都在正方形边上．小红利用两张边长为2的正方形纸片，按要求剪出了一个面积最大的正三角形和一个面积最小的正三角形．则这两个正三角形的边长分别是______________________.
1．(2025·铜仁模拟)如图，△ABC为等腰直角三角形，∠A＝90°，BC＝4，点P是AB的中点，点M，N分别是BC，AC上的动点，则PM＋MN的最小值是_________.
2．如图，圆柱形玻璃杯的高为14 cm，底面周长为16 cm，在杯内离杯底3 cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜处的最短路程为______cm.
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3．(2024·广安)如图，在 ABCD中，AB＝4，AD＝5，∠ABC＝30°，点M为直线BC上一动点，则 MA＋MD的最小值为_____.
D
5．(1)问题发现：如图①，点A为平面内一动点，且BC＝a，AB＝c(a＞c)，则AC的最小值为_________，AC的最大值为_______.
(2)轻松尝试：如图②，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝12，E为AB边的中点，F是BC边上的动点，将△EFB沿EF所在直线折叠得到△EFB′，连接B′D，则B′D的最小值为___.
a－c
a＋c
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图⑤
图⑤
图⑥
6.如图，已知抛物线y＝x2－4x＋3与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴正半轴交于点C，点P是直线BC上的动点，点Q是线段OC上的动点．
(1)求直线BC的解析式；
(2)求OP＋PA取最小值时点P的坐标；
(3)求AQ＋QP的最小值；
(2)如图①，过点C作直线CM∥x轴，过点B作BM∥y轴，两直线交于点M，连接AM，点P为AM与BC的交点，连接OP.
图①
∵CM∥OB，CO∥MB，∴四边形OBMC为平行四边形．
∵OB＝OC，∠COB＝90°，∴四边形OBMC为正方形．
∴点M，O关于BC对称，点M的坐标为(3,3)．
∵OP＋PA＝PM＋PA，
∴当A，P，M三点共线时，OP＋PA最小．
图①
图①
(3)设点A关于y轴的对称点为A′，如图②，作A′P⊥BC于点P，A′P 交y轴于点Q，则AQ＋QP的最小值为 A′P 的长度．
图②
图②
(4)如图③，在x轴负半轴上取点G，使∠GCO＝30°，作AH⊥CG于点H，交y轴于点Q.
图③
图③
7.(2025·黔东南州一模)阅读材料，并解决问题：
【思维指引】(1)如图①，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3,4,5，求∠APB的度数．
解决此题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，连接P′P，借助旋转的性质可以推导出△PAP′是______三角形；这样利用旋转变换，我们将三条线段PA，PB，PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝_________°.
等边
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【知识迁移】(2)如图②，在△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E，F分别为BC上的两点且∠EAF＝45°，请判断EF，BE，FC的数量关系，并证明你的结论．
解：(2)EF2＝BE2＋FC2.证明如下：
如图②，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′，由旋转的性质，得AE′＝AE，CE′＝BE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°.
∵∠EAF＝45°，
∴∠E′AF＝∠CAE′＋∠CAF＝∠BAE＋∠CAF＝∠BAC－∠EAF＝90°－45°＝45°.
∴∠EAF＝∠E′AF.
∵∠CAB＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°.∴∠E′CF＝∠ACB＋∠ACE′＝90°.
由勾股定理，得E′F2＝CE′2＋FC2，即EF2＝BE2＋FC2.
(3)如图③，在△ABC 内部任取一点P，连接AP，BP，CP，将△BPC绕点B顺时针旋转90°得到△BP′C′，由旋转的性质，得PB＝P′B，PC＝P′C′.
如图，过点A作BC′的垂线AD，交C′B的延长线于点D.
∵∠ABC＝30°，
∴∠BAD＝30°.

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