资源简介

(共40张PPT)
难点一　动点问题
类型1　几何背景下的动点问题
1．熟练掌握基本几何图形的性质及其基本元素与性质、性质与性质之间的关系．
2．不仅能看图，更能构图和解图．
3．不仅能审题，更能思考每一个条件增加的意图，并进行针对性破解．
4．打破代数和几何方法的壁垒，能够运用代数方法解决一些几何问题．
5．强化模型意识，能够在复杂背景中快速提取模型并关联相关结论．
1．在复杂图形中只会分散提取相关要素．
2．无法读取或不会使用隐藏条件．
3．计算障碍．
1．(2025·贵州模拟)如图，已知正三角形ABC的边长为1，D是BC边上的一动点(不与端点重合)，过点D作AB边的垂线，交AB边于点G.设AG＝x，Rt△BGD的面积为y，则y关于x的函数图象为(　 　)
A B C D
B
(1)当点P在线段AD上运动时，判断△APQ的形状(不必证明)，并直接写出AQ的长(用含t的代数式表示)；
(2)当点E与点C重合时，求t的值．
解：(1)△APQ是等腰三角形，AQ＝t.
(2)当点E与点C重合时，如图所示．
∵△PQE是等边三角形，
∴QE＝QP.
由(1)，得QA＝QP＝t，
∴AE＝2AQ，即2t＝3.
3.(2024·兰州)综合与实践
【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题．如图，在△ABC中，点M，N分别为AB，AC上的动点(不含端点)，且AN＝BM.
【初步尝试】(1)如图①，当△ABC为等边三角形时，小颜发现：将MA绕点M逆时针旋转120°得到MD，连接BD，则MN＝DB，请思考并证明．
【类比探究】(2)小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图②，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AE⊥MN于点E，延长AE交BC于点F，将MA绕点M逆时针旋转90°得到MD，连接DA，DB.试猜想四边形AFBD的形状，并说明理由．
【拓展延伸】(3)孙老师提出新的探究方向：如图③，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，连接BN，CM，请直接写出BN＋CM的最小值．
(1)证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝60°，AB＝AC．
∵MA绕点M逆时针旋转120°得到MD，
∴DM＝AM，∠AMD＝120°.
∴∠DMB＝60°.∴∠DMB＝∠A．
又AN＝MB，DM＝MA，∴△ANM≌△MBD(SAS)．∴MN＝DB.
(2)解：四边形AFBD为平行四边形．理由如下：
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝45°.
∵MA绕点M逆时针旋转90°得到MD，∴MA＝MD，∠DMA＝∠DMB＝90°.
∴∠MAD＝∠MDA＝45°.
∴∠MAD＝∠ABF＝45°.
∴AD∥BF.
在△ANM和△MBD中，
∴△ANM≌△MBD(SAS)．
∴∠AMN＝∠MDB.
∵AE⊥MN，
∴∠AMN＋∠MAE＝90°.
又∠MDB＋∠MBD＝90°，∠AMN＝∠MDB，
∴∠MBD＝∠MAE.
∴DB∥AF.
∴四边形AFBD为平行四边形．
1．(2025·贵州)如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P为线段AC上一动点，点E为射线BP上的一点(点E与点B不重合)．
【问题解决】
(1)如图①，若点P与线段AC的中点O重合，则∠PBC＝_________，线段BP与线段AC的位置关系是___________；
【问题探究】
(2)如图②，在点P运动过程中，当点E在线段BP上，且∠AEP＝30°，∠PEC＝60°时，探究线段BE与线段EC的数量关系，并说明理由；
【拓展延伸】
(3)在点P运动过程中，将线段BE绕点E逆时针旋转120°得到EF，射线EF交射线BC于点G，若BE＝2FG，AB＝5，求AP的长．
30°
BP⊥AC
解：(2)EC＝2BE.理由如下：
如图，把△ABE绕B顺时针旋转60°得到△CBQ，∴BE＝BQ，∠EBQ＝60°，
∠AEB＝∠BQC．∴△BEQ为等边三角形．∴∠BEQ＝60°＝∠BQE，BE＝EQ.
∵点E在线段BP上，且∠AEP＝30°，∠PEC＝60°，∴∠AEB＝150°，∠BEC＝120°.
∴∠BEQ＝∠CEQ＝60°，∠AEB＝∠BQC＝150°.∴∠EQC＝150°－60°＝90°.
∴∠ECQ＝90°－60°＝30°.∴EC＝2EQ＝2BE.
(3)①如图，当点P在线段OA上时，记BP与AD交于点H.
∵AH∥BC，∴∠AHB＝∠CBH.
②如图，当点P在线段OC上时，延长AD交BP于点H.
同理，可得∠AHB＝∠PBC，∠BAH＝∠BEG＝120°.
∴△BAH∽△GEB.
【特例感知】
(1)如图①，当m＝1时，BE与AD之间的位置关系是___________，数量关系是_______________.
AD⊥BE
AD＝BE
【类比迁移】
(2)如图②，当m≠1时，猜想BE与AD之间的位置关系和数量关系，并证明猜想．
【拓展应用】
(3)在(1)的条件下，点F与点C关于DE对称，连接DF，EF，BF，如图③所示．已知AC＝6，设AD＝x，四边形CDFE的面积为y.
①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值；
②当BF＝2时，请直接写出AD的长度．
解：(2)猜想：BE＝mAD，AD⊥BE.
证明：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE.
几何变换综合题主要考查学生对几何图形的基本性质以及变换的掌握情况，利用动点的运动速度和时间对相关的线段、面积、角度等进行适当表示，继而建立模型，通过函数或几何模型构造方程解决问题．
D
2．(2024·扬州)如图，已知两条平行线l1，l2，点A是l1上的定点，AB⊥l2于点B，点C，D分别是l1，l2上的动点，且满足AC＝BD.连接CD交线段AB于点E，BH⊥CD于点H，连接AH，则当∠BAH最大时， sin∠BAH的值为___.
3．(2025·安顺一模)综合与探究
如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，P是直线AC上的一动点，将线段BP绕点P逆时针旋转90°得到线段PD.
【操作判断】
(1)如图①，当点P与点C重合时，连接BD，根据题意，在图①中画出PD，BD，图中四边形ABDC的形状是_______________.
【问题探究】
(2)当点P与点A，C都不重合时，连接DC，试猜想DC与BC的位置关系，并利用图②证明你的猜想．
【拓展延伸】
(3)当点P与点A，C都不重合时，若AB＝6，AP＝5，求CD的长．
平行四边形
解：(1)如图①所示．
(2)DC⊥BC．证明如下：如图②，过点P作PE⊥AC交AB于点E，连接ED，则∠APE＝90°.
∵∠ABC＝90°，AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA＝45°.∴∠BAC＝∠AEP＝45°.∴AP＝EP.
∴∠AED＝∠AEP＋∠PED＝45°＋45°＝90°.
∴∠AED＝∠ABC＝90°.
∴ED∥BC．
∵AB＝BC，∴ED＝BC．∴四边形EBCD是平行四边形．
又∠ABC＝90°，∴四边形EBCD是矩形．∴∠BCD＝90°.∴DC⊥BC．
4.(2024·重庆B卷)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点B作BD∥AC．
(1)如图①，若点D在点B的左侧，连接CD，过点A作AE⊥CD交BC于点E.若点E是BC的中点，求证：AC＝2BD.
(1)证明：∵∠ACB＝90°，BD∥AC，
∴∠CBD＝90°.
∵AE⊥CD，∴∠ACD＋∠CAE＝90°.
∵∠ACD＋∠BCD＝90°，
∴∠CAE＝∠BCD.
又AC＝CB，∠CBD＝∠ACE＝90°，
∴△ACE≌△CBD(ASA)．∴CE＝BD.
∵点E是BC的中点，∴BC＝2CE＝2BD.∴AC＝BC＝2BD.
(2)证明：如图②，过点G作GH⊥AB于点H，连接HF.
∵BD∥AC，∴∠FBD＝∠FGA，∠D＝∠FAG.
∵点F是AD的中点，∴AF＝DF.∴△AGF≌△DBF(AAS)．
∴AG＝DB，GF＝BF.
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝∠ABC＝45°.
∴∠GFH＝∠FBH＋∠FHB＝2∠FBH，
∠GFC＝∠FBC＋∠FCB＝2∠FBC．
∴∠HFC＝∠GFH＋∠GFC＝2∠FBH＋2∠FBC＝2∠ABC＝90°.
∵FM⊥BG，∴∠BFM＝∠GFM＝90°.∴∠HFM＝∠CFN.
设∠CBG＝x，则∠ABG＝45°－x，∠CGB＝90°－x.
∴∠HMF＝∠BFM＋∠FBM＝135°－x.

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