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(共19张PPT)
专题二　函数、方程、不等式综合运用
　函数与方程
1．能列方程(组)求出一次函数、反比例函数、二次函数的解析式．
2．理解函数图象交点坐标即为这两个函数的解析式组成的方程组的解．
3．会求两个函数图象的交点坐标．
1．若关于x的方程ax＋m＝0的解为x＝－2，则直线y＝ax＋m一定经过点(　 　)
A．(－2,0) B．(－2，－2)
C．(0，－2) D．(－2,2)
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于点(1,0)，(－3,0)，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的解为(　 　)
A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝－1，x2＝－3
C．x1＝－1，x2＝3 D．x1＝1，x2＝－3
A
D
3．物理课上，于老师让同学们做这样的实验：在放水的盆中放入质地均匀的木块B，再在其上方放置不同质量的铁块A．已知木块B全程保持漂浮状态，通过测量木块B浮在水面上的高度h(mm)与铁块A的质量x(g)(如表)，可得它们之间满足一次函数关系，据此可知当铁块A质量为100 g时，木块B浮在水面上的高度h为(　 　)
A．30 mm B．28 mm
C．26 mm D．24 mm
实验次数 一 二 三
铁块A质量x/g 25 50 75
高度h/mm 44 38 32
C
A
6．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2－bx＋a＝0的根的情况是(　 　)
A．只有一个实数根
B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根
D．有两个相等的实数根
C
7．如图，一次函数y1＝kx＋b(k≠0)的图象分别与x轴和y轴相交于C，A(0,3)两点，且与正比例函数y2＝－2x的图象交于点B(m,2)．
典型考题
如图，正比例函数y＝－3x的图象与一次函数y＝kx＋b的图象交于点P(m,3)，一次函数图象经过点B(1,1)，与y轴的交点为D，与x轴的交点为C．
(1)求一次函数解析式；
(2)求点D的坐标；
(3)求△COP的面积；
(4)不解关于x，y的方程(k＋3)x＋b＝0，直接写出方程的解．
(2)由(1)知一次函数解析式是y＝－x＋2，
令x＝0，则y＝2.
∴D(0,2)．
(3)由(1)知一次函数解析式是y＝－x＋2，
令y＝0，得－x＋2＝0，解得x＝2.
∴点C(2,0)．∴OC＝2.
∵P(－1,3)，
(4)由图象可知，正比例函数y＝－3x的图象与一次函数y＝kx＋b的图象交于点P(－1,3)，所以方程的解为x＝－1.
1.两个函数图象交点的坐标即为由函数解析式组成的方程组的解，反之方程组的解即为方程改写成函数时的图象的交点坐标．
2．求交点坐标时，可以用函数图象法，也可以用解方程组法．
3．求函数解析式的方法一般为待定系数法．
具体步骤：①设函数解析式；②把点坐标代入解析式；③解方程组；④写结论．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)当反比例函数值小于一次函数值时，求x的取值范围；
(3)在x轴上存在点P，使得△PAB的周长最小，求出此时点P的坐标．
(3)如图，作点A关于x轴的对称点C，连接BC，交x轴于点P，连接AP，则此时△PAB的周长最小．由轴对称的性质可得C(1，－4)．
设直线BC的解析式为y＝ax＋b，将点C，B的坐标代入，(共22张PPT)
专题二　函数、方程、不等式综合运用
　函数与不等式
1．已知自变量或自变量的大小关系，能利用函数图象或函数解析式比较函数值的大小．
2．已知函数值的大小关系，能利用函数图象判断出自变量的取值范围．
1．已知一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，则不等式kx＋b＜0的解集是(　 　)
A．x＞2 B．x＜2
C．x≥2 D．x≤2
B
2．如图，一次函数y＝kx＋b与y＝x＋2的图象相交于点P(m,4)，则关于x的不等式kx＋b＞x＋2的解集是(　 　)
A．x＜4 B．x＞4
C．x＞2 D．x＜2
D
3．若关于x的不等式ax＋b＜0的解集为x＞－1，则下列各点可能在一次函数y＝ax＋b图象上的是(　 　)
A．(4,1) B．(1,4)
C．(－1,4) D．(－4,1)
D
－1＜x＜0或x＞3
1＜x＜4
6．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的y与x的部分对应值如下表：
下列结论：①abc＞0；②关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝9有两个相等的实数根；③当－4＜x＜1时，y的取值范围为0＜y＜5；④若点(m，y1)，(－m－2，y2)均在二次函数图象上，则y1＝y2；⑤满足ax2＋(b＋1)x＋c＜2的x的取值范围是x＜－2或x＞3.其中正确的有(　 　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
x －4 －3 －1 1 5
y 0 5 9 5 －27
C
7．如图，y1＝kx＋n(k≠0)与二次函数 y2＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象相交于A(－1,5)，B(9，2)两点，则关于x的不等式kx＋n≥ax2＋bx＋c的解集为(　 　)
A．－1≤x≤9
B．－1≤x＜9
C．－1＜x≤9
D．x≤－1或x≥9
A
典型考题
一次函数y1＝kx＋b和y2＝－4x＋a的图象如图所示，且A(0,4)，C(－2,0)．
(1)由图可知，不等式kx＋b＞0的解集是____________.
(2)若不等式kx＋b＞－4x＋a的解集是x＞1.
①求点B的坐标；
②求a的值．
x＞－2
解：①∵A(0,4)，C(－2,0)在一次函数y1＝kx＋b上，
∴解得
∴y1＝2x＋4.
∵不等式kx＋b＞－4x＋a的解集是x＞1，
∴点B的横坐标是1.
当x＝1时，y1＝2×1＋4＝6.
∴点B的坐标为(1,6)．
②∵点B(1,6)，∴6＝－4×1＋A．解得a＝10.
变式训练
如图，已知抛物线y＝－x2＋2bx＋3的图象与x轴交于A，B两点，点A(－1,0)，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的顶点坐标；
(2)若M(c，m)，N(2，n)是抛物线上的两点，且m ＜n，求c的取值范围；
(3)将直线BC向上平移a个单位，使平移后的直线与 抛物线只有一个交点，求a的值．
解：(1)将点A(－1,0)代入y＝－x2＋2bx＋3，
解得 b＝1.
∴y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4.
则顶点坐标为(1,4)．
(2)将N(2，n)代入y＝－x2＋2x＋3，解得 n＝3.
当y＝3时，3＝－x2＋2x＋3.
解得x1＝0，x2＝2.
∵m＜n，∴c＜0或c＞2.
(3)∵y＝－x2＋2x＋3，∴B(3,0)，C(0,3)．
∴直线BC的函数解析式为y＝－x＋3.设向上平移a个单位长度后的函数解析式为y＝－x＋3＋a．
即x2－3x＋a＝0.
∵平移后的直线与抛物线只有一个交点，
∴Δ＝9－4a＝0.
几何法：利用函数的图象，判断未知数的取值范围(即不等式的解集)，解题的关键是求函数与坐标轴(或两图象)的交点坐标．
代数法：根据函数值的大小关系，把函数解析式转化成不等式，求不等式的解集．
1．如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过A(2,6)，B(－3，－4)两点．
(1)设直线AB的解析式为y＝ax＋m.
①求直线AB与抛物线的解析式；
②直接写出不等式ax＋m＜x2＋bx＋c的解集．
(2)将抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，若直线y＝x＋n与抛物线新图象恰好有2个公共点，求n的取值范围．
(2)如图.令y＝x2＋3x－4＝0，解得x1＝1，x2＝－4.
∴M(－4,0)，N(1,0)．
当直线y＝x＋n经过N(1,0)时，可得n＝－1；
当直线y＝x＋n经过M(－4,0)时，可得n＝4.
∴当－1＜n＜4时，恰好有两个公共点．
翻折后在x轴上方的二次函数解析式为y＝－x2－3x＋4.
当直线y＝x＋n与二次函数y＝－x2－3x＋4的图象只有一个交点时，
x＋n＝－x2－3x＋4.
整理，得 x2＋4x＋n－4＝0，则Δ＝16－4(n－4)＝0，解得 n＝8.
∴当n＞8时，恰好有两个公共点．
综上所述，n的取值范围为－1＜n＜4或n＞8.
2.如图，抛物线y＝x2＋bx与直线y＝－x＋2相交于A，B两点，点A在x轴上．
(1)求A，B两点的坐标、抛物线的对称轴及顶点坐标；
(2)已知P(t，m)和Q(4，n)是抛物线上两点，且m＜n，求t的取值范围；
(3)请结合函数图象，直接写出不等式－x＋2≥x2＋bx的解集．
解：(1)将y＝0代入y＝－x＋2，得－x＋2＝0，解得x＝2.
∴点A的坐标为(2,0)．
将A(2,0)代入y＝x2＋bx，得4＋2b＝0.解得b＝－2.
∴抛物线的解析式为y＝x2－2x.
(2)将(4，n)代入y＝x2－2x，得n＝16－8＝8.
∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴(4,8)关于对称轴的对称点为(－2,8)．
∵m＜8，抛物线开口向上，∴t的取值范围为－2＜t＜4.
(3)由图象，可知不等式－x＋2≥x2＋bx的解集为－1≤x≤2.(共28张PPT)
专题二　函数、方程、不等式综合运用
　函数综合
1．以近几年函数综合题为训练背景，让学生感受中考函数题的考查难度．
2．通过解题归纳考查的知识和方法，了解命题者的设问方式．
1．(2022·贵阳)已知二次函数y＝ax2＋4ax＋b.
(1)求二次函数图象的顶点坐标(用含a，b的代数式表示)；
(2)在平面直角坐标系中，二次函数的图象过(1，c)，(3，d)，(－1，e)，(－3，f )四点，判断c，d，e，f的大小，并说明理由；
(3)点M(m，n)是二次函数图象上的一个动点，当－2≤m≤1时，n的取值范围是－1≤n≤1，求二次函数的表达式．
解：(1)∵y＝ax2＋4ax＋b＝a(x2＋4x＋4－4)＋b＝a(x＋2)2＋b－4a，
∴二次函数图象的顶点坐标为(－2，b－4a)．
(2)由(1)得抛物线对称轴为直线x＝－2，
当a＞0时，抛物线开口向上，
∵3－(－2)＞1－(－2)＞(－1)－(－2)＝(－2)－(－3)，
∴d＞c＞e＝f.
当a＜0时，抛物线开口向下，
∵3－(－2)＞1－(－2)＞(－1)－(－2)＝(－2)－(－3)，
∴d＜c＜e＝f.
解：(1)∵四边形OABC是矩形，
∴BC∥OA，AB⊥OA．
∵D(4,1)是AB的中点，∴B(4,2)．
∴点E的纵坐标为2.
3.(2025·山西)综合与实践
问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合．
实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面60 cm，起跳点与落地点的距离为160 cm.
数学建模：如图①，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M.以O为原点，OM所在直线为x轴，过点O与OM所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系．
(1)请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式．
问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变．
(2)如图①，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为(0,75)，点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长．
(3)实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于3 cm，才能安全通过．如图②，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形ABCD，其中∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝57 cm，BC＝40 cm，CD＝48 cm.仿青蛙机器人从距离AB左侧80 cm处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度(平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内)．
(2)∵抛物线的形状不变，P(0,75)，故第二次的函数图象可以看作由(1)的抛物线向上平移75个单位长度得到的，
4.(2024·湖南)已知二次函数y＝－x2＋c的图象经过点A(－2,5)，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)是此二次函数的图象上的两个动点．
(1)求此二次函数的表达式．
(3)如图②，点P在第二象限，x2＝－2x1，若点M在直线PQ上，且横坐标为x1－1，过点M作MN⊥x轴于点N，求线段MN长度的最大值．
(1)解：∵二次函数y＝－x2＋c的图象经过点A(－2,5)，
∴5＝－4＋c，解得c＝9.
∴二次函数的表达式为y＝－x2＋9.
(2)证明：当y＝0时，0＝－x2＋9，解得x1＝－3，x2＝3.
∴B(3,0)．
设直线AB的表达式为y＝kx＋b，
5.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝1，与x轴交于点A，B(5,0)，且过点C(－1，6)．
(1)求抛物线的解析式．
(2)若直线y1与抛物线交于点M(m，yM)，N(n，yN)，已知m≤1≤n，mn＜0，且当m≤x≤n时，y的最小值为2m，最大值为4n.当y1＜y时，求x的取值范围．
(3)设抛物线的顶点为D，对称轴与x轴交于点E，连接AD，过点A的直线y2＝k2x＋b2(k2＞0)上是否存在一点P，使得△ABP与△ADE相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(2)由(1)，得抛物线顶点坐标为(1,8)．∴当m≤1≤n时，y的最大值为8，即4n＝8，解得n＝2.
由抛物线的对称性，得当x＝2和x＝0时函数值相等．又m≤1≤n且mn＜0，∴m＜0＜1≤n.

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