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(共35张PPT)
专题四　几何综合
相似运用
1．掌握相似三角形模型——基本型、斜交型、旋转型、一线三等角型．
2．从复杂图形中“离析”出相似三角形的基本模型解决问题．
3．通过抽象模型、图形变换、变式类比等方法提高解决综合题的能力．
1．【基本型】(2025·贵阳模拟)如图，在5×4的正方形网格中，点A，C在网格点上，线段AC与网格线交于点B，则AB∶BC等于(　 　)
A
C
3．【一线三等角型】如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，F在CD边上，CF＝2，E是BC边上一点，EF⊥AE，求BE的长．
解：在矩形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，BC＝AD＝8，
CD＝AB＝6，
∴∠BAE＋∠AEB＝90°.
∵EF⊥AE，
∴∠AEB＋∠CEF＝90°.∴∠BAE＝∠CEF.
4.(2024·黔南州一模)如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，过点B作BE∥AD交CD于点E，点F为AD边上一点，且AF＝BE，连接EF.
(1)判断四边形ABEF的形状，并说明理由；
解：(1)四边形ABEF是矩形．理由如下：
∵BE∥AF，BE＝AF，
∴四边形ABEF是平行四边形．
又∠A＝90°，∴四边形ABEF是矩形．
(2)由(1)知四边形ABEF是矩形，
∴∠BEF＝∠C＝90°.
∴∠CEB＋∠CBE＝∠CEB＋∠FED＝90°.
小明：经过分析发现，图形中存在与∠BAD相等的角；
小胖：根据我的解题经验，要求AB的长，可以考虑构造相似三角形，利用相似三角形的对应边成比例解决问题；
小林：既然构造相似三角形，可以在CD上取一点F，构建“一线三等角”的图形解决问题．
(1)请你完成这个题目的解答过程；
解：如图①，在CD上取点F，连接EF，使∠DEF＝∠ADB.
∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED.
∵∠AED＝∠B，
∴∠ADE＝∠B.
∵∠ADF＝∠B＋∠BAD＝∠EDF＋∠ADE，
∴∠EDF＝∠BAD.
∵∠ADB＝∠DEF，∴△ADB∽△DEF.
解：如图②，作∠DAT＝∠BDE，作∠RAT＝∠DAE，连接ER.
∵AB＝AC，AD＝CD，
∴∠C＝∠DAC＝∠ABC．
∵AD＝AE，
∴∠AED＝∠ADE.
∵∠ADE＝∠DBE，
∴∠DBE＝∠AED＝∠ADE.
∵∠BDA＝∠DAT＋∠ATD＝∠BDE＋∠ADE，
∠DAT＝∠BDE，
∴∠ATD＝∠ADE＝∠DBE.
∴∠ADT＝∠AER，DT＝ER.
∴∠BED＝∠AER.
∴∠BER＝∠AED＝∠DBE.
∴ER＝BR＝DT.
∵AB＝AC，∠ABC＝∠ACB，∠ARB＝∠ATC，
∴△ABR≌△ACT(AAS)．
∴BR＝CT.∴DT＝CT.
∴CD＝2DT.
变式训练
【基础巩固】(1)如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点，F是BC边上一点，∠CDF＝45°.求证：AC·BF＝AD·BD.
证明：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝∠B＝45°.
∵∠A＋∠ACD＝∠CDF＋∠BDF，∠A＝∠CDF＝45°，
∴∠ACD＝∠BDF.
∴△ACD∽△BDF.
【尝试应用】(2)如图②，在四边形ABFC中，点D是AB边的中点，∠A＝∠B＝∠CDF＝45°，若AC＝9，BF＝8，求线段CF的长．
解：如图②，延长AC交BF的延长线于点T.
∵∠A＝∠CDF＝∠B＝45°，
∴∠T＝90°，TA＝TB.
∵∠CDB＝∠A＋∠ACD＝∠CDF＋∠BDF，
∴∠ACD＝∠BDF.
∴△ACD∽△BDF.
解：如图③，过点E作EF与CD交于点F，使∠EFD＝45°，
则∠B＝∠EFD.
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴∠B＝∠ADE＝45°.
∴∠BAD＝∠EDF.
∴△ABD∽△DFE.
∵∠EFD＝45°，∠ADE＝∠AED＝45°，
∴∠EFC＝∠DEC＝135°.
又∠C＝∠C，
∴△EFC∽△DEC．
∴EC2＝FC·CD＝FC×(8＋FC)＝20.
解得FC＝2或FC＝－10(舍去)．
∴CD＝DF＋FC＝10.
基本型与斜交型均有一个公共角，确定公共角后准确找到另一组相等的角即可“离析”出相似三角形，结合方程思维解决问题．
在一条直线上出现三个相等的角，则会存在相似三角形，即“一线三等角”．
判定三角形相似有三个定理，使用最多的是找两对对应角相等，特别是相似的直角三角形，固定直角后，寻找另一组相等的角即可．
(2024·贵州)综合与探究：如图，∠AOB＝90°，点P在∠AOB的平分线上，PA⊥OA于点A．
(1)【操作判断】
如图①，过点P作PC⊥OB于点C，根据题意在图①中画出PC，图中∠APC的度数为______度；
90
解：如图①，PC即为所求．
(2)【问题探究】
如图②，点M在线段AO上，连接PM，过点P作PN⊥PM交射线OB于点N，求证：OM＋ON＝2PA；
证明：如图②，过点P作PC⊥OB于点C．
由(1)知四边形OAPC是矩形．
∵点P在∠AOB的平分线上，PA⊥OA，PC⊥OB，
∴PA＝PC．∴矩形OAPC是正方形．
∴OA＝AP＝PC＝OC．
∵PN⊥PM，∠APC＝90°，∴∠APM＝∠CPN.又∠MAP＝∠NCP＝90°，∴△APM≌△CPN(ASA)．∴AM＝CN.
∴OM＋ON＝OM＋OC＋CN＝OM＋AM＋OC＝OA＋OC＝2AP.∴OM＋ON＝2PA．
解：①当点M在线段AO上时，如图，延长NM，PA交于点G.
由(2)知OM＋ON＝2AP.设OM＝x，则ON＝3x，OA＝AP＝2x.
∴AM＝AO－OM＝x＝OM.
∵∠MON＝∠MAG＝90°，∠OMN＝∠AMG ，
∴△MON≌△MAG(ASA)．∴AG＝ON＝3x.
②点当M在AO的延长线上时，如图，过点P作PC⊥OB于点C，并延长交MN于点G.
由(2)，同理得△APM≌△CPN，∴AM＝CN.∴ON－OM＝OC＋CN－OM＝AO＋AM－OM＝2AO.设OM＝x，则ON＝3x.∴AO＝x，CN＝AM＝2x.(共24张PPT)
专题四　几何综合
　形状判定
1．如图，三角形ABC是直角三角形，CD是AB边上的高．
(1)图中相似的三角形有______________________________________ ___________________.
(2)三角形对应边成比例，得
CD2＝__________，AC2＝__________，BC2＝_____________.
△ABC∽△CBD，△ABC∽△ACD，
△ACD∽△CBD
AD·BD
AD·AB
BD·AB
C
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°.
(1)BC∶AC∶AB＝____________；
(2)CD是斜边AB上的高，BD＝2，那么AD的长为___.
6
3．如图所示的网格是由相同的小正方形组成的网格，点A，B，P是网格线的交点，则∠PAB＋∠PBA＝_________.
45°
4．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法不正确的是(　 　)
A．△ABE的面积＝△BCE的面积
B．∠AFG＝∠AGF
C．BH＝CH
D．∠FAG＝2∠ACF
C
5．如图，等边三角形ABC的边长为6 cm，P为△ABC内任一点，PD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC，PE＋PF＋PD的值是(　 　)
D
6．如图，△ABC是等边三角形，点E是AC的中点，过点E作EF⊥AB于点F，延长BC交EF的反向延长线于点D.若EF＝1，则DF的长为(　 　)
A．2 B．2.5
C．3 D．3.5
C
典型考题
如图，已知等边三角形ABC的边长为3 cm，点P，Q分别从点A，B同时出发，沿边AB，BC向点B和点C运动，且它们的运动速度都是1 cm/s.直线AQ，CP交于点M.
(1)求证：△ABQ≌△CAP；
(2)在点P，Q分别在边AB，BC上运动的过程中，求 当运动时间为多少秒时，△ACM是等腰三角形；
(1)证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝CA，∠ABQ＝∠CAP＝60°.
∵点P，Q的速度相同，∴BQ＝AP.∴△ABQ≌△CAP(SAS)．
(2)解：∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ＝∠ACP.
∵∠QMC＝∠ACP＋∠MAC，
∴∠QMC＝∠BAQ＋∠MAC＝∠BAC＝60°.
∴∠AMC＝120°.
当△ACM是等腰三角形时，有AM＝CM.
∴∠CAM＝∠ACM＝30°.
∴∠BAM＝∠CAM＝30°.
又∠B＝60°，∴∠AQB＝90°.
(3)连接PQ，当点P，Q运动_________s时，△PBQ是直角三角形．
1或2
变式训练
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝3，点D是边AB上的动点(点D与点 A，B不重合)，过点D作DE⊥AB交射线AC于点E，连接BE，点F是BE的中点，连接CD，CF，DF.点E在边AC上(点E与点C不重合)．
(1)设AD＝x，CE＝y，求y关于x的函数关系式及x的取值范围；
解：∵∠A＝60°，DE⊥AB，
∴∠AED＝30°.
∴AE＝2AD＝2x.
又AC＝AE＋CE，
即3＝2x＋y，
(2)当BE平分∠ABC时，AD的长为____________；
(3)求证：△CDF是等边三角形．
证明：由题意，得△ECB与△EDB均为直角三角形．
∴∠FCB＝∠CBF，∠FDB＝∠DBF.
∴∠CFE＝2∠CBF，∠DFE＝2∠DBF.
∴∠CFE＋∠DFE＝2(∠CBF＋∠DBF)，
即∠CFD＝2∠CBA．
∵∠A＝60°，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝30°.
∴∠CFD＝60°.
∴△CDF是等边三角形．
同一个三角形中出现两个垂直条件，由余角定义推出相等的角，与相似三角形相关，对应边成比例，得出双垂直直角三角形定理，有助于求解三角形中对边的长度．
依据特殊角、特殊边，清晰辨认特殊边长的关系，使运算化繁为简，化简为易，巧用模型，以不变应万变．
遇到等腰三角形分类讨论问题，按以下步骤完成：①本题要分类讨论吗？②分类的依据是什么？③怎样进行分类讨论？④归纳总结．
在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是直线AB上的一动点(不与点A，B重合)，连接CD，在CD的右侧以CD为斜边作等腰直角三角形CDE，点H是BD的中点，连接EH.
【问题发现】
(1)如图①，当点D是AB的中点时，线段EH与AD的数量关系是 ______________，EH与AD的位置关系是_______________.
EH⊥AD
【猜想论证】
(2)如图②，当点D在边AB上且不是AB的中点时，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图②中的情况给出证明；若不成立，请说明理由．
解：(2)结论仍然成立．证明如下：
如图②，延长DE到F，使得EF＝DE，连接CF，BF.
∵DE＝EF，CE⊥DF，
∴CD＝CF.
∵△CDE是等腰直角三角形，
∴∠CDF＝∠CFD＝45°.
∴∠ECF＝∠ECD＝45°.
∴∠ACB＝∠DCF＝90°.
∴∠ACD＝∠BCF.
又CA＝CB，CD＝CF，
∴△ACD≌△BCF(SAS)．
∴AD＝BF，∠A＝∠CBF＝45°.
∵∠ABC＝45°，
∴∠ABF＝90°.∴BF⊥AB.
∵DE＝EF，点H为BD的中点，(共33张PPT)
专题四　几何综合
　全等证明
1．熟悉并灵活运用三角形全等基本模型．
2．通过在复杂图形中识别模型、图形变换、变式类比等方法提高综合题的解题能力．
1．【公共角模型】如图，锐角△ABC的两条高BD，CE相交于点O，且CE＝BD.若∠CBD＝20°，则∠A的度数为(　 　)
A．20°　 B．40°　
C．60°　 D．70°
B
2．【公共边模型】如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，∠C＝2∠CDB，AB＝12，CD＝3，则△ABC的周长为(　 　)
A．21 B．24
C．27 D．30
C
3．【手拉手模型】(2025·铜仁模拟)如图，△ABC和△ADE均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上，若∠EBC＝35°，则∠ECA的度数为(　 　)
A．35° B．25°
C．30° D．45°
B
4.【一线三直角模型】如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，易证明△BEC≌△CDA，我们将这个模型称为“一线三直角”．接下来我们就利用这个模型来解决一些问题：
(1)如图②，将一块等腰直角三角板ACB放置在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的负半轴上，点B在第二象限，点A的坐标为(0,2)，点C的坐标为(－1,0)，则点B的坐标为___________；
(－3,1)
(2)如图③，在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB与y轴交于点D，点C的坐标为(0，－1)，点A的坐标为(2,0)，则点B的坐标为___________；
(3)如图④，∠ACB＝90°，AC＝BC，当点C在x轴正半轴上运动，点A(0，a)在y轴的正半轴上运动，点B(m，n)在第四象限时，a，m，n之间的数量关系为_________________.
(－1,1)
a＋m＋n＝0
典型考题
如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，点O是AD的中点，OE⊥BC于点E，CO平分∠BCD.
(1)求证：AB＝EB；
证明：∵AB∥CD，∠DAB＝90°，OE⊥BC，
∴∠ADC＝∠BEO＝∠CEO＝90°.
∵点O是AD的中点，∴AO＝DO.
∵CO平分∠BCD，∴∠ECO＝∠DCO.
又∠CEO＝∠CDO＝90°，CO＝CO，
∴△OCE≌△OCD(AAS)．∴OE＝OD＝OA．
又∠A＝∠BEO＝90°，OB＝OB，
∴△OAB≌△OEB(HL)．∴AB＝EB.
(2)如图②，以AD为直径画⊙O，求证：直线BC与⊙O相切；
图②
(3)若AD＝DC＝1，求BE的长；
解：由(1)，易得∠AOB＝∠BOE，∠COD＝∠COE，∠ODC＝90°，且∠AOB＋∠BOE＋∠COD＋∠COE＝180°，
∴∠AOB＋∠COD＝90°.
∵∠DCO＋∠COD＝90°，
∴∠AOB＝∠DCO.
又∠BAO＝∠ODC＝90°，
(4)如图③，四边形ADCG是边长为1的正方形，求tan∠BCG的值；
图③
解：如图④，连接OE，OB.
由(1)，可知△ABO≌△EBO，
△DCO≌△ECO，
∴BE＝AB＝1，CE＝CD＝2，
∠COE＝∠COD.
又∠BOE＋∠AOB＋∠COE＋∠COD＝180°，
∴∠BOE＋∠COE＝∠BOC＝90°.
∵OE⊥BC，
∴∠BEO＝∠OEC＝90°.
∴∠OCE＋∠COE＝90°.
∴∠BOE＝∠OCE.
∴△BEO∽△OEC．
变式训练
如图①，在正方形ABCD中，以BC为直径作半圆O，以点D为圆心、DA为半径作圆弧交半圆O于点P.连接DP并延长交AB于点E.
(1)求证：DE为半圆O的切线；
图①
证明：连接OP，OD，如图①.
∵BC是⊙O的直径，
∴OP＝OC．
∵以点D为圆心、DA为半径作圆弧，
∴PD＝CD.
又OD＝OD，
∴△ODP≌△ODC(SSS)．
∴∠OPD＝∠OCD＝90°.
∵P点在⊙O上，
∴DE为半圆O的切线．
(2)求证：BE＋CD＝ED；
证明：由(1)，可知DE为半圆O的切线．
∵EB为半圆O的切线，
∴由切线长定理，可得EP＝EB.
又DP＝DC，
∴BE＋CD＝EP＋DP＝ED.
(4)如图②，连接AC，与DE交于点I，连接DO，与AC交于点G，若AB＝2，求IG的长．
图②
三角形的全等证明是中考的必考题型．常见的辅助线作法有：翻折法、构造法、旋转法、倍长法和截长补短法，目的为构造全等三角形．
(2023·贵州)如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形ABC中，CA＝CB，∠C＝90°，过点B作射线BD⊥AB，垂足为B，点P在CB上．
(1)【动手操作】
如图②，若点P在线段CB上，画出射线PA，并将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E，根据题意在图中画出图形，图中∠PBE的度数为_________°；
(2)【问题探究】
根据(1)所画图形，探究线段PA与PE的数量关系，并说明理由；
(3)【拓展延伸】
如图③，若点P在射线CB上移动，将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E，探究线段BA，BP，BE之间的数量关系，并说明理由．
135
解：(1)如图所示．
(2)PA＝PE.理由如下：
过P作PM∥AB交AC于点M，如图．
∴∠MPC＝∠ABC＝45°，∠PMC＝∠BAC＝45°.∴CP＝CM.
∴CA－CM＝CB－CP，即AM＝BP.
∵∠AMP＝180°－∠PMC＝135°，∠PBE＝∠ABE＋∠ABC＝135°，∴∠AMP＝∠PBE.
∵∠APE＝90°，∴∠EPB＝90°－∠APC＝∠PAC．∴△APM≌△PEB(ASA)．∴PA＝PE.(共22张PPT)
专题四　几何综合
　解直角三角形
1．熟练掌握直角三角形相关性质，灵活运用基本方法解直角三角形．
2．在复杂图形中分析直角三角形的边角关系，综合运用直角三角形的边角关系相关知识解决实际问题．
1．在△ABC中，若AB＝10，AC＝15，∠BAC＝150°，则△ABC的面积为(　 　)
A．37.5 B．75
C．100 D．150
A
2．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC，延长BC到点D，使CD＝AC，则 tan 22.5°＝(　 　)
D
3．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝6，BC＝8，点D为BC的中点，DE⊥AB于点E，则tan∠BDE的值等于(　 　)
B
4．(2025·六盘水模拟)如图，在正方形网格中，△ABC的位置如图，其中点A，B，C分别在格点上，则sin A的值是(　 　)
A
解：如图，延长BA交MN于点C，设CN＝x m.
由题意得BC⊥MN，BC＝691 m.
∵MN＝154 m，∴CM＝MN－CN＝(154－x) m.
在Rt△ACN中，∠MNA＝45°，
∴AC＝CN·tan 45°＝x m.
典型考题
如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC的垂直平分线交AC于点D，延长AC至点E，使CE＝AB.
(1)证明：∵DF垂直平分BC，
∴DB＝DC．
∵C△ABD＝AB＋AD＋BD，CE＝AB，
∴C△ABD＝AD＋DC＋CE＝AE，
即△ABD的周长等于线段AE的长．
变式训练
如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线分别交边AB，BC于点D，E，连接AE.
(1)如果∠B＝25°，求∠CAE的度数；
解：(1)∵DE垂直平分AB，
∴EA＝EB.
∴∠EAB＝∠B＝25°.
∴∠CAE＝180°－∠C－∠EAB－∠B＝40°.
解直角三角形是数学中很重要的一节内容，它在实际生活中有着非常广泛的应用，比如在测量、建筑、航海等方面．用解直角三角形的有关知识解决实际问题的关键是借助图形，将实际问题中的数量关系在图形中反映出来，把数和形结合起来，最终将实际问题转化为解直角三角形的问题．
(2025·贵州)某小区在设计时，计划在如图①的住宅楼正前方建一栋文体活动中心．设计示意图如图②所示，已知BD＝28 m，CD＝21 m，该地冬至正午太阳高度角α为35°.如果你是建筑设计师，请结合示意图和已知条件完成下列任务．
任务一：计算冬至正午太阳照到住宅楼的位置与地面之间的距离AB的长；
任务二：为符合建筑规范对日照的要求，让整栋住宅楼在冬至正午太阳高度角下恰好都能照射到阳光，需将活动中心沿BD方向移动一定的距离(活动中心高度不变)，求该活动中心移动了多少米？
(参考数据：sin 35°≈0.57，cos 35°≈0.82，tan 35°≈0.70)
解：任务一：如图，过点A作AE⊥CD于点E.
由题意，可得四边形AEDB为矩形，BD＝28 m，CD＝21 m，∠AEC＝90°，
∴AE＝BD＝28 m，AB＝DE.
∵∠CAE＝α＝35°，
∴在Rt△ACE中，CE＝AE·tan α≈28×0.7＝19.6(m)．
∴AB＝DE＝CD－CE＝21－19.6＝1.4(m)．
任务二：如图，过点B作AC的平行线，过点C作BD的平行线，两线交于点Q，BQ，AE交于点T，过点Q作QK⊥BD于点K.
∴∠QBK＝∠ATB＝∠CAE＝35°，四边形CDKQ为矩形．
∴QK＝CD＝21 m.
∴DK＝30－28＝2(m)．
∴该活动中心移动了2 m.

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