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(共14张PPT)
动向二　学科融合命题
一、与物理结合
1．(2024·山西)一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行．若斜面的坡角α＝25°，则摩擦力F2与重力G 方向的夹角β的度数为(　 　)
A．155° B．125°
C．115° D．65°
C
2．在数学活动课上，兴趣小组的同学用一根质地均匀的轻质木杆和若干个钩码做实验．如图所示，在轻质木杆O处用一根细线悬挂，左端A处挂一重物，右端B处挂钩码，每个钩码质量是50 g．若OA＝20 cm，OB＝40 cm，挂3个钩码可使轻质木杆水平位置平衡．设重物的质量为x g，根据题意列方程得(　 　)
A．20x＝40×50×3 B．40x＝20×50×3
C．3×20x＝40×50 D．3×40x＝20×50
A
3．(2025·深圳)如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线AO经平面镜反射后入眼，若CB∥OA，∠CBO＝122°，∠BON＝90°，则入射角∠AON的度数为(　 　)
A．22°　 B．32°　　
C．35°　 D．122°
B
4．(2024·河南)把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象(如图①)，插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象(如图②)．下列结论中错误的是(　 　)
A．当P＝440 W时，I＝2 A
B．Q随I的增大而增大
C．I每增加1 A，Q的增加量相同
D．P越大，插线板电源线产生的热量Q越多
C
5．(2024·广州)如图，把R1，R2，R3三个电阻串联起来，线路AB上的电流为I，电压为U，则U＝IR1＋IR2＋IR3，当R1＝20.3，R2＝31.9，R3＝47.8，I＝2.2时，U的值为_________.
220
6．(2024·福建)无动力帆船是借助风力前行的．如图是帆船借助风力航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角∠PDA为70°，帆与航行方向的夹角∠PDQ为30°，风对帆的作用力F为400 N．根据物理知识，F可以分解为两个力F1与F2，其中与帆平行的力F1不起作用，与帆垂直的力F2又可以分解为两个力f1与f2，f1与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；f2与航行方向一致，是真 正推动帆船前行的动力．在物理学上常用线段的 长度表示力的大小，据此，建立数学模型：F＝ AD＝400，则f2＝CD＝_________.(单位：N)(参考 数据：sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77)
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二、与化学结合
7．(2025·山西)氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得．实践小组通过实验发现，在电解水的过程中，生成物氢气的质量y(g)与分解的水的质量x(g)满足我们学过的某种函数关系．如表是一组实验数据，根据表中数据，y与x之间的函数关系式为(　 　)
水的质量x/g 4.5 9 18 36 45
氢气的质量y/g 0.5 1 2 4 5
C
8．(2024·重庆A卷)烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，……按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是(　 　)
　
　　　　图①　　　图②　　　图③　　　　图④
A．20 B．22
C．24 D．26
B
三、与其他学科结合
9．生物学研究表明，植物光合作用速率越高，单位时间内合成的有机物越多．为了解甲、乙两个品种大豆的光合作用速率，科研人员从甲、乙两个品种的大豆中各选五株，在同等实验条件下，测量它们的光合作用速率(单位：μmol·m－2·s－1)，结果统计如下：
品种 第一株 第二株 第三株 第四株 第五株 平均数
甲 32 30 25 18 20 25
乙 28 25 26 24 22 25
则两个大豆品种中光合作用速率更稳定的是___(填“甲”或“乙”)．
乙
10．(2025·德阳)等宽曲线是指在任何方向上的直径都相等的一种几何图形，它在我们的日常生活中应用比较广泛，例如可以利用等宽曲线设计自行车的车轮等．如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形就是等宽曲线(图中阴影部分)，如果AB＝1，那么这个等宽曲线的周长是___.
π
11．(2025·北京)如图，⊙O是地球的示意图，其中AB表示赤道，CD，EF分别表示北回归线和南回归线，∠DOB＝∠FOB＝23.5°.夏至日正午时，太阳光线GD所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角∠IFH(即平行于GD的光线HF与⊙O的切线FI所成的锐角)的大小为______°.
43
12．(2025·浙江)为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图①，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路AB向目的地B处运动．设AQ为x(单位：km)(0≤x≤n)，PQ2为y(单位：km2)．如图②，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点D(m,81)，且经过E(1,225)和F(n,225)两点．下列选项正确的是(　 　)
A．m＝12　
B．n＝24　
C．点C的纵坐标为240　
D．点(15,85)在该函数图象上
D(共37张PPT)
动向四　综合与实践
类型1　生活应用
1．某村庄为吸引游客，沿绿道旁的母亲河河边打造喷水景观，如图①所示，为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入母亲河中．图②是其截面图，已知绿道路面宽OA＝3.5 m，河道坝高AE＝5 m，坝面AB的坡比为i＝1∶0.5，当水柱离喷水口O处水平距离为2 m时，水柱离地面的垂直距离达最大值，其最大值为3 m．以O为原点，直线OA为x轴，建立平面直角坐标系，解决问题：
(1)求水柱所在抛物线的解析式；
(2)出于安全考虑，在河道的坝边A处竖直向上安装护栏，若护栏高度为1.2 m，判断水柱能否喷射到护栏上，说明理由；
(3)河水距离地平面AD多少米时，刚好使水柱落在坝面截线AB与水面截线的交点处？
(3)∵河道坝高AE＝5 m，坝面AB的坡比为i＝1∶0.5，
∴AE∶BE＝1∶0.5，即BE＝2.5 m.
∴点B与原点O的水平距离为3.5＋2.5＝6 m.
∴点B的坐标为(6，－5)．
2.综合与实践
问题情境：如图①，矩形MNKL是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段AB组成的封闭图形，点A，B在矩形的边MN上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案．
方案设计：如图②，AB＝6 m，AB的垂直平分线与抛物线交于点P，与AB交于点O，点P是抛物线的顶点，且PO＝9 m．欣欣设计的方案如下：
第一步：在线段OP上确定点C，使∠ACB＝90°，用篱笆沿线段AC，BC分隔出△ABC区域，种植串串红；
第二步：在线段CP上取点F(不与C，P重合)，过点F作AB的平行线，交抛物线于点D，E.用篱笆沿DE，CF将线段AC，BC与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季．
方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步△ABC区域的分隔后，发现仅剩6 m篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完6 m材料，需确定DE与CF的长．为此，欣欣在图②中以AB所在直线为x轴，OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题：
(1)在图②中画出坐标系，并求抛物线的函数解析式；
(2)求6 m材料恰好用完时DE与CF的长．
解：(1)建立如图所示的平面直角坐标系．
∵OP所在直线是AB的垂直平分线，且AB＝6，
∴点B的坐标为(3,0)．
∵OP＝9，∴点P的坐标为(0,9)．
∵点P是抛物线的顶点，∴设抛物线的函数解析式为y＝ax2＋9.
代入点B(3,0)，得9a＋9＝0.解得a＝－1.
∴抛物线的函数解析式为y＝－x2＋9(－3≤x≤3)．
(2)点D，E在抛物线y＝－x2＋9 上，设点E的坐标为(m，－m2＋9)．
∵DE∥AB，交y轴于点F，∴DF＝EF＝m，OF＝－m2＋9.
∴DE＝2m.
∴CF＝OF－OC＝－m2＋9－3＝－m2＋6.
根据题意，得DE＋CF＝6.
∴－m2＋6＋2m＝6.
解得m1＝2，m2＝0(不符合题意，舍去)．
∴m＝2.
∴DE＝2m＝4，CF＝－m2＋6＝2.
即DE的长为4 m，CF的长为2 m.
3．(2025·广州)某玩转数学小组发现隧道前通常设有涉水线和限高架等安全警示，为探究其内在的数学原理，该小组考察了如图①所示的双向通行隧道．以下为该小组研究报告的部分记录，请认真阅读，解决问题．
图①
发现问题
确定目标 涉水线设置 限高架设置
数学抽象
绘制图形
隧道及斜坡的侧面示意图可近似如图②所示.
图③为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分ACB和矩形ADEB的三边构成．
发现问题
确定目标 涉水线设置 限高架设置
信息收集
资料整理 当隧道内积水的水深为0.27 m时(即积水达到涉水线处)，车辆应避免通行. 车辆进入隧道，应在行驶车道内通行(禁止压线)，且必须保证车辆顶部与隧道顶部ACB在竖直方向的空隙不小于0.3 m.
发现问题
确定目标 涉水线设置 限高架设置
实地考察
数据采集 斜坡的坡角α为10°，并查得sin 10°≈0.174，cos 10°≈0.985，tan 10°≈0.176. 隧道的最高点C到地面DE的距离为5.4 m，两侧墙面高AD＝BE＝3 m，地面跨度DE＝10 m．车辆行驶方向的右侧车道线(宽度忽略不计)与墙面的距离为1 m.
问题解决：(1)如图②，求涉水线离坡底的距离MN(精确到0.01 m)；
(2)在图③中建立适当的平面直角坐标系，求抛物线ACB的解析式；
(3)限高架上标有警示语“车辆限高h m”(即最大安全限高)，求h的值(精确到0.1 m)．
解：(1)过点M作MP⊥l，如图②.
∵斜坡的坡角α为10°，涉水线处积水的水深为0.27 m，
∴∠MNP＝10°，MP＝0.27 m.
(2)以点C为坐标原点，建立平面直角坐标系，
如图③.设抛物线ACB的解析式为y＝ax2(a＜0)．
∵隧道的最高点C到地面DE的距离为5.4 m，
两侧墙面高AD＝BE＝3 m，地面跨度DE＝10 m，
∴B(5，－2.4)．
(3)如图③所示．车辆行驶方向的右侧车道线(宽度忽略不计)与墙面的距离为1 m，必须保证车辆顶部与隧道顶部ACB在竖直方向的空隙不小于0.3 m，∴10÷2－1＝4(m)．
∴GH＝CH－CG＝5.4－1.536＝3.864(m)．
∴h＝GH－0.3＝3.864－0.3＝3.564(m)．
∵涉及安全问题，∴h＝3.564≈3.5(m)．
类型2　跨学科命题
4．(2025·兰州)综合与实践
在学校项目化学习中，某研究小组开展主题为“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的研究．请你阅读以下材料，解决“数学建模”中的问题．
【研究背景】已知一定浓度的生长素既能促进种子发芽，也会因浓度过高抑制种子发芽．探索生长素使用的适宜浓度等最优化问题，可以借助数学模型进行解决．
【数据收集】研究小组选择某类植物种子和生长素，以生长素浓度x(标准单位)为自变量，种子的发芽率y(%)为因变量，进行“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的实验，获得相关数据：
生长素浓度x(标准单位) 0 0.6 1 1.7 2 2.5 2.7 3 3.3 4 4.2
发芽率y(%) 35.00 49.28 56.00 62.37 63.00 61.25 59.57 56.00 51.17 35.00 29.12
【数据分析】如图，小组成员以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系描出相应的点．
说明：①当生长素浓度x＝0时，种子的发芽率为自然发芽率；
②当发芽率大于等于零且小于自然发芽率时，该生长素抑制种子发芽；
③当生长素抑制种子发芽，使得发芽率减小到0时，停止实验．
【数学建模】请你结合所学知识解决下列问题：
(1)观察上述各点的分布规律，判断y关于x的函数类型，并求出该函数的解析式；
(2)请计算抑制种子发芽时的生长素浓度范围．
解：(1)观察上述各点的分布规律，y关于x的函数是二次函数．
设该二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋C．
将(0,35)，(1,56)，(2,63)代入，得
(2)当x＝0时，y＝35，
∴种子自然发芽率为35%.
当y＝35时，－7x2＋28x＋35＝35.
解得x1＝0，x2＝4.
当y＝0时，－7x2＋28x＋35＝0.
解得x1＝－1(舍去)，x2＝5.
∴抑制种子发芽时的生长素浓度范围为4＜x≤5.
5.综合与实践：数学兴趣小组在学习了二次函数之后，对物理学中的探究实验“阻力对物体运动的影响”又有了新的认识，对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究．兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用，请完成下列任务．
【实验过程】如图①所示，一个黑球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动．从黑球运动到A点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动时间t(单位：s)、运动速度v(单位：cm/s)、滑行距离y(单位：cm)的数据．
【收集数据】记录的数据如表：
【建立模型】根据表格中的数值分别在图②、图③的平面直角坐标系中描点、连线；通过观察图象发现，我们可以用一次函数近似地表示v与t的函数关系，用二次函数近似地表示y与t的函数关系．请直接写出v与t的函数关系式和y与t的函数关系式；(不要求写出自变量的取值范围)
运动时间t/s 0 3 6 9 12 15 …
运动速度v/(cm/s) 10 8.5 7 5.5 4 2.5 …
滑行距离y/cm 0 27.75 51 69.75 84 93.75 …
【拓展应用】
①当黑球在水平木板上滚动了64 cm时，运动速度是多少？
②若黑球到达木板A点处的同时，在前方70 cm处有一辆电动小车，以2 cm/s的速度匀速向右直线运动，则黑球能否追上小车？请说明理由．
类型3　操作实践
6．在一次数学探究性学习活动中，某学习小组要制作一个圆锥体模型，操作规则是：在一张边长为16 cm的正方形纸片上剪出一个扇形和一个圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好是该圆锥的底面．他们首先设计了如图所示的方案一，发现这种方案不可行，于是他们调整了扇形和圆的半径，设计了如图所示的方案二．(两个方案的图中，圆与正方形相邻两边及扇形的弧均相切．方案一中扇形的弧与正方形的两边相切)
(1)请说明方案一不可行的理由．
(2)方案二是否可行？若可行，请确定圆锥的母线长及其底面圆半径；若不可行，请说明理由．
7.综合与实践：制作无盖盒子
任务一：如图①，有一块矩形纸板，长是宽的2倍，要将其四角各剪去一个正方形，折成高为4 cm，容积为616 cm3的无盖长方体盒子(纸板厚度忽略不计)．
(1)请在图①的矩形纸板中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕．
(2)请求出这块矩形纸板的长和宽．
任务二：图②是一个高为4 cm的无盖的五棱柱盒子(直棱柱)，图③是其底面，在五边形ABCDE中，BC＝12 cm，AB＝DC＝6 cm，∠ABC＝∠BCD＝120°，∠EAB＝∠EDC＝90°.
(3)试判断图③中AE与DE的数量关系，并加以证明．
(4)图②中的五棱柱盒子可按图④所示的示意图，将矩形纸板剪切折合而成，那么这个矩形纸板的长和宽至少各为多少厘米？请直接写出结果(图中实线表示剪切线，虚线表示折痕．纸板厚度及剪切接缝处损耗忽略不计)．
解：(1)如图①所示．
(2)设矩形纸板的宽为x cm，则长为2x cm.
由题意，得4(x－2×4)(2x－2×4)＝616.
解得x1＝15，x2＝－3(舍去)．
2x＝2×15＝30.
所以矩形纸板的长为30 cm，宽为15 cm.
(3)AE＝DE.证明如下：
如图③，延长EA，ED分别交直线BC于点M，N.
∵∠ABC＝∠BCD＝120°，
∴∠ABM＝∠DCN＝60°.
∵∠EAB＝∠EDC＝90°，∴∠M＝∠N＝30°.
∴EM＝EN.(共19张PPT)
动向一　数学与传统文化
一、数与代数
1．《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿＝1万×1万，1兆＝1万×1万×1亿．则1兆等于(　 　)
A．108 B．1012
C．1016 D．1024
C
2．(2025·连云港)《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”(凫：野鸭．所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇？”)如果设经过x天能够相遇，根据题意，得(　 　)
A
C
4．(2025·浙江)【文化欣赏】我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方(a＋b)n展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式：
(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4.
【应用体验】
已知(x＋2)4＝x4＋mx3＋24x2＋32x＋16，则m的值为___.
8
二、几何
5．(2024·自贡)龚扇是自贡“小三绝”之一，为弘扬民族传统文化，某校手工兴趣小组将一个废弃的大纸杯侧面剪开直接当作扇面，制作了一个龚扇模型(如图)，扇形外侧两竹条AB，AC夹角为120°，AB长30 cm，扇面的BD边长为18 cm，则扇面面积为____________cm2(结果保留π)．
252π
C
8.如图，桔槔是一种原始的汲水工具，它是在一根竖立的架子上加上一根细长的杠杆，末端悬挂一重物，前端悬挂水桶．当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提升至所需处．若已知杠杆AB＝6 m，AO∶OB＝2∶1，支架OM⊥EF，OM＝3 m，AB可以绕着点O自由旋转，当点A旋转到如图所示位置时∠AOM＝45°，此时点B到水平地面EF的距离为_____________m(结果保留根号)．
9．《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形ABCD的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A′B′C′D′，若A′B′∶AB＝2∶1，则四边形A′B′C′D′的外接圆的周长为___________.
10．勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3.若正方形EFGH的边长为4，则S1＋S2＋S3＝______.
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11．(2024·江西)图①是世界第一“大碗”——景德镇昌南里文化艺术中心主体建筑，其造型灵感来自宋代湖田窑影青斗笠碗，寓意“万瓷之母”．如图②，“大碗”的主视图由“大碗”主体ABCD和矩形碗底BEFC组成，已知AD∥EF，AM，DN是太阳光线，AM⊥MN，DN⊥MN，点M，E，F，N在同一条直线上．经测量ME＝FN＝20.0 m，EF＝40.0 m，BE＝2.4 m，∠ABE＝152°.(结果精确到0.1 m)
(1)求“大碗”的口径AD的长；
(2)求“大碗”的高度AM的长．
(参考数据：sin 62°≈0.88，cos 62°≈0.47，tan 62°≈1.88)
解：(1)∵AM⊥MN，DN⊥MN，
∴∠AMN＝∠DNM＝90°.
∵AD∥MN，
∴∠DAM＝180°－∠AMN＝90°.
∴四边形AMND是矩形．
∴AD＝MN＝ME＋EF＋FN
＝20.0＋40.0＋20.0
＝80.0(m)．
答：“大碗”的口径AD的长为80.0 m.
(2)如图，延长CB交AM于点G.
由题意，得GM＝BE＝2.4 m，BG＝ME＝20.0 m，
∠AGB＝∠BGM＝∠EBG＝90°.
∵∠ABE＝152°，
∴∠ABG＝∠ABE－∠EBG＝62°.
在Rt△ABG中，AG＝BG·tan 62°≈20.0×1.88＝37.6(m)．
∴AM＝AG＋MG＝37.6＋2.4＝40.0(m)．
答：“大碗”的高度AM的长约为40.0 m.
解：设天头长为6x cm，地头长为4x cm，则左、右边的宽为x cm.
根据题意，得100＋10x＝4(27＋2x)．
解得x＝4.
∴6x＝24.
答：边的宽为4 cm，天头长为24 cm.
三、统计与概率
13．(2024·河南)豫剧是国家级非物质文化遗产，因其雅俗共赏，深受大众喜爱．正面印有豫剧经典剧目人物的三张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率为(　 　)
D
14．(2025·青岛)京剧以其独特的艺术魅力和深厚的文化底蕴闻名于世，京剧的角色有生、旦、净、丑等．现有4张不透明卡片，正面分别印有“生”“旦”“净”“丑”四种角色的卡通人物，卡片除正面图案外其余都相同．将这4张卡片背面朝上洗匀，先随机抽取一张，再从剩下的3张中随机抽取一张．利用画树状图或列表的方法表示所有可能出现的结果，并求抽取到的两张卡片中有“生”的概率．
解：画树状图如图．
由树状图可知一共有12种等可能的结果，其中抽取到的两张卡片中有“生”的结果有6种，(共21张PPT)
动向三　创新题型
一、选择题
1．在古代，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．当时有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，在粗细不同的绳子上打结(如图)，由细到粗(右细左粗)，满七进一，那么孩子已经出生了(　 　)
A．1 335天 B．516天
C．435天 D．54天
B
2．干支纪年是中国传统纪年方法．干支是天干和地支的总称，“甲、乙…”等十个符号叫天干，“子、丑…”等十二个符号叫地支，把干支(天干＋地支)顺序相配(甲子、乙丑、丙寅…)正好六十为一周期，周而复始，循环记录．有人总结出纪年算法的辅助表如下.
由上表很快算出1911年是辛亥年，1984年是甲子年，2000年是庚辰年，那么2025年是(　 　)
A．乙巳 B．丁酉
C．壬卯 D．庚子
十天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸
4 5 6 7 8 9 0 1 2 3
十二地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥
4 5 6 7 8 9 10 11 0 1 2 3
A
3．下列图形是黄金矩形的折叠过程：
第一步，如图①，在一张矩形纸片一端折出一个正方形，然后把纸片展平；
第二步，如图②，把正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平；
第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图③中所示的AD处；
第四步，如图④，展平纸片，折出矩形BCDE就是黄金矩形．
B
二、填空题
4．(2024·北京)联欢会有A，B，C，D四个节目需要彩排，所有演员到场后节目彩排开始．一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始．每个节目的演员人数和彩排时长(单位：min)如下：
节目 A B C D
演员人数 10 2 10 1
彩排时长 30 10 20 10
已知每位演员只参演一个节目．一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔(不考虑换场时间等其他因素)．若节目按“A－B－C－D”的先后顺序彩排，则节目D的演员的候场时间为______min；若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按_____________________的先后顺序彩排．
60
C－A－B－D
4
三、解答题
6．(2025·贵州)小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔(gāo)的古代汲水工具(如图①)，有一横杆固定于桔槔上O点，并可绕O点转动．在横杆A处连接一竹竿，在横杆B处固定300 N的物体，且OB＝1 m．若图中人物竖直向下施加的拉力为F，当改变点A与点O的距离l时，横杆始终处于水平状态，小星发现F与l有一定的关系，记录了拉力的大小F与l的变化，如表：
点A与点O的距离l/m 1 1.5 2 2.5 3
拉力的大小F/N 300 200 150 120 a
(1)表格中a的值是_________.
(2)小星通过分析表格数据发现，用函数可以刻画F与l之间的关系．在如图②所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象．
100
解：画出F与l的函数图象如图②所示．
(3)根据以上数据和图象判断，当OA的长增大时，拉力F是增大还是减小？请说明理由．
解：当OA的长增大时，拉力F减小．
理由如下：
∵F，l都是正数，
∴这条曲线是反比例函数的一支．
∵k＞0，∴在第一象限内，F随l的增大而减小，
即当OA的长增大时，拉力F减小．
7.(2024·盐城)发现问题：
小明买菠萝时发现，通常情况下，销售员都是先削去菠萝的皮，再斜着铲去菠萝的籽．
提出问题：
销售员斜着铲去菠萝的籽，除了方便操作，是否还蕴含着什么数学道理呢？
分析问题：
某菠萝可以近似看成圆柱体，若忽略籽的体积和铲去果肉的厚度与宽度，那么籽在侧面展开图上可以看成点，每个点表示不同的籽．该菠萝的籽在侧面展开图上呈交错规律排列，每行有n个籽，每列有k个籽，行上相邻两籽、列上相邻两籽的间距都为d(n，k均为正整数，n＞k≥3，d＞0)，如图①所示．
小明设计了如下三种铲籽方案．
方案1：图②是横向铲籽示意图，每行铲的路径长为________，共铲______行，则铲除全部籽的路径总长为__________________；
方案2：图③是纵向铲籽示意图，则铲除全部籽的路径总长为______________；
方案3：图④是销售员斜着铲籽示意图，写出该方案铲除全部籽的路径总长．
(n－1)d
2k
2(n－1)dk
2(k
－1)dn
解决问题：
在三个方案中，哪种方案铲籽路径总长最短？请写出比较过程，并对销售员的操作方法进行评价．
8.(2024·福建)在手工制作课上，老师提供了如图①所示的矩形卡纸ABCD，要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图②的方式裁剪(其中AE＝FB)，恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图③所示．
C
(3)今有三种不同型号的矩形卡纸，其规格、单价如表所示：
现以小明设计的纸盒展开图(图②)为基本样式，适当调整AE，EF的比例，制作棱长为10 cm的正方体礼品盒．如果要制作27个这样的礼品盒，请你合理选择上述卡纸(包括卡纸的型号及相应型号卡纸的张数)，并在卡纸上画出设计示意图(包括一张卡纸可制作几个礼品盒，其展开图在卡纸上的分布情况)，给出所用卡纸的总费用(填入表格).
卡纸型号 型号Ⅰ 型号Ⅱ 型号Ⅲ
规格(单位： cm) 30×40 20×80 80×80
单价(单位：元) 3 5 20
(要求：①同一型号的卡纸如果需要不止一张，只要在一张卡纸上画出设计方案；②没有用到的卡纸，不要在该型号的卡纸上作任何设计；③所用卡纸的数量及总费用直接填在表格上；④本题将综合考虑“利用卡纸的合理性”和“所用卡纸的总费用”给分，总费用最低的才能得满分)
卡纸型号 型号Ⅰ 型号Ⅱ 型号Ⅲ
需卡纸的数量(单位：张) ___ ___ ___
所用卡纸总费用(单位：元) ______
1
3
2
58
解：需要的卡纸如表所示．
型号Ⅰ卡纸，每张卡纸可制作1个正方体礼品盒，如图所示．
型号Ⅱ卡纸，每张卡纸可制作2个正方体礼品盒，如图所示．
型号Ⅲ卡纸，每张卡纸可制作10个正方体礼品盒，如图所示．

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