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(共26张PPT)
第二章　方程(组)与不等式(组)
第5讲　一次方程(组)及应用
课标要求
1．能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程；理解方程解的意义，经历估计方程解的过程．
2．掌握等式的基本性质；能解一元一次方程．
3．掌握消元法，能解二元一次方程组．
4．*能解简单的三元一次方程组．
5．能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性.
知识点
1．等式的性质(5年1考)
(1)性质1：等式两边加(或减)同一个代数式，所得结果仍是等式．
若a＝b，则a±m＝b±m.
(2)性质2：等式两边乘同一个数(或除以同一个不为0的数)，所得结果仍是等式．
若a＝b，则am＝bm；
对点训练
1．下列等式的变形中，正确的是(　 　)
A．若3＝x－1，则3－1＝x
B．若x＝y，则3x＝3y
B
2．一元一次方程(5年1考)
(1)一元一次方程的有关概念：
①只含有___个未知数，并且未知数的最高次数是___的整式方程，叫作一元一次方程．其一般形式是ax＋b＝0(a，b为常数，且a≠0)．
②使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解．
(2)解一元一次方程的步骤：
①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1.
一
1
2．(1)下列各式中，是一元一次方程的是(　 　)
A．x＋2y＝1 B．x＋3
C．2x＋3＝2　　　 D．x2－3x＝－2
(2)关于x的一元一次方程2x＋m＝5的解为 x＝1，则m的值为(　 　)
A．3 B．－3
C．7 D．－7
C
A
x＝10
3．二元一次方程(组)
(1)二元一次方程：含有___个未知数，并且所含未知数的项的次数都是___的方程，叫作二元一次方程．
(2)二元一次方程组：共含有___个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫作二元一次方程组．
(3)二元一次方程组的解法：
消元是解二元一次方程组的基本思路，方法有______消元法和______消元法两种．
两
1
两
代入
加减
B
1
B
4．一次方程(组)的应用(5年5考)
(1)解应用题的步骤：①审清题意；②找等量关系；③设未知数；④列方程；⑤解方程；⑥检验；⑦作答(包括单位)．
(2)解应用题常见的题型：
①工程问题：工作总量＝工作效率×工作时间．
②利息问题：利息＝本金×利率×期数；
本息和＝本金＋利息．
③行程问题：路程＝速度×时间．其中，
相遇问题：s甲＋s乙＝s总．
同地异时追及问题：前者走的路程＝追者走的路程．
异地同时追及问题：前者走的路程＋两地间的距离＝追者走的路程．
④利润问题：利润＝售价－进价；
⑤增长率问题：增长后的量＝基础量×(1＋增长率)．
D
(2)(2024·威海)《九章算术》是我国古老的数学经典著作，书中提到这样一道题目：以绳测井．若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？题目大意是：用绳子测量水井的深度．如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多4尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺．绳长、井深各是多少尺？若设绳长x尺，井深y尺，则符合题意的方程组是(　 　)
C
典型例题
考查点　一次方程(组)的解法及应用
解：6x－3(x－2)＝6＋2(2x－1)．
6x－3x＋6＝6＋4x－2.
6x－3x－4x＝6－6－2.
－x＝－2.
x＝2.
解：3(x＋1)－(2x－3)＝6.
3x＋3－2x＋3＝6.
3x－2x＝6－3－3.
x＝0.
3．《九章算术》是我国古代的数学专著，几名学生要凑钱购买1本．若每人出8元，则多了3元；若每人出7元，则少了4元．问学生人数和该书单价各是多少？
解：设学生人数是x人，该书单价是y元．
答：学生人数是7人，该书单价是53元．
3．(2024·吉林)钢琴素有“乐器之王”的美称，键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个，白色琴键比黑色琴键多16个．求白色琴键和黑色琴键的个数．
解：设黑色琴键x个，则白色琴键(x＋16)个．
由题意，得x＋(x＋16)＝88.
解得x＝36.
36＋16＝52(个)．
答：白色琴键有52个，黑色琴键有36个．
列方程(组)解应用题的实质是把实际问题转化为数学问题，而列方程(组)的关键是找等量关系．在找等量关系时，要注意文字描述和数学语言的互化，如“多”“少”“增加了(到)”“多少倍”……注意从语言叙述中找等量关系．另外，注意单位换算为统一单位．
答题规范
示例：(RJ七上P133例1)
(6分)某车间有22名工人，每人每天可以生产1 200个螺栓或2 000个螺母.1个螺栓需要配2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？
解：设应安排x名工人生产螺栓，(22－x)名工人生产螺母. ………………………………1分
根据题意，得2 000(22－x)＝2×1 200x.
………………………………… 3分
解得x＝10.
22－x＝12. ………………………………5分
答：应安排10名工人生产螺栓，12名工人生产螺母. …………………………………6分
1．(2025·贵州)已知x＝2是关于x的方程x＋m＝7的解，则m的值为
(　 　)
A．3 B．4
C．5 D．6
C
2．(2024·贵州)小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边分别放入“■”“●”“▲”三种物体，如图所示，天平都保持平衡．若设“■”与“●”的质量分别为x，y，则下列关系式正确的是
(　 　)
A．x＝y B．x＝2y
C．x＝4y D．x＝5y
C
3．(2023·贵州)《孙子算经》中有这样一道题，大意为：今有100头鹿，每户分一头鹿后，还有剩余，将剩下的鹿按每3户共分一头，恰好分完，问：有多少户人家？若设有x户人家，则下列方程正确的是(　 　)
C
5
5．(2024·贵州)在元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了一道题，大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，则快马追上慢马需要的天数是______.
20
x＋2y＝32
A(共30张PPT)
第二章　方程(组)与不等式(组)
第8讲　一元一次不等式(组)及应用
课标要求
1．结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质．
2．能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集；会用数轴确定由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集．
3．能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的问题．
知识点
1．不等式的基本性质
(1)不等式的基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)__________ ______________，不等号的方向______.
如果a＞b，那么a±c___b±C．
(2)不等式的基本性质2：不等式的两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向______.
同一个数
(或式子)
不变
＞
不变
＞
＞
(3)不等式的基本性质3：不等式的两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向______.
改变
＜
＜
对点训练
1．(1)若aA．a＋3>b＋3 B．a－2>b－2
C．－a<－b D．2a<2b
(2)(2024·苏州)若a>b－1，则下列结论一定正确的是(　 　)
A．a＋1C．a>b D．a＋1>b
D
D
D
2．一元一次不等式(组)的解法(5年3考)
(1)解一元一次不等式的步骤：①去分母；
②_________；③______；
④_______________；⑤未知数的系数化为1.
(2)解一元一次不等式组的步骤：①分别求出不等式组中_________的解集；②找出它们的____________，就得到不等式组的解集．
注意：①未知数的系数化为1时，如果不等式两边乘或除以负数，不等号的方向要改变．②用数轴表示不等式(组)的解集要注意：大于向右画，小于向左画；要注意空心圆圈与实心点的区别．
去括号
移项
合并同类项
各不等式
公共部分
2．(1)(2025·铜仁三模)已知某一元一次不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则此不等式是(　 　)
A．x－2<0 B．x－2≤0
C．x－2≥0 D．x－2>0
C
C
3．一元一次不等式的应用(5年2考)
(1)步骤：审题(找出不等关系)；设未知数；列不等式；解不等式；检验并写出答案．
(2)注意关键词：应紧紧抓住题目中“最大”“最小”“至多”“至少”“不大于”“不小于”“不超过”“大于”“小于”等关键词，把不等关系用不等式表示出来．
3．(1)某次知识竞赛共有20题，答对一题得10分，答错或不答扣5分，小华得分要超过120分，他至少要答对的题的个数为(　 　)
A．13 B．14
C．15 D．16
(2)某商品进价4元，标价5元出售，商家准备打折销售，但其利润率不能少于10%，则最多可打_________折.
C
8.8
典型例题
考查点　一元一次不等式(组)的解法及应用
1．(2024·湖北)不等式x＋1≥2的解集在数轴上表示为(　 　)
A
A
由①，得x＞1.
由②，得x＜2.
∴不等式组的解集为1＜x＜2.
3．(2025·贵州)贵州省江口县被誉为“中国抹茶之都”，这里拥有全球最大的抹茶单体生产车间．为满足市场需求，某抹茶车间准备安装A，B两种型号生产线．已知同时开启一条A型和一条B型生产线每月可以生产抹茶共200 t，同时开启一条A型和两条B型生产线每月可以生产抹茶共280 t.
(1)求一条A型和一条B型生产线每月各生产抹茶多少吨？
(2)为扩大生产规模，若另一车间准备同时安装相同型号的A，B两种生产线共5条，该车间接到一个订单，要求4个月生产抹茶不少于2 000 t，至少需要安装多少条A型生产线？
解：(1)设一条A型生产线每月生产抹茶x t，一条B型生产线每月生产抹茶y t.
答：一条A型生产线每月生产抹茶120 t，一条B型生产线每月生产抹茶80 t.
(2)设需要安装m条A型生产线，则安装(5－m)条B型生产线．
根据题意，得4×120m＋4×80(5－m)≥2 000.
答：至少需要安装3条A型生产线．
3.(2024·湖南)某村决定种植脐橙和黄金贡柚，助推村民增收致富，已知购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元；购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元．
(1)求脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价；
(2)该村计划购买脐橙树苗和黄金贡柚树苗共1 000棵，总费用不超过38 000元，问最多可以购买脐橙树苗多少棵？
答：脐橙树苗的单价为50元/棵，黄金贡柚树苗的单价为30元/棵．
(2)设购买脐橙树苗a棵，则购买黄金贡柚树苗(1 000－a)棵．
根据题意，得50a＋30(1 000－a)≤38 000.
解得a≤400.
答：最多可以购买脐橙树苗400棵．
不等式组的解集取法口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解集．
1．(2024·贵州)不等式x＜1的解集在数轴上表示正确的是(　 　)
A B C D
C
2．(2025·广西)有两个容量足够大的玻璃杯，分别装有a克水、b克水，a>b，都加入c克水后，下列式子能反映此时两个玻璃杯中水质量的大小关系的是(　 　)
A．a＋c>b＋c B．a＋c＝b＋c
C．a＋cA
4．某班开展数学探究与实践活动，现将全班分为若干小组，若每小组5人，则剩下10人；若每小组7人，则有一个小组超过3人但不足7 人，设有x个小组，可列不等式组为_______________________.
A
6．(2023·贵州)已知A＝a－1，B＝－a＋3.若A＞B，求a的取值范围．
解：由题意，得a－1＞－a＋3.解得a＞2.
B
7.(2024·贵州)为增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，某校组织学生参加劳动实践．经学校与劳动基地联系，计划组织学生参加种植甲、乙两种作物．如果种植3亩甲作物和2亩乙作物需要27名学生，种植2亩甲作物和2亩乙作物需要22名学生．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要多少名学生？
(2)种植甲、乙两种作物共10亩，所需学生人数不超过55人，至少种植甲作物多少亩？
解：(1)设种植1亩甲作物需要x名学生，种植1亩乙作物需要y名学生．
答：种植1亩甲作物需要5名学生，种植1亩乙作物需要6名学生．
(2)设种植甲作物a亩，则种植乙作物(10－a)亩，根据题意，得5a＋6(10－a)≤55.解得a≥5.
答：至少种植甲作物5亩．
4(共30张PPT)
第二章　方程(组)与不等式(组)
第7讲　一元二次方程及应用
课标要求
1.能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程；理解方程解的意义，经历估计方程解的过程．
2.理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程．
3.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等．
4.了解一元二次方程的根与系数的关系．
5.能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性.
知识点
1. 一元二次方程
(1)定义：只含有___个未知数，并且未知数的最高次数是___的整式方程，叫作一元二次方程．
(2)一般形式：______________________，其中______叫作二次项，______叫作一次项，___叫作常数项；二次项的系数是___，一次项的系数是___.
一
2
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
ax2
bx
c
a
b
(2)若x＝1是方程x2－2x＋a＝0的根，则a＝___.
A
1
2．一元二次方程的解法(5年3考)
(1)直接开平方法：若x2＝a(a≥0)，则x＝_________.
(3)公式法：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式为x＝____________ (b2－4ac≥0)．
(4)因式分解法：①将方程的右边化为___；②将方程的左边化成两个一次因式的___；③令每个因式都等于___，得到两个一元一次方程，再解这两个一元一次方程．
积
0
0
2．(1)(2025·贵州)一元二次方程x2－1＝0的根是____________.
(2)用配方法解一元二次方程x2－6x＋8＝0，配方后得到的方程是
(　 　)
A．(x＋6)2＝28 B．(x－6)2＝28
C．(x＋3)2＝1 D．(x－3)2＝1
x＝±1
D
(3)方程x2－2x－24＝0的根是(　 　)
A．x1＝6，x2＝4 B．x1＝6，x2＝－4
C．x1＝－6，x2＝4 D．x1＝－6，x2＝－4
B
3．根的判别式(5年1考)
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式为b2－4ac．
①b2－4ac＞0 一元二次方程有_______________的实数根；
②b2－4ac＝0 一元二次方程有____________的实数根；
③b2－4ac＜0 一元二次方程______实数根；
④b2－4ac≥0 一元二次方程有实数根．
两个不相等
两个相等
没有
3．(2024·上海)以下一元二次方程有两个相等实数根的是(　 　)
A．x2－6x＝0
B．x2－9＝0
C．x2－6x＋6＝0
D．x2－6x＋9＝0
D
4．若x1，x2是方程x2－6x－7＝0的两个根，则(　 　)
A．x1＋x2＝6 B．x1＋x2＝－6
A
5．一元二次方程的应用
(2)增长率问题：设a为原来的量，n为增长(下降)次数，b为增长(下降)后的量，当x为平均增长率时，则a(1＋x)n＝b；当x为平均下降率时，则a(1－x)n＝b.
(3)销售利润问题：单件利润＝售价－成本；
商品的总利润＝单件利润×销售件数．
5．(1)(2024·眉山)眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670 kg增长到了2023年的780 kg，该村水稻亩产量年平均增长率为x，则可列方程为(　 　)
A．670×(1＋2x)＝780 B．670×(1＋x)2＝780
C．670×(1＋x2)＝780 D．670×(1＋x)＝780
B
(2)如图，在长为100 m，宽为50 m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是3 600 m2，则小路的宽是(　 　)
A．5 m 　 B．70 m
C．5 m或70 m 　 D．10 m
A
典型例题
考查点　一元二次方程及应用
1．解方程：x2－3x＋2＝0.
解：(x－1)(x－2)＝0.
x－1＝0或x－2＝0.
x1＝1，x2＝2.
变式训练
1．解方程：2x2－2x－1＝0.
解：a＝2，b＝－2，c＝1.
∵Δ＝(－2)2－4×2×(－1)＝12>0，
2．(2024·广安)若关于x的一元二次方程(m＋1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是(　 　)
A．m<0且m≠－1 B．m≥0
C．m≤0且m≠－1 D．m<0
A
2．关于x的一元二次方程x2＋2ax＋a2－1＝0的根的情况是(　 　)
A．没有实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．实数根的个数与实数a的取值有关
C
3．为加快新旧动能转换，提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销，使生产的电子产品能够及时售出．根据市场调查：这种电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低1元，每天将可多售出5个．已知每个电子产品的固定成本为100元，问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利32 000元？
解：设降价后的销售单价为x元，则降价后每天可售出[300＋5(200－x)]个．
依题意，得(x－100)[300＋5(200－x)]＝32 000.
整理，得x2－360x＋32 400＝0.
解得x1＝x2＝180.
180＜200，符合题意．
答：这种电子产品降价后的销售单价为180元时，公司每天可获利32 000元．
3．端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：
小王：该水果的进价是每千克22元；
小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160 kg；若每千克每降低3元，每天的销售量将增加120 kg.
根据他们的对话，解决下面所给问题：
超市每天要获得销售利润3 640元，又要尽可能让顾客得到实惠，这种水果的销售价应为每千克多少元？
解：设每千克降低x元，超市每天可获得销售利润3 640元．
整理，得x2－12x＋27＝0.
解得x1＝3，x2＝9.
∵要尽可能让顾客得到实惠，
∴x＝9.∴售价为38－9＝29(元)．
答：这种水果的销售价应为每千克29元．
答题规范
示例：(RJ九上P19探究1)
(6分)有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人．
……………………………………………1分
由题意，得1＋x＋x(1＋x)＝121. ………3分
解得x1＝10，x2＝－12(不合题意，舍去)．
答：每轮传染中平均一个人传染了10个人．
……………………………………………6分
1．(2024·贵州)一元二次方程x2－2x＝0的解是(　 　)
A．x1＝3，x2＝1 B．x1＝2，x2＝0
C．x1＝3，x2＝－2 D．x1＝－2，x2＝－1
B
A
3．(2025·辽宁)中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为x步，根据题意可列方程为(　 　)
A
4．已知关于x的方程x2＋mx－20＝0的一个根是－4，则它的另一个根是___.
5．(2023·贵州)若一元二次方程kx2－3x＋1＝0有两个相等的实数 根，则k的值是___.
5
6．(2024·遂宁)已知关于x的一元二次方程x2－(m＋2)x＋m－1＝0.
(1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
证明：Δ＝[－(m＋2)]2－4×1×(m－1)＝m2＋8.
∵无论m取何值，m2＋8>0恒成立，
∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根．
解：∵x1，x2是方程x2－(m＋2)x＋m－1＝0的两个实数根，
∴x1＋x2＝m＋2，x1x2＝m－1.
解得m1＝1，m2＝－2.
【运算能力、推理能力】已知m，n是一元二次方程x2＋2x－5＝0的两个根，则m2＋mn＋2m的值为(　 　)
A．0 B．－10
C．3 D．10
A(共23张PPT)
第二章　方程(组)与不等式(组)
第6讲　分式方程及应用
课标要求
1．能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程；理解方程解的意义，经历估计方程解的过程．
2．能解可化为一元一次方程的分式方程．
3．能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性.
知识点
1．分式方程的概念及解法
(1)分式方程：分母中含有_________的方程叫作分式方程．
(2)分式方程的解法：
①去分母，在方程的两边同乘最简公分母，约去分母，化成整式方程；
未知数
②解这个整式方程；
③检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解，我们称它为原分式方程的增根，原分式方程无解．
对点训练
B
C
－1
2．分式方程的应用(5年2考)
分式方程的应用题与一元一次方程的应用题类似，不同的是要注意检验：
①检验所求的解是不是所列方程的解；
②检验所求的解是否符合题意．
2．(2024·临夏州)端午节期间，某商家推出“优惠酬宾”活动，决定每袋粽子降价2元销售．细心的小夏发现，降价后用240元可以比降价前多购买10袋，求每袋粽子的原价是多少元．设每袋粽子的原价是x元，所得方程正确的是(　 　)
C
典型例题
考查点　分式方程的解法及应用
解：方程两边乘(x－2)，得1＋2(x－2)＝－(1－x)．
解得x＝2.
经检验，x＝2是原分式方程的增根．
∴原分式方程无解．
2．(2022·贵阳)国发(2022)2号文发布后，贵州迎来了高质量快速发展，货运量持续增加．某物流公司有两种货车，已知每辆大货车的货运量比每辆小货车的货运量多4 t，且用大货车运送80 t货物所需车辆数与小货车运送60 t货物所需车辆数相同．每辆大、小货车货运量分别是多少吨？
答：每辆大货车的货运量是16 t，每辆小货车的货运量是12 t.
2.(2025·山西)我国自主研发的HGCZ－2000型快速换轨车，采用先进的自动化技术，能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务．一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的千米数是一个工作队人工更换钢轨的2倍，它更换116 km钢轨比一个工作队人工更换80 km钢轨所用时间少22 h．求一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨多少千米．
答：一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨2 km.
答题规范

D
2．贵州黄果树瀑布景区为提升游客体验，决定对景区内的步行道进行改造，景区内需要改造的步行道共长10 km，为了不影响游客在景区的体验，需要尽快完成步行道改造，景区实际每天多安排了5个工人进行工作，实际每天改造的步行道比原计划多500 m，结果提前6天完成了改造，设原计划每天改造x km，由题意列方程，正确的是(　 　)
C
A
7
解：去分母，得2＋x(x＋1)＝x2－1.
去括号，得2＋x2＋x＝x2－1.
移项、合并同类项，得x＝－3.
检验：当x＝－3时，x2－1≠0.
∴x＝－3是原分式方程的解．
6．(2023·贵州)为推动乡村振兴，政府大力扶持小型企业．根据市场需求，某小型企业为加快生产速度，需要更新生产设备，更新设备后生产效率比更新前提高了25%，设更新设备前每天生产x件产品．解答下列问题：
(1)更新设备后每天生产___________件产品(用含x的式子表示)；
(2)更新设备前生产5 000件产品比更新设备后生产6 000件产品多用2天，求更新设备后每天生产多少件产品．
1.25x
解得x＝100.
经检验，x＝100是所列分式方程的解，且符合题意．
1．25×100＝125(件)．
答：更新设备后每天生产125件产品．
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