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北师大（2024）版数学七年级上册
第二章 有理数及其运算
2.2.2 有理数加法的运算律
（1）－17；－17。　（2）－3；－3。　（3）－9；－9。　（4）－5；－5
第 1 页：封面
标题：2.2.2 有理数加法的运算律
副标题：北师大版七年级上册数学
配图：加法交换律（a+b=b+a）与结合律（(a+b)+c=a+(b+c)）的直观示意图 + 简便运算场景
底部标注：授课教师 / 日期
第 2 页：学习目标
理解并掌握有理数加法的交换律和结合律，知道运算律在有理数范围内仍然成立
能熟练运用加法运算律简化有理数的加法运算（如凑整、凑零）
经历 “观察 — 猜想 — 验证 — 应用” 的探究过程，培养归纳推理能力
感受运算律的实用价值，体会数学的简洁美
第 3 页：情境导入 —— 从 “整数加法” 到 “有理数加法”
左侧：回顾衔接（配小学知识图）
小学阶段：整数、小数加法的交换律（a+b=b+a）和结合律（(a+b)+c=a+(b+c)）
示例：3+5=5+3，(2+7)+3=2+(7+3)
右侧：问题链引导
这些运算律在有理数加法中还成立吗？（比如负数参与加法）
用运算律能简化有理数加法吗？
如何验证有理数加法运算律的正确性？
结语：整数加法的 “简便法宝”—— 运算律，在有理数加法中是否依然管用？今天我们就来验证并应用它！
第 4 页：新知探究 1—— 加法交换律（a+b = b+a）
上方：特例验证（分类型举例，配计算过程）
正数 + 正数：3 + 5 = 8，5 + 3 = 8 → 3 + 5 = 5 + 3
负数 + 负数：(-2) + (-4) = -6，(-4) + (-2) = -6 → (-2) + (-4) = (-4) + (-2)
正数 + 负数：(+6) + (-3) = 3，(-3) + (+6) = 3 → (+6) + (-3) = (-3) + (+6)
含 0 的加法：(-5) + 0 = -5，0 + (-5) = -5 → (-5) + 0 = 0 + (-5)
中间：规律总结（重点标注）
有理数加法交换律：两个有理数相加，交换加数的位置，和不变
字母表示：a + b = b + a（a、b 为任意有理数）
下方：思考与验证
提问：为什么交换律对有理数加法仍然成立？（数轴解释：加法是 “位置移动”，先移 a 再移 b 与先移 b 再移 a，最终位置相同）
小练习：验证 (-1.2) + (+3.5) 与 (+3.5) + (-1.2) 是否相等（答案：均为 2.3）
第 5 页：新知探究 2—— 加法结合律（(a+b)+c = a+(b+c)）
上方：特例验证（分类型举例，配计算过程）
同号结合：[(+2) + (+5)] + (+3) = 7 + 3 = 10；(+2) + [(+5) + (+3)] = 2 + 8 = 10 → 结果相等
异号结合：[(-4) + (+7)] + (-3) = 3 + (-3) = 0；(-4) + [(+7) + (-3)] = -4 + 4 = 0 → 结果相等
混合结合：[(+1) + (-2)] + (+4) = (-1) + 4 = 3；(+1) + [(-2) + (+4)] = 1 + 2 = 3 → 结果相等
中间：规律总结（重点标注）
有理数加法结合律：三个有理数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变
字母表示：(a + b) + c = a + (b + c)（a、b、c 为任意有理数）
下方：数轴辅助理解
示例：[(+2) + (-5)] + (+4) 的数轴过程：先右移 2→左移 5→右移 4；与 (+2) + [(-5) + (+4)]：右移 2→（左移 5 再右移 4），最终均停在 + 1 处，验证和不变
第 6 页：核心应用 1—— 运算律的 “简化功能”（凑整、凑零）
标题：运算律帮你 “巧算” 有理数加法！
核心技巧（配示例演示）
凑零法：将互为相反数的两数结合（和为 0）
示例：(-3) + (+5) + (+3) = [(-3) + (+3)] + (+5) = 0 + 5 = 5（利用交换律和结合律）
口诀：相反数，先结合，和为零，省步骤
凑整法：将和为整数的两数结合（简化计算）
示例：(+2.8) + (-3.5) + (+6.2) = [(+2.8) + (+6.2)] + (-3.5) = 9 + (-3.5) = 5.5
口诀：能凑整，先凑整，算得快，正确率高
同号结合法：将正数、负数分别结合（减少符号干扰）
示例：(+4) + (-7) + (-3) + (+6) = [(+4) + (+6)] + [(-7) + (-3)] = 10 + (-10) = 0
口诀：同号数，放一起，先加后合，少出错
第 7 页：例题解析 —— 多步骤巧算示范
标题：分步巧算，清晰易懂！
例题 1：计算 (-12) + (+11) + (-8) + (-7) + (+39) + (+7)
步骤 1：观察数据，找凑零、凑整对象（-7 和 + 7 互为相反数，-12-8=-20，+11+39=50）
步骤 2：运用交换律和结合律重组算式：
[(-12) + (-8)] + [(+11) + (+39)] + [(-7) + (+7)]
步骤 3：分步计算：
(-20) + 50 + 0 = 30
结果：30
例题 2：计算 (+3/4) + (-2/3) + (+1/4) + (-1/3)
步骤 1：分数凑整（3/4+1/4=1，-2/3-1/3=-1）
步骤 2：重组算式：[(+3/4) + (+1/4)] + [(-2/3) + (-1/3)]
步骤 3：计算：1 + (-1) = 0
结果：0
方法总结：先观察→找特征（凑零、凑整、同号）→ 重组算式→ 分步计算
第 8 页：核心应用 2—— 实际问题中的巧算
标题：运算律解决生活问题，高效快捷！
例题解析（配情境图）
行程问题：小明一周内的跑步距离（向东为正，单位：千米）：+3.5、-2.8、+4.2、-3.2、+2.8、-4.5、+1.5，求小明一周的总跑步距离（路程和）
解答：将互为相反数 / 凑整的结合：
(+3.5) + [(-2.8) + (+2.8)] + [(+4.2) + (-3.2)] + (-4.5) + (+1.5)
= 3.5 + 0 + 1 + (-3) = 1.5（千米）
答：总跑步距离为 1.5 千米
库存问题：某超市一周内某种商品的库存变化（进货为正，单位：件）：+120、-30、-50、+80、-20、-60、+100，求周末库存较周一的变化量
解答：同号结合：
[(+120) + (+80) + (+100)] + [(-30) + (-50) + (-20) + (-60)]
= 300 + (-160) = 140（件）
答：库存增加 140 件
第 9 页：易错辨析 —— 运算律应用常见错误
标题：巧算别 “巧错”，这些错误要避开！
分题展示（错误示例 + 纠正 + 理由）
错误 1：重组算式时漏带符号（例：(-5) + (+3) + (-2) = -5 + 3 + 2）
纠正：(-5) + (+3) + (-2) = (-5) + (+3) + (-2) = [(-5) + (-2)] + (+3) = -4
理由：每个数的符号是自身的一部分，重组时必须 “数随符号走”
错误 2：结合时破坏运算律（例：(+4) + (-7) + (+6) = 4 + 7 + 6 - 7）
纠正：(+4) + (-7) + (+6) = [(+4) + (+6)] + (-7) = 10 - 7 = 3
理由：结合时要遵循 “和不变” 原则，不能随意改变符号
错误 3：凑整时忽略符号（例：(-2.5) + (+3.6) + (+2.5) = (-2.5 + 2.5) + (-3.6)）
纠正：(-2.5) + (+3.6) + (+2.5) = [(-2.5) + (+2.5)] + (+3.6) = 3.6
理由：凑零时要注意加数的原始符号，不能随意改变
第 10 页：互动练习 1—— 基础巧算题
用运算律计算下列各题：
(+5) + (-6) + (+4) + (-3) = ________（提示：凑整 / 同号结合）
(-1.3) + (+2.1) + (+1.3) + (-0.1) = ________（提示：凑零）
(+3/7) + (-2/5) + (+4/7) + (-3/5) = ________（提示：分数凑整）
填空题：
运用加法交换律：(-8) + (+11) = ________ + ________
运用加法结合律：[(-4) + (+7)] + (-5) = (-4) + [________ + ________]
第 11 页：互动练习 2—— 提高题与应用题
巧算题（复杂混合）：
(-23) + (+58) + (-17) + (+42) + (-10) = ________（答案：50）
(+1/2) + (-1/3) + (+1/4) + (-1/6) = ________（答案：1/4）
应用题：
问题：某一天的气温变化记录如下（单位：℃）：-2（早晨）、+3（中午）、-1（下午）、+4（傍晚）、-5（夜间），求夜间气温与早晨气温的差值（夜间气温 - 早晨气温）
解答：先求夜间气温：(-2) + (+3) + (-1) + (+4) + (-5) = [(-2) + (-1) + (-5)] + [(+3) + (+4)] = (-8) + 7 = -1（℃）
差值：-1 - (-2) = 1（℃）→ 答：差值为 1℃
第 12 页：实践活动 ——“巧算大比拼”
活动准备：每组发放 5 道有理数加法混合题（含多个加数，可巧算）、答题纸
活动要求：
小组合作：用加法运算律巧算题目，记录解题步骤（重点标注运用的运算律）
比拼规则：在规定时间内完成，评选 “最快小组”“最准小组”“最巧方法小组”
展示交流：获胜小组分享解题思路，说明如何运用运算律简化计算
活动目的：
熟练运用加法运算律，提高计算速度和准确率
培养小组合作能力和逻辑表达能力
小贴士：先观察数据特征，再选择合适的运算律，避免盲目计算
第 13 页：课堂小结
核心知识：
加法交换律：a + b = b + a（交换加数位置，和不变）
加法结合律：(a + b) + c = a + (b + c)（改变结合顺序，和不变）
适用范围：所有有理数（正数、负数、0）
关键技能：
运用运算律巧算（凑零、凑整、同号结合）
解决实际问题中的加法运算
思想方法：
归纳推理思想（从特例验证到一般规律）
简化思想（化繁为简，优化计算过程）
数形结合思想（数轴验证运算律合理性）
第 14 页：作业布置
基础作业：
教材习题：用运算律计算下列各题：
① (-7) + (+10) + (-11) + (-2) ② (+3.7) + (-2.1) + (-2.7) + (+1.1)
③ (-1/3) + (+2/5) + (+3/3) + (-1/5)
说明每道题运用了什么运算律
实践作业：
记录自己一周的零花钱收支（收入为正，支出为负），用运算律计算一周的总余额
拓展作业：
思考：多个有理数相加时，运算律可以反复使用吗？请举例说明
探究：如果加法算式中有括号，去掉括号后符号会变化吗？（为后续减法运算铺垫）
第 15 页：结束页
标语：加法运算律，简化运算好帮手；交换结合巧运用，有理数加法变轻松！
配图：有理数加法运算律思维导图（定义、字母表示、应用技巧、实例串联）
底部标注：感谢观看！
计算下列各题（直接写结果）：
（1）（－8）＋（－9），（－9）＋（－8）；
（2）4＋（－7），（－7）＋4；
（3）[2＋（－3）]＋（－8），2＋[（－3）＋（－8）]；
（4）[10＋（－10）]＋（－5），10＋[（－10）＋（－5）]。
请分别用文字表述和字母表示加法交换律、加法结合律。
问题1
加法交换律
加法结合律
在有理数的加法中，三个数相加,先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。
在有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变。
a+b=b+a
(a+b)+c=a+(b+c)
(-8) + (-9) ＝
(-9) + (-8) ＝
-17
-17
-3
(2) 4 + (-7) ＝
(-7) + 4 ＝
-3
(3) [2 + (-3)]+ (-8)＝　　　　
2+[(-3) + (-8)]＝
(4) [10 + (-10)]+ (-5)＝　　　
10 + [(-10) + (-5)]＝
-9
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-5
你发现了什么？
计算：
(-8) + (-9) ＝
(-9) + (-8) ＝
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-17
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(2) 4 + (-7) ＝
(-7) + 4 ＝
-3
两个数相加，交换加数的位置，和不变.
计算：
(3) [2 + (-3)]+ (-8)＝　　　　
2+[(-3) + (-8)]＝
(4) [10 + (-10)]+ (-5)＝　　　
10 + [(-10) + (-5)]＝
-9
-9
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三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.
计算并比较每组的两个算式的结果：
（1）（-8）+（-9）= （-9）+（-8）=
（2） 4 +（-7）= （-7） + 4 =
你发现了什么？
（3） [2+(-3)]+(-8)=　　　　2+[(-3)+(-8)]=
（4） [10+(-10)]+(-5)=　　　10+[(-10)+(-5)]=
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例1 计算:
（1）31+(-28)+28+69;
（2）(-64)+17+(-23)+68.
思考：有没有简便的方法？
（3）
（-2 ）+ 3 +（-3 ）+ 2 +（-1 ）+ 1
（1）解：原式=（31+69）+[（-28）+28]
（2） 解：原式=[（-64）+（-23）]+（17+68）
（加法交换律和结合律）
=100+0
=100;
（加法交换律和结合律）
=（-87）+85
（一个数同0相加，仍得这个数）
=-2.
（异号相加法则）
解：
（3）原式=
=
=
[（-2 ）+（-3 ）]+（3 +2 ）+（-1 +1 ）
-6+6+（- ）
-
方法点拨
使用运算律通常有下列情形：
（1）互为相反数的加数放在一起相加（相反数结合法）；
（2）能凑整的加数放在一起相加（凑整法）；
（3）同号的加数放在一起相加（同号结合法） ；
（4）同分母或易于通分的分数放在一起相加（同分母结合法）.
探究新知
　计算(-12)+(+11)+(-8)+(-7)+(+39)+7.
解：原式=（+11）+（+39）+[（-12）+（-8）]+[（-7）+7]
=50-20+0
=30.
计算：（+45）+（-92）+35+（-8）.
（+45）+（-92）+35+（-8）
=45+35-（92+8）
=80-100
=-20
解:
1. [2024邢台任泽区期末]计算5＋(－3)＋7＋(－9)＋12＝(5＋
7＋12)＋(－3－9)是应用了(　C　)
A. 加法交换律
B. 加法结合律
C. 加法的交换律和结合律
D. 以上均不对
C
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2. [2024宿迁月考]下列变形中，运用加法运算律错误的是
(　C　)
A. (－8)＋(－9)＝(－9)＋(－8)
B. 4＋(－6)＋3＝(－6)＋4＋3
C. [5＋(－2)]＋4＝[5＋(－4)]＋2
D. ＋(－1)＋ ＝ ＋(－1)
C
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3. 找出绝对值大于3且不大于7的所有整数，它们的和
为 .
0　
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4. [母题·教材P37例2]计算：
(1)(－1.9)＋3.6＋(－10.1)＋1.4；
【解】原式＝[(－1.9)＋(－10.1)]＋(3.6＋1.4)
＝－12＋5
＝－7.
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(2)(－7)＋(＋11)＋(－13)＋9；
【解】原式＝[(－7)＋(－13)]＋(11＋9)
＝－20＋20
＝0.
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(3)33＋ ＋(－2.16)＋9 ＋ ；
【解】原式＝ ＋
＝43＋(－6)
＝37.
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(4)49 ＋(－78.21)＋27 ＋(－21.79).
【解】原式＝ ＋[(－78.21)＋(－21.79)]
＝77＋(－100)
＝－23.
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5. (1)把下列各数近似地表示在数轴上；
－1，－3.5，π，2.
【解】如图所示.
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(2)观察(1)中的数轴，则大于－3.5小于π的所有整数的和
为 .
【点拨】
大于－3.5小于π的所有整数为－3，－2，－1，
0，1，2，3，则大于－3.5小于π的所有整数的和为－3
＋(－2)＋(－1)＋0＋1＋2＋3＝0.
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6. [新考向·知识情境化·2024·西安莲湖区期中]某学校七年级
为庆祝国庆节，同时培养学生团结协作和凝心聚力的能
力，举行主题为“一根绳一条心”的拔河比赛活动.在七
(1)班和七(2)班两个班级的比赛过程中，标志红绳开始先
向七(2)班方向移动了0.3 m，接着向七(1)班方向移动了
0.4 m，僵持一会后，又向七(2)班方向移动了0.5 m，随
后又向七(1)班方向移动了0.9 m，又僵持一段时间后，标
志红绳又向七(1)班方向移动了1.1 m.若规定标志红绳从
开始中心位置向某班级方向移动1.5 m后该班级即可获
胜，根据上述数据变化能否判断哪个班级赢了？请通过计
算说明你的判断.
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【解】七(1)班赢了.
设向七(1)班方向移动为正，
－0.3＋(＋0.4)＋(－0.5)＋(＋0.9)＋(＋1.1)＝＋1.6(m).
因为1.6＞1.5，
所以七(1)班赢了.
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有理数的加法运算律
3.同分母的分数相加
1.互为相反数的两个数先相加
5.易于通分的数可先相加
4.符号相同的正数或负数相加
2.相加能得整数的数可先相加
使用运算律的情形
运算律
1.加法交换律： a+b=b+a
2.加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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