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北师大（2024）版数学七年级上册
第二章 有理数及其运算
2.2.5 有理数加减混合运算
在实际中的应用
某工厂一周计划每日生产自行车100辆，由于工人实行轮休，每日上班人数不一定相等，实际每日生产量与计划量相比情况如下表（以计划量为标准，增加的车辆数记为正数，减少的车辆数记为负数）：
（1）生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产多少辆？
（2）本周总生产量是多少？比原计划增加了还是减少了？增加或减少多少？
星期 一 二 三 四 五 六 日
增减/辆 －1 ＋3 －2 ＋4 ＋7 －5 －10
下表是某年某市汽油价格的调整情况：
注：正号表示比前一次上涨，负号表示比前一次下降.
时间 1月14日 3月25日 6月1日 6月30日 7月28日 9月1日 9月29日 11月9日
价格变化/(元/t) -140 +290 +400 +600 -220 +300 -190 +480
与上一年年底相比，11月9日汽油价格是上升了还是下降了 变化了多少元
第 1 页：封面
标题：2.2.5 有理数加减混合运算的实际应用
副标题：北师大版七年级上册数学
配图：四大应用场景拼图（行程轨迹、收支账单、库存统计、水位变化）+ 混合运算算式贯穿其中
底部标注：授课教师 / 日期
第 2 页：学习目标
能准确识别生活中可转化为有理数加减混合运算的实际问题（行程、收支、库存、水位等）
掌握 “实际问题→数学建模→运算求解→解释结果” 的完整解题流程
能灵活运用加减混合运算技巧（统一代数和、运算律巧算）解决复杂实际问题
感受数学与生活的紧密联系，提升用数学知识解决实际问题的能力
第 3 页：情境导入 —— 生活中的 “混合运算” 无处不在
左侧：生活场景展示（配真实图片）
导航行程：手机导航显示 “向前 500 米→左转 300 米→右转 200 米→掉头 100 米”
银行账单：工资到账 5800 元→房贷扣款 2300 元→生活费支出 1200 元→水电费扣款 350 元
仓库管理：进货 150 箱→出库 80 箱→退货 20 箱→补货 60 箱→出库 45 箱
气象监测：某日气温 “-2℃→上升 5℃→下降 3℃→上升 2℃→下降 4℃”
右侧：问题链引导
这些场景中，如何用正负数表示 “前进 / 后退”“收入 / 支出” 等相反意义的量？
如何将复杂的实际过程转化为加减混合算式？
运算结果的正负、大小分别代表什么实际意义？
结语：有理数加减混合运算不是抽象的算式，而是解决生活问题的 “工具”！今天我们就解锁它在四大核心场景中的应用技巧！
第 4 页：核心方法 —— 实际问题解题 “四步法”
标题：解实际问题，四步走稳！
四步流程（配示意图 + 关键词）
定方向：确定正、负意义（如 “向东为正，向西为负”“收入为正，支出为负”）
关键：明确 “0 基准”（如原点、初始状态）
列算式：将实际过程转化为加减混合算式（按顺序记录每一步变化）
关键：“变化量” 直接对应有理数（增加为正，减少为负）
巧计算：统一成代数和，运用运算律简化计算（同号结合、凑零凑整）
关键：优先简化运算，减少计算错误
释结果：结合实际意义解释运算结果（正负表方向 / 增减，数值表大小）
关键：结果必须回归实际场景，不能只写数字
口诀总结
实际问题不用慌，四步解题帮你忙；
先定正负明方向，再列算式把量装；
巧算简化省步骤，最后解释要周详！
第 5 页：场景应用 1—— 行程问题（含方位、距离）
标题：行程中的 “加减”：找准方向，算对距离
核心模型：最终位置 = 初始位置 + 各段位移的代数和（位移：方向 + 距离）
例题解析（配路线图）
例题：小亮从学校（记为原点 0）出发，周末骑行路线如下：
① 向东骑 3.5 千米（+3.5）→ ② 向西骑 2.8 千米（-2.8）→ ③ 向北骑 1.2 千米（+1.2）→ ④ 向西骑 0.5 千米（-0.5）
（1）小亮最终相对于学校的位置在哪里？（2）小亮全程骑行的总路程是多少？
解答：
（1）求最终位置（东西方向，北方向单独计算）：
东西方向：3.5 + (-2.8) + (-0.5) = 3.5 + (-3.3) = 0.2（千米）→ 正东方向 0.2 千米
北方向：1.2 千米 → 最终位置：学校正东 0.2 千米、正北 1.2 千米处
（2）求总路程（路程无方向，取绝对值相加）：
|3.5| + |-2.8| + |1.2| + |-0.5| = 3.5 + 2.8 + 1.2 + 0.5 = 8（千米）
答：（1）小亮在学校正东 0.2 千米、正北 1.2 千米处；（2）全程骑行 8 千米
易错提醒：区分 “位置”（有方向，代数和）和 “路程”（无方向，绝对值和）
第 6 页：场景应用 2—— 收支与财务问题
标题：财务中的 “加减”：算清收支，管好余额
核心模型：最终余额 = 初始金额 + 各笔收支的代数和（收入为正，支出为负）
例题解析（配账单表格）
例题：小明的微信钱包初始余额为 120 元，本周收支记录如下（单位：元）：
+60（稿费）、-25（买图书）、-18（奶茶）、+100（红包）、-45（交通费）、-30（文具）
（1）小明周末微信钱包的最终余额是多少？（2）小明本周总支出是多少元？
解答：
（1）最终余额：120 + 60 + (-25) + (-18) + 100 + (-45) + (-30)
= (120 + 60 + 100) + [(-25) + (-18) + (-45) + (-30)]
= 280 + (-118) = 162（元）
（2）总支出：| -25 | + | -18 | + | -45 | + | -30 | = 25 + 18 + 45 + 30 = 118（元）
答：（1）最终余额 162 元；（2）本周总支出 118 元
技巧：用表格整理收支数据，便于分类结合（收入归为正组，支出归为负组）
第 7 页：场景应用 3—— 库存与增减问题
标题：库存中的 “加减”：精准统计，合理补货
核心模型：最终库存 = 初始库存 + 各次变化的代数和（进货 / 增加为正，出库 / 减少为负）
例题解析（配库存变化折线图）
例题：某便利店方便面初始库存为 80 箱，本周库存变化如下（单位：箱）：
周一：+30（进货）、周二：-15（售出）、周三：-22（售出）、周四：+40（进货）、周五：-18（售出）、周六：-25（售出）、周日：+20（补货）
（1）周日闭店时，方便面库存有多少箱？（2）本周总进货量比总售出量多多少箱？
解答：
（1）最终库存：80 + 30 + (-15) + (-22) + 40 + (-18) + (-25) + 20
= (80 + 30 + 40 + 20) + [(-15) + (-22) + (-18) + (-25)]
= 170 + (-80) = 90（箱）
（2）总进货量：30 + 40 + 20 = 90（箱）；总售出量：15 + 22 + 18 + 25 = 80（箱）
差值：90 - 80 = 10（箱）
答：（1）周日库存 90 箱；（2）总进货量比总售出量多 10 箱
拓展：若库存低于 50 箱需补货，本周哪几天需要补货？（计算每日库存：周二 65、周三 43→需补货、周四 83、周五 65、周六 40→需补货、周日 60）
第 8 页：场景应用 4—— 温度与水位变化问题
标题：变化中的 “加减”：分析趋势，计算差值
核心模型：最终数值 = 初始数值 + 各次变化的代数和（上升 / 增加为正，下降 / 减少为负）
例题解析（配温度 / 水位变化表）
例题 1（温度）：某地周一凌晨气温为 - 4℃，一周气温变化如下（单位：℃）：
+3（周一中午）、-2（周一夜间）、+5（周二中午）、-1（周二夜间）、+2（周三中午）
求周三中午的气温是多少？本周最大温差（最高温与最低温的差）是多少？
例题 2（水位）：某河流初始水位为 12.5 米，汛期水位变化如下（单位：米）：
+0.3（第一天）、+0.5（第二天）、-0.2（第三天）、+0.4（第四天）、-0.1（第五天）
若警戒水位为 13.5 米，第五天水位是否超过警戒水位？超过或低于多少米？
解答：
周三中午气温：-4 + 3 + (-2) + 5 + (-1) + 2 = (-4 -2 -1) + (3 +5 +2) = -7 + 10 = 3（℃）
每日气温：周一凌晨 - 4、中午 - 1、夜间 - 3；周二中午 2、夜间 1；周三中午 3
最高温 3℃，最低温 - 4℃，温差：3 - (-4) = 7（℃）
答：周三中午气温 3℃，本周最大温差 7℃
解答：
第五天水位：12.5 + 0.3 + 0.5 + (-0.2) + 0.4 + (-0.1) = 12.5 + (0.3+0.5+0.4) + (-0.2-0.1) = 12.5 + 1.2 - 0.3 = 13.4（米）
与警戒水位差值：13.4 - 13.5 = -0.1（米）
答：第五天水位未超过警戒水位，低于警戒水位 0.1 米
第 9 页：综合应用 —— 复杂场景整合
标题：多场景融合：综合运用，解决复杂问题
解: -140+290+400+600-220+300-190+480=1520(元)
答:汽油价格上升了，上升了1520元.
例 某商店一星期中每天的收支情况如下(收入为正,支出为负,单位:元):+17.85,-2.72,0,-41.28,-17.85,10.86,89.14.
则该商店这星期合计收入或支出多少元
解: +17.85+(-2.72)+0+(-41.28)+(-17.85)+10.86+89.14
=[+17.85+(-17.85)]+[(-2.72)+(-41.28)]+(10.86+89.14)
=0+(-44)+100
=+56(元).
答:该商店这星期合计收入56元.
将有理数减法转化为加法时,要同时改变两个符号:
一是运算符号减号变为加号；
二是性质符号即减数变为它的相反数.
有理数的加减混合运算应结合运算律和运算顺序进行运算.
某一中学初一(2)学生的平均身高是160厘米，
(1)下表给出了该班6名同学的身高情况(单位:厘米),试完成下表.
姓名 小明 小彬 小丽 小亮 小颖 小山
身高 159 154 165
身高与平均身高的差值 -1 +2 0 +3
(2)谁最高 谁最矮
(3)最高与最矮的学生身高相差多少
162
160
-6
+5
163
165-154=11（厘米）.
小山最高,小亮最矮.
1. [情境题·娱乐活动·2024·广州越秀区期中]小明和小红在游
戏中规定：长方形表示加，圆形表示减，结果小者为胜，
列式计算，小明和小红谁为胜者？
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【解】小明：原式＝－4.5＋3.2－1.1＋1.4＝4.6－5.6＝
－1，
小红：原式＝－8＋2－(－6)＋(－7)＝－7，
所以小红的结果小，为胜者.
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2. [新考法·程序计算法]如图是计算流程图.
(1)输入3，并按如图所示的程序运算，则输出 ；
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(2)输入－1，并按如图所示的程序运算，求输出的结果.
【解】当输入－1时，运算过程为－1＋4－(－3)－5，
结果为1，1＜2；1＋4－(－3)－5＝3＞2，故输出的结
果为3.
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3. [新考法·阅读类比法]阅读下面的计算过程，体会“拆项
法”.
计算：－1 ＋ ＋ ＋ .
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解：原式＝[(－1)＋(－2)＋(－3)]＋
＝－6＋ ＝－7 .
启发应用，用上面的方法完成下列计算： ＋
＋2 － .
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【解】 ＋ ＋2 －
＝(－3－1＋2－2)＋
＝－4＋
＝－4 .
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4. [母题·教材P44习题T4·2024·淄博期中]小李上周末买
进股票1 000股，每股20元，下表为本周每日股票的涨
跌情况：
星期 一 二 三 四 五
每股涨跌(元) ＋4 ＋5 －1 －3 －6
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(1)周三收盘时，小李所持股票每股多少元？
【解】周三收盘时，小李所持股票每股为20＋(＋4)＋
(＋5)＋(－1)＝28(元).
(2)本周内，股票最高价出现在星期几？是多少元？
【解】本周内股票最高价出现在星期二，为20＋(＋4)
＋(＋5)＝29(元).
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【解】本周末股票每股为20＋(＋4)＋(＋5)＋(－1)＋(－
3)＋(－6)＝19(元)，
所以小李在本周末卖出全部股票，共收益19×
1 000×(1－1.5‰－3‰)－20×1000×(1＋1.5‰)＝
18 914.5－20 030＝－1 115.5(元)，
即小李亏本1 115.5元.
(3)已知小李买进股票时付了1.5‰的手续费，卖出时需付
成交额的1.5‰的手续费和3‰的交易税，若小李在本
周末卖出全部股票，他的收益如何？
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有理数加减混合运算的应用
会用数学去解决生活中的变化现象，对于几次连续的变化情况可以用有理数的加减法去解决.
借助表格折线统计图形象直观地反映事物的变化情况 .
很多实际问题可以转化为有理数的加减混合运算来解决,根据需要可以“人为”地规定零点.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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