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北师大（2024）版数学七年级上册
第二章 有理数及其运算
2.3.1 有理数的乘法
甲水库
乙水库
甲水库的水位每天升高3厘米，乙水库的水位每天下降3厘米，4天后甲、乙水库水位的总变化量各是多少
第 1 页：封面
标题：2.3.1 有理数的乘法
副标题：北师大版七年级上册数学
配图：数轴上乘法的直观演示（如 3×2=6 的位移叠加）+ 生活中乘法场景（分组计数、重复增减）
底部标注：授课教师 / 日期
第 2 页：学习目标
理解有理数乘法的意义，掌握有理数乘法法则（符号判定 + 绝对值运算）
能熟练进行有理数乘法运算（含正数 × 正数、正数 × 负数、负数 × 负数、含 0 的乘法）
会用数轴和实际情境解释乘法结果的合理性，深化数形结合思想
体会乘法与加法的内在联系，感受数学法则的系统性
第 3 页：情境导入 —— 从 “加法简便运算” 到 “有理数乘法”
左侧：生活实例（配示意图 + 加法算式）
重复增加：小明每天存 3 元（+3），4 天一共存多少元？（3+3+3+3=12）→ 可表示为 3×4=12
重复减少：小明每天花 3 元（-3），4 天一共花多少元？（-3+(-3)+(-3)+(-3)=-12）→ 可表示为 (-3)×4=-12
反向重复：小明每天存 3 元（+3），4 天前他比现在少多少元？（逆向思考：-（3+3+3+3）=-12）→ 可表示为 3×(-4)=-12
反向减少：小明每天花 3 元（-3），4 天前他比现在多多少元？（逆向思考：3+3+3+3=12）→ 可表示为 (-3)×(-4)=12
右侧：问题链引导
正数 × 正数、正数 × 负数、负数 × 负数的结果符号有什么规律？
有理数乘法的结果，符号和绝对值分别如何确定？
0 与有理数相乘的结果是什么？
结语：有理数乘法是 “相同有理数相加” 的简便运算，今天我们就通过特例探究，解锁它的统一法则！
第 4 页：新知探究 1—— 有理数乘法法则的提炼（分类型特例）
标题：从特例中找规律，提炼乘法法则！
分类型探究（配算式 + 结果 + 符号分析）
乘法类型
实例算式
结果
符号规律总结
绝对值规律总结
正数 × 正数
3×4=？（3+3+3+3）
12
同号得正（正 × 正 = 正）
绝对值相乘（3×4=12）
正数 × 负数
3×(-4)=？（-3-3-3-3）
-12
异号得负（正 × 负 = 负）
绝对值相乘（3×4=12）
负数 × 正数
(-3)×4=？（-3-3-3-3）
-12
异号得负（负 × 正 = 负）
绝对值相乘（3×4=12）
负数 × 负数
(-3)×(-4)=？（逆向加法）
12
同号得正（负 × 负 = 正）
绝对值相乘（3×4=12）
任何数 ×0
5×0=？、(-6)×0=？、0×0=？
0
——（结果恒为 0）
——（结果恒为 0）
法则总结（重点标注，红色字体）
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；
任何数与 0 相乘，都得 0；
互为倒数的两数相乘得 1（补充：乘积为 1 的两个数互为倒数，如 2×(1/2)=1，(-3/4)×(-4/3)=1）。
口诀记忆
有理数乘法要记牢，符号绝对值分开算；
同号得正异号负，绝对值相乘错不了；
任何数乘 0 都得 0，倒数相乘得 1 要记好！
第 5 页：核心技能 1—— 有理数乘法的基本运算（分步骤演示）
标题：乘法运算三步走，符号绝对值不混淆！
运算步骤（配示例：(-5)×(-3)、(-4)×6、7×(-2.5)、0×(-8)）
定符号：根据法则判断结果的符号（同号正、异号负）；
算绝对值：将两个数的绝对值相乘；
写结果：符号与绝对值组合，得到最终结果。
分类型示例解析
负数 × 负数（同号）：(-5)×(-3)
定符号：负 × 负 = 正 → 符号为 “+”；
算绝对值：5×3=15；
写结果：+15 → 15。
负数 × 正数（异号）：(-4)×6
定符号：负 × 正 = 负 → 符号为 “-”；
算绝对值：4×6=24；
写结果：-24。
正数 × 小数（异号）：7×(-2.5)
定符号：正 × 负 = 负 → 符号为 “-”；
算绝对值：7×2.5=17.5；
写结果：-17.5。
含 0 乘法：0×(-8)
直接得结果：0（任何数 ×0=0）。
即时小练习
(+6)×(+2)=________ 2. (-3)×(+5)=________ 3. (-7)×(-4)=________
(+8)×(-1.2)=________ 5. 0×(+99)=________ 6. (-5/6)×(-6/5)=________
第 6 页：核心技能 2—— 数轴解释有理数乘法（数形结合）
标题：数轴是乘法的 “直观验证工具”
示例演示（配动态数轴图）
例题：用数轴表示 3×(-2) 的意义并验证结果
分析：3×(-2) 表示 “3 个 - 2 相加”，或 “从原点出发，沿负方向移动 2 个单位，重复 3 次”。
步骤：
画标准数轴，标注原点、正方向、单位长度；
第一次移动：从原点沿负方向走 2 个单位，到达 - 2；
第二次移动：从 - 2 沿负方向再走 2 个单位，到达 - 4；
第三次移动：从 - 4 沿负方向再走 2 个单位，到达 - 6；
验证：3×(-2)=-6，与数轴最终位置一致。
拓展验证：(-2)×(-3)
分析：(-2)×(-3) 表示 “反向重复 3 次 - 2 的移动”，即沿正方向移动 2 个单位，重复 3 次，最终到达 6，验证 (-2)×(-3)=6。
第 7 页：核心应用 —— 有理数乘法的实际问题
标题：生活中的乘法，用法则轻松解决！
例题解析（配情境图）
温度变化问题：某地区海拔每升高 100 米，气温下降 0.6℃（记为 - 0.6℃），海拔升高 500 米，气温下降多少℃？
解答：升高 500 米是 100 米的 5 倍，下降温度为 (-0.6)×5=-3（℃）
答：气温下降 3℃（结果为负，对应 “下降” 的实际意义）。
收支问题：小明每天消费 5 元（记为 - 5 元），一周（7 天）的总消费是多少元？
解答：(-5)×7=-35（元）
答：一周总消费 35 元（结果为负，对应 “消费” 的实际意义）。
方向问题：一辆汽车向西行驶，速度为 60 千米 / 时（向西为负，记为 - 60 千米 / 时），3 小时后汽车的位置相对于起点的位移是多少？
解答：(-60)×3=-180（千米）
答：位移为 - 180 千米，即汽车在起点西方 180 千米处。
解题步骤：
用正负数表示实际量（确定正方向，明确变化量的符号）；
列出乘法算式（相同变化量的重复次数 × 单次变化量）；
按法则计算（定符号→算绝对值→写结果）；
结合实际意义解释结果（符号对应变化方向，数值对应变化大小）。
第 8 页：易错辨析 —— 有理数乘法常见错误
标题：这些 “符号陷阱” 要避开！
分题展示（错误示例 + 纠正 + 理由）
错误 1：符号判定错误（例：(-3)×(-4)=-12）
纠正：(-3)×(-4)=12
理由：同号两数相乘得正，不能误记为异号得正。
错误 2：绝对值计算错误（例：(-2.5)×4=-8）
纠正：(-2.5)×4=-10
理由：绝对值相乘是 2.5×4=10
(-4) + (-4) + (-4) = (-4) × 3 = -12 ( cm )。
问题1
若乙水库的水位每天下降 4 cm，预计经过 3 天乙水库水位的总变化量是多少？
结合问题1，你认为3×(-4)的结果应该是多少？
问题2
(-3)×(-4)呢？
3× (-4) =
(-4) × 3 = -12
(有理数乘法满足交换律)
(-3)× (-4)+ (-3) × 4 = (-3)×[(-4) + 4 ]
= (-3)×0
= 0
(-3)× (-4)
=- [(-3) ×4]
= 12
(有理数乘法满足乘法对加法的交换律)
.
问题3
请你仿照上面的方法说明 (-2)×(-5)=10？
(-2) ×5
=(-2) + (-2) + (-2) + (-2) + (-2)
= -10
(-2)×(-5) + (-2) ×5
=(-2) ×[(-5) +5]
= (-2) ×0
= 0
(-2)×(-5) =-[(-2) ×5] =10
再写一些算式进行计算。你能发现什么规律？
同号两数相乘得正数，并把绝对值相乘；
异号两数相乘得负数，并把绝对值相乘；
任何数与0相乘，都得0。
.
问题4
有理数乘法法则
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与 0 相乘，积仍为 0。
.
例1 计算：
(1) 6×(-1) ； (2) (- 4) × 5；
(3) (-5) ×(-7)； (4) (-) ×(-)。
.
解：(1) 6×(-1)=- (6×1)
= - 6
(2) (- 4) × 5=- (4×5)
= - 20
(3) (-5) ×(-7) =+ (5×7)
= 35
(4)
= 1
观察例题(1)中的因数和结果，你有什么发现
问题5
一个数乘-1，所得的积就是它的相反数。
观察例题(4)中的因数和结果， 猜测两个因数的关系
问题6
该式两个数的乘积为1，可能是倒数关系。
倒数
如果两个有理数的乘积为 1，那么称其中的一个数是另一个的倒数，也称这两个有理数互为倒数。
.
（1）若 a ≠ 0，则 a 的倒数为 ，0 没有倒数；
（2）互为倒数是对两个数而言的，单独一个数无所谓倒数。若 a，b 互为倒数，则 ab = 1；反之，若 ab = 1，则 a，b 互为倒数。
.
例 用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负。登山队攀登一座山峰，每登高1 km 气温的变化量为-6 ℃，登高3 km后，气温有什么变化
解：(-6)×3=-18( ℃)
因此，登高3 km后，气温下降18 ℃。
知识点1 有理数的乘法法则
1.计算：
（1） ___ ____；
（2）__ __ ____；
（3）___ ____；
（4） ___。
5
10
-
56
0
2.［2024吉林中考］若的运算结果为正数，则 内的数字可以
为( )
C
A.2 B.1 C.0 D.
3.计算 的结果是( )
C
A. B.10 C. D.5
4.（12分）计算：
（1） ；
解：原式 。
（2） ；
解：原式 。
（3） ；
解：原式 。
（4） 。
解：原式 。
知识点2 倒数
5.因为,所以5的倒数是__；因为,所以 的倒数
是____。
6.下列互为倒数的是( )
A
A.3和 B.和2 C.3和 D.和
7.若,互为倒数，且满足，则 的值为( )
C
A. B. C.2 D.4
8. 若有理数的相反数是10，则 的倒数是( )
D
A.10 B. C. D.
9.［教材习题变式］已知两个有理数，，如果 且
，那么( )
D
A., B.,
C.，同号 D.， 异号，且正数的绝对值较大
10.已知， ，若 ，则 的值为_______。
6或
11.［教材问题引入变式］某水库的水位近期平均每天下降
（记下降为负），经过6天后水位的变化情况可用算式___________表示，
其计算结果为______，可知水位______了____ 。
下降
1.8
有理数的乘法
有理数
乘法法则
方法二：同级运算，从左向右，依次运算.
如果两个有理数的乘积为1，那么称其中的一个数是另一个数的倒数，也称这两个有理数互为倒数.
任何数与0相乘，积仍为0.
有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；
倒数
多个有理数相乘：
方法一：先确定积的符号，再把绝对值相乘.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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