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北师大（2024）版数学七年级上册
第二章 有理数及其运算
2.3.3 有理数的除法
第 1 页：封面
标题：2.3.3 有理数的除法
副标题：北师大版七年级上册数学
配图：除法转乘法的直观示意图（如 8÷(-4)=8×(-1/4)）+ 生活中除法场景（平均分、行程速度、浓度配比）
底部标注：授课教师 / 日期
第 2 页：学习目标
理解有理数除法的意义，掌握有理数除法法则（转化法 + 直接法）
熟练掌握倒数的概念（乘积为 1 的两数），明确 0 没有倒数
能熟练进行有理数除法运算（含整数、分数、小数，各种符号组合）
会运用除法解决实际问题，深化 “转化思想” 和 “数形结合思想”
体会乘除法的互逆关系，感受数学法则的系统性
第 3 页：情境导入 —— 从 “乘法逆运算” 到 “除法法则”
左侧：生活实例（配示意图 + 乘法逆运算思考）
平均分问题：有 8 个苹果，平均分给 2 人，每人分几个？（8÷2=4，对应 2×4=8）
反向平均分：有 - 8 个苹果（亏欠 8 个），平均分给 2 人，每人亏欠几个？（-8÷2=？，找 x 使 2×x=-8→x=-4）
行程问题：汽车向西行驶 8 千米（-8 千米），用时 4 小时，平均速度是多少？（速度 = 路程 ÷ 时间，-8÷4=？）
分数除法：1/2 千克糖果，按 1/4 千克分一份，能分几份？（(1/2)÷(1/4)=？，对应乘法验证）
右侧：问题链引导
负数参与除法时，结果的符号如何确定？和乘法符号规律一致吗？
除法能否转化为我们熟悉的乘法运算？关键是什么？
什么是倒数？0 有倒数吗？倒数在除法中起什么作用？
结语：有理数除法的核心是 “化除为乘”，而倒数是转化的关键！今天我们就解锁除法法则和倒数的应用技巧！
第 4 页：新知探究 1—— 倒数的概念（除法转化的基础）
上方：倒数的定义与特征（重点标注）
定义：乘积为 1 的两个有理数互为倒数（若 a×b=1，则 a 与 b 互为倒数）
符号特征：正数的倒数是正数，负数的倒数是负数（同号得 1）
特殊说明：0 没有倒数（因为 0 乘任何数都得 0，无法得 1）
中间：倒数求解示例（分类型）
整数的倒数：5 的倒数是 1/5，-3 的倒数是 - 1/3（整数 a 的倒数为 1/a，a≠0）
分数的倒数：3/4 的倒数是 4/3，-2/5 的倒数是 - 5/2（分数 a/b 的倒数为 b/a，a≠0、b≠0）
小数的倒数：0.25（1/4）的倒数是 4，-1.5（-3/2）的倒数是 - 2/3（先化分数再求倒数）
下方：即时验证（配算式）
3×(1/3)=1 → 3 与 1/3 互为倒数
(-4/7)×(-7/4)=1 → -4/7 与 - 7/4 互为倒数
0×5=0≠1 → 0 无倒数
口诀记忆：倒数倒数，乘积为 1；正数正倒，负数负倒；0 无倒数，千万记好！
第 5 页：新知探究 2—— 有理数除法法则（两种表述）
上方：法则推导（从乘法逆运算切入）
示例 1：计算 8÷(-4)=？
找 x 使 (-4)×x=8 → x=-2
同时：8×(-1/4)=-2 → 得出：8÷(-4)=8×(-1/4)
示例 2：计算 (-6)÷2=？
找 x 使 2×x=-6 → x=-3
同时：(-6)×(1/2)=-3 → 得出：(-6)÷2=(-6)×(1/2)
示例 3：计算 (-10)÷(-5)=？
找 x 使 (-5)×x=-10 → x=2
同时：(-10)×(-1/5)=2 → 得出：(-10)÷(-5)=(-10)×(-1/5)
中间：法则总结（重点标注，红色字体）
转化法（核心）：除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数
字母表示：a÷b = a×(1/b)（b≠0）
直接法（符号 + 绝对值）：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0 除以任何不等于 0 的数，都得 0
字母表示：① 若 a、b 同号，|a÷b|=|a|÷|b|，符号为正；② 若 a、b 异号，|a÷b|=|a|÷|b|，符号为负；③ 0÷b=0（b≠0）
下方：法则选择技巧
分数、小数除法：优先用转化法（转乘法更简便）
整数除法（能整除）：优先用直接法（定符号 + 算绝对值）
第 6 页：核心技能 1—— 有理数除法的基本运算（分类型演示）
标题：除法运算两步走，符号绝对值不混淆！
运算步骤（通用）
定符号：同号得正，异号得负（与乘法一致）；
算结果：要么转化为乘法（乘倒数），要么直接算绝对值相除。
分类型示例解析
正数 ÷ 正数：6÷2=？
直接法：同号得正，6÷2=3 → 结果 3
正数 ÷ 负数：12÷(-3)=？
转化法：12×(-1/3)=-4；直接法：异号得负，12÷3=4→-4
负数 ÷ 正数：(-15)÷5=？
直接法：异号得负，15÷5=3→-3
负数 ÷ 负数：(-20)÷(-4)=？
直接法：同号得正，20÷4=5→5
分数 ÷ 分数：(-2/3)÷(-4/5)=？
转化法：(-2/3)×(-5/4)=10/12=5/6（先定符号正，再乘倒数）
小数 ÷ 小数：(-1.8)÷0.6=？
直接法：异号得负，1.8÷0.6=3→-3；或转化法：(-9/5)×(5/3)=-3
含 0 除法：0÷(-7)=0（直接用法则，0 除以非 0 数得 0）
即时小练习
10÷(-2)=________ 2. (-18)÷(-6)=________ 3. (-3/4)÷(1/2)=________
0.4÷(-2/5)=________ 5. 0÷(+5/7)=________ 6. (-5/6)÷(-5/3)=________
第 7 页：核心技能 2—— 除法与乘法运算律的结合（简化混合运算）
标题：乘除混合运算，转化后巧算！
核心思路：先将所有除法转化为乘法，再运用交换律、结合律凑整、凑 1
例题解析（配步骤）
例题 1：计算 (-12)÷(-3)×(-1/4)
步骤 1：除法转乘法（除以一个数 = 乘它的倒数）
(-12)×(-1/3)×(-1/4)
步骤 2：运用交换律凑整
[(-12)×(-1/3)]×(-1/4) = 4×(-1/4) = -1
结果：-1
例题 2：计算 (+8)÷(-2/3)×(-3/4)
步骤 1：除法转乘法
8×(-3/2)×(-3/4)
步骤 2：结合凑 1 / 凑整
[8×(-3/4)]×(-3/2) = (-6)×(-3/2) = 9
结果：9
例题 3：计算 (-5/6)÷[(-1/2)+(1/3)]
步骤 1：先算括号内加法
(-1/2)+(1/3)=(-3/6)+(2/6)=-1/6
步骤 2：除法转乘法
(-5/6)×(-6/1)=5
结果：5
方法总结：除转乘→定符号→找特征（凑整、凑 1）→ 用运算律→ 计算结果
第 8 页：核心应用 —— 除法解决实际问题
标题：生活中的除法，用法则轻松搞定！
例题解析（配情境图）
行程问题（速度计算）：汽车向东行驶 120 千米（+120）用了 3 小时，向西行驶 80 千米（-80）用了 2 小时，两段路程的平均速度分别是多少？
解答：东行速度：120÷3=40（千米 / 时）；西行速度：(-80)÷2=-40（千米 / 时）
答：东行平均速度 40 千米 / 时，西行平均速度 - 40 千米 / 时（负号表示向西）
平均分问题：某班 4 名同学的数学成绩总分是 300 分，平均成绩是多少？若 3 名同学的总分是 - 15 分（相对平均分的差值），平均差值是多少？
解答：平均成绩：300÷4=75（分）；平均差值：(-15)÷3=-5（分）
答：平均成绩 75 分，平均差值 - 5 分（低于平均分 5 分）
浓度问题：用 2 千克盐配制浓度为 1/5 的盐水，需要多少千克水？（浓度 = 盐的质量 ÷ 盐水总质量）
解答：盐水总质量 = 盐的质量 ÷ 浓度 = 2÷(1/5)=2×5=10（千克）；水的质量 = 10-2=8（千克）
答：需要 8 千克水
解题步骤：
用正负数表示实际量（确定正方向，明确各量含义）；
列出除法算式（根据数量关系：速度 = 路程 ÷ 时间、平均数 = 总数 ÷ 份数等）；
按法则计算（转乘法或直接法）；
结合实际意义解释结果（符号对应方向 / 增减，数值对应大小）。
第 9 页：易错辨析 —— 有理数除法常见错误
标题：这些 “转化陷阱” 要避开！
分题展示（错误示例 + 纠正 + 理由）
错误 1：倒数求解错误（例：-2 的倒数是 2）
纠正：-2 的倒数是 - 1/2
理由：倒数需满足乘积为 1，(-2)×(-1/2)=1，正数的倒数为正，负数的倒数为负
错误 2：除法转乘法时漏变倒数（例：6÷(-2/3)=6×(-2/3)=-4）
纠正：6÷(-2/3)=6×(-3/2)=-9
理由：转化法要求 “乘除数的倒数”，-2/3 的倒数是 - 3/2，不是本身
错误 3：符号判定错误（例：(-10)÷(-5)=-2）
纠正：(-10)÷(-5)=2
理由：同号两数相除得正，与乘法符号规律一致，不能误记为异号得正
错误 4：0 作除数（例：5÷0=0）
纠正：0 不能作除数，该算式无意义
理由：除法是乘法的逆运算，找不到一个数与 0 相乘得 5，0 作除数无意义
错误 5：混合运算顺序错误（例：18÷(-3)×(-2)=18÷6=3）
纠正：18×(-1/3)×(-2)=(-6)×(-2)=12
理由：乘除是同级运算，应从左到右依次进行，不能先算后两个数
第 10 页：互动练习 1—— 基础计算题
计算下列各题：
15÷(-3)=________ (-24)÷(-4)=________ (-1/2)÷(1/4)=________
0.8÷(-4)=________ (-3/5)÷(-3/10)=________ 0÷(-1.2)=________
填空题：
(-5) 的倒数是________，1/3 的倒数是________，0.5 的倒数是________
运用除法法则：a÷b = a×________（b≠0）
若 a、b 互为倒数，则 ab=________
第 11 页：互动练习 2—— 提高题与应用题
混合运算题（运用运算律）：
(-18)÷(3/2)×(-2/3)=________（答案：8）
(-5/6)÷(-5)×(-6/7)=________（答案：-1/7）
[(-4) + 6]÷(-1/2)=________（答案：-4）
应用题：
问题 1：一艘潜艇从海平面下 - 100 米处上升到 - 20 米处，用时 4 分钟，平均每分钟上升多少米？
解答：上升的距离：(-20) - (-100)=80（米）；平均速度：80÷4=20（米 / 分钟）
答：平均每分钟上升 20 米
问题 2：某商店一周内的利润变化为 - 280 元（亏损），平均每天的利润变化是多少元？
解答：(-280)÷7=-40（元）
答：平均每天亏损 40 元
第 12 页：实践活动 ——“倒数配对 + 除法巧算” 小游戏
活动准备：每组发放数字卡片（正数、负数、分数、小数各 5 张）、答题纸
活动要求：
第一环节 “倒数配对”：抽取卡片，快速找出每张卡片的倒数，配对成功得 1 分（限时 2 分钟）；
第二环节 “除法巧算”：每组抽取 3 张卡片，组成除法算式（或混合算式），用转化法计算，最快最准的小组得 2 分；
总结交流：分享倒数配对技巧和除法巧算思路。
活动目的：
熟练掌握倒数的求解，深化除法转乘法的转化思想；
提高有理数除法的运算速度和准确率。
第 13 页：课堂小结
核心知识：
倒数概念：乘积为 1 的两数互为倒数，0 无倒数；
除法法则：① 转化法：a÷b=a×(1/b)（b≠0）；② 直接法：同号得正，异号得负，绝对值相除，0 除非 0 得 0；
混合运算：先除转乘，再按乘法运算律简化。
关键技能：
准确求解倒数（整数、分数、小数）；
熟练进行有理数除法运算（符号判定是核心）；
用除法解决实际问题（行程、平均分、浓度等）。
思想方法：
转化思想（化除为乘，化未知为已知）；
符号化思想（用正负号表示实际意义）；
简化思想（混合运算巧算）。
第 14 页：作业布置
基础作业：
教材习题：计算下列各题：
① (-16)÷(-4) ② 3÷(-1/3) ③ (-3/4)÷(3/8) ④ 0.75÷(-3/4)
⑤ (-2/3)÷(-4/5)×(-5/6)
写出每道题的转化过程（若用转化法）
实践作业：
记录自己一周的零花钱（总收入、总支出），计算平均每天的零花钱（总收入 ÷7）和平均每天的支出（总支出 ÷7）
拓展作业：
思考：有理数除法是否满足交换律（a÷b = b÷a）和结合律（(a÷b)÷c = a÷(b÷c)）？用例子验证（不满足，如 6÷2≠2÷6）
探究：若 a÷b=c，那么 a = b×c（b≠0），利用这个关系验证除法计算结果的正确性
第 15 页：结束页
标语：有理数除法不难，转化乘法是关键；倒数概念要记牢，符号运算不慌乱！
配图：有理数除法核心知识思维导图（倒数、法则、步骤、应用、易错点串联）
底部标注：感谢观看！
减去一个数，等于加上这个数的相反数.
有理数的减法
有理数的加法
有理数的除法
有理数的乘法
有理数的除法运算可以转化为乘法运算吗？
36÷6=
（-18）÷6=
5÷（ - ）=
（-27）÷（-9）=
0÷（-2）=
计算下面的算式，你发现了什么？
3
-25
0
-3
6
异号得负
同号得正
0除以任何一个非0的数都得0
有理数的除法法则一：
两数相除，同号得 ，异号得 ，并把绝对值 ；
0除以任何一个非0的数都得 .
正
负
相除
0
0不能作除数
(-3)×4=-12
( )×4=-12 (乘法算式)
(-12)÷4=( ) (除法算式)
(-3)×4=-12
(-12)÷4=-3
除法是乘法的逆运算。
？
？
利用有理数的乘法法则计算下列各式：
问题1
(-3)×6=______，
(-25)×(-) =______，
3×(-9) =______，
(-2)×0=______。
-18
5
-27
0
根据“除法是乘法的逆运算”，计算下列各式：
问题2
(-18)÷6=______，
5÷(-) =______，
(-27)÷(-9) =______，
0÷(-2) =______。
-3
-25
3
0
观察上面的算式及计算结果，你有什么发现？
问题3
两个有理数相除，同号得____，异号得____，并把绝对值______。
正
负
相除
0 除以任何一个非 0 的数都得 _____。
0
注意：0不能作除数。
有理数的除法法则（一）
两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
0 除以任何一个非 0 的数都得 0 。
(注意：0不能作除数。)
.
例1 计算：
.
.
进行有理数的除法运算时，应先确定商的符号，再确定商的绝对值。
.
练一练
【课本P54 随堂练习 】
计算：
.
.
.
在做除法运算时：先定符号，再算绝对值。若算式中有小数、带分数，一般情况下先化成真分数和假分数。
总结
.
学习了有理数的除法后，怎么求一个有理数的倒数？
问题1
正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数。
用1除以一个非0 数，商就是这个数的倒数。
计算并比较下列各组数的计算结果，你能得到什么结论？
问题2
1÷(-) 与1×(-)；
0.8÷(-) 与0.8×(-)；
(-) ÷(-) 与(-) × (-60)。
=15
互为倒数
有理数的除法法则（二）
除以一个的数等于乘这个数的倒数。
.
用字母表示为
这样除法就统一成乘法了。
例2 计算：
解：
.
.
解：
将除法转化为乘法有什么好处？
问题3
将除法转化为乘法后可以运用乘法的运算律进行简便运算。
有理数的乘除法与小学数学中的乘除法相比较，有哪些相同点和不同点
问题4
数的范围扩大了，增加了负数；运算法则在原有法则的基础上补充了符号变化的法则。
小学数学中的乘法的运算律全都适用于有理数的乘法；同级运算都是按照从左到右的顺序进行；
1.计算：
0
2
-5
-6
2
练一练
【课本P55 习题2.3 第4题】
2.求下列各数的倒数，并用“＜”把它们连接起来：
.
【课本P56 习题2.3 第5题】
例 计算：
(1) (-)× (-)÷9×(-)；
(2) 9÷ (-3)× 。
例 计算：
(1) (-)× (-)÷9×(-)；
(2) 9÷ (-3)× 。
= -1
巧记：
乘除混合有理数，
统一为乘第一步，
乘法“三律”能简便，
负因个数定正负。
练一练
计算：
(1) (-81)×(-)÷× ；(2) (-2) ÷ (-) ×÷)
= 2
知识点1 有理数的除法法则（一）
1.［教材 尝试·交流变式］计算：
（1）__ ___ ____;
（2）_______ ___;
（3）__ _____ ____;
（4） ___。
-
6
63
9
-
0.15
0
2.计算 的结果是( )
B
A.2 B. C. D.
3.（12分）计算：
（1） ；
解：原式 。
（2） ；
解：原式 。
（3） ；
解：原式 。
（4） 。
解：原式 。
知识点2 一个数的倒数
4. 的倒数是( )
D
A. B.4 C. D.
5.（8分）求下列各数的倒数：
（1） ；
解： 。
（2）1.2；
解： 。
（3） ；
解： 。
（4） 。
解： 。
知识点3 有理数的除法法则（二）
6.计算 时，将除法转化为乘法正确的是( )
B
A. B. C. D.
7.计算 的结果是( )
C
A. B.2 C.18 D.
8.（12分）计算：
（1） ；
解：原式 。
（2） ；
解：原式 。
（3） 。
解：原式 。
9.如果两个有理数的商是负数，和为0，那么这两个有理数( )
D
A.一个为0，另一个为正数 B.都为负数
C.一个为0，另一个为负数 D.互为相反数，且均不为0
10.［2025石家庄期中］某同学在计算时，误将“ ”看成“ ”，
结果是，则 的正确结果是( )
B
A.2 B. C. D.
11.从，， ，2，4中任取2个数相乘或相除，所得积的最大值记
为，所得商的最小值记为，则 的值为( )
C
A.11 B. C.19 D.
12.已知，，则 的值为_______。
6或
13.有理数,, 在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列结论：
；；； ；
，其中正确的是________。（填序号）
①③⑤
14.（8分） 对于任何有理数，，定义运算“ ”如下：
。如 。
（1）求 的值；
解：因为 ，
所以 。
（2）求 的值。
解：因为 ，
所以 ，
所以 。
15.（12分）数学老师布置了一道题：“计算： 。”
小英的解法： 。
小李的解法：原式结果的倒数为
（第一步）
（第二步）
（第三步）
，（第四步）
所以原式 。
分析两名同学的解法，请你回答下列问题：
（1）两名同学的解法中，______的解法正确；
（2）小李的解法中，第二步到第三步的运算依据是_________________
___；
小李
乘法对加法的分配律
（3）用一种你喜欢的方法计算： 。
解：原式结果的倒数为
，
所以原式 。
.
有理数的除法
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除
0除以任何非0的数都得0
除以一个数等于乘这个数的倒数
法则(一)
求一个有理数的倒数
法则(二)
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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