资源简介

(共28张PPT)
北师大（2024）版数学七年级上册
第二章 有理数及其运算
2.4.1 有理数的乘方
你知道世界上最高的山峰是什么山峰吗？
它的海拔大约高8 848.86米.
珠穆朗玛峰
第 1 页：封面
标题：2.4.1 有理数的乘方
副标题：北师大版七年级上册数学
配图：乘方直观示意图（如 2×2×2=2 的正方体体积、(-3)×(-3)×(-3) 的数轴示意）+ 生活中乘方场景（细胞分裂、折纸厚度、幂次增长）
底部标注：授课教师 / 日期
第 2 页：学习目标
理解有理数乘方的意义，掌握乘方的定义、表示方法（底数、指数、幂）
熟练掌握有理数乘方的运算法则（符号判定 + 绝对值运算）
能准确进行有理数乘方运算（含正数、负数、0 的乘方，整数指数）
会用乘方解决实际问题（如增长、累积等场景），深化 “转化思想”
区分 “乘方” 与 “乘法” 的联系与区别，感受数学符号的简洁性
第 3 页：情境导入 —— 从 “多个相同因数相乘” 到 “乘方”
左侧：生活实例（配示意图 + 乘法算式）
细胞分裂：1 个细胞每次分裂为 2 个，3 次分裂后细胞总数是多少？（2×2×2=8）
折纸厚度：1 张纸厚 0.1 毫米，对折 4 次后总厚度是多少？（0.1×2×2×2×2=1.6 毫米）
正方形面积：边长为 5 的正方形，面积是多少？（5×5=25）；边长为 - 3 的正方形（抽象数学模型），面积是多少？（(-3)×(-3)=9）
正方体体积：棱长为 4 的正方体，体积是多少？（4×4×4=64）；棱长为 - 2 的正方体（抽象数学模型），体积是多少？（(-2)×(-2)×(-2)=-8）
右侧：问题链引导
这些算式都是 “多个相同因数相乘”，能否用更简洁的符号表示？
负数的乘方，结果的符号有什么规律？（与指数的奇偶性有关吗？）
乘方中 “底数”“指数”“幂” 分别指什么？它们的含义是什么？
结语：有理数乘方是 “多个相同因数相乘” 的简便表示，今天我们就解锁乘方的定义、法则和运算技巧！
第 4 页：新知探究 1—— 乘方的定义与表示方法
上方：定义提炼（重点标注）
定义：求 n 个相同因数 a 的积的运算，叫做乘方；乘方的结果叫做幂
表示方法：n 个 a 相乘，记作\(a^n\)（读作 “a 的 n 次方” 或 “a 的 n 次幂”）
符号组成：
底数（a）：相同的因数；
指数（n）：相同因数的个数（n 为正整数）；
幂（\(a^n\)）：乘方的结果。
中间：示意图解（强化认知）
示例：\((-3)^4\)
底数：-3（相同的因数）；
指数：4（有 4 个 - 3 相乘）；
意义：\((-3) (-3) (-3) (-3)\)；
读作：“-3 的 4 次方” 或 “-3 的 4 次幂”。
下方：易错区分（关键提醒）
注意 1：指数 n 是正整数，表示 “因数的个数”，不能为 0（后续会学习 0 指数幂）；
注意 2：当底数是负数或分数时，必须加括号，避免歧义！
错误示例：\(-3^4\)（不是 “-3 的 4 次方”，而是 “3 的 4 次方的相反数”，即\(-(3 3 3 3)\)）；
正确示例：\((-3)^4\)（“-3 的 4 次方”，底数是 - 3）；\((\frac{2}{3})^2\)（“2/3 的 2 次方”，底数是 2/3）。
即时小练习：说出下列乘方的底数、指数和意义
\(5^3\)：________ 2. \((-2)^5\)：________ 3. \((\frac{1}{4})^4\)：________ 4. \(-7^2\)：________
第 5 页：新知探究 2—— 有理数乘方的运算法则（分类型探究）
标题：乘方运算两步走，符号绝对值不混淆！
分类型探究（配算式 + 结果 + 规律总结）
乘方类型
示例算式
计算过程
结果
符号规律总结
绝对值规律总结结果：64。
负数的奇次幂：\((-2)^5\)
定底数、指数：底数 - 2，指数 5（奇次）；
定符号：负数的奇次幂为负；
算绝对值：\(2^5=32\)；
结果：-32。
负数的偶次幂：\((-5)^4\)
定底数、指数：底数 - 5，指数 4（偶次）；
定符号：负数的偶次幂为正；
算绝对值：\(5^4=625\)；
结果：625。
分数的乘方：\((\frac{2}{3})^2\)
定底数、指数：底数\(\frac{2}{3}\)，指数 2；
定符号：正数的任何次幂为正；
算绝对值：\((\frac{2}{3})^2=\frac{2}{3} \frac{2}{3}=\frac{4}{9}\)；
结果：\(\frac{4}{9}\)。
易混淆类型：\(-3^2\) vs \((-3)^2\)
\(-3^2\)：底数 3，指数 2，意义 “3 的 2 次方的相反数”→ 符号负，绝对值\(3^2=9\)→ 结果 - 9；
\((-3)^2\)：底数 - 3，指数 2，意义 “-3 的 2 次方”→ 符号正，绝对值\(3^2=9\)→ 结果 9。
即时小练习
\(3^2=________\) 2. \((-1)^3=________\) 3. \((-4)^2=________\)
\((\frac{1}{2})^4=________\) 5. \(0^7=________\) 6. \(-6^2=________\)
第 7 页：核心技能 2—— 乘方与乘除法的混合运算（基础）
标题：乘方混合运算，先算乘方再算乘除！
运算顺序（衔接小学四则运算顺序）
先算乘方，再算乘除，最后算加减；
有括号的先算括号里面的（括号内仍遵循 “先乘方后乘除”）。
例题解析（配步骤）
例题 1：计算 \(2 (-3)^2 - 4 ·2\)
步骤 1：先算乘方：\((-3)^2=9\)；
步骤 2：再算乘除：\(2 9=18\)，\(4 ·2=2\)；
步骤 3：最后算加减：\(18 - 2=16\)；
结果：16。
例题 2：计算 \((-2)^3 + 3 (-4) ·(-2)\)
步骤 1：先算乘方：\((-2)^3=-8\)；
步骤 2：再算乘除：\(3 (-4)=-12\)，\(-12 ·(-2)=6\)；
步骤 3：最后算加减：\(-8 + 6=-2\)；
结果：-2。
例题 3：计算 \([(-1)^4 + 2] (-3)\)
步骤 1：先算括号内乘方：\((-1)^4=1\)；
步骤 2：再算括号内加减：\(1 + 2=3\)；
步骤 3：最后算乘法：\(3 (-3)=-9\)；
结果：-9。
方法总结：混合运算先 “分级”（乘方级、乘除级、加减级），从高级到低级依次计算，不跳步！
第 8 页：核心应用 —— 乘方解决实际问题
标题：生活中的 “幂次增长”，用乘方轻松解决！
例题解析（配情境图）
细胞分裂问题：1 个细胞每次分裂为 2 个，5 次分裂后细胞总数是多少？10 次呢？
解答：每次分裂后数量是前一次的 2 倍，n 次分裂后总数为\(2^n\)；
5 次分裂：\(2^5=32\)（个）；10 次分裂：\(2^{10}=1024\)（个）；
答：5 次后 32 个，10 次后 1024 个。
折纸厚度问题：1 张纸厚 0.1 毫米，对折 n 次后总厚度是多少毫米？对折 8 次后厚度超过 1 厘米吗？（1 厘米 = 10 毫米）
解答：对折 1 次厚 0.1×2，对折 2 次厚 0.1×2×2=0.1×\(2^2\)，n 次后厚度为 0.1×\(2^n\)毫米；
对折 8 次：0.1×\(2^8=0.1 256=25.6\)（毫米）；
25.6 毫米＞10 毫米，超过 1 厘米；
答：n 次后厚度 0.1×\(2^n\)毫米，对折 8 次后超过 1 厘米。
价格增长问题：某商品原价 100 元，每年价格增长为上一年的 2 倍（即 “翻一番”），3 年后价格是多少？
解答：1 年后价格 100×2，2 年后 100×2×2=100×\(2^2\)，3 年后 100×\(2^3\)；
计算：100×8=800（元）；
答：3 年后价格 800 元。
解题步骤：
分析实际问题中 “重复相乘” 的关系（确定底数和指数）；
列出乘方算式（底数为单次变化量，指数为变化次数）；
按乘方法则计算结果；
结合实际意义解释结果（如数量、厚度、价格等）。
第 9 页：易错辨析 —— 有理数乘方常见错误
标题：这些 “幂次陷阱” 要避开！
分题展示（错误示例 + 纠正 + 理由）
错误 1：底数混淆（例：\(-3^2=9\)）
纠正：\(-3^2=-9\)
理由：\(-3^2\)的底数是 3，不是 - 3，意义是 “3 的 2 次方的相反数”，需加括号才是负数的乘方（\((-3)^2=9\)）。
错误 2：符号判定错误（例：\((-2)^3=8\)）
纠正：\((-2)^3=-8\)
理由：负数的奇次幂为负，指数 3 是奇数，结果应为负，不能误记为偶次幂的符号。
错误 3：分数乘方漏加括号（例：\(\frac{2}{3}^2=\frac{4}{9}\)）
纠正：\((\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}\)（正确），若漏括号\(\frac{2}{3}^2=\frac{2}{9}\)（错误）
理由：分数的乘方需将整个分数作为底数，必须加括号，否则底数是分子，分母不变，意义完全不同。
4
假如有一张厚度是0.1mm的纸，连续对折30次，它的厚度能超过珠穆朗玛峰吗？
纸有多厚呢？怎么可能超过珠穆朗玛峰呢？
事实上是可以的，到底是怎么回事呢？
让我们一起来探究一下吧！
细胞分裂：
二次
2×2
三次
2×2×2
一次
2
想一想 1个细胞30分钟后分裂成2个，经过5小时，这种细胞由1个能分裂成多少个？
2×2×·······×2×2
10个2
=1024
探究新知
记作 210
a×a ×·······×a ×a
n个a
求n个相同因数a的积的运算叫做乘方.
记作 an
2×2×·······×2×2
10个2
指数
底数
幂
读法：an可以读作a的n次方，也可读作a的n次幂.
注意：一个数可以看作这个数本身的一次方，例如8就是81，通常指数为1时省略不写.
想一想 (-2)4 ， -24，它们一样吗？说说它们的意义与读法.
思考:它们的底数分别是什么 相同么
(-2)4的底数是-2 ，-24的底数是2，它们的底数是不相同的．
(-2)4 =(-2)×(-2)×(-2)×(-2) =16，表示4个(-2)相乘，
读作 ．
-24 =-2×2×2×2=-16 ，表示4个2相乘的相反数，
读作 或 ．
“负2的4次方”
“负的2的4次方”
“2的4次方的相反数”
探究新知
计算下列各数 ， 它们一样吗？说说它们的意义.
思考:它们的底数分别是什么
它们的底数是不相同的．
，表示 的平方．
，表示2的平方再除以3．
的底数是 ， 的底数是2．
= ×=
-
呢？
= =
-
呢？
练一练
（1）（-2）10的底数是___，指数是 ____，读作____________.
（2）x m 表示____个_____相乘,指数是______,底数是_______,
读作 ___________ .
-2
10
-2的十次方
m
x
m
x
x的m次方
解：
计算：
当底数是负数或分数时一定要用括号把底数括起来.
（1）
（2）-
（3）-
（1）
=（-）×（-）
=
（2）-
=-（×）
= -
（3）-
=-
= -
做一做 计算下列各数、回答问题.
① 22 ，23 ，24 ，25；
② (-2)2 ，(-2)3 ，(-2)4 ，(-2)5；
解：① 22 =4，23 =8，24 =16，25 =32;
② (-2)2 =4，(-2)3 =-8，(-2)4 =16，(-2)5 =32;
③ 02=0, 04=0.
③02，04.
想一想 一个正数的乘方，结果一定是正数吗？
结论：正数的任何次幂都是正数.
一个负数的乘方，结果一定是负数吗？
负数的偶次幂是正数；负数的奇次幂是负数.
0的乘方，结果会是什么样？
0的任意正整数次幂都是0.
正数的任何次幂都是正数.
负数的偶次幂是正数；负数的奇次幂是负数.
0的任何正整数次幂都是0.
乘方运算的步骤：先确定符号、再求值.
乘方运算的符号法则：
计算：（1） 53； （2） (-3)4； （3）.
解： （1） 53 =5×5×5 =125
（3） = ×× =-
（2） (-3)4=(-3)×(-3)×(-3)×(-3)=81
例
1. 计算：－(－1)2 025的结果是(　A　)
A. 1 B. －1
C. 2 025 D. －2 025
2. 计算23＋(－2)3的值是(　A　)
A. 0 B. 12
C. 16 D. 18
A
A
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3. 28 cm接近于(　C　)
A. 珠穆朗玛峰的高度
B. 三层楼的高度
C. 乒乓球台的台面的长度
D. 一张纸的厚度
C
1
2
3
4
5
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14
4. [新视角·规律探究题]观察下列算式：21＝2，22＝4，23＝
8，24＝16，….根据上述算式中的规律，请你猜想210的末
位数字是(　B　)
A. 2 B. 4 C. 8 D. 6
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
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14
5. [2024杭州西湖区期中]一根1 m长的木棒，第一次截去它
的 ，第二次截去剩余部分的 ，第三次再截去剩余部分
的 ，如此截下去，第六次后剩余的木棒的长度是
(　A　)
A. m B. 1－ m
C. m D. 1－ m
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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14
【点拨】
第一次截去后剩余的木棒长1× ＝ (m)，
第二次截去后剩余的木棒长 × ＝ (m)，
第三次截去后剩余的木棒长 × ＝ (m)，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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14
…
以此类推，第 n 次截去后剩余的木棒长 m，
所以第六次后剩余的木棒的长度是 m.
A
【答案】
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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14
6. [母题·教材P59随堂练习T1] 的底数是 　－1 　，
指数是 ，幂是 .
7. 平方等于 的数是 　± 　.
－1 　
4　
　
± 　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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8. [2024南京栖霞区期中]已知 a ＝－(0.3)2， b ＝(－1)2， c ＝
， a ， b ， c 的大小关系为 (用“＜”
连接).
【点拨】
因为 a ＝－(0.3)2＝－0.09， b ＝(－1)2＝1， c ＝
＝ ，所以 a ＜ c ＜ b .
a ＜ c ＜ b 　
1
2
3
4
5
6
7
8
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9. [母题·教材P59随堂练习T2]计算：
(1)23；
【解】23＝8.
(2)－54；
【解】－54＝－625.
(3)－(－1.5)2；
【解】－(－1.5)2＝－ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
(4)－(－2)5；
【解】－(－2)5＝32.
(5)－ ；
【解】－ ＝ .
(6)－ .
【解】－ ＝－ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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11
12
13
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有理数的乘方
乘方的定义
乘方的计算
这种求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂.
2.正数的任何正整数次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0.
1.负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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