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北师大（2024）版数学七年级上册
第三章 整式及其加减
3.2.3 整式的加减
1．合并同类项的法则是什么？
合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变
2．去括号的法则是什么？
第 1 页：情境导入 —— 整式加减的本质是什么？
回顾旧知：我们已经学会了去括号和合并同类项，那么如何计算两个整式的和或差？
例：求整式 (3x + 2x) 与 (2x - 3x + 1) 的和，求整式 (5a - b) 与 (3a + 2b) 的差；
生活类比：超市购物时，把 “水果类总价（3x + 2y）” 和 “文具类总价（2x + 3y）” 相加，就是整式的加法；用 “总钱数（10a）” 减去 “买书花费（3a + 2b）”，就是整式的减法；
思考：整式的加减运算，其实就是什么运算的组合？
第 2 页：核心定义 —— 整式的加减法则
定义推导：
整式加法：(a + b) + (c + d) = a + b + c + d（去括号，再合并同类项）；
整式减法：(a + b) - (c + d) = a + b - c - d（去括号，再合并同类项）；
法则总结：
整式的加减运算，实际上就是去括号和合并同类项的综合运用
具体步骤：① 去括号（括号前是 “-” 号时，注意变号；有系数时，先分配系数）；② 合并同类项（只合并系数，字母和指数不变）。
一句话口诀：整式加减，去括为先，合并收尾！
第 3 页：实例解析 1—— 整式的加法（不含系数）
例 1：计算 (2x + 3x - 1) + (x - 2x + 4)
步骤：
（1）去括号（括号前均为 “+”，符号不变）→ 2x + 3x - 1 + x - 2x + 4；
（2）找同类项 → (2x + x ) + (3x - 2x) + (-1 + 4)；
（3）合并同类项 → 3x + x + 3；
（4）结果：3x + x + 3（二次三项式）。
例 2：计算 (5xy - 2y ) + (3xy + y - x )
解：去括号→ 5xy - 2y + 3xy + y - x
合并同类项→ (5xy + 3xy) + (-2y + y ) - x = 8xy - y - x （按 x 、y 、xy 顺序整理：-x - y + 8xy）
第 4 页：实例解析 2—— 整式的减法（含符号变化）
例 3：计算 (4a - 3a + 5) - (2a - 4a - 3)
步骤：
（1）去括号（括号前为 “-”，符号全变）→ 4a - 3a + 5 - 2a + 4a + 3；
（2）找同类项 → (4a - 2a ) + (-3a + 4a) + (5 + 3)；
（3）合并同类项 → 2a + a + 8；
（4）结果：2a + a + 8（二次三项式）。
例 4：计算 (3x y - xy ) - (2x y + 3xy - x )
解：去括号→ 3x y - xy - 2x y - 3xy + x
合并同类项→ (3x y - 2x y) + (-xy - 3xy ) + x = x y - 4xy + x （整理顺序：x + x y - 4xy ）
第 5 页：实例解析 3—— 含系数的整式加减（分配律应用）
例 5：计算 2 (3x - x + 2) - 3 (2x + x - 1)
步骤：
（1）去括号（先分配系数，再变号）→ 6x - 2x + 4 - 6x - 3x + 3；
（2）找同类项 → (6x - 6x ) + (-2x - 3x) + (4 + 3)；
（3）合并同类项 → -5x + 7；
（4）结果：-5x + 7（一次二项式）。
例 6：化简 3 (a - 2ab + b ) - 2 (a - ab - b )
解：去括号→ 3a - 6ab + 3b - 2a + 2ab + 2b
合并同类项→ (3a - 2a ) + (-6ab + 2ab) + (3b + 2b ) = a - 4ab + 5b
第 6 页：实例解析 4—— 整式的混合加减（多个整式）
例 7：计算 (x - 2x + x - 4) + (2x + 3x - 5x + 1) - (x - 4x + 3)
步骤：
（1）去括号→ x - 2x + x - 4 + 2x + 3x - 5x + 1 - x + 4x - 3；
（2）找同类项→ (x + 2x - x ) + (-2x + 3x ) + (x - 5x + 4x) + (-4 + 1 - 3)；
（3）合并同类项→ 2x + x + 0x - 6 = 2x + x - 6；
（4）结果：2x + x - 6（三次三项式）。
第 7 页：易错辨析 —— 整式加减 “雷区” 警示
错误类型
错误解法（以计算 (2x - 3x) - (x - 2x + 1) 为例）
正确解法
错误原因
去括号漏变号
2x - 3x - x - 2x + 1 = x - 5x + 1
2x - 3x - x + 2x - 1 = x - x - 1
括号前 “-”，未改变括号内 - 2x 和 + 1 的符号
系数漏乘
2(3x - 1) - (2x + 3) = 6x - 1 - 2x - 3 = 4x - 4
2(3x - 1) - (2x + 3) = 6x - 2 - 2x - 3 = 4x - 5
括号前系数 2 未乘到 - 1
同类项合并错误
3x + 2x = 5x ；2x - 3x = 1
3x + 2x = 5x ；2x - 3x = -x
合并时改变字母指数，或系数计算错误
整理顺序混乱
结果写成 -y + x + 2xy（无错误，但不规范）
整理为 x + 2xy - y （按 x 降幂、y 升幂排列）
结果未按字母顺序整理，影响可读性
第 8 页：基础练习 —— 整式加减化简
计算下列各式：
（1）(3x + 2y) + (5x - y) （2）(7a - 3b) - (4a + 2b)
（3）2 (x - 2x) - 3 (1 - x ) （4）(x - x + 1) + (x - 2x + 5) - (x - 3x)
（答案：(1) 8x + y；(2) 3a - 5b；(3) 5x - 4x - 3；(4) x + 6）
第 9 页：提高练习 —— 先化简再求值
先化简，再求值：(2x - xy + 3y ) - 2 (x + xy - 2y )，其中 x = -1，y = 2
解：化简→ 2x - xy + 3y - 2x - 2xy + 4y = -3xy + 7y
代入→ -3×(-1)×2 + 7×2 = 6 + 28 = 34
已知 A = x - 2xy + y ，B = 2x + xy - 3y ，求 2A - 3B 的值（其中 x = 1，y = -1）
解：2A - 3B = 2 (x - 2xy + y ) - 3 (2x + xy - 3y )
→ 2x - 4xy + 2y - 6x - 3xy + 9y = -4x - 7xy + 11y
代入→ -4×1 - 7×1×(-1) + 11×(-1) = -4 + 7 + 11 = 14
第 10 页：生活应用 —— 整式加减的实际场景
情境 1：一个多项式与 2x - 3x + 1 的和是 5x - 2x + 4，求这个多项式。
解：设这个多项式为 M，则 M + (2x - 3x + 1) = 5x - 2x + 4
→ M = (5x - 2x + 4) - (2x - 3x + 1) = 5x - 2x + 4 - 2x + 3x - 1 = 3x + x + 3
情境 2：用铝合金制作一个长方形窗框，长为 (3a + 2b) cm，宽为 (a - b) cm，制作时需要在窗框四周额外增加 2cm 的损耗，求制作这个窗框需要的铝合金总长度。
解：窗框周长 = 2×[长 + 宽] = 2×[(3a + 2b) + (a - b)] = 2×(4a + b) = 8a + 2b
总长度 = 周长 + 损耗 = (8a + 2b) + 2 = 8a + 2b + 2（cm）
第 11 页：知识小结 —— 整式加减的核心逻辑
本质：去括号 + 合并同类项（两步走，缺一不可）；
步骤：① 去括号（辨符号、乘系数）；② 找同类项（字母相同、指数相同）；③ 合并（系数相加，字母不变）；④ 整理（按字母降幂 / 升幂排列，规范书写）；
关键提醒：去括号时符号是核心，合并时系数计算要细心，结果要简洁规范；
衔接：整式加减是后续学习一元一次方程、整式乘除的基础，务必熟练掌握！
括号前是“＋”，把括号和它前面的“＋”去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前是“－”，把括号和它前面的“－”去掉后，原括号里各项的符号都要改变
计算：
(1) 2ab2+3ab2；
(2) 2x+3y-3(x-y) 。
(1) 2ab2+3ab2=(2+3) ab2=5ab2;
(2) 2x+3y-3(x-y) = 2x+3y-3x+3y
= (2x-3x)+(3y+3y)
= -x+ 6y。
游戏 1：请同学在纸片上写一个两位数，交换个位上的数与十位上的数得到一个新数，将这两个数之和除以个位与十位的数字的和，老师都能马上猜出结果。
比如：(15 + 51)÷(1 + 5)
你知道这是为什么吗？
如果用 a，b 分别表示一个两位数的十位数字和个位数字，那么这个两位数可以表示为： 。交换这个两位数的十位数字和个位数字，得到的数是： 。
将这两个数相加可得：
10a + b
10b + a
(10a + b) + (10b + a)
= 10a + b + 10b + a
= (10a + a) + (10b + b)
= 11a + 11b
= 11(a + b)
原来不管个位和十位上的数字是几，这两个数字之和肯定是 11 的倍数，结果不变。
游戏 2：请同学在纸片上写一个两位数，交换各位上的数与十位上的数得到一个新数，将这两个数之差除以原数个位与十位的数字的差，结果是否也不变？
比如：(15 - 51)÷(1 - 5)
类比游戏
将这两个数相减可得：
(10a + b) - (10b + a)
= 10a + b - 10b - a
= (10a - a) + (b - 10b)
= 9a - 9b
= 9(a - b)
类比探究
交换前后的两个数字：
10a + b、10b + a
这两数之差是 9 的倍数。结果依然不变。
探究：在上面的探究过程中，分别涉及了整式的什么运算？说说你是如何运算的？
整式的加减运算
去括号
合并同类项
进行整式加减运算时，如果遇到括号要先 ，再 。
整式的加减运算法则：
去括号
合并同类项
知识要点
任意写一个三位数，交换它的百位数字与个位数字，又得到一个数，两个数相减。(例如：728 - 827 = -99)
两个数相减后的结果有什么规律？这个规律对任意一个三位数都成立吗？
独立探究
设原数：100a + 10b + c，
交换后的数：100c + 10b + a。
(100a + 10b + c) - (100c + 10b + a)
= 100a + 10b + c - 100c - 10b - a
= 99a - 99c
= 99(a - c)。
解：(1) (2x2－3x＋1)＋(－3x2＋5x－7)
＝2x2－3x＋1－3x2＋5x－7
＝2x2－3x2－3x＋5x＋1－7
＝－x2＋2x－6.
典例精析
例1 计算：
(1) 2x2－3x＋1 与 －3x2＋5x－7 的和；
(2) 与 的差。
练一练
1. 已知多项式 3x4－5x2－3 与另一个多项式的差为 2x2－x3－5＋3x4，求另一个多项式。
解：设这个多项式为 A，则由题意得
(3x4－5x2－3)－A＝2x2－x3－5＋3x4。
所以 A＝(3x4－5x2－3)－(2x2－x3－5＋3x4)
＝3x4－5x2－3－2x2＋x3＋5－3x4
＝(3－3)x4＋x3＋(－5－2)x2＋(－3＋5)
＝x3－7x2＋2。
2. 已知 A＝－6x2＋4x，B＝－x2－3x，C＝5x2－7x＋1，小明和小白在计算时对 x 分别取了不同的数值，并进行了多次计算，但所得 A－B＋C 的结果却是一样的．你认为这可能吗？说明你的理由．
理由：A－B＋C
＝(－6x2＋4x)－(－x2－3x)＋(5x2－7x＋1)
＝－6x2＋4x＋x2＋3x＋5x2－7x＋1
＝1。
解：可能。
由于结果中不含 x，所以不论 x 取何值，A－B＋C的值都是 1。
例2 做大小两个长方体纸盒，尺寸如下 (单位：cm)
长 宽 高
小纸盒 a b c
大纸盒 1.5a 2b 2c
(1) 做这两个纸盒共用料多少平方厘米？
(2) 做大纸盒比做小纸盒多用料多少平方厘米？
典例精析
长方体表面积 = 2×长×宽 + 2×宽×高 + 2×长×高
解：小纸盒的表面积是 (2ab + 2bc + 2ca) cm2，
大纸盒的表面积是 (6ab + 8bc + 6ca) cm2.
(1) 做这两个纸盒共用料 (单位：cm2)
(2ab + 2bc + 2ca) + (6ab + 8bc + 6ca)
= 2ab + 2bc + 2ca + 6ab + 8bc + 6ca
= 8ab + 10bc + 8ca。
(2) 做大纸盒比做小纸盒多用料 (单位：cm2)
(6ab + 8bc + 6ac) - (2ab + 2bc + 2ca)
= 6ab + 8bc + 6ca - 2ab - 2bc - 2ca
= 4ab + 6bc + 4ac。
( )
不要忘记括号哦！
3. (渭南期末)
一个菜地共占地 (6m + 2n) 亩，其中 (3m + 6n) 亩种植白
菜，种植黄瓜的地是种植白菜的地的 ，剩下的地种植时令蔬菜，则种植时令蔬菜的地有 亩。
时令蔬菜：(6m + 2n) - (3m + 6n) - (m + 2n) = 2m - 6n
分析：黄瓜： ×(3m + 6n) = m + 2n，
(2m - 6n)
解：（1）原式=（x+5x）+（－f－4f）=6x－5f.
（2）原式=（2a+6a－8a）+（3b+9b+12b）=24b.
（3）原式=（30a b－15a b）+（2b c－4b c）=15a b－2b c.
（4）原式=（7xy+5xy－12xy）－8wx=－8wx.
1.合并同类项：
（1）x－f+5x－4f；（2）2a+3b+6a+9b－8a+12b；
（3）30a2b+2b2c－15a2b－4b2c;
（4）7xy－8wx+5xy－12xy．
习题3.2
解：（1）原式=3x +3x+1，当x=－5时，原式=61.
（2）原式=3x +3xy－9，当x=2，y=－3时,原式=－15.（3）原式=－pq－ m，当m=5，p= ,q=－ 时,原式=－ .
2.求代数式的值：
（1）6x+2x2－3x+x2+1，其中x=－5；
（2）4x2+3xy－x2－9，其中x=2，y=－3；
（3）3pq－ m－4pq，其中m=5，p= ，q= .
3.填空：
（1）一个长方形的宽为acm，长比宽的2倍多lcm，这个长方形的周长为_________cm;
（2）三个连续整数中，n是最小的一个，这三个数的和为_________;
（3）某景点的成人票价每张是20元，儿童票价每张是8元．甲旅行团有x名成人和y名儿童；乙旅行团的成人数是甲旅行团的2倍，儿童数是甲旅行团的 . 两个旅行团的门票费用总和为___________元.
（6a+2）
（3n+3）
（60x+12y）
解：（1）AB的长度为2.5x.
（2）阴影部分的周长为2(y+3y+2.5x)=8y+5x.
（3）阴影部分的面积为2.5xy+3y×0.5x=4xy.
4.某种T形零件尺寸如图所示.
（1）你能表示出AB的长度吗？（2）阴影部分的周长是多少？
（3）阴影部分的面积是多少？
解：（1）原式=2xy－3z. （2）原式=－3pr.
（3）原式=－3x－2y. （4）原式=－2x+6y－6.
（5）原式=4a b－3ab. （6）原式=2y2－4x+1.
5.化简下列各式：
(1)3(xy－2z)+(－xy+3z)； (2)－4(pq+pr)+(4pq+pr)；
(3)(2x－3y)－(5x－y); (4)－5(x－2y+1)－(1－3x+4y)；
(5)(2a2b－5ab)－2(－ab－a2b)；
(6)1－3(x－ y2)+(－x+ y2).
解：（1）原式=x +3xy－ x.
（2）原式=x2－y2.
6.计算：
（1）（3x2+2xy－ x）－（2x2－xy+x）；
（2）（ xy+y2+1）+（x2－ xy－2y2－1）；
解：（3）原式=2x2 y－6xy+10.
（4）原式=－2k2+2k+7.
（3）－（x2y+3xy－4）+3（x2y－xy+2）；
（4）－ （2k3+4k2－28）+ （k3－2k2+4k）．
解：（1）原式=x －8x.当x=10时，原式=20.
（2）原式= x－ y－ .当x= ，y= 时，原式=－ .
（3）原式=－y，当y=18时，原式=－18.
7.求下列各式的值：
(1)3x2－(2x2+5x－1)－(3x+1)，其中x=10；
(2)(xy－ y－ )－(xy－ x+1)，其中x= ，y= ；
(3)4y2－(x2+y)+(x2－4y2)，其中x=－28，y=18．
解：答案不唯一.如4xyz ， xyz ，－xyz 等都是2xyz 的同类项.
8.你能写出2xyz3的几个同类项吗？
解：有道理.因为a +a（a+b）－2a －ab=a +a +ab－2a －ab=2a +ab－2a －ab=0，所以无论a，b取何值，代数式a +a（a+b）－2a －ab的值都为0.所以小刚的说法有道理.
9.张老师让同学们计算“当a=0.25，b=－0.37时，代数式a2+a（a+b）－2a2－ab的值”.小刚说，不用条件就可以求出结果，你认为他的说法有道理吗？
*10.小华为一个长方形娱乐场所提供了如图所示的设计方案，其中半圆形休息区和长方形游泳区外的地方都是绿地.如果这个娱乐场所需要有一半以上的绿地，并且它的长和宽之间满足a= b，而小华设计的m、n分别是a，b的 ，那么他的设计方案符合要求吗？你能为这个娱乐场所提供一个既符合要求、又美观的设计方案吗？
解：绿地面积=ab-mn- πn =（ b）b-（ b） （ b）- π（ b）2= b - b > b = ab.所以小华的设计符合要求.发挥你的想象力，设计出符合要求的美丽图案.
解：商均为22. 理由：假设这三个数字分别为a，b，c，则这三个数字可组成的六个两位数分别为10a+b，10b+a，10a+c，10c+a，10b+c，10c+b，这六个数相加（10a+b）+（10b+a）+（10a+c）+（10c+a）+（10b+c）+（10c+b）=22（a+b+c），则22（a+b+c）÷(a+b+c)=22.
11.从1～9这九个数字中选择三个数字，由这三个数字可以组成六个两位数．先把这六个两位数相加，然后再用所得的和除以所选三个数字之和．你发现了什么？你能说明其中的道理吗？
※12.对于3×9=27,可以用10个手指直观地展示出来：如图，将两手平伸，手心向上，从左边开始数至第3个手指，将它弯起，此时它的左边有2个手指，右边有7个手指，“27”正是“3x9”的结果。类似地，1×9=9,2×9=18, 4×9=36，......，9×9=81也可以用手指直观地展示出来。请用本章学过的知识解释其中的道理。
12.设a表示1~9中的某个数,由题意,得
10( a-1 )+10-a= 10a-10+10-a= 9a.
知识点1 整式的加减运算
1.若,,则 的值为( )
B
A. B. C. D.
2.化简 的结果为( )
B
A. B. C. D.
3.［2024德阳中考］若一个多项式加上 ，结果是
，则这个多项式为_______。
4.（9分）［教材P随堂练习T 变式］化简下列各式：
（1） ；
解：原式 。
（2） ；
解：原式
。
（3） 。
解：原式 。
5.（8分）先化简，再求值：
（1），其中 ;
解：原式
。
当 时，
原式
。
（2），其中， 。
解：原式。当， 时，原式
。
知识点2 整式的加减应用
6.［2025商洛期中］黎老师做了个长方形教具，其中长为 ，宽为
，则该长方形教具的周长为( )
A
A. B. C. D.
7.一个三位数，个位数上的数字为 ，十位上的数字比个位上的数字的2
倍少3，百位上的数字是 ，用代数式表示这个三位数为______________
___。
8.［2025温州月考］某天杭州站开往广州站的动车上原载客 人，
当动车行驶至金华站时，下去了一半乘客，又上来了若干乘客，此时动
车上共有乘客 人，则在金华站上车的乘客有多少人？
解：因为动车上原载客 人，当动车行驶至金华站时，下去了
一半乘客，所以此时动车上有 人，
上来若干乘客，此时动车上共有乘客 人，
所以在金华站上车的乘客有 人。
整式的加减
整式加减法运算法则
求式子的值
先将式子 ，再 数值进行计算，比较简便
应用
进行整式加减运算时，如果遇到括号要先 ，然后再__________
去括号
合并同类项
化简
代 入
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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