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(共33张PPT)
北师大（2024）版数学七年级上册
第三章 整式及其加减
3.3 探索与表达规律
第 1 页：情境导入 —— 生活中的 “隐藏规律”
生活实例：
日历中的奥秘：观察日历，同一行相邻日期的差是几？同一列相邻日期的差是几？
图形的变化：用小木棒摆三角形，摆 1 个用 3 根，摆 2 个用 5 根，摆 3 个用 7 根…… 摆 n 个需要多少根？
数字游戏：按规律填数：2，4，6，8，，，第 n 个数是____；
思考：这些现象中都藏着固定的规律，如何用我们学过的代数式把规律表达出来？
第 2 页：核心方法 —— 探索规律的一般步骤
四步流程：
观察：对比已知数据 / 图形，找出相同点（不变的部分）和不同点（变化的部分）；
猜想：根据变化趋势，猜想变化部分与序号（n）的关系；
归纳：用含 n（n 为正整数）的代数式表示规律；
验证：代入序号验证代数式是否符合所有已知情况，确保规律成立。
一句话口诀：观察找异同，猜想联序号，归纳写代数式，验证定对错！
第 3 页：类型 1—— 数字规律探究（基础）
例 1：按规律填空，并写出第 n 个数的代数式
（1）3，6，9，12，15，，
（2）2，5，8，11，14，，
（3）1，4，9，16，25，，
观察：后一个数比前一个数大 3，序号 1 对应 3×1，序号 2 对应 3×2……
猜想：第 n 个数 = 3×n
代数式：3n（验证：n=5 时，3×5=15，符合；n=6 时，18，正确）
观察：后一个数比前一个数大 3，序号 1 对应 3×1-1=2，序号 2 对应 3×2-1=5……
猜想：第 n 个数 = 3n-1
代数式：3n-1（验证：n=4 时，3×4-1=11，符合）
观察：1=1 ，4=2 ，9=3 ，16=4 ……
代数式：n （第 n 个数是序号的平方）
小结：数字规律常与 “倍数、差、平方、倒数” 相关，重点关注 “序号 n” 与数字的对应关系。
第 4 页：类型 2—— 图形规律探究（直观）
例 2：用小木棒摆正方形（如图，摆 1 个正方形用 4 根，摆 2 个用 7 根，摆 3 个用 10 根……）
观察图形：
摆 1 个：4 根（3×1+1）
摆 2 个：4+3=7 根（3×2+1）
摆 3 个：7+3=10 根（3×3+1）
变化规律：每增加 1 个正方形，增加 3 根小木棒
代数式：3n+1（n 为正方形个数）
验证：n=4 时，3×4+1=13 根，实际摆放确实需要 13 根，成立！
例 3：图形拼接中的规律
如图，将大小相同的小长方形拼成一排，拼 1 个长方形用 2 个小长方形，拼 2 个用 3 个，拼 3 个用 4 个……
观察：拼 n 个大长方形需要（n+1）个小长方形
代数式：n+1（验证：n=1 时，2 个，正确；n=3 时，4 个，正确）
第 5 页：类型 3—— 日历中的规律（综合）
情境：观察日历表（以某月日历为例）
日
一
二
三
四
五
六
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
探究 1：同一行相邻日期
如：2，3，4，5 → 相邻两个数差 1
若中间数为 x，左边数为 x-1，右边数为 x+1；同一行三个连续数和为 (x-1)+x+(x+1)=3x（和是中间数的 3 倍）
探究 2：同一列相邻日期
如：3，10，17 → 相邻两个数差 7（一周 7 天）
若中间数为 x，上面数为 x-7，下面数为 x+7；同一列三个连续数和为 3x
探究 3：“田” 字格中的四个数
如：9，10，16，17 → 设左上角为 x，则四个数为 x，x+1，x+7，x+8
和为：x+(x+1)+(x+7)+(x+8)=4x+16=4 (x+4)（和是中间两个数平均数的 4 倍）
代数式表达：日历中规律的核心是 “相邻行差 7，相邻列差 1”，用字母 x 表示关键数，可推导其他数的表达式。
第 6 页：类型 4—— 循环规律探究（周期）
例 4：按规律排列的一串数字：1，2，3，1，2，3，1，2，3……
观察：周期为 3（1，2，3 重复出现）
探究：第 n 个数是什么？
当 n 除以 3 余 1 时，数为 1；
当 n 除以 3 余 2 时，数为 2；
当 n 除以 3 余 0（即整除）时，数为 3；
代数式：若 n=3k+1（k 为非负整数），则为 1；n=3k+2，为 2；n=3k，为 3。
例 5：图形循环：△□○△□○△□○……
周期为 3，第 n 个图形：
n=3k+1→△，n=3k+2→□，n=3k→○（k≥0）
第 7 页：易错辨析 —— 规律探究 “雷区”
错误类型
错误示例（以例 2 摆正方形为例）
正确思路
错误原因
误把 “变化量” 当 “总量”
认为摆 n 个正方形用 3n 根（忽略初始 1 根）
3n+1（初始 1 根，每增加 1 个加 3 根）
未考虑初始固定的数量，只看变化部分
序号与规律不匹配
把第 1 个数对应 n=0，导致代数式错误
序号从 1 开始，确保 n=1 时符合第一个数据
序号起点混乱，导致规律偏移
未验证规律
猜想摆 n 个正方形用 4n 根，未验证 n=2 时是否符合
验证 n=2：4×2=8≠7，修正规律
只猜想不验证，忽略例外情况
循环规律漏找周期
数字 1，2，1，2，1，2…… 认为第 n 个数是 n+1
周期为 2，第 n 个数：n 为奇数是 1，偶数是 2
未发现循环周期，强行找线性关系
第 8 页：基础练习 —— 规律表达
数字规律：
（1）-1，2，-3，4，-5，，，第 n 个数是____；（答案：6，-7；(-1) n）
（2）1，3，5，7，9，，，第 n 个数是____；（答案：11，13；2n-1）
图形规律：
用棋子摆成一列图案，摆 1 个用 6 枚，摆 2 个用 11 枚，摆 3 个用 16 枚…… 摆 n 个用____枚棋子；（答案：5n+1）
日历规律：
日历中，若某列三个连续日期的和为 60，这三个日期分别是____；（答案：13，20，27；设中间数为 x，3x=60→x=20）
第 9 页：提高练习 —— 综合规律探究
观察下列等式：
1×2 = (1×2×3 - 0×1×2)
2×3 = (2×3×4 - 1×2×3)
3×4 = (3×4×5 - 2×3×4)
……
猜想第 n 个等式，并验证其正确性。
代数式：n (n+1) = [n (n+1)(n+2) - (n-1) n (n+1)]
验证：右边 = [n (n+1)(n+2 - n + 1)]= [n (n+1)×3]？不，展开右边：
[n (n+1)(n+2) - (n-1) n (n+1)] = n (n+1)[(n+2)-(n-1)] = n (n+1)×3？不对，重新计算：
正确展开：n (n+1)(n+2) - (n-1) n (n+1) = n (n+1)[(n+2)-(n-1)] = n (n+1)×3？不，原题等式右边计算结果应为 n (n+1)：
实际验证 n=1：右边 = (1×2×3 - 0)=3？不对，原题等式应为 1×2= (1×2×3 - 0×1×2)=3？不，1×2=2， (6-0)=3，矛盾，修正等式后推导：
正确等式应为 1×2= (1×2×3 - 0×1×2)→2=3？错误，调整示例：1×2= (1×2×3)/3 - 0，2×3=(2×3×4)/3 - (1×2×3)/3，规律为 n (n+1)= [n (n+1)(n+2) - (n-1) n (n+1)]/3，验证 n=1：(6-0)/3=2，正确；代数式：n (n+1)= [n (n+1)(n+2) - (n-1) n (n+1)]/3。
图形规律：如图，第 n 个图形由多少个小圆圈组成？
（图形描述：第 1 个图形 1 个圈，第 2 个图形 3 个圈，第 3 个图形 6 个圈，第 4 个图形 10 个圈……）
规律：1=1，3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4……
代数式：n (n+1)/2（第 n 个图形是前 n 个正整数的和）
第 10 页：生活应用 —— 规律的实际价值
情境 1：手机套餐收费：每月基本费 20 元，每通话 1 分钟加收 0.1 元，通话 n 分钟的总费用是多少？
规律：总费用 = 基本费 + 通话费
代数式：20 + 0.1n（元）
应用：通话 100 分钟，总费用 = 20+0.1×100=30 元。
情境 2：叠纸游戏：一张纸对折 1 次有 2 层，对折 2 次有 4 层，对折 3 次有 8 层…… 对折 n 次有多少层？
规律：2=2 ，4=2 ，8=2 ……
代数式：2 （层）
应用：对折 5 次，层数 = 2 =32 层。
第 11 页：知识小结
核心思维：观察→猜想→归纳→验证（缺一不可）；
常见类型：数字规律（倍数、差、平方）、图形规律（变化量 + 初始量）、循环规律（找周期）、日历规律（差 7 差 1）；
关键技巧：用序号 n 连接变化部分，代数式要简洁，务必验证；
价值：规律表达是用代数解决实际问题的重要环节，为后续函数学习奠定基础。
找规律，填数。
(1)1，3，5，7，9，_______，______；
(2)3，6，9，12，15，______，_______；
(3)5，10，15，20，25，_______，_______。
11
13
18
21
30
35
请同学们伸出左手，一起做下面的游戏：从大拇指开始，像图中显示的这只手那样依次数数字 1，2，3，4，5，……，请问数字 20 落在哪个手指上？
你们能很快地说出数字 200落在哪个手指上吗？2000 呢？
探究1：观察日历图，日历图中的数有什么规律
星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26
27 28 29 30 31
提示：(1) 请找出同一横线上三个相邻数之间的关系；
(2) 请同学们找一找竖列三个相邻数的关系；
星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26
27 28 29 30 31
(3) 请同学们找一找左上右下对角线上三个相邻数的关系；
(4) 请同学们找一找左下右上对角线上三个相邻数的关系.
星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26
27 28 29 30 31
a
a-7
a+8
a-8
a+6
a-6
a+7
a-1
a+1
(a-8)+(a-7)+(a-6)+(a-1)+a+(a+1)+(a+6)+(a+7)
+(a+8) = ______
9a
结论：绿色方框中九个数之和 = 9×正中间的数
用代数式表示：
你们能很快地说出数字 200 落在哪个手指上吗？2000 呢？
大拇指 食指 中指 无名指 小拇指
1 2 3 4 5
9 8 7 6
10 11 12 13
17 16 15 14
18 19 20 21
25 24 23 22
大拇指 食指 中指 无名指 小拇指
1 2 3 4 5
8 7 6
9 10 11 12 13
16 15 14
17 18 19 20 21
24 23 22
隔行有数
相差为 8
小拇指：8 的倍数 - 3
8×25 + 1 = 201，
食指：200。
8×250 + 1 = 2001，
食指：2000。
大拇指：8 的倍数 + 1
8 的倍数都落在食指上
你在心里想好一个两位数，将十位数字乘 2，然后加 3，再将所得新数乘 5，最后将得到的数加个位数字。把你的结果告诉我，我就知道你心里想的两位数。
你知道是怎样算出来的吗？
我的结果是93。
你心里想的数是78。
我的结果是27。
你心里想的数是12。
假设这个两位数十位上的数字为 a，个位上的数字为 b。
则这个两位数可表示为 (10a + b)
(2a + 3)×5 + b = 10a + b + 15
新数字比原来的数字大 15。
游戏解密
尝试·思考
(1) 一个三位数能否被 3 整除，只要看这个数的各数位上的数字之和能否被 3 整除。你能说明其中的道理吗
因为 99a 和 9b 都能被 3 整除，
若 a + b + c 也能被 3 整除，
则该三位数 abc 可以被 3 整除，
所以，一个三位数能不能被 3 整除，只要看这个数的各位上数字之和能不能被 3 整除。
100a + 10b + c
设一个任意三位数为 abc，则这个三位数的数值
= 99a + a + 9b + b + c
= 99a + 9b + (a + b + c)；
(2) 一个四位数能否被 3 整除是否也有这样的规律 请说明理由。
动手试一试！
一个四位数能否被 3 整除，只要看这个数的各数位上的数字之和能否被 3 整除。
正整数按下图的规律排列，则第二十行，第二十一列的数字是________。
420
练一练
1.某学校食堂的餐桌椅有两种摆放方式。
（1）按下图方式摆放餐桌和椅子，照这样的方式继续排列餐桌，摆4张桌子可坐多少人？摆5张桌子呢？摆n张桌子呢？
解：4张桌子可以坐12人，5张桌子可以坐14人，n张桌子可以坐（2n+4）人.
习题3.3
（2）按下图方式摆放餐桌和椅子，照这样的方式继续排列餐桌，摆4张桌子可坐多少人？摆5张桌子呢？摆n张桌子呢？
解：4张桌子可以坐18人，5张桌子可以坐22人，n张桌子可以坐（4n+2）人.
2.将连续的奇数1，3，5，7，9，…排成如图所示的数表．
（1）十字形框中的五个数之和与中间数15有什么关系？
（2）设中间数为a，如何用代数式表示十字形框中五个数之和？
（3）若将十字形框上下左右移动，可框住另外五个数，这五个数还有上述的规律吗？
（4）十字形框中的五数之和能等于2012吗？能等于2015吗？
解：（1）5个数之和为75，是15的倍数.
（2）5a. （3）有.
（4）因为2012不能被5整除，2015能被5整除，所以十字形框中的五数之和不能等于2012，能等于2015.
解：假设心里想的数为a，
则由题意得[（4a+8）×5+7]×5=100a+235.
所以只要将计算的结果减去235，再除以100，就是心里所想的数了.
3.小强：“你在心里想好一个数，按照下列步骤进行计算：把这个数乘4，然后加8，再把所得新数乘5，然后再加7，最后再把得到的数乘5.把你的结果告诉我，我就知道你心里想的数了．”同学们试了几次，小强都猜对了，你知道这是为什么吗？
解：答案不唯一.提示：小亮和他的好朋友约定的规则是：把每个字母换成字母表中其后第2个字母，设计略.
4. 小亮和好朋友经常玩一种密码游戏:他们事先约定英文字母表中各字母位置的变化规则，以此实现加密和解密。有一次小亮给好朋友留了一张纸条，纸条上写着“kccr zcfglb rfc jgzpypw”，好朋友一下子就明白了“meet behind the library”．
(1)小亮他们这次事先约定的字母位置变化规则是什么 请用代数式表达他们的规则。(2)请你尝试设计一个类似的密码游戏。
解：末两位是00,25,50,75的任何数可以表示为100a+b ,
其中b表示00,25,50,75.显然100a+b 能被25整除.
5.末两位是00，25，50，75的任何数均能被25整除，这是为什么 请解释其中的道理。
知识点1 探索数及式的规律
1.［2024徐州中考］观察下列各数：3、8、18、38、 ，按此规律，第
个数为( )
D
A.48、58、68 B.58、78、98 C.76、156、316 D.78、158、318
2.观察按一定规律排列的代数式：，，，，， ，第
个代数式是( )
D
A. B. C. D.
3.观察下列等式：
第1个： 。
第2个： 。
第3个： 。
第4个： 。
…
按照以上规律，第 个等式为____________________________________。
知识点2 探索表格的数字规律
4.［教材 问题引入变式］图①是某年10月的月历。若在月历中任意画
一个十字框，框住五个数，设这五个数为，，，， （如图②），
若，则 ( )
C
A.68 B.58 C.48 D.38
5.如图①是2025年1月的月历，用如图②所示的图形框出图①中3个数，
则这3个数的和最大为____。
75
知识点3 探索图形的规律
6.［2024济宁中考］如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼正方
形。第一幅图有1个正方形，第二幅图有5个正方形，第三幅图有14个正
方形……按照此规律，第六幅图中正方形的个数为( )
B
A.90 B.91 C.92 D.93
7.［教材P随堂练习T 变式］用同样长的小棒摆成如图所示的图形，
第1个图形用5根小棒，第2个图形用9根小棒，第3个图形用13根小棒，
，按照这样的方式摆下去，第2 025个图形所用小棒的根数为( )
C
A.8 093 B.8 097 C.8 101 D.8 105
8.如图是用棋子摆成的“”形图，按这样的规律摆下去，第 个需要
_________枚棋子。
9.［2024扬州中考］1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一
列数：1，1，2，3，5， ，这一列数满足：从第三个数开始，每一个
数都等于它的前两个数之和。则在这一列数的前2 024个数中，奇数的
个数为( )
D
A.676 B.674 C.1 348 D.1 350
10.图中各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律， 的值
为( )
D
A.42 B.76 C.142 D.272
数式变化中的规律
图形拼接中的规律
探索与表达规律
探索 猜想 验证
特殊 一般
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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