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北师大（2024）版数学七年级上册
第四章 认识基本的平面图形
4.1.2 比较线段的长短
小明
我要到学校可以怎么走呀？哪一条路最近呀？
邮局
学校
商店
小明家
探究点1 与线段有关的几何事实及两点之间的距离
问题1
如图，现实生活中，为什么草地中间会被人走出一条“捷径”？
这是一条近路
问题2
如图，从A地到C地有四条道路，哪条路最近？
①
②
③
④
最近
根据生活经验，我们发现：
两点之间的所有连线中，线段最短。
这一事实可以简述为：
两点之间线段最短。
我们把两点之间线段的长度，叫作这两点之间的距离。
描述的是数量，而不是图形，指的是连接两点的线段的长度，而不是线段本身。
第 1 页：情境导入 —— 生活中的 “长短比较”
生活实例（配图提示）：
比较两根铅笔的长短、两条绳子的长短、两张课桌的边长；
从家到学校有两条路（一条直路、一条弯路），哪条路更近？
体育课上，同学们站成一排，如何快速判断谁的身高更高（本质是比较线段长短）；
思考：线段有具体长度，我们可以用哪些方法比较两条线段的长短？“近路” 为什么更近？
第 2 页：核心方法 1—— 度量法（用工具测量）
定义：用刻度尺测量两条线段的长度，通过比较数值大小确定线段长短。
操作步骤（配图）：
用刻度尺的 0 刻度线对准线段的一个端点（如线段 AB 的端点 A）；
读取线段另一个端点对应的刻度值（如端点 B 对应刻度 5cm，则 AB=5cm）；
同理测量另一条线段 CD 的长度（如 CD=3cm）；
比较数值：5cm > 3cm → 线段 AB > 线段 CD。
注意事项：
刻度尺要与线段重合，不能歪斜；
读数时视线要与尺面垂直，避免误差；
单位要统一（如都用 cm 或都用 mm）。
第 3 页：核心方法 2—— 叠合法（重合比较）
定义：将两条线段的一个端点重合，通过观察另一个端点的位置关系比较长短（无刻度尺时常用）。
操作步骤（以比较线段 AB 和 CD 为例，配图）：
把线段 AB 和 CD 放在同一条直线上；
使端点 A 与端点 C 重合，且线段 AB 与线段 CD 的方向一致；
观察端点 B 和 D 的位置：
若 B 在 C、D 之间（如：C (A)——B——D）→ AB < CD；
若 B 与 D 重合（如：C (A)——D (B)）→ AB = CD；
若 B 在 D 的延长线上（如：C (A)——D——B）→ AB > CD。
关键：端点重合、方向一致、在同一直线上，避免错位导致误差。
第 4 页：两种方法对比 —— 各有优劣
比较方法
优点
缺点
适用场景
度量法
准确、直观，能得到具体长度
需要刻度尺，有测量误差
需要精确知道长度时
叠合法
无需工具，操作简便
不能得到具体长度，只能比较大小
无测量工具或快速比较时
口诀：度量法，读数值；叠合法，看端点；两种方法，按需选择。
第 5 页：核心性质 —— 两点之间，线段最短
探究活动（配图）：
问题：在平面上有 A、B 两点，连接 A、B 的路径有哪些？（曲线、折线、线段）
观察：用刻度尺测量各路径长度，发现线段 AB 的长度最短；
基本事实（公理）：两点之间的所有连线中，线段最短。
相关概念：两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离（强调：距离是 “长度”，是数值，不是线段本身）。
示例：A、B 两点之间的距离是 5cm，指的是线段 AB 的长度为 5cm。
第 6 页：生活应用 —— 性质的实际价值
情境 1：修路时，遇到两座山之间的峡谷，工程师会直接修一条隧道连接两端，利用了 “____”；（答案：两点之间，线段最短）
情境 2：从教学楼到图书馆，同学们习惯走直路，而不是绕路，原因是____；（答案：两点之间，线段最短，直路是线段，距离最短）
情境 3：测量两棵树之间的距离，其实是测量____；（答案：两棵树底部两个点之间线段的长度）
拓展：“两点之间，线段最短” 是交通、建筑、规划等领域的重要依据，能节省材料、时间和路程。
第 7 页：实例解析 —— 线段长短的应用与计算
例 1：如图，已知线段 AB=6cm，线段 CD=4cm，用两种方法比较 AB 和 CD 的长短。
度量法：AB=6cm，CD=4cm → AB > CD；
叠合法：使 A 与 C 重合，AB 与 CD 方向一致，B 在 D 延长线上 → AB > CD。
例 2：线段中点相关计算（衔接上一节）
已知点 M 是线段 AB 的中点，AB=10cm，点 N 是线段 MB 的中点，求线段 MN 的长度。
解：∵ M 是 AB 中点 → AM=MB= AB=5cm；
∵ N 是 MB 中点 → MN= MB=2.5cm；
∴ 线段 MN 的长度是 2.5cm。
例 3：路径最短问题
如图，A、B 是直线 l 两侧的两个点，在直线 l 上找一点 P，使 PA + PB 的长度最短。
思路：连接 AB，与直线 l 的交点即为点 P（依据：两点之间，线段最短）；
作图步骤（文字描述）：① 连接 AB；② 标记 AB 与直线 l 的交点 P；③ 点 P 即为所求。
第 8 页：易错辨析 —— 常见错误警示
错误类型
错误说法 / 做法
正确说法 / 做法
错误原因
概念混淆
两点之间的距离是线段 AB
两点之间的距离是线段 AB 的长度
混淆 “线段”（图形）与 “距离”（长度，数值）
叠合法操作错误
比较时端点不重合或方向不一致
确保一个端点重合、方向一致、在同一直线
操作不规范导致比较结果错误
度量法误差
刻度尺歪斜或读数视线倾斜
刻度尺与线段重合，视线垂直尺面
测量方法错误导致长度数值不准
性质误解
两点之间，直线最短
两点之间，线段最短
混淆直线（无限延伸）与线段（有长度）的性质
第 9 页：基础练习 —— 巩固方法与性质
填空题：
（1）比较两条线段的长短有____和____两种方法；（答案：度量法，叠合法）
（2）两点之间，最短，两点之间线段的长度叫做；（答案：线段，两点之间的距离）
（3）若线段 AB=8cm，点 C 是 AB 的中点，则 AC=____cm，BC=cm；（答案：4，4）
（4）从 A 地到 B 地，走直线距离是 10km，走弯路是 15km，这是因为；（答案：两点之间，线段最短）
选择题：
（1）下列说法正确的是（ ）
A. 线段 AB 的长度是 A、B 两点间的距离 B. 两点之间直线最短
C. 比较线段长短时，叠合法无需端点重合 D. 射线可以比较长短（答案：A）
（2）用叠合法比较线段 AB 和 CD，使 A 与 C 重合，B 与 D 重合，则（ ）
A. AB > CD B. AB = CD C. AB < CD D. 无法确定（答案：B）
第 10 页：提高练习 —— 综合计算与作图
计算题：
已知线段 AB=12cm，点 C 在线段 AB 上，且 AC=4cm，点 D 是 BC 的中点，求线段 AD 的长度。
解：∵ BC=AB - AC=12 - 4=8cm；
∵ D 是 BC 中点 → CD= BC=4cm；
∴ AD=AC + CD=4 + 4=8cm。
作图题（文字描述步骤）：
已知线段 a、b（a > b），用叠合法画出一条线段，使它等于 a - b。
步骤 1：画射线 OM；
步骤 2：在射线 OM 上截取线段 OC=a（使 OC=a）；
步骤 3：在线段 OC 上截取线段 CD=b（端点 C 重合，方向相反）；
步骤 4：线段 OD 即为所求（OD=OC - CD=a - b）。
第 11 页：知识小结
核心方法：比较线段长短的两种方法 —— 度量法（测长度、比数值）、叠合法（重合端点、看位置）；
关键性质：两点之间，线段最短（距离的定义：两点之间线段的长度）；
相关计算：结合线段中点，进行线段长度的和、差、倍、分计算；
易错点：区分 “线段” 与 “距离”、叠合法操作规范、避免测量误差；
衔接：本节课为后续学习角的比较、线段的和差作图奠定基础，是几何操作的重要入门内容。
例1 如图，这是A，B两地之间的公路，在公路工程改造计划时，为使A，B两地行程最短，应如何设计线路？请在图中画出，并说明理由。
A
B
两点之间线段最短。
【对应训练】
1.把原来弯曲的河道改直，这种操作所蕴含的数学原理是__________________。
两点之间线段最短
A
B
A
B
N
M
2.如图，直线 MN 表示一条河流，在河流两旁有两点A，B表示两块稻田，若要在河岸边某一位置开渠引水灌溉稻田，则在河岸哪个位置开渠可使水到两块稻田的距离之和最小？为什么？
两点之间线段最短
连接点A，点B
P
解：如图，连接 AB 交直线 MN 于点P，在交点 P 处开渠可使得水到两块稻田的距离之和最小,依据的是“两点之间线段最短”。
探究点2 比较线段的长短及尺规作图
问题1
下图中哪棵树较高？哪支铅笔较长？窗框相邻的两条边哪条较长？你是怎么比较的？
问题2
怎样比较两条线段的长短？与同伴进行交流。
方法一
度量法
A
B
C
D
4cm
5cm
线段AB小于线段CD
记作AB＜CD
从“数”的角度进行比较
利用度量法测量时，一般采用相同的测量工具，单位要统一，精确度要一致。
C
D
（A）
方法二
叠合法
把其中的一条线段移到另一条线段上去，将其中的一个端点重合在一起加以比较。
A
B
B
线段AB＜线段CD
从“形”的角度进行比较
用尺规作图的方法可以实现。只用没有刻度的直尺和圆规画图称为尺规作图。
一个端点对齐（重合），另一个端点落在同一侧。
问题3
你认为按照叠合法，两条线段的长短比较有哪些可能性？
A
B
C
D
A
B
C
D
C
D
A
B
线段AB大于线段CD
记作AB＞CD
线段AB等于线段CD
记作AB=CD
线段AB小于线段CD
记作AB＜CD
例2 如图，已知线段 AB，用尺规作一条线段等于已知线段 AB。
【教材 P115 例题】
A
B
作法：1.作射线A′C′。
2.用圆规在射线A′C′上截取A′B′=AB。
线段A′B′就是所要作的线段。
A′
C′
B′
圆规两只脚的端点分别与端点A，B重合，再保持两脚不动分别移至点A′，B′。
对应训练
【教材 P115随堂练习第1题】
1. 如图，比较折线 AB 和线段 A′B′ 的长短，你有什么方法？需要什么工具？
解：有两种方法：一种方法是用刻度尺量出折线AB中每一条线段的长度，求出它们的长度和；再量出线段A′B′的长度，再进行比较。
另一种方法是将折线AB的端点A与线段A′B′的端点A′重合，用圆规把折线AB中的每一条线段分别顺次地移到线段A′B′上去，再进行比较。
需要的工具有刻度尺、圆规。
【教材 P115随堂练习第2题】
2. 如图，已知线段 a 和 b，直线 AB 和 CD 相交于点 O。请用尺规按下列要求作图：
a
b
A
B
C
D
O
（1）在射线 OA，OB，OC 上作线段 OA'，OB'，OC'，使它们分别与线段 a 相等；
（2）在射线 OD 上作线段 OD'，使 OD' 与线段 b 相等；
（3）连接 A'C'，C′ B′，B′D′，D′A′。
你得到了一个怎样的图形？与同伴进行交流。
a
b
A
B
C
D
O
A′
B′
C′
D′
解：所得到的图形如图所示，是一个四边形(筝形)。
3. 如图，已知线段 a， b，用尺规作一条线段 m，使 m= a+b.
解：如图所示，线段 m即为所求。
【教材 P116随堂练习第3题】
探究点3 线段的中点
问题1
在一张透明的纸上画一条线段，折叠纸片，使线段的两个端点重合，折痕与线段的交点是线段的什么位置？
中点位置
问题2
将纸展平，对照图形，描述一下线段中点的概念。
A
B
M
M
点M把线段AB 分成相等的两条线段AM与BM，点M 叫作线段 AB 的中点。
A
B
M
几何语言：
点M 是线段 AB 的中点
若点M 是线段 AB 的中点，
则
AM=MB= AB
（或AB=2AM=2BM ）
反之也成立：
若
AM=MB= AB
（或AB=2AM=2BM ）
则点M 是线段 AB 的中点
尝试·思考
在直线l上顺次取A，B，C三点，使得AB=4cm，BC=3cm。如果点O是线段 AC的中点，那么线段AC和OB的长度分别是多少？
A
O
B
C
l
解：作图如图所示。
由图可知，AC=AB+BC=4+3=7(cm)，
因为点O是线段AC的中点，
所以OA= AC= ×7=3.5(cm)。
所以OB=AB-OA=4-3.5=0.5(cm)。
所以线段AC和OB的长度分别是7cm，0.5cm。
【对应训练】
1.若点C是线段AB的中点，且BC=3cm，则AB 的长是( )
A.1.5cm B.3 cm C.4.5 cm D.6 cm
D
2.[尝试·思考 变式题]在直线l上取A，B，C三点，使得 AB=5cm，BC=3 cm，如果点 O 是线段 AC 的中点，那么线段 OB 的长度是多少？
解：因为A，B，C三点不是在直线l上顺次取的，所以有两种情况：
第一种情况如图所示，点C在点A，B之间。
因为AB=5cm，BC=3cm，所以AC=AB-BC=5-3=2(cm)。
因为点O是线段AC的中点，
所以OC= AC= ×2=1(cm)。
所以OB=OC+BC=1+3=4(cm)。
第二种情况如图所示，点C在AB的延长线上。
依照尝试·思考中思路可求得OB=1cm。
综上，线段OB的长度是4cm或1cm。
【综合演练】
如图，已知线段a和射线 AP。
a
A
P
（1）用圆规在射线AP上截取AB=3a(保留作图痕迹)；
A
P
B
（2）若点C为线段AB 的中点，点D在射线BP上，且 AD=4a，请你画出图形，并求出 C，D 两点之间的距离（用含a的代数式表示）。
a
A
P
解：因为点C为线段AB的中点，
所以AC= AB= ×3a=1.5a。
又因为C，D两点之间的距离即为线段CD的长，
所以C，D两点之间的距离为2.5a。
D
B
C
所以CD=AD- AC=4a-1.5a=2.5a。
知识点1 线段的基本事实及两点间的距离
1.［2025台州月考］小胡一家准备从地自驾到 地玩，导航提供了几条
驾车路线， 两地的实际距离只有2.2千米，但是提供的几条路线实际
路程均大于2.2千米，这是因为__________________。
两点之间线段最短
2.下列说法错误的是( )
B
A.，两点间的距离为
B.，两点间的距离就是线段
C.，两点间的距离就是线段 的长度
D.，两点间线段的长度就叫作、 两点间的距离
知识点2 比较两条线段的长短
3.有不在同一直线上的两条线段和 ，李明很难判断出它们的长短，
因此他借助于圆规，操作如图所示，由此可得出___（填“ ”“
”或“ ”）。
（第3题）
4.在三角形中，比较和 的长短，方法不可行的是( )
D
（第4题）
A.用直尺测量出和 的长度
B.用圆规将线段叠放到线段上，观察点 的
位置
C.将三角形沿过点的直线折叠，使和
重合，观察点 的位置
D.用圆规将线段叠放到线段上，观察点 的
位置
知识点3 线段的尺规作图
5.尺规作图是指( )
D
A.用量角器和刻度尺作图 B.用直尺规范作图
C.用刻度尺和圆规作图 D.用没有刻度的直尺和圆规作图
6.（4分）［教材P随堂练习T 变
式］已知线段，，点， 位置如
图所示。画射线 ，并用圆规在射
线上依次截取， 。
（不写作法，保留作图痕迹）
解：如图。
知识点4 线段的中点
7.如图，点在线段上，下列不能表示点是线段 的中点的是
( )
（第7题）
D
A. B.
C. D.
8.如图，已知点，是线段上的两点，且点是线段 的中点，
，，则线段 的长度为( )
（第8题）
C
A.10 B.8 C.4 D.2
9.（8分）如图，点，，， 在一条直线上。
（1）________， ____。
（2）已知，，为的中点，求线段 的长。
解：因为为的中点， ，
所以 。
因为 ，
所以 。
10. 已知点，，在同一条直线上， ，
，则， 两点间的距离是( )
C
A. B. C.或 D.或
11.在线段上，分别以点，为圆心，为半径画弧，交线段 于
点，，如图所示，则线段与线段 的大小关系是( )
C
A. B. C. D.不能确定
12.如图，，点是的中点，点在上， ，则
的长为( )
A
A.14 B.12 C.10 D.8
13.［教材复习题变式］如图，，，， 四点分别代表四个
居民小区，，两个小区之间的距离为4千米，， 两个小区之间的
距离为3千米，现要在四个小区之间建一个供水站，使供水站到 ，
，， 四个小区的距离之和最短，那么最短距离为___千米。
7
14.［教材习题变式］已知线段，延长到点 ，使
，反向延长到点，使。若是的中点， 是
的中点，则线段 的长为______。
15.（8分）［2025西安长安区期末］如图，已知线段， 。
（1）用尺规作一条线段，使 ；
解：如图①，线段 即为所求。
（2）在（1）的条件下，若线段，，在线段 的延长线上
取点，使得，点是线段的中点，求线段 的长度。
解：如图②，由题意得， ,
所以 。
因为点是线段 的中点，
所以 ，
所以 。
16.（10分） 【问题情境】已知，，， 四点在同
一直线上，线段，点在线段 上。
【初步应用】
（1）如图①，点是线段的中点，，求线段 的长度；
解：因为，点是线段的中点，所以 。
又因为， ，
所以， ，
所以 。
【迁移应用】
（2）如图②，若点是直线上的一点，且满足 ，
，求线段 的长度。
解：①如图①，当点在线段 上时，
因为， ，
所以 ，
所以 。
②如图②，当点在点 的右侧时，
因为， ，
所以，所以 ，
所以 。
③当点在点的左侧时，不存在符合题意的点 ，舍去。
综上所述，线段的长度为或 。
知识结构
比较线
段的长短
几何事实
两点之间线段最短
两点之间的距离
两点之间线段的长度
线段长
短的比较
观察法
度量法
叠合法
尺规作图
作一条线段等于已知线段
线段
的中点
概念
性质
线段的和差计算（分类讨论思想）
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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