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北师大（2024）版数学七年级上册
第四章 认识基本的平面图形
4.3 多边形和圆的初步认识
观察图片，你能发现哪些熟悉的平面图形？
第 1 页：情境导入 —— 生活中的 “复杂图形”
生活实例（配图提示）：
多边形：教室的黑板（长方形）、地板的瓷砖（正方形、正六边形）、三角尺（三角形）、五角星（五边形）；
圆：时钟的表盘、车轮、光盘、圆桌的桌面；
思考：这些图形与之前学的线段、角有什么区别？它们由什么组成？有哪些共同的结构特征？
第 2 页：核心概念 1—— 多边形的定义与构成
定义：在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形。
构成要素（配图标注：以四边形 ABCD 为例）：
边：组成多边形的每条线段（如 AB、BC、CD、DA），多边形有 n 条边就叫做 n 边形；
顶点：相邻两条边的公共端点（如 A、B、C、D）；
内角：多边形相邻两边组成的角（如∠A、∠B、∠C、∠D），也叫多边形的角；
对角线：连接多边形不相邻两个顶点的线段（如四边形 ABCD 中，AC、BD 是对角线）。
关键词强调：
平面内、不在同一直线上、首尾顺次相连、封闭图形（缺一不可）；
常见多边形：三角形（3 边）、四边形（4 边）、五边形（5 边）、六边形（6 边）……n 边形（n≥3）。
第 3 页：多边形的分类 —— 按边的特征划分
分类标准
类型
定义
示例
边是否相等
正多边形
各边相等、各内角也相等的多边形
正三角形（等边三角形）、正方形、正六边形
非正多边形
边不都相等或内角不都相等的多边形
一般三角形、长方形（角相等但边不一定相等，非正四边形）、平行四边形
边的个数
三角形
3 条边组成的多边形
锐角三角形、直角三角形、钝角三角形
四边形
4 条边组成的多边形
长方形、正方形、梯形
五边形
5 条边组成的多边形
正五边形、五角星（凹五边形）
...
...
...
补充：按内角大小可分为凸多边形（所有内角都小于 180°，边不向内凹陷）和凹多边形（至少有一个内角大于 180°，边向内凹陷），初中阶段重点研究凸多边形。
口诀：正多边形，边等角等；凸多边形，角都小于 180°。
第 4 页：多边形的核心特征 —— 边、顶点、内角、对角线的关系
规律探究（以凸多边形为例）：
多边形边数 n
顶点个数
内角个数
从一个顶点出发的对角线数
对角线总条数
3（三角形）
3
3
0（无不相邻顶点）
0
4（四边形）
4
4
1（如从 A 出发连 AC）
2
5（五边形）
5
5
2（如从 A 出发连 AC、AD）
5
6（六边形）
6
6
3（如从 A 出发连 AC、AD、AE）
9
...
...
...
...
...
n（n≥3）
n
n
n-3（减去自身和相邻 2 个顶点）
n(n-3)/2
示例验证：四边形 n=4，对角线总条数 = 4×(4-3)/2=2（正确）；五边形 n=5，总条数 = 5×(5-3)/2=5（正确）。
第 5 页：核心概念 2—— 圆的定义与构成要素
定义：在平面内，到定点的距离等于定长的所有点组成的封闭图形叫做圆。
构成要素（配图标注）：
圆心（O）：平面内的定点，圆的中心，决定圆的位置；
半径（r）：连接圆心和圆上任意一点的线段（如 OA、OB），定长叫做半径，决定圆的大小；
直径（d）：通过圆心且两端都在圆上的线段（如 AB），直径 = 2× 半径（d=2r），是圆中最长的弦；
弦：连接圆上任意两点的线段（如 CD、AB，直径是特殊的弦）；
弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，用符号 “⌒” 表示：
半圆：圆的直径将圆分成的两个相等的弧（如⌒AB）；
优弧：大于半圆的弧（用三个字母表示，如⌒ACB）；
劣弧：小于半圆的弧（用两个字母表示，如⌒AC）；
扇形：由一条弧和经过这条弧的两个端点的两条半径所组成的图形（如扇形 OAC）。
关键词强调：圆是 “点的集合”，半径决定大小，圆心决定位置；同圆或等圆的半径相等、直径相等。
第 6 页：圆的相关特征 —— 易混概念辨析
概念
定义
区别与联系
半径 vs 直径
半径：圆心→圆上一点；直径：圆心且两端在圆上
直径 = 2 半径，直径是最长的弦，半径不是弦
弦 vs 弧
弦：线段（两点连线）；弧：曲线（两点间部分）
都连接圆上两点，弦是线段，弧是曲线
半圆 vs 扇形
半圆：弧（曲线）；扇形：弧 + 两条半径（封闭图形）
半圆是扇形的一部分（扇形可含半圆）
优弧 vs 劣弧
优弧 > 半圆；劣弧 < 半圆
都用 “⌒” 表示，优弧需三个字母标注
示例：如图，圆 O 中，OA 是半径，AB 是直径，CD 是弦，⌒AC 是劣弧，⌒ACB 是优弧，扇形 OAC 是由⌒AC 和 OA、OC 组成的图形。
第 7 页：实例解析 —— 多边形与圆的特征应用
例 1：一个正六边形的边长为 5cm，求它的顶点个数、内角个数、对角线总条数。
解：正六边形是 6 边形（n=6）；
顶点个数 = 6，内角个数 = 6；
对角线总条数 = 6×(6-3)/2=9（条）；
结论：顶点 6 个，内角 6 个，对角线 9 条，边长均为 5cm，内角均相等。
例 2：已知圆 O 的半径为 3cm，求它的直径、最长弦的长度，并判断扇形 OAB 的构成要素。
解：直径 d=2r=6cm；
圆中最长的弦是直径，长度为 6cm；
扇形 OAB 的构成：弧 AB、半径 OA、半径 OB。
例 3：一个多边形从一个顶点出发能画 3 条对角线，求这个多边形的边数和内角个数。
解：从一个顶点出发的对角线数 = n-3=3 → n=6；
内角个数 = 边数 = 6；
结论：这是一个 6 边形（六边形），有 6 个内角。
第 8 页：易错辨析 —— 常见概念 “雷区”
错误类型
错误说法
正确说法
错误原因
多边形概念错误
由三条线段组成的图形是三角形
由三条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形是三角形
缺少 “不在同一直线、首尾顺次相连、封闭” 条件
正多边形判断错误
长方形是正四边形
长方形不是正四边形（边不都相等）
正多边形需满足 “边等 + 角等”，长方形仅角等
圆的概念错误
圆的半径是弦，直径是弧
圆的半径不是弦（不连接圆上两点），直径是弦不是弧
混淆弦、弧、半径的定义
对角线计算错误
五边形的对角线总条数是 3 条
五边形对角线总条数是 5 条
误用 “从一个顶点出发的对角线数” 当作总条数
扇形构成错误
扇形是由一条弧和一条弦组成的
扇形是由一条弧和经过弧端点的两条半径组成的
忽略扇形的 “两条半径” 要素
第 9 页：基础练习 —— 巩固概念与特征
填空题：
（1）在平面内，由 n 条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做____，n≥；（答案：多边形，3）
（2）正多边形的特点是____和____都相等；（答案：各边，各内角）
（3）圆的____决定圆的位置，决定圆的大小，直径 =× 半径；（答案：圆心，半径，2）
（4）从 n 边形的一个顶点出发能画____条对角线，总对角线数为；（答案：n-3，n (n-3)/2）
（5）圆上两点间的部分叫做____，由弧和两条半径组成的图形叫做____；（答案：弧，扇形）
选择题：
（1）下列图形中是正多边形的是（ ）
A. 长方形 B. 等边三角形 C. 平行四边形 D. 一般三角形（答案：B）
（2）下列说法正确的是（ ）
A. 圆的半径是弦 B. 四边形的对角线总条数是 4 条
C. 正六边形的各边相等、各内角相等 D. 扇形是由弧和弦组成的（答案：C）
计算题：
一个多边形的对角线总条数为 14 条，求这个多边形的边数。
解：设边数为 n，由对角线公式 n (n-3)/2=14 → n (n-3)=28 → 解得 n=7（n=-4 舍去）；
结论：这个多边形是 7 边形（七边形）。
第 10 页：生活应用 —— 多边形与圆的实际价值
情境 1：家里铺的地板砖用正六边形，原因是正六边形的边长相等，拼接时没有缝隙（密铺），利用了正多边形 “边等角等” 的特征；
情境 2：车轮做成圆形，是因为圆心到圆上各点的距离相等（半径相等），行驶时车身保持平稳，利用了圆的 “半径相等” 特征；
情境 3：扇形统计图用于展示各部分占总体的比例，是利用扇形 “由半径和弧组成，可表示部分与整体关系” 的特征；
拓展：多边形在建筑（蜂巢的正六边形结构）、机械（齿轮的齿形）、设计（五角星图案）中广泛应用；圆在交通（车轮）、工业（光盘）、天文（星球轨道）中不可或缺。
第 11 页：知识小结
核心概念：
多边形：定义、构成（边、顶点、内角、对角线）、分类（正多边形、凸 / 凹多边形）；
圆：定义、构成（圆心、半径、直径、弦、弧、扇形）、核心特征（半径决定大小，圆心决定位置）；
关键公式：n 边形对角线总条数 = n (n-3)/2（n≥3）；圆的直径 d=2r；
易错点：多边形的定义条件、正多边形的判断标准、圆的易混概念（半径 / 弦 / 弧）、对角线计算；
衔接：本节课是平面图形的综合认知，为后续学习多边形的内角和、圆的周长与面积、密铺问题奠定基础，是几何与生活联系的重要纽带。
观察图片，你能发现哪些熟悉的平面图形？与同伴进行交流。
能发现圆、三角形、四边形、五边形、六边形等
三角形、四边形、五边形、六边形等都是多边形.
它们都是由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形.
下列图形是多边形的有： .（只填序号）
（1）（4）
A
B
C
D
E
在多边形 ABCDE 中，点 A，B，C，D，E 是多边形的顶点；
线段 AB，BC，CD，DE，EA 是多边形的边；
∠EAB，∠ABC，∠BCD，∠CDE，∠ DEA 是多边形的内角（可简称为多边形的角）；
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
AC，AD 都是连接不相邻两个顶点的线段，像这样的线段叫作多边形的对角线.
你还能画出图中其他的对角线吗？
归纳：n 边形有 n 个顶点、n 条边、n 个内角.
…
多边形名称 三角形 四边形 五边形 六边形 八边形 ……
顶点
边
内角
3
4
5
6
8
n
3
4
5
6
8
n
3
4
5
6
8
n
探究1：多边形边、顶点、内角的关系
n 边形
问题1：过 n 边形的每一个顶点有几条对角线？可以分割成多少个三角形？
问题2：n 边形一共有多少条对角线？
探究2：多边形边、对角线的关系
任务分配：
1.每人分配一个图形，先过一个顶点画出所有对角线；再在表格中填出相应的数据；
2.小组交流并汇总完成全部表格.
多边形的边数 4 5 6 7 … n
从一个顶点出发的对角线的条数
分割成的三角形的个数
对角线的总条数
1
2
3
4
2
3
4
5
2
5
9
14
n-3
n-2
1. 一个多边形从一个顶点最多能引出 2025 条对角线，这个多边形的边数是(　　)
A．2025 B．2026
C．2027 D．2028
2. 连接九边形一个顶点与其他各顶点的线段，将九边形分成了_____个三角形．
D
7
练一练
观察·交流
观察下图中的多边形，它们的边、角有什么特点 与同伴进行交流。
各边相等、各角也相等的多边形叫作正多边形。
正三角形
正方形
正五边形
正六边形
你认识这些图形吗？
圆的相关概念
2
如图，平面上，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点形成的图形叫作圆.
固定的端点 O 称为圆心，
线段 OA 称为半径.
A
O
A
O
B
圆上任意两点 A，B 间的部分叫作圆弧，简称弧，记作 ，读作“圆弧 AB ”或“弧 AB ”；
AB
由一条弧 AB 和经过这条弧
的端点的两条半径 OA，OB 所组成的图形叫作扇形；顶点在圆心的角叫圆心角.
知识要点
例1 将一个圆分割成三个扇形，它们的圆心角的度数比为 1∶2∶3，求这三个扇形的圆心角的度数.
解：因为一个周角为 360°，所以分成的三个扇形的圆心角分别是：
360°× = 60°，
1
1+2+3
360°× = 120°，
2
1+2+3
360°× = 180°.
3
1+2+3
典例精讲
3. 将一个圆分割成三个扇形，各扇形的面积比为 2 : 3 : 5，则三个扇形圆心角的度数分别是__________________.
72°，108°，180°
练一练
（1）如图 ，将一个圆分成三个大小相同的扇形，你能算出它们的圆心角的度数吗？你知道每个扇形的面积和整个圆的面积的关系吗？与同伴进行交流.
每个圆心角的度数是120°，每个扇形的面积是整个圆的面积的 .
1
3
思考·交流
（2）画一个半径是 2 cm 的圆，并在其中画一个圆心角为 60°的扇形，你会计算这个扇形的面积吗？与同伴进行交流.
π×22× = π（cm2）
1
6
2
3
60°
解：（1）如图，可以画出5条对角线，用字母表示为线段AC,AD,AE,AF,AG.
（2）这些对角线将八边形分割成6个三角形.
1.观察如图所示的图形，回答下列问题：
（1）从八边形ABCDEFGH的顶点A出发，可以画出多少条对角线？分别用字母表示出来；
（2）这些对角线将八边形分割成多少个三角形？
解：扇形AOB如图所示.
S扇形=
2.半径为1的圆中，扇形AOB的圆心角为120°，请在圆内画出这个扇形并求它的面积．
解：设这个多边形为n边形.根据题意，得n－2=5，n=7.
答：这个多边形是七边形.
3.过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个三角形，这个多边形是几边形？
知识点1 多边形及其相关概念
1.下列图形中，属于多边形的是( )
C
A. B. C. D.
2.［2025咸阳期末］过八边形的一个顶点可以作出对角线的条数是
( )
A
A.5 B.4 C.6 D.7
3.一个正五边形的边长为6，则其周长为____。
30
4.［教材尝试·思考变式］ 边形有___个顶点，___条边，___个内角，
过边形的每一个顶点有________条对角线，此时将 边形分割成
_________个三角形。
知识点2 圆
5.下列条件中，能确定一个圆的是( )
D
A.以点为圆心 B.以 长为半径
C.经过已知点 D.以点为圆心， 长为半径
6.下列图形中的角是圆心角的是( )
B
A. B. C. D.
7.［教材P随堂练习T 变式］一个圆中有甲、乙、丙三个扇形，其中
甲、乙占总面积的百分比如图所示，则扇形丙的圆心角的度数是______。
8.［教材习题变式］已知在圆中圆心角度数为 ，半径为10，
则这个圆心角所在扇形的面积为_____。
多边形和圆的初步认识
多边形
圆
多边形的对角线
正多边形
圆心角
扇形面积
n 边形的对角线
分割三角形
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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