资源简介

(共34张PPT)
北师大（2024）版数学七年级上册
第四章 认识基本的平面图形
4.2.3用尺规作角
打台球时，球的反射角总是等于入射角。
如右图。红球能否被击入右下角的袋中？
你能画出红球在第一次反弹后的运动路
线吗？
第 1 页：情境导入 —— 为什么需要尺规作角？
生活需求（配图提示）：
木工师傅制作对称家具时，需要复制一个与已知角相等的角，没有量角器如何精确绘制？
数学作图要求 “无刻度工具精确作图”，用直尺和圆规（尺规）如何作出指定大小的角？
回顾：用尺规可以作线段、作线段的垂直平分线，能否用类似思路作角？
思考：尺规作角的关键是什么？（利用圆规截取等长线段，构造全等三角形，从而得到等角）
第 2 页：尺规作角的工具与原理
核心工具：无刻度的直尺（用于画直线、射线）和圆规（用于截取等长线段、画弧）。
作图原理（核心逻辑）：
利用圆规在已知角和待作角中，截取相等的线段（即 “等半径画弧”），构造两个全等的三角形；
全等三角形的对应角相等，因此待作角与已知角相等。
关键：作图过程中，圆规的半径（截取的线段长度）保持不变，是保证角相等的核心。
第 3 页：核心作图 —— 作一个角等于已知角（重点分步）
已知：∠AOB（配图），求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′=∠AOB。
作图步骤（配图分步标注，关键步骤用红笔强调）：
作射线 O′A′：
用直尺画一条射线 O′A′，端点为 O′（这是待作角的一条边）；
注意：射线 O′A′的方向可任意，但要与已知角∠AOB 的边 OA 方向大致一致，便于后续作图。
在已知角∠AOB 上画弧，截取等长线段：
以已知角的顶点 O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 OA 于点 C，交 OB 于点 D；
关键：“任意长” 是指半径可自行选择，但后续步骤中圆规半径需保持一致，不能改变。
在射线 O′A′上画弧，对应截取等长线段：
以 O′为圆心，同样的半径（与步骤 2 中圆规半径相同） 画弧，交 O′A′于点 C′；
注意：必须保持半径不变，否则截取的线段 O′C′≠OC，后续角不相等。
确定待作角的另一条边的端点 B′：
以 C′为圆心，CD 的长度为半径（用圆规截取 CD 的长度：将圆规的一脚落在 C，另一脚落在 D，固定半径）画弧；
该弧与步骤 3 中所画的弧交于点 D′；
关键：此步骤半径为 CD 的长度，是连接已知角和待作角的桥梁。
作射线 O′B′：
用直尺连接 O′和 D′，并延长为射线 O′B′；
此时，∠A′O′B′即为所求作的角，且∠A′O′B′=∠AOB。
作图结论：射线 O′A′和 O′B′组成的∠A′O′B′与已知角∠AOB 相等。
第 4 页：作图步骤简化与口诀记忆
简化步骤（四步核心）：
作射线（定一边）；
已知角上画弧（截 CD）；
新射线画弧（截 C′）；
截 CD 长画弧交弧得 D′，连射线（定另一边）。
口诀记忆：
“一作射线二画弧，三截等长四连弧；
半径不变是关键，等角就此作出来。”
第 5 页：作图规范与几何语言表达
作图规范（必记）：
直尺只能用于画直线、射线，不能用刻度测量长度；
圆规每次画弧前，需明确半径（“以某点为圆心，某长度为半径”）；
作图痕迹要清晰（弧的交点、线段端点需标记），不能遗漏关键标记（如 C、D、C′、D′）；
最终结果需标注所求角（如∠A′O′B′）。
几何语言表达（作图题必写）：
已知：∠AOB；
求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′=∠AOB；
作法：
① 作射线 O′A′；
② 以 O 为圆心，任意长为半径画弧，交 OA 于 C，交 OB 于 D；
③ 以 O′为圆心，OC 长为半径画弧，交 O′A′于 C′；
④ 以 C′为圆心，CD 长为半径画弧，交步骤③中的弧于 D′；
⑤ 作射线 O′B′；
⑥ ∠A′O′B′即为所求。
第 6 页：实例解析 —— 尺规作角的应用（作角的和差）
例 1：已知∠α 和∠β（∠α > ∠β，配图），求作一个角，使它等于∠α + ∠β。
作法（简要）：
① 作∠AOB=∠α；
② 以 OB 为一边，在∠AOB 的外部作∠BOC=∠β（用尺规作角等于∠β）；
③ 则∠AOC 即为所求（∠AOC=∠α + ∠β）。
关键：作第二个角时，要以第一个角的一边为公共边，且在外部（避免重叠）。
例 2：已知∠α 和∠β（∠α > ∠β，配图），求作一个角，使它等于∠α - ∠β。
作法（简要）：
① 作∠AOB=∠α；
② 以 OB 为一边，在∠AOB 的内部作∠BOC=∠β；
③ 则∠AOC 即为所求（∠AOC=∠α - ∠β）。
关键：作第二个角时，在第一个角的内部，公共边不变。
第 7 页：易错辨析 —— 尺规作角 “雷区”
错误类型
错误做法
正确做法
错误原因
半径改变
步骤 2 和步骤 3 中圆规半径不一致
始终保持 “以 O 为圆心” 和 “以 O′为圆心” 的半径相同
半径改变导致 O′C′≠OC，角不相等
遗漏标记
未标记弧的交点 C、D、C′、D′
所有弧的端点和交点都需用字母标记
痕迹不清晰，无法证明角相等
直尺用刻度
用直尺的刻度测量 CD 的长度
用圆规截取 CD 的长度（无刻度操作）
违反尺规作图 “无刻度” 的要求
作和差时位置错误
作∠α + ∠β 时，在∠α 内部作∠β
在∠α 外部作∠β，保证两角不重叠
位置错误导致角的和差计算错误
弧画不完整
步骤 2 中画弧未同时交 OA、OB 于 C、D
弧需完整穿过 OA 和 OB，确保有两个交点
弧不完整无法截取等长线段 CD
第 8 页：基础练习 —— 巩固尺规作角
填空题：
（1）尺规作角的工具是____和____，作图的核心是保持____不变；（答案：无刻度直尺，圆规，圆规半径）
（2）作一个角等于已知角时，第一步是____，第二步是在已知角上____；（答案：作一条射线，以顶点为圆心画弧交两边）
（3）作∠α + ∠β 时，需以∠α 的____为公共边，在____作∠β；（答案：一边，∠α 的外部）
作图题（按规范写出作法和结论）：
已知∠1（配图），求作∠2，使∠2=2∠1。
作法提示：
① 作∠AOB=∠1；
② 以 OB 为一边，在∠AOB 外部作∠BOC=∠1；
③ ∠AOC 即为∠2（∠2=2∠1）。
第 9 页：生活应用 —— 尺规作角的实际价值
情境 1：建筑工人绘制图纸时，需要精确复制一个 30° 的角（无量角器），可先用尺规作等边三角形，再用尺规作角等于 60°，进而平分得到 30°；
情境 2：剪纸艺术中，制作对称图案时，用尺规作角等于已知角，保证图案左右对称；
情境 3：机械加工中，零件的角度校准需要精确作图，尺规作角是基础操作。
第 10 页：知识小结
核心技能：用尺规作一个角等于已知角（五步完整流程，半径不变是关键）；
作图规范：无刻度工具、痕迹清晰、标记完整、几何语言规范；
拓展应用：作角的和、差、倍（以基本作图为基础，公共边 + 内外位置控制）；
易错点：半径改变、遗漏标记、位置错误、违反无刻度要求；
衔接：本节课是几何作图的核心内容，为后续作角平分线、作三角形、作垂线等复杂作图提供基础，也是中考作图题的高频考点。
利用尺规，作一个角等于已知角．
已知：∠AOB（如图）．
求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′ =∠AOB．
B
O
A
(1)作射线 O′A′；
作法：
(2)以点 O 为圆心，任意长为半径作弧，交 OA 于点 C，交 OB 于点 D；
(3)以点 O′ 为圆心，OC长为半径作弧，交 O′A′ 于点 C′；
(4)以点C′为圆心，CD长为半径作弧，交前面的弧于点 D′；
(5)过点 D′ 作射线 O′B′. 则∠A′O′B′ 就是所求作的角.
O
D'
C'
B
A
C
D
B'
O'
A'
思考：用尺规作一个角等于已知角是尺规作图中的
基本作图，你能利用它作出其他图形吗？
提示：可以作角的和、差、倍角及与角有关的图.
如图，已知∠AOB，∠EO'F，利用尺规作图，
比较它们的大小.
A
O
B
E
O'
F
1.已知：∠AOB.
利用尺规作：∠A’O’B’ ，
使∠A’O’B’ = 2∠AOB.
B
O
A
独立思考、合作交流；
口述作法、保留作图痕迹.
作法一:
A’
∠A’OB’即为所求作的角.
B
O
A
作法二:
E
B’
O’
A’
∠A’O’B’即为所求作的角.
C
B’
D
C
C’
1.将图中的角用不同方法表示出来，并填写下表：
∠1 ∠3 ∠4
∠BCA ∠ABC
∠2
∠5
∠BCE
∠BAC
∠DAB
习题4.2
解：（1）7.5′，450″；（2）100′，
2.计算：
（1） （ ）°等于多少分？等于多少秒？
（2）6000″等于多少分？等于多少度？
解：∠B=30°,∠E=60°，∠BAD=180°－∠BAC=180°－60°=120°，∠DCE=90°.
∠B<∠E<∠DCE<∠BAD.
3.把两个三角尺如图所示那样拼在一起，试确定图中∠B、∠E、∠BAD、∠DCE的度数及其大小关系.
解：当点A从左向右运动时，∠α逐渐变小，∠β逐渐变大.
∠α+∠β=180°.
4.如图，直线m外有一定点O，A是m上的一个动点，当点A从左向右运动时，观察∠α和∠β是如何变化的,∠α和∠β之间有关系吗？
5.用尺规完成下列作图:
（1）如图（1），已知∠ABC，以点B为顶点，射线BA为一边，在∠ABC外作一个角，使它等于∠ABC；
（1）
B
C
A
解：（1）如图。
α
β
（2）
（2）如图（2），已知∠α，∠β，作一个角，使它等于∠α与∠β的和。
解：（2）如图。
α
β
解：能够画出75°角和15°角，由于三角尺的度数为90°，60°，30°，45°，可以利用45°+30°=75°，45°－30°=15°画出75°和15°的角，还可以画出30°，45°，60°，90°，105°，120°，135°，150°，165°等角，这些角的共同特征：都是15°的倍数.
6.借助一副三角尺的拼摆，你能画出75°的角吗？15°呢？你还能画出哪些角？这些角有什么共同特征？
7.小华在探究用尺规作与∠AOB相等的∠A′O′B′时，提出了如图所示的方法，小华的作法与本节的作法有什么区别？请你说说小华这样做的道理。
8.（1）如图，分别确定四个城市相应钟表上时针与分钟所成角的度数．
30°
0°
120°
90°
巴黎
伦敦
北京
东京
解:（2）每经过1h，时针转过30°；每经过1min，分针转过6°.
（3）时针与分针的夹角是115°.
（4）如7点20分，分针与时针夹角为100°.
（2）每经过1h，时针转过多少度？每经过1min，分针转过多少度？
（3）当时钟指向上午10：10时，时针与分针的夹角是多少度？
（4）请你的同伴任意报一个时间（精确到分），你来确定时针与分针的夹角．
解：（1）因为∠AOC=∠BOD=90°，所以∠AOB=90°+90°－∠COD=180°－28°=152°.
（2）∠AOD=∠BOC,如果∠DOC≠28°，
它们还会相等.因为∠AOD=90°－∠DOC,
∠BOC=90°－∠DOC,所以∠AOD=∠BOC.
（3）若∠DOC变小，∠AOB会变大.
9.如图（甲），∠AOC和∠DOB都是直角．
（1）如果∠DOC=28°，那么∠AOB的度数是多少？
（2）找出图（甲）中相等的角．如果∠DOC≠28°，它们还会相等吗？
（3）若∠DOC越来越小，则∠AOB如何变化？
解： （4）作∠AOB=90°，∠COD=90°，那么∠AOD=∠BOC.
所以∠AOD即为所求（如图所示）.
（4）在图（乙）中利用能够画直角的工具再画一个与∠COB相等的角．
10.如图，蜂房的顶部由三个相同的四边形围成，每个四边形中的两个锐角均为70°32′，两个钝角均为109°28′。这样的结构很奇妙吧！请你查阅资料，了解大自然中其他的奇妙角度。
11.（1）请用尺规作出如图所示的图形。
（2）你还能设计什么样的图案？试一试，并说说你设计的图案的寓意。
知识点 用尺规作一个角等于已知角
（第1题）
1.［2025太原月考］如图，点在 的边
上，用尺规作出了 ，在作图
痕迹中，弧 是( )
D
A.以点为圆心，为半径的弧 B.以点为圆心， 为半径的弧
C.以点为圆心，为半径的弧 D.以点为圆心， 为半径的弧
2.求作一个角等于已知角 。如图，根据图形，补全作法。
（第2题）
（1）作射线_____；
（2）以_____为圆心，________为半径
画弧，交于点，交于点 ；
点
任意长
（3）以_____为圆心，_______________
______________为半径画弧，交 于点
；
点
的长
（或的长）
（4）以______为圆心，________为半径画弧，交前面的弧于点 ；
点
的长
（5）过_____作射线 。
则 就是所求作的角。
点
3.（4分）［2025成都月考］如图，已知 ， ，用尺规作 ，
使 。
解：如图， 即为所作。
（第4题）
4.如图，已知。①以点 为圆心，任意长为半径画
弧，交于点，交于点；②以点为圆心，
的长为半径画弧，交已画的弧于点；③作射线 。
那么下列角的数量关系不正确的是( )
B
A. B.
C. D.
5.如图， ， ，根据图中尺规作图的痕迹，
可知 的度数为_____。
（第5题）
6.（4分）［教材P随堂练习T变式］如图，已知， ，求作一个
角，使它等于 。（不写作法，保留作图痕迹）
解：如图， 就是所求的角。
7.（4分）如图，在一张地图上有，，三个城市，其中城市 的位置
被墨迹污染了，但知道， ，请你在图中确定城市
的具体位置。（要求：尺规作图，保留作图痕迹，标明字母，不写作法）
解：如图，点 即为所求。
同学们，我们本节课主要学习了哪些内容？
用尺规作一个角等于已知角，以及用尺规作已知角的和差
同学们，要熟悉用尺规作一个角等于已知角的作法，虽然不用写出，但是我们要能用语言描述出来。
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

展开更多......

收起↑