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北师大（2024）版数学七年级上册
第五章 一元一次方程
5.1 认识方程
第 1 页：情境导入 —— 从 “算术” 到 “方程” 的跨越
生活问题（配图提示）：
问题 1：小明买了 3 本笔记本，花了 18 元，每本笔记本多少元？（算术解法：18÷3=6 元）
问题 2：小明买了 x 本笔记本，每本 6 元，一共花了 18 元，求 x 的值？（无法直接用算术，需用等式表示：6x=18）
问题 3：某校七年级有学生 200 人，比八年级少 30 人，八年级有多少人？（设八年级有 y 人，等式：y-30=200）
思考：这些问题的共同点是什么？（都有未知量，都能通过 “等式” 表示数量关系）“等式” 如何帮助我们解决含未知量的问题？
第 2 页：核心概念 —— 方程的定义与本质
定义：含有未知数的等式叫做方程。
关键词拆解：
必须是 “等式”（用 “=” 连接左右两边，左右两边的值相等）；
必须 “含有未知数”（未知数常用字母 x、y、z 等表示，代表未知的数量）。
本质：方程是 “数量关系的等式表达”，通过等式建立已知量与未知量的联系，进而求解未知量。
示例（判断是否为方程）：
是方程：3x=15、2y+5=11、x-3=8、(x+2)÷4=7；
不是方程：5+3=8（无未知数）、2x+3（不是等式）、7x>14（不等式）。
第 3 页：方程的核心要素 —— 未知数、等式、解与解方程
要素
定义
示例（以方程 2x+3=9 为例）
未知数
方程中待确定的未知量（常用字母表示）
未知数是 x
等式
左右两边用 “=” 连接，满足数量相等关系
2x+3（左边）=9（右边）
方程的解
使方程左右两边相等的未知数的值
当 x=3 时，左边 = 2×3+3=9 = 右边，所以 x=3 是方程的解
解方程
求方程的解的过程
通过移项、化简等步骤求出 x=3 的过程
注意：“方程的解” 是一个 “数值”，“解方程” 是一个 “过程”，二者不可混淆。
验证解的方法：将数值代入方程，分别计算左右两边的值，若相等则为解，否则不是。
第 4 页：列方程的一般步骤 —— 从问题到方程
审题：理解题意，找出题目中的已知量、未知量，明确数量关系；
设未知数：用字母（如 x、y）表示题目中的未知量（一般设所求量为未知数）；
找等量关系：分析已知量与未知量之间的相等关系（这是列方程的关键）；
列方程：根据等量关系，用含未知数的代数式表示左右两边，用 “=” 连接形成方程。
示例演示：
问题：一个长方形的周长是 24cm，长是 7cm，求它的宽是多少 cm？
审题：已知周长 24cm、长 7cm，未知量是宽，数量关系：长方形周长 = 2×（长 + 宽）；
设未知数：设宽为 x cm；
找等量关系：2×(7+x)=24；
列方程：2 (7+x)=24。
第 5 页：常见的等量关系类型 —— 列方程的基础
和差关系：A 与 B 的和为 C → A+B=C；A 比 B 多 C → A-B=C；
示例：苹果有 x 个，梨有 12 个，苹果和梨共 20 个 → x+12=20；
倍数关系：A 是 B 的 n 倍 → A=nB；A 的 n 倍多 m 是 C → nA+m=C；
示例：钢笔的单价是铅笔的 3 倍，铅笔 x 元，钢笔 15 元 → 3x=15；
公式关系：利用几何公式、数量公式（如周长、面积、路程 = 速度 × 时间等）；
示例：路程 s=60km，速度 v=15km/h，求时间 t → 15t=60；
增减关系：原有量 ± 变化量 = 现有量；
示例：水箱原有水 50L，放出 xL 后还剩 35L → 50-x=35。
第 6 页：实例解析 —— 列方程解决实际问题
例 1：某班有学生 45 人，男生人数比女生人数多 5 人，设女生人数为 x 人，列方程表示数量关系。
解：女生 x 人，男生人数为 (x+5) 人；
等量关系：男生人数 + 女生人数 = 总人数；
方程：x+(x+5)=45（或 2x+5=45）。
例 2：小明今年 12 岁，爸爸今年 38 岁，几年后爸爸的年龄是小明的 2 倍？设 x 年后满足条件，列方程。
解：x 年后小明年龄 (12+x) 岁，爸爸年龄 (38+x) 岁；
等量关系：爸爸年龄 = 2× 小明年龄；
方程：38+x=2 (12+x)。
例 3：甲、乙两地相距 120km，一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行 v km，3 小时后距离乙地还有 15km，列方程。
解：3 小时行驶路程 3v km；
等量关系：已行驶路程 + 剩余路程 = 总路程；
方程：3v+15=120。
第 7 页：易错辨析 —— 方程相关 “雷区”
错误类型
错误示例
正确做法
错误原因
方程判断错误
认为 “2x+5” 是方程
“2x+5” 不是方程（不是等式）
忽略方程 “必须是等式” 的条件
等量关系错误
问题：小明有 5 元，买笔花了 x 元，剩 3 元，列方程 x-5=3
正确方程：5-x=3
混淆 “原有量、支出量、剩余量” 的关系
未知数设错
问题：甲数是乙数的 2 倍，两数和为 18，求乙数，设甲数为 x，列方程 x+2x=18
设乙数为 x，方程 x+2x=18（或设甲数为 x，方程 x+x/2=18）
设未知数后未对应倍数关系，导致方程错误
解与解方程混淆
说 “解方程 3x=9 的结果是 x=3”（正确），但说 “x=3 是解方程”
明确 “x=3 是方程的解，求 x 的过程是解方程”
混淆 “数值结果” 与 “求解过程” 的概念
验证解错误
验证 x=2 是否为 2x+1=5 的解，计算左边 = 2×2+1=5，右边 = 5，却判断不是解
左右两边相等，x=2 是解
验证后逻辑判断错误
第 8 页：基础练习 —— 巩固方程概念与列方程
填空题：
（1）含有____的____叫做方程；（答案：未知数，等式）
（2）使方程左右两边相等的____叫做方程的____；（答案：未知数的值，解）
（3）设某数为 x，比它的 2 倍多 3 的数是 7，列方程为____；（答案：2x+3=7）
（4）方程 3x-8=1 的解是____（验证：x=3 时，3×3-8=1，正确）；（答案：x=3）
选择题：
（1）下列式子中是方程的是（ ）
A. 3+5=8 B. 4x-2 C. 2y+7=15 D. 6x>10（答案：C）
（2）关于方程的解，下列说法正确的是（ ）
A. 方程的解是解方程的过程 B. 方程的解一定是整数
C. 检验解时只需计算左边的值 D. 一个方程可能有多个解（如 x =4 的解是 x=2 或 x=-2）（答案：D）
列方程题：
（1）一个数的 5 倍减去 12 等于这个数的 3 倍，求这个数（设为 x）；（答案：5x-12=3x）
（2）长方形的长是宽的 3 倍，周长是 48cm，设宽为 x cm，列方程；（答案：2 (x+3x)=48）
（3）学校图书馆原有图书 1200 册，今年购进 x 册，现在共有图书 1500 册；（答案：1200+x=1500）
第 9 页：生活应用 —— 方程的实际价值
情境 1：购物时，已知总价、数量，求单价（如买 6 支钢笔花了 90 元，设单价为 x 元，方程 6x=90）；
情境 2：行程问题中，已知路程、速度，求时间（如骑车去学校 10km，速度 5km/h，设时间为 t 小时，方程 5t=10）；
情境 3：年龄问题中，已知两人年龄关系，求几年后 / 几年前的年龄倍数（如哥哥 15 岁，弟弟 9 岁，设 x 年后哥哥年龄是弟弟的 2 倍，方程 15+x=2 (9+x)）；
拓展：方程是解决实际问题的重要工具，在数学、物理、经济等领域广泛应用，是后续学习一元一次方程、二元一次方程组的基础。
第 10 页：知识小结
核心概念：方程（含未知数的等式）、方程的解（使等式成立的未知数的值）、解方程（求解除的过程）；
列方程步骤：审题→设未知数→找等量关系→列方程（核心是找等量关系）；
常见等量关系：和差、倍数、公式、增减关系；
易错点：方程的判断条件、等量关系的准确性、解与解方程的区别、验证解的方法；
衔接：本节课是方程学习的入门，为后续学习一元一次方程的解法、应用奠定基础，标志着从算术思维到代数思维的重要转变。
师：请同学们随便想一个你熟悉的朋友的年龄。
(1)将这个人的年龄乘2减5，把结果告诉老师，老师就能猜出你想的那个人的年龄。
(2)将这个人的年龄乘2减5，再把结果乘2加8，把最终的结果告诉老师，老师能够迅速猜出你想的那个人的年龄，大家信不信？不信试一试。
我国古代数学著作《九章算术》中，有一个著名的“鸡兔同笼”问题：笼子里有若干只鸡和兔. 从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚. 鸡和兔各有几只 你能用小学学过的算术方法解决这个问题吗
解法一 鸡：(35×4-94) ÷2=23（只）
兔：35-23=12（只）.
解法二 兔：(94-35×2) ÷2=12（只）
鸡： 35-12=23 （只）
探究1：在班级秋游活动中，全体学生和老师共购买了 45 张门票，学生票每张 10 元，成人票每张 15 元，总票款为 475 元。你知道学生和老师的人数分别是多少吗？购买学生票和成人票的票款分别是多少？
（1）这个问题涉及哪些量？它们之间有怎样的等量关系？
（2）如果设学生人数为 x，那么总票款可以用含 x 的代数式表示为 。
10x + 15(45 - x)
老师人数 + 学生人数 = 总人数
（3）你能得到怎样的表示量相等的式子？
学生票款 + 成人票款 = 总票款
10x + 15(45 - x) = 475
+ = 总票款
↓
学生票价×学生人数
↓
成人票价×老师人数
问题1：某长方形操场的面积是 5850 m2，长比宽多 25 m。
（1）这个情境涉及哪些量？它们之间有怎样的等量关系？
（2）如果设这个操场的宽为 x m，那么操场的面积可以用含 x 的代数式表为 。
（3）你能得到怎样的表示量相等的式子？
长×宽 = 长方形面积
长 - 宽 = 25
x(x + 25)
x(x + 25) = 5850
问题2：甲、乙两地相距 22 km，张叔叔从甲地出发
到乙地，每小时比原计划多走 1 km，因此提前 12 min 到达乙地。
（1）这个情境涉及哪些量？它们之间有怎样的等量关系？
（2）如果设张叔叔原计划每小时走 x km，那么他比原计划提前的时间可以用含 x 的代数式表示为 。
（3）你能得到怎样的表示量相等的式子？
速度×时间 = 路程
计划时间 - 实际时间 = 12
实际速度 - 计划速度 = 1 km/h
归纳总结
1. 含有未知数的表示量相等的等式称为方程。
2. 在一个方程中，只含有一个未知数，且方程中的代数式都是整式，未知数的次数都是1，这样的方程叫作一元一次方程。
10x + 15(45 - x) = 475
x(x + 25) = 5850
10x + 15(45 - x) = 475
例1 判断下列各式哪些是方程：
（1）5x +3y - 6x =37（ ） （2）4x - 7 （ ）
（3）5x ≥ 3 （ ） （4）6x + x - 2 = 0（ ）
（5）1 + 2 = 3 （ ） （6） （ ）
这些方程中，有一元一次方程吗？
是
不是
不是
是
不是
是
没有
例2 若关于 x 的方程 是一元一次方程，则
n 的值为 .
【变式题】加了限制条件，需进行取舍
方程 是关于 x 的一元一次方程，则
m = .
2 或 -2
1
注：一元一次方程中求字母的值，需谨记两个条件：
①未知数的次数为 1；②未知数的系数不为 0.
探究2：填写下表：
合作探究
x 1 2 3 4 5 6 7 8 …
3x - 6
2x + 1
-3
3
0
5
3
7
6
9
9
11
12
13
15
15
18
17
…
…
方程的解
2
观察表格，当 x = 1 时， 3x - 6 = ； 当 2x + 1 = 11 时，x = ；当 x = 时，3x - 6 = 2x + 1。
-3
5
7
解：（1）设这个数为 x，由题意，得 x－3=9.
1.根据题意列出方程：
(1)一个数的 与3的差等于最大的一位数，求这个数；
(2)小颖栽种了一株高为40cm的树苗，在栽种后的一段时间内，树苗每周长高约5cm。按照这样的速度，大约几周后树苗长高到1m
(2)设x周后长到1 m，据题意，得
0.4+0.05x=1(或40+5x= 100).
（3）从正方形的铁皮上，截去一个2cm宽的长方形条，余下的面积是80 cm2，那么原来的正方形铁皮的边长是多少？
（3）设原来的正放形的铁皮的边长是x cm，
由题意，得x（x－2）=80.
(4)某商店规定:购买超过15000元的物品可以采用分期付款的方式，顾客可以先付3000元，以后每月付1500元，直至付清。王叔叔想用分期付款的方式购买价值19 500元的电器，他需要用多长时间才能付清尾款
设他需要x个月才能付清全部货款.
由题意，得3000+1500x=19500.
2. x=-2 是下列方程的解吗
(1) 2x+3=5x;
(2) (x-1 )2=9。
解：(1)不是.
(2)是.
解：根据自己的情况，合理即可.如，我6年后的年龄是我4年前年龄的2倍，你猜我今年几岁？设我今年x岁，则x+6=2（x－4）.
3.请用自己的年龄编一道问题，并列出方程.
4.为营造良好的社区环境,七(1)班同学对学校周边所有社区开展“社区垃圾分类知识宣讲”综合实践活动，采取分组进社区宣讲的方式，每组进入一个社区。若5名同学为一组，则剩余7名同学;若7名同学为一组，则缺少9名同学。
(1)如果设学校周边有x个社区，如何用含x的代数式表示七(1)班的人数
解：(1)5x+7或7x-9.
(2)如果设七(1)班有y名同学，如何用含y的代数式表示社区的数量
(3)由(1)(2)，你能得到哪些方程
(2) 或 .
(3)5x+7=7x-9 或
知识点1 方程及一元一次方程的定义
1.下列选项中，是方程的是( )
B
A. B. C. D.
2.下列方程中，是一元一次方程的是( )
A
A. B. C. D.
3.若关于的方程是一元一次方程，则 的值为( )
D
A. B.0 C.1 D.2
4.若关于的方程是一元一次方程，则 的取值范围是
_______。
知识点2 方程的解
5.下列方程，解为 的是( )
C
A. B. C. D.
6. 写一个未知数的系数是 且解是1的一元一次方程：
___________________________。
（答案不唯一）
7.（6分）［教材习题变式］ 是下列方程的解吗？
（1） ;
解：当时，左边，右边。因为左边 右边，
所以 是该方程的解。
（2） 。
解：当时，左边右边，所以 不是该方
程的解。
认识方程
方程的定义
一元一次方程
方程的解
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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