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北师大（2024）版数学七年级上册
第五章 一元一次方程
5.2.1等式的基本性质
1．什么是方程的解和解方程？
使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解。求方程的解的过程称为解方程
2．什么是一元一次方程？
第 1 页：情境导入 —— 天平中的 “平衡秘密”
生活模型（配图提示：天平平衡示意图）：
情境 1：天平左盘放 2 个 50g 砝码，右盘放 1 个 100g 砝码，天平平衡（等式：50+50=100）；若左盘加 1 个 20g 砝码，右盘也加 1 个 20g 砝码，天平仍平衡（50+50+20=100+20）；
情境 2：天平左盘放 3 个 x g 砝码，右盘放 1 个 150g 砝码，天平平衡（等式：3x=150）；若左右盘同时拿走 1 个相同重量的砝码，天平仍平衡；若左右盘砝码同时扩大 2 倍，天平仍平衡；
思考：天平的平衡规律对应等式的什么性质？等式两边进行怎样的运算，等式仍然成立？
第 2 页：等式的基本性质 1—— 加减性质
探究过程（结合天平模型）：
初始平衡：天平左盘重量 = 右盘重量（对应等式：a=b）；
操作 1：左右盘同时加相同重量 c → 左盘 = a+c，右盘 = b+c，天平仍平衡；
操作 2：左右盘同时减相同重量 c → 左盘 = a c，右盘 = b c，天平仍平衡；
性质提炼：等式两边同时加（或减）同一个代数式，所得结果仍是等式。
符号表示：如果 a=b，那么 a±c = b±c（c 为任意代数式）。
关键词强调：“同时”（左右两边都进行运算）、“同一个”（加 / 减的代数式完全相同）。
示例验证：
若 2x+3=9（a=2x+3，b=9），两边同时减 3 → 2x+3 3=9 3 → 2x=6（等式仍成立）；
若 y 5=12（a=y 5，b=12），两边同时加 5 → y 5+5=12+5 → y=17（等式仍成立）。
第 3 页：等式的基本性质 2—— 乘除性质
探究过程（结合天平模型）：
初始平衡：等式 a=b；
操作 1：左右两边同时乘同一个数 c → 左盘 = a×c，右盘 = b×c，天平平衡（若 c=0，a×0=0，b×0=0，仍相等）；
操作 2：左右两边同时除以同一个不为 0的数 c → 左盘 = a÷c，右盘 = b÷c，天平平衡（c=0 时除法无意义，故需排除）；
性质提炼：等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为 0 的数），所得结果仍是等式。
符号表示：如果 a=b，那么 ac = bc；如果 a=b（c≠0），那么 a/c = b/c（c 为任意非零数）。
关键词强调：“同时”“同一个”“除以时 c≠0”（核心易错点）。
示例验证：
若 2x=6（a=2x，b=6），两边同时除以 2 → 2x÷2=6÷2 → x=3（等式成立）；
若 3y=15（a=3y，b=15），两边同时乘 2 → 3y×2=15×2 → 6y=30（等式成立）；
若 x/4=5（a=x/4，b=5），两边同时乘 4 → x/4×4=5×4 → x=20（等式成立）。
第 4 页：两条性质的对比与核心要点
性质
运算类型
关键条件
核心作用
性质 1
加、减
同时加 / 减同一个代数式
消去等式两边的常数项（如 2x+3=9→2x=6）
性质 2
乘、除
乘：任意数；除：非零数
化未知数系数为 1（如 2x=6→x=3）
共性规律：等式的性质本质是 “保持平衡的等价变形”，变形前后等式的解不变（为解方程提供依据）。
口诀记忆：等式性质要记牢，加减乘除同操作；加减排常数，乘除化系数；除数不为 0，平衡不颠倒。
第 5 页：性质的直接应用 —— 等式变形
例 1：根据等式的基本性质，把下列等式变形为 x=a（a 为常数）的形式：
（1）x+5=12
解：根据性质 1，两边同时减 5 → x+5 5=12 5 → x=7；
（2）3x=18
解：根据性质 2，两边同时除以 3 → 3x÷3=18÷3 → x=6；
（3）x 7=15
解：根据性质 1，两边同时加 7 → x 7+7=15+7 → x=22；
（4）x/6=2
解：根据性质 2，两边同时乘 6 → x/6×6=2×6 → x=12。
例 2：判断下列等式变形是否正确，若不正确请说明理由：
（1）由 2x=5，得 x=5/2（ ，性质 2，两边除以 2）；
（2）由 3x 1=2x+3，得 3x 2x=3+1（ ，性质 1，两边同时减 2x 加 1）；
（3）由 a=b，得 a/c=b/c（ ，未说明 c≠0，c=0 时无意义）；
（4）由 x+3=8，得 x=8（ ，性质 1 应用错误，应两边减 3，x=5）。
第 6 页：衔接方程 —— 用性质解简单一元一次方程
解方程的核心思路：利用等式的基本性质，逐步把方程变形为 “x=a” 的形式（未知项在左，常数项在右，系数化为 1）。
例 3：用等式的性质解下列方程：
2x+5=15
解：第一步（消常数项）：两边同时减 5（性质 1）→ 2x+5 5=15 5 → 2x=10；
第二步（化系数为 1）：两边同时除以 2（性质 2）→ 2x÷2=10÷2 → x=5；
验证：把 x=5 代入原方程，左边 = 2×5+5=15 = 右边，解正确。
(x 3)/2=4
解：第一步（消分母）：两边同时乘 2（性质 2）→ (x 3)/2×2=4×2 → x 3=8；
第二步（消常数项）：两边同时加 3（性质 1）→ x 3+3=8+3 → x=11；
验证：左边 =(11 3)/2=4 = 右边，解正确。
第 7 页：易错辨析 —— 等式变形 “雷区”
错误类型
错误变形（以等式 2x=6 或 a=b 为例）
正确变形
错误原因
除法漏除 0
由 a=b，得 a/0=b/0
无此变形（除数不能为 0）
违反性质 2 “除以非零数” 的条件
两边运算不同
由 2x+3=9，得 2x=9（只减左边 3）
2x+3 3=9 3→2x=6
未遵循 “同时” 运算的要求
乘除对象错误
由 2x=6，得 x=6（只除以左边 2）
2x÷2=6÷2→x=3
未对等式两边同时进行乘除运算
加减对象不同
由 x 4=5，得 x=5+3（右边加 3 而非 4）
x 4+4=5+4→x=9
未加 “同一个” 代数式
化系数错误
由 3x=9，得 x=9×3（乘 3 而非除以 3）
3x÷3=9÷3→x=3
混淆 “化系数为 1” 的运算方向
第 8 页：基础练习 —— 巩固性质与变形
填空题：
（1）根据等式性质 1，若 x 3=7，两边同时____，得 x=10；（答案：加 3）
（2）根据等式性质 2，若 4x=12，两边同时____，得 x=3；（答案：除以 4）
（3）若 a=b，那么 a+5=b____，3a=，a/c=b/c（c）；（答案：+5，3b，≠0）
（4）由 5x 2=3x+4，两边同时减 3x 加 2，得____，依据是____；（答案：2x=6，等式性质 1）
选择题：
（1）下列等式变形正确的是（ ）
A. 由 a=b，得 a+3=b 3 B. 由 2x=5，得 x=5/2 C. 由 x/3=2，得 x=2/3 D. 由 a=b，得 a/0=b/0（答案：B）
（2）运用等式性质变形时，下列说法错误的是（ ）
A. 两边同时加同一个数，等式仍成立 B. 两边同时乘同一个数，等式仍成立
C. 两边同时除以同一个数，等式仍成立 D. 两边同时减同一个代数式，等式仍成立（答案：C，未说明除数不为 0）
解答题：
用等式的性质解下列方程，并验证：
（1）x+8=15；（解：x=7，验证：7+8=15）
（2）2x 5=1；（解：2x=6→x=3，验证：2×3 5=1）
（3）x/5=3；（解：x=15，验证：15/5=3）
第 9 页：生活应用 —— 性质的实际意义
情境 1：购物时，买 3 支笔和 2 本笔记本花 20 元，若每本笔记本加 5 元，每支笔也加 5 元，总花费增加 25 元（3+2=5 件商品，每件加 5 元，5×5=25），对应等式性质 1（两边同时加 5×5）；
情境 2：生产零件，3 天生产 150 个，若生产效率不变（每天生产个数相同），6 天生产 300 个（天数乘 2，产量也乘 2），对应等式性质 2（两边同时乘 2）；
拓展：等式的性质是代数变形的基础，在后续解方程、化简代数式、解决实际问题中均有广泛应用，是连接 “方程定义” 与 “方程解法” 的桥梁。
第 10 页：知识小结
核心性质：
性质 1（加减）：等式两边同时加 / 减同一个代数式，等式仍成立；
性质 2（乘除）：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，等式仍成立；
核心作用：为解方程提供理论依据，实现 “消常数项”“化系数为 1” 的变形；
易错点：除以非零数、同时运算、同一个代数式、化系数为 1 的运算方向；
解方程步骤：利用性质 1 消去常数项→利用性质 2 化未知数系数为 1→验证解的正确性；
衔接：本节课是一元一次方程解法的核心基础，后续将结合移项、合并同类项，系统学习复杂方程的求解，进一步强化 “等价变形” 的思维。
在一个方程中，只含有一个未知数，且方程中的代数式都是整式，未知数的次数都是1，这样的方程叫作一元一次方程
方程是含有未知数的等式，解方程自然要研究等式的基本性质.
两个基本事实:
(1)如果a=b，那么b=a；
(2)如果a=b， b=c，那么a=c.
除此之外，等式还有哪些基本性质呢？
等式的对称性
等式的传递性
问题1
成立
等式的两边都加(减)、乘(除以)同一个数，等式还成立吗？
探究一 观察如图所示的天平，你能发现什么规律？
a
b
＋
c
－
c
a
b
c
c
引入负数后结论还成立吗？
m + (-1) 3 + (-1)
m = 3
(-1)×2 = -2
→ m - 1 3 - 1
(-1)×2 + 1 -2 + 1
(-1)×2 + (-3) -2 + (-3)
=
=
=
=
等式的基本性质1：
等式的两边都加 (或减) 同一个_______，所得结果仍是等式。
请用自己的语言精炼归纳出等式的基本性质：
如果 a＝b，那么_________________.
a ± c ＝ b ± c
代数式
探究二 如果将天平左右两边的物品同时三等分，天平仍然平衡吗？如果是同时扩大三倍呢，请动手操作。
a
b
a
a
a
b
b
b
×3
÷3
引入负数后结论还成立吗？
(-1)×2×(-3) (-2)×(-3)
(-1)×2 = -2
(-1)×2÷(-6) (-2)÷(-6)
=
=
等式的基本性质2：
等式的两边都乘同一个___ (或除以同一个不为___的___)，所得结果仍是等式。
如果 a＝b，那么_____________；
如果 a＝b (c ≠ 0)，那么________。
数
数
0
ac ＝ bc
请用自己的语言精炼归纳出等式的基本性质：
例1 已知 mx = my，下列结论错误的是 （ ）
A. x = y B. a + mx = a + my
C. mx－y = my－y D. amx = amy
A
(1) 如图， 小明用天平解释了方程 5x = 3x + 4 的变形过程，你能明白他的意思吗？
你会解方程 5x = 3x + 4 吗？
(2) 请用等式的基本性质解释方程 5x = 3x + 4 的上述变形过程。
解： 方程两边都减 3x，得
5x - 3x = 3x + 4 - 3x，
于是 2x = 4，
方程两边都除以 2，得
x = 2。
典例精析
解：(1) 方程两边都减 2，得
x＋2－2＝5－2。
于是 x＝3。
(2) 方程两边都加 5，得
3＋5＝x－5＋5。
于是 8＝x。
即 x＝8。
方程的解，最后结果要写成 x = a 的形式！
例2 解方程：
(1) x + 2 = 5； (2) 3 = x - 5；
解：(1) 方程两边都除以－3，得
化简，得 x＝－5。
(2) 方程两边都加 2，得
化简，得
方程两边同时乘－3，得
n＝－36。
(1) -3x = 15； (2)
例3 解方程：
知识点1 等式的基本事实
1.（1）等式两边可以交换。如果，那么 _____。
（2）相等关系可以传递。如果，，那么___ ；如果
，，那么 ___。
5
知识点2 等式的基本性质
2.已知，若根据等式的性质可变形为，则， 满
足的条件是( )
C
A. B.
C. D.， 可以是任意的数或式子
3.已知 ，则下列各式不正确的是( )
D
A. B. C. D.
4.根据等式的基本性质填空：
（1）由，得 ，是根据等式的性质：等式的两边都
_____；
（2）由，得 _____，是根据等式的性质：等式的两边都
_____；
（3）由，得 ____，是根据等式的性质：等式的两边都
_________。
减1
乘5
除以
知识点3 利用等式的基本性质解方程
5.由得到 可分两步，其步骤如下：第一步：根据等式的
基本性质，等式两边_______，得 ___；第二步：根据等式的基本性
质，等式两边_________，得 。
都加1
5
都除以2
6.（12分）［教材 例1变式］解方程：
（1） ；
解：两边都加4，得 。
（2） ；
解：两边都除以，得 。
（3） ；
解：两边都加7，得 ，
两边都除以2，得 。
（4） 。
解：两边都加2，得 ，
两边都乘，得 。
7.［2025武汉期中］下列由等式的性质进行的变形，不正确的是( )
D
A.如果，那么
B.如果，那么
C.如果，那么
D.如果，那么
等式的
基本性质
基本性质1
基本性质2
应用
如果 a = b，那么 a±c = b±c.
如果 a = b，那么 ac = bc；
如果 a = b (c ≠ 0)，那么 .
运用等式的基本性质把方程“化归”为最简形式 x = a
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