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北师大（2024）版数学七年级上册
第五章 一元一次方程
5.2.4利用去分母解一元一次方程
毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家，有一次有人问他：“尊敬的毕达哥拉斯先生，请告诉我，有多少名学生在你的学校里听你讲课？”毕达哥拉斯回答说：“我的学生，现在有 在学习数学，
在学习音乐， 沉默无言，此外，还有三名妇女。”
请你算一算，毕达哥拉斯的学生有多少名？
（设毕达哥拉斯有x名学生。
x+ x+ x+3=x）
你会解这个方程吗？
第 1 页：情境导入 —— 含分数系数的方程如何简化？
实际问题（配图提示：分物场景）：
问题：把一堆苹果分给若干人，若每人分\(\frac{1}{2}\)筐，还剩\(\frac{1}{3}\)筐；若每人分\(\frac{1}{3}\)筐，还多\(\frac{1}{2}\)筐，求人数\(x\)。
列方程：\(\frac{1}{2}x + \frac{1}{3} = \frac{1}{3}x + \frac{1}{2}\)；
思考：方程中含有分数系数，计算繁琐，如何消除分母转化为整数系数方程？去分母的依据是什么？
复习回顾：等式的基本性质 2（等式两边同时乘同一个不为 0 的数，等式仍成立），这是去分母的核心依据。
第 2 页：核心法则 —— 去分母的规则与步骤
去分母的原理（基于等式性质 2）：
找到方程中所有分母的最小公倍数；
等式两边同时乘这个最小公倍数，消除所有分母（注意：每一项都要乘，包括不含分母的常数项）。
关键词强调：
确定最小公倍数（如分母 2 和 3 的最小公倍数是 6，分母 2、4、6 的最小公倍数是 12）；
“每一项都要乘”，不能漏乘常数项或整数项；
若分母是小数，可先转化为分数（如 0.5=\(\frac{1}{2}\)，0.25=\(\frac{1}{4}\)），再去分母。
去分母的完整步骤：
找分母的最小公倍数（记为\(m\)）；
等式两边同时乘\(m\)，逐项相乘消除分母；
若分子是多项式，乘完后需加括号（避免符号错误）；
后续按 “去括号→移项→合并同类项→系数化为 1” 求解。
第 3 页：完整解题流程 —— 去分母→全步骤求解
含分数系数的一元一次方程求解口诀：“分母先找最小公倍，两边同乘莫漏项；分子多项式加括号，去括号后再移项；合并同类项化最简，系数为 1 得解方”。
具体步骤：
去分母：乘最小公倍数，消去所有分母；
去括号：按去括号法则处理括号（若有）；
移项：未知项左移，常数项右移，移项变号；
合并同类项：化为 “\(ax = b\)（\(a≠0\)）” 形式；
系数化为 1：两边除以\(a\)，得\(x = \frac{b}{a}\)；
验证：代入原方程，验证左右两边是否相等。
第 4 页：实例解析 —— 分步示范求解过程
例 1：解方程\(\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 5\)
步骤 1：去分母（分母 2 和 3 的最小公倍数是 6，两边乘 6）→ \(6×\frac{x}{2} + 6×\frac{x}{3} = 6×5\)；
计算：\(3x + 2x = 30\)（每一项都乘 6，无漏项）；
步骤 2：合并同类项 → \(5x = 30\)；
步骤 3：系数化为 1 → \(x = 6\)；
验证：左边 =\(\frac{6}{2} + \frac{6}{3}=3+2=5\)= 右边，解正确。
例 2：解方程\(\frac{2x - 1}{3} - \frac{x + 2}{4} = 1\)
步骤 1：去分母（分母 3 和 4 的最小公倍数是 12，两边乘 12）→ \(12×\frac{2x - 1}{3} - 12×\frac{x + 2}{4} = 12×1\)；
计算：\(4(2x - 1) - 3(x + 2) = 12\)（分子是多项式，加括号）；
步骤 2：去括号 → \(8x - 4 - 3x - 6 = 12\)；
步骤 3：移项 → \(8x - 3x = 12 + 4 + 6\)；
步骤 4：合并同类项 → \(5x = 22\)；
步骤 5：系数化为 1 → \(x = \frac{22}{5}\)（或 4.4）；
验证：左边 =\(\frac{2×\frac{22}{5} - 1}{3} - \frac{\frac{22}{5} + 2}{4} = \frac{\frac{44}{5} - \frac{5}{5}}{3} - \frac{\frac{22}{5} + \frac{10}{5}}{4} = \frac{39}{15} - \frac{32}{20} = \frac{13}{5} - \frac{8}{5}=1\)= 右边，解正确。
例 3：解方程\(\frac{x - 1}{0.5} - \frac{2x + 3}{0.3} = 1\)（分母是小数）
步骤 1：转化分母为分数 → \(\frac{x - 1}{\frac{1}{2}} - \frac{2x + 3}{\frac{3}{10}} = 1\)；
步骤 2：去分母（最小公倍数是 10，两边乘 10）→ \(10×2(x - 1) - 10×\frac{10}{3}(2x + 3) = 10×1\)？ 修正：更简便的方法是分子分母同乘 10 消去小数→ \(\frac{10(x - 1)}{5} - \frac{10(2x + 3)}{3} = 1\) → \(2(x - 1) - \frac{10(2x + 3)}{3} = 1\)；
正确步骤：分母 0.5 和 0.3 的最小公倍数是 1.5，两边乘 1.5 → \(1.5×\frac{x - 1}{0.5} - 1.5×\frac{2x + 3}{0.3} = 1.5×1\) → \(3(x - 1) - 5(2x + 3) = 1.5\)；
步骤 3：去括号 → \(3x - 3 - 10x - 15 = 1.5\)；
步骤 4：移项 → \(3x - 10x = 1.5 + 3 + 15\)；
步骤 5：合并同类项 → \(-7x = 19.5\)；
步骤 6：系数化为 1 → \(x = -\frac{39}{14}\)（或 - 2.7857）；
验证：左边 =\(\frac{-\frac{39}{14} - 1}{0.5} - \frac{2×(-\frac{39}{14}) + 3}{0.3} = \frac{-\frac{53}{14}}{0.5} - \frac{-\frac{78}{14} + \frac{42}{14}}{0.3} = -\frac{53}{7} - \frac{-\frac{36}{14}}{0.3} = -\frac{53}{7} + \frac{36}{4.2} = -\frac{53}{7} + \frac{60}{7}=1\)= 右边，解正确。
第 5 页：易错辨析 —— 去分母常见 “雷区”
错误类型
错误解法（以方程\(\frac{x}{2} - \frac{x - 1}{3} = 1\)为例）
正确解法
错误原因
漏乘常数项
\(3x - 2(x - 1) = 1\) → \(3x - 2x + 2 = 1\) → \(x = -1\)
\(3x - 2(x - 1) = 6\) → \(3x - 2x + 2 = 6\) → \(x = 4\)
两边乘最小公倍数 6 时，漏乘右边的常数项 1
分子多项式不加括号
\(3x - 2x - 1 = 6\) → \(x - 1 = 6\) → \(x = 7\)
\(3x - 2(x - 1) = 6\) → \(3x - 2x + 2 = 6\) → \(x = 4\)
分子\(x - 1\)是多项式，乘 2 后未加括号，导致符号错误
最小公倍数找错
两边乘 2 → \(x - (x - 1) = 2\) → \(x - x + 1 = 2\) → 无解
\(3x - 2(x - 1) = 6\) → \(x = 4\)
分母 2 和 3 的最小公倍数是 6，误找为 2，未完全消去分母
分母是小数转化错误
方程\(\frac{x}{0.2} = 5\) → 两边乘 0.2 → \(x = 1\)（正确）；方程\(\frac{x - 1}{0.2} - 1 = 5\) → 两边乘 0.2 → \(x - 1 - 1 = 1\) → \(x = 3\)
两边乘 0.2 → \(x - 1 - 0.2 = 1\) → \(x = 2.2\)
漏乘不含分母的常数项 1（应乘 0.2 得 0.2）
第 6 页：基础练习 —— 巩固去分母与求解
解下列方程（要求写出去分母步骤）：
（1）\(\frac{x}{3} + \frac{x}{4} = 7\)；
去分母（最小公倍数 12）→ \(4x + 3x = 84\) → \(7x = 84\) → \(x = 12\)；
（2）\(\frac{2x - 5}{6} - \frac{3x + 1}{4} = -1\)；
去分母（最小公倍数 12）→ \(2(2x - 5) - 3(3x + 1) = -12\) → \(4x - 10 - 9x - 3 = -12\) → \(-5x = 1\) → \(x = -\frac{1}{5}\)；
（3）\(\frac{x + 1}{0.3} = \frac{2x - 1}{0.5}\)；
转化为分数 → \(\frac{10(x + 1)}{3} = \frac{10(2x - 1)}{5}\) → \(\frac{10(x + 1)}{3} = 2(2x - 1)\)；
去分母（最小公倍数 3）→ \(10(x + 1) = 6(2x - 1)\) → \(10x + 10 = 12x - 6\) → \(x = 8\)。
选择题：
（1）解方程\(\frac{x - 1}{2} - \frac{x + 2}{3} = 1\)时，去分母正确的是（ ）
A. \(3(x - 1) - 2(x + 2) = 1\) B. \(3x - 3 - 2x + 4 = 6\) C. \(3(x - 1) - 2(x + 2) = 6\) D. \(3x - 1 - 2x + 2 = 6\)（答案：C）
（2）方程\(\frac{2x + 1}{3} - \frac{x - 1}{6} = 1\)的解是（ ）
A. \(x = 1\) B. \(x = \frac{5}{3}\) C. \(x = \frac{3}{5}\) D. \(x = -1\)（答案：A，步骤：\(4x + 2 - x + 1 = 6\) → \(3x = 3\) → \(x = 1\)）
第 7 页：拓展练习 —— 含多重分母与逆向应用
解方程：\(\frac{1}{2}(\frac{x}{3} - \frac{x}{4}) = 1\)（多重分母：先去小括号，再去分母）；
步骤：\(\frac{1}{2}(\frac{4x - 3x}{12}) = 1\) → \(\frac{x}{24} = 1\) → \(x = 24\)；
或直接去分母（最小公倍数 24）→ \(12(\frac{x}{3} - \frac{x}{4}) = 24\) → \(4x - 3x = 24\) → \(x = 24\)；
已知\(x = 2\)是方程\(\frac{ax - 1}{3} + \frac{x + a}{2} = 1\)的解，求\(a\)的值；
解：代入\(x = 2\) → \(\frac{2a - 1}{3} + \frac{2 + a}{2} = 1\)；
去分母（最小公倍数 6）→ \(2(2a - 1) + 3(2 + a) = 6\) → \(4a - 2 + 6 + 3a = 6\) → \(7a = 2\) → \(a = \frac{2}{7}\)。
第 8 页：生活应用 —— 含分数系数的实际问题
情境 1：小明读一本书，第一天读了全书的\(\frac{1}{3}\)，第二天读了全书的\(\frac{1}{4}\)，还剩 25 页，求全书页数\(x\)；
列方程：\(x - \frac{1}{3}x - \frac{1}{4}x = 25\)；
去分母（最小公倍数 12）→ \(12x - 4x - 3x = 300\) → \(5x = 300\) → \(x = 60\)；
答：全书 60 页。
情境 2：甲、乙两人合作加工零件，甲每小时加工\(\frac{1}{5}\)个，乙每小时加工\(\frac{1}{6}\)个，合作\(x\)小时完成 11 个零件，求\(x\)；
列方程：\((\frac{1}{5} + \frac{1}{6})x = 11\)；
去分母（最小公倍数 30）→ \((6 + 5)x = 330\) → \(11x = 330\) → \(x = 30\)；
答：合作 30 小时完成。
第 9 页：知识小结
核心法则：去分母（找最小公倍数，两边同乘莫漏项，分子多项式加括号）；
解题流程：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为 1（整合前几节所有步骤）；
易错点：漏乘常数项、分子多项式不加括号、最小公倍数找错、分母是小数转化错误；
关键衔接：本节课完成了一元一次方程解法的完整体系（移项、去括号、去分母），后续将聚焦一元一次方程的实际应用，综合运用所有解法解决复杂问题；
思想方法：“转化思想”—— 将分数系数转化为整数系数，将复杂方程转化为简单方程，体现数学中 “化繁为简” 的核心思路。
1.上节课我们学习了用去括号解一元一次方程，用到了哪几个步骤？ 需要注意什么？
2.说出下列各组数的最小公倍数：
(1)2，3 (2)6，8 (3)3，4，8
探究一：解方程： 。
还有其他办法吗？
解：去括号，得 。
移项、合并同类项，得 。
方程两边都除以 ，得 。
解法二：
去分母，得 4(x＋14)＝7(x＋20).
系数化为1，得 x＝－28.
移项、合并同类项，得 －3x＝84.
去括号，得 4x＋56＝7x＋140.
把分数化成整数计算更简单！
思考1：两种解法有什么不同？你认为哪种解法比较好？
思考2：解一元一次方程有哪些步骤？与同伴进行交流。
方法总结：
解一元一次方程，一般要通过去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为 1 等步骤，把一个一元一次方程“转化”成 x = a的形式。
例1 解方程：
×30
×30
×30
解：去分母，得 6(x + 15) = 15 - 10(x - 7)。
去括号，得 6x + 90 = 15 - 10x + 70。
移项、合并同类项，得 16x = -5。
方程两边同除以 16，得 。
如果先去括号呢？
1. 解方程： 。
解：去分母，得 3(x - 3) - 2(x＋1) = 1。
去括号，得 3x - 9 - 2x - 2 = 1。
移项，得 3x - 2x = 1 + 9 + 2。
合并同类项，得 x = 12。
1. 去分母时，应将方程的左右两边同乘分母的
；
2. 去分母的依据是 ，去分母时
不能漏乘 ；
3. 去分母与去括号这两步分开写，尽量不要跳步，
防止忘记变号.
最小公倍数
等式的基本性质 2
没有分母的项
例2 火车用 26 秒的时间通过一个长 256 米的隧道 (即从车头进入入口到车尾离开出口)，这列火车又以同速 16 秒的时间通过了长 96 米的隧道，求火车的长度。
解：设火车的长度为 x 米，列方程得
解得 x = 160.
答：火车的长度为 160 米.
方法总结：火车过桥问题中，火车行驶的路程等于桥的长度加上火车的长度。
练一练
1.有一个关于教室人数的回答：“在所有学生中，除了 在学数学， 在学音乐，以及 沉默无言的学生以外，还有 3 名学生在探讨问题.”到底有多少人在教室里呢
分析：
学数学人数＋学音乐人数＋沉默无言人数＋探讨问题人数＝总人数
解：设教室里共有 x 人.
去分母(方程两边乘以 28)，得
－3x＝－84.
系数化为 1，得
答：教室里共有 28 人.
根据总人数一定，列得
x＝28.
移项及合并同类项，得
14x＋7x＋4x＋84＝28x.
解：（1）x=15. （2）y=
（3）x= . （4）x=
1. 解下列方程：
（1）x+21=36； （2）8=7－2y；
（3） （4）
解：设这个数为x，依题意得 x－3=9.
解得x=84.
所以这个数为84.
2.求解由习题5.1第1 (1)(2)(4)题、第4题列出的方程。
根据题意列出方程：（1）一个数的 与3的差等于
最大的一位数，求这个数；
(2)解：设x周后树苗长到1m，则40+5x=100.
解得x=12.
答：大约12周后树苗长到1m.
习题5.1(2)小颖栽种了一株高为40cm的树苗，在栽种后的一段时间内，树苗每周长高约5cm。按照这样的速度，大约几周后树苗长高到1m
（4）设他需要x个月才能付清全部货款.
由题意，得3000+1500x=19500.
解得x=11.
答：他需要11个月才能付清全部货款.
习题5.1(4)某商店规定:购买超过15000元的物品可以采用分期付款的方式，顾客可以先付3000元，以后每月付1500元，直至付清。王叔叔想用分期付款的方式购买价值19 500元的电器，他需要用多长时间才能付清尾款
3.解下列方程：
（1）12(2－3x)=4x+4； （2）6－3（x+ ）= ；
4.求解本章第1节中的方程10r+ 15(45- r)= 475。
解： （1）x=
（2）x=－1. （3）x=－
5.解下列方程：
解：（4）x= （5）x=-3.
（6）x=
6.设“〇”“△”“□”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示:
则下列图形正确的是（　　）
AB
7.7.如何解方程2x=5x 小颖在方程的两边都除以x，竟然得到2=5。她错在哪里
解：错在不确定x是否为0就盲目地除以x，而本题中的x正好为0.
解：设陆地面积约为x亿km2，则海洋面积约为2.4x
亿km2.
依题意，得2.4x+x=5.1，解得x=1.5.
所以2.4x=3.6.
答：陆地面积约为1.5亿km2，海洋面积约为3.6亿km2.
8.地球上的海洋面积约为陆地面积的2.4倍，地球的表面积约为5.1亿km2，求地球上的海洋面积和陆地面积.
解：设黑色皮块的数目为3x个，则白色皮块的数目为5x个.
由题意，得3x+5x=32.解得x=4.
所以3x=12,5x=20.
答：黑色皮块有12个，白色皮块有20个.
9.足球表面是由若干个黑色五边形和白色六边形皮块围成的，黑、白皮块数目比为3∶5.一个足球表面一共有32个皮块，黑色皮块和白色皮块各有多少？
解：设该旅客的机票票价为x元，
根据题意，得（35－20）×1.5%x+0.8x=1107,
解得x=1080.
答：该旅客的机票票价为1080元.
10.某航空公司规定:乘坐飞机经济舱的旅客每人最多可免费托运20kg行李，超出部分每千克按经济舱全票价的1.5%计费。一名经济舱旅客托运了35 kg行李，行李费连同八折机票共付1 107元，求该旅客机票的全票价。
解：设原两位数个位数字为x，则十位数字为2x，
由题意，得（10×2x+x）－（10x+2x）=36，
解得x=4,2x=8.
因此，这个两位数是84.
11.一个两位数，十位数字是个位数字的2倍，将两个数对调后得到的两位数比原来的数小36，求这个两位数.
解：设x年后，小川的年龄是他祖父年龄的 .
由题意，得6+x= （72+x），解得x=16.
因此，16年后，小川的年龄是他祖父年龄的 .
12.小川今年6岁，他的祖父72岁.几年后小川的年龄是他祖父年龄的
解：设蜘蛛有x只，则蜻蜓有2x只.
由题意，得8x+6×2x=120,
解得x=6,2x=12.
答：蜘蛛有6只，蜻蜓有12只.
13.蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿.现有蜘蛛、蜻蜓若干只，
它们共有120条腿，且蜻蜓的只数是蜘蛛的2倍.蜘蛛、
蜻蜓各有多少只？
变形名称 具体的做法
去分母 乘所有分母的最小公倍数.
依据是等式的基本性质2.
去括号 先去小括号,再去中括号,最后去大括号.
依据是去括号法则和乘法分配律.
移项 把含有未知数的项移到一边,常数项移到另一边.“过桥变号”，依据是等式的基本性质1.
合并同类项 将未知数的系数相加，常数项相加.
依据是乘法分配律.
系数化为 1 在方程的两边除以未知数的系数.
依据是等式的基本性质2.
解一元一次方程的一般步骤
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