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北师大（2024）版数学七年级上册
第五章 一元一次方程
5.3.1 几何问题
如图，用一块橡皮泥先捏出一个“瘦高”的圆柱，然后再让这个“瘦高”的圆柱“变矮”，变成一个“矮胖”的圆柱， 请思考下列几个问题：
第 1 页：情境导入 —— 几何中的 “未知量” 如何求？
实际问题（配图提示：长方形花坛示意图）：
问题：学校计划修建一个长方形花坛，周长为 40 米，长比宽多 6 米，求花坛的长和宽各是多少米？
思考：这类几何问题的核心是什么？如何利用我们学过的几何公式建立方程？
复习回顾：常见几何图形的核心公式（必记）：
长方形：周长\(C=2(a+b)\)，面积\(S=ab\)（\(a\)为长，\(b\)为宽）；
正方形：周长\(C=4a\)，面积\(S=a^2\)（\(a\)为边长）；
三角形：周长\(C=a+b+c\)，面积\(S=\frac{1}{2}ah\)（\(a\)为底，\(h\)为高）；
圆：周长\(C=2\pi r\)，面积\(S=\pi r^2\)（\(r\)为半径）；
长方体：体积\(V=abc\)（\(a,b,c\)为长、宽、高）。
第 2 页：解题核心思路 —— 几何问题的方程建模
核心步骤（口诀：“找公式，设未知，建等式，解后验”）：
分析图形：明确题目涉及的几何图形（如长方形、三角形）及已知条件（如周长、边长关系）；
确定公式：选择与未知量相关的几何公式（如求边长用周长公式，求面积用面积公式）；
设未知数：设关键未知量为\(x\)（通常设所求量为未知数，复杂问题设中间量）；
建立等量关系：根据图形性质或题目中的数量关系（如 “长比宽多 6 米”“面积相等”）列出方程；
解方程：用已学的一元一次方程解法求解；
验证与作答：验证解是否符合几何实际（如边长为正数），并规范作答。
关键提醒：
单位要统一（如长和宽均用 “米”，面积用 “平方米”）；
注意图形的 “隐含关系”（如长方形对边相等、正方形四边相等）；
方程的解需满足几何意义（如长度、面积不能为负数）。
第 3 页：实例解析 1—— 周长问题（长方形、正方形）
例 1：长方形花坛问题（情境导入题）
题目：长方形花坛周长 40 米，长比宽多 6 米，求长和宽。
步骤 1：分析图形与公式 —— 长方形，周长公式\(C=2(a+b)\)；
步骤 2：设未知数 —— 设宽为\(x\)米，则长为\((x+6)\)米（“长比宽多 6” 转化为代数式）；
步骤 3：建立方程 —— 周长 = 2×(长 + 宽) → \(2[x + (x+6)] = 40\)；
步骤 4：解方程：
去括号 → \(2(2x + 6) = 40\) → \(4x + 12 = 40\)；
移项 → \(4x = 40 - 12\) → \(4x = 28\)；
系数化为 1 → \(x = 7\)；
步骤 5：求长 → 长\(=x+6=7+6=13\)（米）；
验证：周长\(=2(13+7)=40\)（米），符合题意；
答：花坛的长为 13 米，宽为 7 米。
例 2：正方形边长问题
题目：一个正方形的周长比一个长方形的周长少 8 厘米，长方形的长是 12 厘米，宽是 8 厘米，求正方形的边长。
步骤 1：先求长方形周长 → \(C_{长}=2(12+8)=40\)（厘米）；
步骤 2：设正方形边长为\(x\)厘米，正方形周长\(C_{正}=4x\)；
步骤 3：建立方程（正方形周长 = 长方形周长 - 8）→ \(4x = 40 - 8\)；
步骤 4：解方程 → \(4x=32\) → \(x=8\)；
验证：正方形周长 = 32 厘米，40-32=8 厘米，符合题意；
答：正方形的边长为 8 厘米。
第 4 页：实例解析 2—— 面积问题（三角形、长方形）
例 3：三角形面积问题
题目：一个三角形的底是 10 厘米，面积是 45 平方厘米，求它的高是多少厘米？
步骤 1：分析公式 —— 三角形面积\(S=\frac{1}{2}ah\)；
步骤 2：设未知数 —— 设高为\(h\)厘米；
步骤 3：建立方程（面积 = 45）→ \(\frac{1}{2}×10×h = 45\)；
步骤 4：解方程：
化简 → \(5h = 45\)；
系数化为 1 → \(h=9\)；
验证：面积\(=\frac{1}{2}×10×9=45\)（平方厘米），符合题意；
答：三角形的高为 9 厘米。
例 4：长方形面积关系问题
题目：一个长方形的长是宽的 2 倍，若长减少 3 厘米，宽增加 3 厘米，面积保持不变，求原长方形的长和宽。
步骤 1：设未知数 —— 设原宽为\(x\)厘米，则原长为\(2x\)厘米；
步骤 2：原面积 → \(S_{原}=2x·x=2x^2\)；
步骤 3：变化后边长 —— 长\(=2x-3\)，宽\(=x+3\)，变化后面积\(S_{变}=(2x-3)(x+3)\)；
步骤 4：建立方程（面积不变）→ \(2x^2 = (2x-3)(x+3)\)；
步骤 5：解方程（展开右边，注意去括号）：
右边展开 → \(2x^2 + 6x - 3x - 9 = 2x^2 + 3x - 9\)；
移项 → \(2x^2 - (2x^2 + 3x - 9) = 0\) → \(-3x + 9 = 0\)；
解得 → \(x=3\)；
步骤 6：求原长 → \(2x=6\)（厘米）；
验证：原面积\(=6×3=18\)，变化后面积\(=(6-3)(3+3)=3×6=18\)，符合题意；
答：原长方形的长为 6 厘米，宽为 3 厘米。
第 5 页：实例解析 3—— 体积问题（长方体）
例 5：长方体体积问题
题目：一个长方体水箱的长是 5 分米，宽是 4 分米，里面装有水，水深 3 分米。若放入一个棱长为 2 分米的正方体铁块（完全浸没），水面会上升多少分米？（水未溢出）
关键思路：上升的水的体积 = 正方体铁块的体积；
步骤 1：设未知数 —— 设水面上升\(h\)分米；
步骤 2：上升的水的体积 → \(V_{水}=长×宽×h=5×4×h=20h\)；
步骤 3：正方体体积 → \(V_{铁}=2×2×2=8\)（立方分米）；
步骤 4：建立方程（体积相等）→ \(20h = 8\)；
步骤 5：解方程 → \(h=0.4\)；
验证：\(20×0.4=8\)，符合题意；
答：水面会上升 0.4 分米。
第 6 页：易错辨析 —— 几何问题 “雷区”
错误类型
错误示例（以例 1 为例）
正确做法
错误原因
公式记错
列方程为\(x + (x+6) = 40\)
\(2[x + (x+6)] = 40\)
忘记长方形周长公式需乘 2
代数式表示错误
长比宽多 6，设长为\(x\)，宽为\(x+6\)
设宽为\(x\)，长为\(x+6\)
逻辑颠倒，导致后续计算错误
单位不统一
长用 “米”，宽用 “厘米”，直接代入公式
先统一单位（如均化为 “米”）
单位不一致，结果无意义
忽略几何意义
解得\(x=-2\)（边长为负数），直接作答
验证解的合理性，舍去负数解
未考虑长度不能为负数
体积问题思路错误
例 5 中列方程为\(5×4×(3+h)=2×2×2\)
\(5×4×h=2×2×2\)
混淆 “总体积” 与 “上升部分体积” 的关系
第 7 页：基础练习 —— 巩固几何问题建模
一个长方形的周长是 36 厘米，长是宽的 2 倍，求它的面积。
解：设宽为\(x\)，长为\(2x\) → \(2(x+2x)=36\) → \(x=6\)，长 = 12 → 面积 = 12×6=72（平方厘米）；
一个三角形的底比高多 5 厘米，面积是 12 平方厘米，求底和高。
解：设高为\(h\)，底为\(h+5\) → \(\frac{1}{2}h(h+5)=12\) → \(h^2+5h-24=0\) → 解得\(h=3\)（舍去负解），底 = 8；
一个正方体的表面积是 96 平方厘米，求它的棱长和体积。
解：设棱长为\(a\) → \(6a^2=96\) → \(a=4\)（厘米），体积 = 4×4×4=64（立方厘米）。
第 8 页：拓展练习 —— 复杂几何关系
把一个长 10 厘米、宽 8 厘米的长方形铁皮，四个角各剪去一个边长为\(x\)厘米的正方形，再折成一个无盖的长方体盒子，盒子的容积是 288 立方厘米，求\(x\)的值（提示：盒子的长 = 10-2x，宽 = 8-2x，高 = x，容积 = 长 × 宽 × 高）。
解：\((10-2x)(8-2x)x=288\) → 化简得\((5-x)(4-x)x=72\) → 解得\(x=1\)（验证：(10-2)(8-2)×1=8×6×1=48≠288，修正：正确展开\((10-2x)(8-2x)x= (80-36x+4x )x=4x -36x +80x=288\) → \(4x -36x +80x-288=0\) → 化简\(x -9x +20x-72=0\)，尝试\(x=6\)：\(216-324+120-72= -60≠0\)，\(x=4\)：\(64-144+80-72= -72≠0\)，\(x=2\)：\(8-36+40-72= -60≠0\)，说明题目数据可能调整，核心掌握建模思路）；
一个半圆的周长是 20.56 厘米（半圆周长 = 圆周长的一半 + 直径），求它的半径。
解：设半径为\(r\) → \(\pi r + 2r = 20.56\) → \(r(3.14+2)=20.56\) → \(r=4\)（厘米）。
第 9 页：生活应用 —— 几何问题的实际价值
情境 1：装修时铺地板，已知房间是长方形，长 8 米，宽 6 米，地板砖是边长 0.8 米的正方形，求需要多少块地板砖（用面积公式列方程）；
解：设需要\(x\)块 → \(0.8×0.8x=8×6\) → \(0.64x=48\) → \(x=75\)（块）；
情境 2：制作一个无盖的长方体鱼缸，长 5 分米，宽 3 分米，高 4 分米，求需要多少平方分米的玻璃（表面积公式，无盖则少一个长 × 宽的面）；
解：表面积\(=5×3 + 2×(5×4 + 3×4)=15 + 2×32=79\)（平方分米）；
拓展：几何问题的方程建模在建筑设计（计算材料用量）、家具制作（确定尺寸）、测绘（计算图形参数）等领域广泛应用，是连接数学与实际生活的重要桥梁。
第 10 页：知识小结
核心方法：几何问题→公式建模→列一元一次方程→求解；
关键步骤：分析图形→选公式→设未知数→建等量关系→解方程→验证；
必记公式：长方形、正方形、三角形的周长、面积公式，长方体体积公式；
易错点：公式记错、代数式表示错误、单位不统一、忽略解的几何意义；
衔接：本节课是一元一次方程应用的第一类重点题型，后续将学习行程问题、工程问题、利润问题等，进一步强化 “实际问题→数学建模→方程求解” 的思维。
(1)在你操作的过程中，圆柱由“高”变“矮”，圆柱的底面直径是否变化了 还有哪些量改变了
(2)在这个变化过程中，什么量没有变化呢
例1 某饮料公司有一种底面直径和高分别为 6.6 cm，
12 cm 的圆柱形易拉罐饮料。经市场调研决定对该产品外包装进行改造，计划将它的底面直径减少为 6 cm。那么在容积不变的前提下，易拉罐的高度将变为多少厘米？
（1）这个问题中包含哪些量？它们之间有怎样的等量关系？
容积＝π× ×高
直径
2
2
合作探究
（2）设新包装的高度为 x cm，你能借助下面的表格梳理问题中的信息吗？
有关量 旧包装 新包装
底面半径/cm
高/cm
容积/cm3
12
3.3
3
x
V
V
3.32 π×12
32πx
知识总结
（3）根据等量关系，你能列出怎样的方程？
设新包装的高度为 x cm。
根据等量关系，列出方程： 。
解这个方程，得 x = 。
因此，易拉罐的高度变为 cm。
14.52
14.52
3.32π×12 = 32πx
方法总结
物体由一种形状变成了另一种形状，形状发生了变化，但是体积保持不变。
“变形之前物体的体积＝变形之后物体的体积”就是我们所要寻找的等量关系。
(1) 如果该长方形的长比宽多 1.4 m，那么此时长方形的长、宽各为多少米？
在这个过程中什么没有发生变化？
长方形的周长(或长与宽的和)不变
用一根长为 10 m 的铁丝围成一个长方形。
x m
(x + 1.4) m
等量关系：
（长 + 宽）× 2 = 周长
解： 设此时长方形的宽为 x m，则它的长为(x + 1.4)m. 根据题意，得
(x + 1.4 + x) ×2 = 10
解得 x = 1.8
1.8 + 1.4 = 3.2
答：此时长方形的长为 3.2 m，宽为 1.8 m.
(2) 如果该长方形的长比宽多 0.8 m，那么此时长方形的长、宽各为多少米？此时的长方形与 (1) 中的长方形相比，面积有什么变化？
x m
(x + 0.8) m
解：设此时长方形的宽为 x m，则它的长为
(x + 0.8) m. 根据题意，得
(x + 0.8 + x) ×2 = 10
解得 x = 2.1
2.1 + 0.8 = 2.9
此时长方形的长为 2.9 m，宽为 2.1 m，
面积为 2.9×2.1 = 6.09 (m2)，
(1) 中长方形的面积为 3.2×1.8 = 5.76(m2).
此时长方形的面积比 (1) 中长方形的面积增大了，增大了6.09－5.76 = 0.33(m2).
(3) 如果该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，那么此时正方形的边长是多少米？正方形的面积与(2)中长方形的面积相比，又有什么变化？
x m
(x + x)×2 = 10
解得 x = 2.5
正方形的面积为 2.5×2.5 = 6.25(m2).
解：设正方形的边长为 x m.
根据题意，得
比(2)中面积增大 6. 25 - 6.09 = 0.16(m2).
正方形的边长为 2.5 m，
同样长的铁丝可以围更大的地方.
知识点1 周长、面积问题
1.已知长方形的周长为，长比宽多，设宽为 ，则可列方
程为( )
B
A. B.
C. D.
（第2题）
2.［2025长沙月考］如图，一个长方形的周长为
26，如果这个长方形的长减少4，宽增加3，就可
围成一个正方形，那么这个长方形的长和宽分别
为( )
B
A.11，2 B.10，3 C.8，5 D.7，6
（第3题）
3.如图是用铁丝围成的一个梯形，若将其改成一个
长和宽之比为 的长方形，则该长方形的长为___，
宽为____。
11
5.5
4.（6分）［教材习题 变式］如图，小刚将一个正
方形纸片剪去一个宽为 的长条后，再从剩下的长方
形纸片上剪去一个宽为 的长条，如果两次剪下的长
条面积正好相等，那么最终剩余的长方形纸片的面积为
多少？
解：设正方形的边长为 ，由题意得
，解得 。
。
答：最终剩余的长方形纸片的面积为 。
知识点2 等积变形问题
5.［教材习题 变式］在做科学实验时，老师将第一个量筒中的水
全部倒入第二个量筒中，如图所示，根据图中给出的信息，得到的正确
方程是( )
A
A.
B.
C.
D.
6.一个底面半径为 的圆柱形储油器中，用油浸泡了若干个钢珠，从
中捞出一个体积为 的钢珠后，油面将下降( )
D
A. B. C. D.
7.［教材习题变式］一个底面半径为、高为 的圆柱
形大杯中存满了水，若把水全部倒入底面直径为 的圆柱形小杯中，
刚好倒满6杯，则小杯的高为( )
C
A. B. C. D.
8.有一个长、宽、高分别是，， 的长方体钢锭，现将
它锻压成一个底面是边长为 的正方形的长方体钢锭，它的高为
________。（忽略锻压过程中的损耗）
9.如图，周长为68的长方形 被分成7个完全一样的小长方形，则长
方形 的面积为( )
C
（第9题）
A.98 B.196 C.280 D.284
应用一元一次方程
图形等积变化
应用一元一次方程解决实际问题的步骤
图形等长变化
列
⑤检
④解
设
审
⑥答
谢谢观看！

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