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北师大（2024）版数学七年级上册
第五章 一元一次方程
5.3.2 “盈余不足”问题
应用一元一次方程解决实际问题的一般步骤是什么？
第 1 页：情境导入 ——“多了”“少了” 如何列方程？
实际问题（配图提示：分物品场景）：
问题 1：把一批笔记本分给学生，若每人分 3 本，还剩 8 本；若每人分 5 本，还差 2 本。求学生人数和笔记本总数。
问题 2：用一批布料做衣服，若每件衣服用布 2 米，还剩 3 米；若每件衣服用布 2.5 米，还差 12 米。求衣服件数和布料总长度。
思考：这类问题的共同点是什么？（两种分配方案，总数量不变 —— 如笔记本总数、布料总长度，分配时一种 “盈余”、一种 “不足”）如何利用 “总数量相等” 建立方程？
第 2 页：解题核心思路 ——“不变量” 建模
核心分析：
盈余不足问题的关键是找到 “不变量”（如物品总数、人数、总长度等），两种分配方案的不变量相等，这是列方程的依据；
关键词定义：
盈余：分配后剩余的数量（如 “剩 8 本”“剩 3 米”）；
不足：分配时缺少的数量（如 “差 2 本”“差 12 米”）。
核心步骤（口诀：“设人数，表总量，两总量，相等列”）：
设未知数：通常设分配的份数（如人数、衣服件数）为\(x\)（设 “份数” 更易表示两种分配方案的总量）；
表示总数量：
方案 1（盈余）：总数量 = 每份数量 × 份数 + 盈余数量；
方案 2（不足）：总数量 = 每份数量 × 份数 不足数量；
建立方程：两种方案的总数量相等 → 方案 1 总量 = 方案 2 总量；
解方程：求解份数\(x\)；
求总数量：代入任意一种方案的总量表达式，计算不变量；
验证与作答：验证结果是否符合两种分配场景，规范作答。
第 3 页：实例解析 1—— 物品分配问题
例 1：笔记本分配问题（情境导入题 1）
题目：每人分 3 本剩 8 本，每人分 5 本差 2 本，求学生人数和笔记本总数。
步骤 1：设未知数 —— 设学生人数为\(x\)人（分配份数为人数）；
步骤 2：表示总数量：
方案 1（盈余）：笔记本总数 = 3x + 8（每人 3 本 × 人数 + 剩 8 本）；
方案 2（不足）：笔记本总数 = 5x - 2（每人 5 本 × 人数 差 2 本）；
步骤 3：建立方程（总数相等）→ \(3x + 8 = 5x - 2\)；
步骤 4：解方程：
移项 → \(8 + 2 = 5x - 3x\)；
合并同类项 → \(10 = 2x\)；
系数化为 1 → \(x = 5\)（学生人数为 5 人）；
步骤 5：求笔记本总数 —— 代入方案 1：\(3×5 + 8 = 23\)（本）（或方案 2：\(5×5 - 2 = 23\)本，结果一致）；
验证：5 人分 3 本剩 8 本（15+8=23），分 5 本需 25 本差 2 本（25-2=23），符合题意；
答：学生有 5 人，笔记本总数为 23 本。
例 2：图书分配问题
题目：某班图书角有一批图书，若每人借 4 本，则余 30 本；若每人借 6 本，则缺 10 本。求该班人数和图书总数。
步骤 1：设该班人数为\(x\)人；
步骤 2：总量表示：方案 1=4x + 30，方案 2=6x - 10；
步骤 3：方程 → \(4x + 30 = 6x - 10\)；
步骤 4：解方程 → \(30 + 10 = 6x - 4x\) → \(2x=40\) → \(x=20\)（人）；
步骤 5：图书总数 = 4×20 + 30=110（本）；
验证：20 人借 4 本需 80 本余 30 本（80+30=110），借 6 本需 120 本缺 10 本（120-10=110），符合题意；
答：该班有 20 人，图书总数为 110 本。
第 4 页：实例解析 2—— 资源分配问题（布料、粮食等）
例 3：布料做衣服问题（情境导入题 2）
题目：每件衣服用布 2 米剩 3 米，每件用布 2.5 米差 12 米，求衣服件数和布料总长度。
步骤 1：设衣服件数为\(x\)件；
步骤 2：总量表示：方案 1=2x + 3（布料总长），方案 2=2.5x - 12；
步骤 3：方程 → \(2x + 3 = 2.5x - 12\)；
步骤 4：解方程：
移项 → \(3 + 12 = 2.5x - 2x\)；
合并同类项 → \(15 = 0.5x\)；
系数化为 1 → \(x = 30\)（件）；
步骤 5：布料总长 = 2×30 + 3=63（米）（验证：2.5×30 - 12=75-12=63 米，一致）；
答：衣服有 30 件，布料总长度为 63 米。
例 4：粮食分配问题
题目：一批粮食分给灾民，若每人分 5 千克，还剩 32 千克；若每人分 6 千克，刚好分完（“不足” 为 0）。求灾民人数和粮食总量。
步骤 1：设灾民人数为\(x\)人；
步骤 2：总量表示：方案 1=5x + 32，方案 2=6x - 0（刚好分完即差 0 千克）；
步骤 3：方程 → \(5x + 32 = 6x\)；
步骤 4：解方程 → \(x=32\)（人）；
步骤 5：粮食总量 = 5×32 + 32=192（千克）（验证：6×32=192 千克，一致）；
答：灾民有 32 人，粮食总量为 192 千克。
第 5 页：实例解析 3—— 复杂盈余不足（两种盈余 / 两种不足）
例 5：两种盈余问题
题目：把一批苹果分给小朋友，若每人分 2 个，剩 15 个；若每人分 3 个，剩 5 个。求小朋友人数和苹果总数。
步骤 1：设小朋友人数为\(x\)人；
步骤 2：总量表示：方案 1=2x + 15，方案 2=3x + 5（两种均盈余，总量 = 每份数 × 份数 + 盈余）；
步骤 3：方程 → \(2x + 15 = 3x + 5\)；
步骤 4：解方程 → \(15 - 5 = 3x - 2x\) → \(x=10\)（人）；
步骤 5：苹果总数 = 2×10 + 15=35（个）（验证：3×10 + 5=35 个，一致）；
答：小朋友有 10 人，苹果总数为 35 个。
例 6：两种不足问题
题目：租船出游，若每条船坐 4 人，差 2 条船；若每条船坐 6 人，还缺 2 人。求船的数量和出游人数。
关键转化：“差 2 条船”→ 若船数不变，每条坐 4 人，会少坐\(4×2=8\)人（即不足 8 人）；
步骤 1：设船的数量为\(x\)条；
步骤 2：总量表示：方案 1=4x + 8（差 2 条船→需多坐 8 人才能坐满），方案 2=6x - 2；
步骤 3：方程 → \(4x + 8 = 6x - 2\)；
步骤 4：解方程 → \(8 + 2 = 6x - 4x\) → \(2x=10\) → \(x=5\)（条）；
步骤 5：出游人数 = 4×5 + 8=28（人）（验证：6×5 - 2=30-2=28 人，一致）；
答：船有 5 条，出游人数为 28 人。
第 6 页：易错辨析 —— 盈余不足问题 “雷区”
错误类型
错误示例（以例 1 为例）
正确做法
错误原因
总量表达式错误
方案 2 列成\(5x + 2\)（差 2 本写成加 2）
方案 2=5x - 2
混淆 “不足” 的表达式（不足需减，盈余需加）
设未知数错误
设笔记本总数为\(x\)，列方程\(\frac{x-8}{3}=\frac{x+2}{5}\)
设学生人数为\(x\)，列\(3x+8=5x-2\)
设 “份数”（人数）更简便，设总量会增加分式运算，易出错
转化错误
例 6 中 “差 2 条船” 列成\(4(x+2)=6x-2\)
转化为 “不足 8 人”，列\(4x+8=6x-2\)
未正确转化隐含条件，直接设船数却未调整人数关系
计算错误
移项时符号出错：\(3x + 8 = 5x - 2\)→\(8 - 2 = 5x - 3x\)
\(8 + 2 = 5x - 3x\)
移项未变号，导致求解错误
验证遗漏
解得\(x=5\)后，未验证两种方案的总量是否一致
代入方案 1 和方案 2，确认总量均为 23 本
未确保解符合所有条件，可能因表达式错误导致结果偏差
第 7 页：基础练习 —— 巩固盈余不足建模
一批文具分给学生，每人分 5 件剩 12 件，每人分 7 件差 4 件，求学生人数和文具总数。
解：设学生\(x\)人 → \(5x+12=7x-4\) → \(x=8\)（人），文具总数 = 5×8+12=52（件）；
用绳子测井深，若把绳子三折垂到井底，还剩 4 米；若把绳子四折垂到井底，还剩 1 米。求井深和绳长（提示：三折即绳长 = 3×(井深 + 4)，四折 = 4×(井深 + 1)）。
解：设井深\(x\)米 → \(3(x+4)=4(x+1)\) → \(3x+12=4x+4\) → \(x=8\)（米），绳长 = 3×(8+4)=36（米）；
某工厂生产零件，若每天生产 100 个，到期超额完成 20 个；若每天生产 95 个，到期还差 10 个。求生产天数和零件总数。
解：设生产天数\(x\)天 → \(100x-20=95x+10\)（超额完成即总量 = 100x-20）→ \(x=6\)（天），零件总数 = 100×6-20=580（个）。
第 8 页：拓展练习 —— 综合场景应用
学校组织学生乘车去春游，若每辆车坐 45 人，有 15 人没座位；若每辆车坐 60 人，刚好空出 1 辆车。求车的数量和学生人数。
转化：空出 1 辆车→差 60 人座位（不足 60 人）；
解：设车\(x\)辆 → \(45x+15=60(x-1)\) → \(45x+15=60x-60\) → \(x=5\)（辆），学生人数 = 45×5+15=240（人）；
某商店购进一批商品，若按定价每件卖 10 元，能盈利 200 元；若按定价每件卖 8 元，亏损 100 元。求商品件数和总成本。
提示：盈利 = 售价 成本，亏损 = 成本 售价 → 总成本 = 10x-200=8x+100；
解：设商品\(x\)件 → \(10x-200=8x+100\) → \(x=150\)（件），总成本 = 10×150-200=1300（元）。
第 9 页：生活应用 —— 盈余不足问题的实际价值
情境 1：企业采购物资分配给部门，根据 “每人分 n 件剩 m 件”“每人分 p 件差 q 件”，计算部门人数和物资总量，优化采购方案；
情境 2：旅行社安排车辆 / 住宿，根据游客人数和 “每车坐 a 人剩 b 人”“每车坐 c 人缺 d 人”，确定车辆数量，避免浪费或不足；
情境 3：生产计划制定，根据 “每天生产 x 个超额完成 y 个”“每天生产 z 个还差 w 个”，计算生产周期和总产量，合理安排产能。
第 10 页：知识小结
核心方法：盈余不足问题→抓 “总数量不变”→设份数为\(x\)→表示两种方案的总量→列方程求解；
总量表达式：
盈余：总量 = 每份数 × 份数 + 盈余量；
不足：总量 = 每份数 × 份数 不足量；
关键技巧：复杂场景（如差船、空车）需先转化为 “盈余” 或 “不足” 的直接关系，再建模；
易错点：总量表达式符号错误、隐含条件转化错误、移项未变号、验证遗漏；
衔接：本节课延续了一元一次方程的应用建模思维，后续将学习行程问题、工程问题等，进一步完善 “实际问题→数学方程” 的转化能力，为解决更复杂的综合问题奠定基础。
1．审——通过审题找出等量关系；2．设——设出合理的未知数(直接或间接)，注意单位名称；3．列——依据找到的等量关系，列出方程；4．解——求出方程的解(对间接设的未知数切记继续求解)；5．检——检验求出的值是否为方程的解，并检验是否符合实际；6．答——注意单位名称
把一些书分给几名学生，如果每人分3本，那么多出8本；如果每人分5本，那么还少2本.共有多少本书？ 共有多少名学生？
“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数、物价各几何？”
题目大意：几个人合伙买东西，若每人出 8 钱，则会多出 3 钱，若每人出 7 钱，则还少 4 钱。问合伙的人数和物品的价格分别是多少？
（1）问题中有哪些已知量和未知量？它们之间有怎样的等量关系？
（2）设人数为 x，其他未知量能用含 x 的代数式表示吗？请完成下表。
有关量 每人出 8 钱 每人出 7 钱
人数 x
出钱总数
物价
8x
8x - 3
x
7x
7x + 4
（3）根据等量关系，你能列出怎样的方程？
方法总结：利用表格分析数量关系是一种有效方法。
设人数为 x。
根据等量关系，列出方程： 。
解这个方程，得 x = 。
因此，人数为 ，物价为 。
7
7
53
8x - 3 = 7x + 4
如果设物价为 y，你能列出怎样的方程？与同伴进行交流。
解得 y = 53。
你比较喜欢用哪种方式列方程呢？
例1 《九章算术》“盈不足”章第五题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百。问人数、金价各几何？
题目大意：几个人合伙买金，每人出 400 钱，会多出 3400 钱；每人出 300 钱，会多出 100 钱。合伙人数、金价各是多少？
分析：设人数为 x，你能把下表补充完整吗？
有关量 每人出400 钱 每人出300 钱
人数 x
出钱总数
物价
400x
400x - 3400
x
300x
300x - 100
解：设合伙人数为 x，则金价可表示为 （400x - 3400）钱，还可表示为 （300x - 100）钱，根据等量关系，列出方程：
方程的两边就是金价的两种不同的表达式。
400x - 3400 = 300x - 100。
解这个方程，得 x = 33。
300×33 - 100 = 9800。
因此，人数为 33，金价为 9800 钱。
思考交流
（1）对于例 1，如果设金价为 y，能列出怎样的方程？
解得 y = 9800。
（2）《九章算术》给出了一种算法：
人数 = 两次剩余钱数之差÷两次每人所出钱数之差；
物价 = 每人出的较多钱数×人数 - 剩余钱数，
或 物价 = 每人出的较少钱数×人数 + 不足的钱数。
你能理解这种解法吗？与方程的求解过程相比，有什么不同？与同伴进行交流。
解方程→顺向思考
算式方法→逆向思考
知识点1 古算术中的盈余问题
1.《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今
有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六。问人数鸡价各几何？
译文：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16
钱。问买鸡的人数、鸡的价格各是多少？
（1）设买鸡的人数为 ，请完成下表：
有关量 每人出9钱 每人出6钱
出钱总数
鸡的价格 _________ _________
（2）根据等量关系，列出方程为__________________。
2.［2025宿迁月考］我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算
诗：“庭前孩童闹如簇，不知人数不知梨，每人四梨多十二，每人六梨
恰齐足。”其大意：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨，每人分4
个梨，多12个梨；每人分6个梨，恰好分完。”设梨有 个，则可列方程
为( )
B
A. B.
C. D.
3. ［2025天津月考］我国古代著作《孙子算经》中记载
了这样一个数学问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，五人步。
问车有几何？”意思是：每3人共乘一辆车，最终剩余2辆车；每2人共乘
一辆车，最终有5人无车可乘，则车有____辆。
11
知识点2 一般盈余问题
4.五一劳动节时为感谢环卫工人对城市美好市容的辛苦付出，乐乐和丽
丽所在的活动小组计划做一批“感谢贺卡”。若每人做8张，则比计划多
了3张；若每人做5张，则比计划少了27张。则该活动小组共有多少人？
（1）设该活动小组共有 人，请完成表格：
有关量 每人做8张 每人做5张
实际做的卡片/张 ____
计划做的卡片/张 _______ _________
（2）根据等量关系，列出方程为_________________。
5.［教材习题 变式］近年来，网购的蓬勃发展方便了人们的生活。
某快递分派站现有若干件包裹需快递员派送，若每名快递员派送10件，
还剩6件；若每名快递员派送12件，还差14件，则该快递分派站现有快
递员____名。
10
6.（6分）爸爸买了一箱苹果回家，小芳想分给家里的每一个人，如果
每人分3个，剩下3个苹果分不完，如果每人分4个，还差2个苹果才够分，
问小芳家有几个人？爸爸买了多少个苹果？
解：设小芳家有 个人。
根据题意，得 ，
解得，则 。
故小芳家有5个人，爸爸买了18个苹果。
实际问题
盈亏不足问题
盈时的总量－盈时的数量＝亏时的总量＋____的数量
亏时
方法点拨：“盈余不足”问题，往往都是根据同一个量的两种不同表示方式来列方程求解，一般有两种设未知数的方法。
谢谢观看！

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