资源简介

(共29张PPT)
北师大（2024）版数学七年级上册
第五章 一元一次方程
5.3.3行程问题
第 1 页：情境导入 —— 行程中的 “相遇” 与 “追赶” 如何建模？
实际问题（配图提示：相遇、追及示意图）：
问题 1（相遇）：甲、乙两车分别从 A、B 两地同时出发，相向而行。甲车速度为 60km/h，乙车速度为 80km/h，A、B 两地相距 350km，多久后两车相遇？
问题 2（追及）：小明以 5km/h 的速度步行上学，出发 1 小时后，爸爸发现他忘带书包，以 15km/h 的速度骑车追赶，爸爸多久能追上小明？
思考：这类问题的核心量是什么？（路程、速度、时间）不同运动方向（相向、同向）的等量关系有何区别？如何用公式 “s=vt” 建立方程？
复习回顾：行程问题核心公式（必记）：
路程 = 速度 × 时间（s=vt）；
速度 = 路程 ÷ 时间（v=s/t）；
时间 = 路程 ÷ 速度（t=s/v）。
关键提醒：单位要统一（如速度 km/h 对应时间 h、路程 km）。
第 2 页：解题核心思路 —— 行程问题的 “等量关系” 建模
核心分析：
行程问题的关键是明确 “运动状态”（相向而行、同向而行、同向不同时出发等），找到不变量（如总路程、路程差），再根据公式建立等量关系；
常见运动状态分类：
同向而行（追及）：路程差 = 速度差 × 时间；
相向而行（相遇）：总路程 = 速度和 × 时间；
同向同地不同时出发：前者路程 = 后者路程；
单程往返：去程路程 = 返程路程。
核心步骤（口诀：“定状态，找三量，设时间，建等式”）：
分析运动状态：确定物体运动方向（相向、同向）、出发时间（同时 / 不同时）、出发地点（同地 / 不同地）；
明确三量关系：找出已知的速度、路程，确定未知量（通常设时间为 x）；
设未知数：设运动时间为 x（或其他未知量），用含 x 的代数式表示各物体的路程；
建立等量关系：根据运动状态列等式（如相遇时总路程 = 两车路程和）；
解方程：用一元一次方程解法求解；
验证与作答：验证解是否符合实际（如时间、路程为正数），规范作答。
第 3 页：实例解析 1—— 相向而行（相遇问题）
例 1：两车相遇问题（情境导入题 1）
题目：甲、乙两车从 A、B 两地相向而行，甲车 60km/h，乙车 80km/h，两地相距 350km，求相遇时间。
步骤 1：分析状态 —— 相向而行、同时出发、不同地点，总路程 = 路程和；
步骤 2：设未知数 —— 设 x 小时后相遇；
步骤 3：表示路程 —— 甲车路程 = 60x km，乙车路程 = 80x km；
步骤 4：建立方程（总路程 = 路程和）→ \(60x + 80x = 350\)；
步骤 5：解方程：
合并同类项 → \(140x = 350\)；
系数化为 1 → \(x = 2.5\)（小时）；
验证：甲车路程 = 60×2.5=150km，乙车路程 = 80×2.5=200km，150+200=350km（符合总路程）；
答：2.5 小时后两车相遇。
例 2：步行相遇问题
题目：小明和小红分别从相距 12km 的两地同时出发，相向而行。小明速度 4km/h，小红速度 2km/h，经过几小时两人相遇？相遇时小明走了多少 km？
步骤 1：设 x 小时后相遇；
步骤 2：路程表示 —— 小明路程 = 4x，小红路程 = 2x；
步骤 3：方程 → \(4x + 2x = 12\)；
步骤 4：解方程 → \(6x=12\) → \(x=2\)（小时）；
步骤 5：小明路程 = 4×2=8（km）；
验证：4×2+2×2=12km（符合总路程）；
答：经过 2 小时相遇，相遇时小明走了 8km。
第 4 页：实例解析 2—— 同向而行（追及问题）
例 3：骑车追及问题（情境导入题 2）
题目：小明步行 5km/h，出发 1 小时后爸爸骑车追赶，速度 15km/h，求追赶时间。
步骤 1：分析状态 —— 同向而行、不同时出发、同地，路程差 = 小明先走路程；
步骤 2：设爸爸 x 小时后追上小明；
步骤 3：路程表示 —— 小明总路程 = 5 (x+1) km（先走 1 小时），爸爸路程 = 15x km；
步骤 4：建立方程（追上时路程相等）→ \(15x = 5(x+1)\)；
步骤 5：解方程：
去括号 → \(15x = 5x + 5\)；
移项 → \(15x - 5x = 5\)；
合并同类项 → \(10x = 5\) → \(x=0.5\)（小时 = 30 分钟）；
验证：爸爸路程 = 15×0.5=7.5km，小明总路程 = 5×(0.5+1)=7.5km（路程相等）；
答：爸爸 0.5 小时能追上小明。
例 4：同地同向追及问题
题目：甲、乙两人在环形跑道上跑步，跑道一圈 400m。甲速度 3m/s，乙速度 5m/s，两人同时同地同向出发，多久后乙第一次追上甲？
步骤 1：分析状态 —— 同向同地同时出发，追上时乙比甲多跑一圈（路程差 = 400m）；
步骤 2：设 x 秒后乙追上甲；
步骤 3：路程差表示 —— 乙路程 - 甲路程 = 400 → \(5x - 3x = 400\)；
步骤 4：解方程 → \(2x=400\) → \(x=200\)（秒）；
验证：5×200-3×200=1000-600=400m（符合路程差）；
答：200 秒后乙第一次追上甲。
第 5 页：实例解析 3—— 复杂行程（单程往返、变速问题）
例 5：单程往返问题
题目：一辆汽车从甲地到乙地，去时速度 60km/h，返回时速度 80km/h，返回时比去时少用 1 小时，求甲、乙两地距离。
步骤 1：设去时用 x 小时，则返回时用 (x-1) 小时；
步骤 2：路程表示 —— 去时路程 = 60x，返回路程 = 80 (x-1)（往返路程相等）；
步骤 3：方程 → \(60x = 80(x-1)\)；
步骤 4：解方程：
去括号 → \(60x = 80x - 80\)；
移项 → \(80 = 80x - 60x\)；
合并同类项 → \(20x=80\) → \(x=4\)（小时）；
步骤 5：两地距离 = 60×4=240（km）；
验证：返回时间 = 4-1=3 小时，80×3=240km（往返路程相等）；
答：甲、乙两地距离为 240km。
例 6：变速行程问题
题目：小明从家到学校，先以 4km/h 的速度步行 2 小时，后因迟到，改乘速度为 12km/h 的公交车，再用 1 小时到达学校，求小明家到学校的总距离。
步骤 1：分析状态 —— 分段行程（步行 + 公交），总路程 = 步行路程 + 公交路程；
步骤 2：设总距离为 s km（或直接计算）；
步骤 3：路程表示 —— 步行路程 = 4×2=8km，公交路程 = 12×1=12km；
步骤 4：总路程 s=8+12=20（km）（或列方程：s=4×2 + 12×1）；
答：小明家到学校的总距离为 20km。
第 6 页：易错辨析 —— 行程问题 “雷区”
错误类型
错误示例（以例 3 为例）
正确做法
错误原因
路程表示错误
设 x 小时追上，列方程\(15x = 5x\)
\(15x = 5(x+1)\)
忽略小明先走 1 小时，未加先行路程
速度单位不统一
小明速度 5km/h，爸爸 15m/min，直接列方程
统一单位（15m/min=0.9km/h 或 5km/h≈83.3m/min）
单位不一致，计算结果无意义
相遇问题公式混淆
相向而行列方程\(60x - 80x = 350\)
\(60x + 80x = 350\)
把 “路程和” 误写为 “路程差”
追及问题逻辑错误
环形跑道追及列方程\(5x + 3x = 400\)
\(5x - 3x = 400\)
把 “路程差” 误写为 “路程和”
往返路程忽略相等
例 5 中列方程\(60x + 80(x-1) = 总距离\)
\(60x = 80(x-1)\)
未利用 “往返路程相等” 的隐含条件
第 7 页：基础练习 —— 巩固行程问题建模
甲、乙两车从相距 480km 的两地相向而行，甲车 80km/h，乙车 70km/h，同时出发后几小时相遇？
解：设 x 小时相遇 → \(80x + 70x = 480\) → \(150x=480\) → \(x=3.2\)（小时）；
一列火车以 120km/h 的速度从 A 城开往 B 城，另一列火车以 100km/h 的速度从 B 城开往 A 城，两列火车同时出发，3 小时后相遇，求 A、B 两城距离。
解：设距离为 s → \(s=120×3 + 100×3=360+300=660\)（km）；
小丽以 3km/h 的速度从家出发，1.5 小时后妈妈骑车以 12km/h 的速度追赶，妈妈多久能追上小丽？
解：设 x 小时追上 → \(12x=3(x+1.5)\) → \(12x=3x+4.5\) → \(x=0.5\)（小时）。
第 8 页：拓展练习 —— 综合行程场景
甲、乙两人相距 20km，甲先出发 1 小时，速度 6km/h，乙再出发，速度 4km/h，若两人相向而行，乙出发后几小时相遇？
解：设乙出发 x 小时相遇 → 甲总路程 = 6 (x+1)，乙路程 = 4x → \(6(x+1)+4x=20\) → \(6x+6+4x=20\) → \(x=1.4\)（小时）；
一辆汽车从甲地到乙地，去时每小时行 50km，用了 6 小时，返回时比去时少用 1 小时，返回时的速度是多少？
解：设返回速度为 v → 路程 = 50×6=300km → \(v=300÷(6-1)=60\)（km/h）；
甲、乙两车同时从 A 地开往 B 地，甲车速度 70km/h，乙车速度 50km/h，甲车到达 B 地后立即返回，在距离 B 地 20km 处与乙车相遇，求 A、B 两地距离。
解：设相遇时间为 x 小时 → 甲车路程 = 70x，乙车路程 = 50x，甲车比乙车多走 2×20=40km → \(70x - 50x=40\) → \(x=2\)（小时）；两地距离 = 50×2 + 20=120（km）。
第 9 页：生活应用 —— 行程问题的实际价值
情境 1：旅游规划 —— 计算两地往返的时间、速度，合理安排行程（如自驾出游时确定出发时间）；
情境 2：交通调度 —— 公交车、火车的相遇、追及问题（如调度员计算两车交汇时间）；
情境 3：日常出行 —— 步行、骑车、乘车的时间计算（如估算上学所需时间，避免迟到）；
拓展：行程问题的建模思想在物流运输（计算货物送达时间）、航空航天（轨道计算）等领域广泛应用，是最基础且重要的数学应用模型之一。
第 10 页：知识小结
核心公式：路程 = 速度 × 时间（s=vt），灵活变形为 v=s/t、t=s/v；
建模关键：
相遇问题：总路程 = 速度和 × 时间；
追及问题：路程差 = 速度差 × 时间；
往返问题：去程路程 = 返程路程；
解题步骤：分析运动状态→设未知数→表示路程→建立等量关系→解方程→验证；
易错点：单位不统一、路程表达式错误、相遇 / 追及的等量关系混淆、忽略先行 / 后行的时间差；
衔接：本节课是一元一次方程应用的重点题型，后续将学习工程问题、利润问题等，进一步强化 “实际问题→数学建模” 的思维，为解决综合应用题奠定基础。
1.若小明每秒跑4米，那么他5秒能跑_____米。
2.小明用4分钟绕学校操场跑了两圈(每圈400米)，那么他的速度为_____米/分。
3.小明家距离火车站1500米，他以4米/秒的速度骑车到达火车站需_____分钟。
上面3个小题都是关于路程、速度、时间的问题，那么它们之间有何关系呢？
我们知道路程=速度×时间。知道这三个量中的两个就可以求出另一个。
问题： 小明每天早上要到距家 1000 m 的学校上学。一天，小明以 80 m/min 的速度出发，出发后 5 min，小明的爸爸发现小明忘了带语文书。于是，爸爸立即以
180 m/min 的速度沿同一条路去追小明，并且在途中追上了他。爸爸追上小明用了多长时间？追上小明时，距离学校还有多远？
（1） 问题中有哪些已知量和未知量？
（2）想象一下追及的过程，你能用一个图直观表示问题中各个量之间的关系吗？
解：设爸爸追上小明用了 x min，
小明家
学校
80×5
80x
180x
（3）你是怎样列出方程的？与同伴进行交流。
据题意得 80×5 + 80x = 180x。
解：设爸爸追上小明用了 x min，
小明家
学校
80×5
80x
180x
解得 x = 4。
180×4 = 720（m），1000 - 720 = 280（m）。
答： 爸爸追上小明用了 4 min。追上小明时，距离学校还有 280 m。
找出问题中的等量关系是列方程解应用题的关键，对于行程问题，通常借助“线段图”来分析问题中的数量关系。这样可以比较直观地反映出方程中的等量关系。
小明家
学校
80×5
80x
180x
例1 小明和小华两人在 400 m 的环形跑道上练习长跑，小明每分钟跑 260 m，小华每分钟跑 300 m，两人起跑时站在跑道同一位置。
（1）如果小明起跑后 1 min 小华才开始跑，那么小华用多长时间能追上小明？
（2）如果小明起跑后 1 min 小华开始反向跑，那么小华起跑后多长时间两人首次相遇？
分析：本题涉及哪些量？你能画图说明小明和小华跑步的情形吗？在问题（1）和（2）中，两人所走的路程分别有什么关系？
260
起点
起点
260
260x
300x
260x
300x
追及问题
相遇问题
解：（1）设小华用 x min 追上小明，根据等量关系，可列出方程
260 + 260x = 300x。
解这个方程，得 x = 6.5。
因此，小华用 6.5 min 追上小明。
追及问题
260
起点
260x
300x
（2）设小华起跑后 x min 两人首次相遇，
根据等量关系，可列出方程
260x + 300x = 400 - 260。
解这个方程，得 x = 0.25。
因此，小华起跑后 0.25 min 两人首次相遇。
起点
260
260x
300x
相遇问题
行程问题的基本类型：
相遇问题：
甲的路程 ＋ 乙的路程 ＝ 总路程。
追及问题：
追者路程 ＝ 被追者路程 ＋ 相隔距离。
解：“x=-1”表示第一个容器的容积比第二个容器的容积小，水已溢出.如果第一个容器的高度增加1cm，恰好能盛下.
1.两个圆柱体容器如图所示，它们的直径分别为4cm
和8cm，高分别为39cm和10cm，我们先在第二个
容器中倒满水，然后将其倒入第一个容器中，问：
倒完以后．第一个容器中的水面离容器口有多少厘
米？小刚是这样做的：设倒完以后，第一个容器中
的水面离容器口有x cm，列方程π×22×（39－x）
=π×42×10，解得x=-1．
你能对他的结果作出合理的解释吗？
2.试联系生活实际编写一道可以用一元一次方程解决的应用问题。
解：设第二块实验田的面积是x m ，则第一块试验田的面积是（3x+100）m .
根据题意，得x+（3x+100）=2900.解得x=700.
3x=100=2200.
答：第一块试验田的面积是2200m ，第二块试验田的面积是700m .
3.现有两块试验田，第一块试验田的面积比第二块试验田面积的3倍还多100m ，这两块试验田共2900m ，两块试验田的面积分别是多少？
解：设正方形的纸片的边长为xm，那么宽为4cm的长条的面积为4xcm ，宽为5cm的长条的面积为5（x-4）cm .
依题意，得4x=5（x-4）.解得x=20.
则4x=80，5（x-4）=80.
答：每一个长条的面积为80cm .
3.如图，小强将一个正方形纸片剪去一个宽为4cm的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为5cm的长条.
如果两次剪下的长条面积正好相等，那么每一个长条的
面积为多少？
5.如图，某种卷筒纸的外直径为14cm， 内直径为6 cm,每层纸的厚度为0.02cm。假如把这筒纸全部拉开,那么这筒纸的总长度大约是多少米( π取3.14)
解：设卷筒纸的宽度为 x cm
卷筒纸的体积为
=
40πx
卷筒纸的总长度为：
40πx÷0.02x≈6280(cm)=62.8(m)
答：卷筒纸的总长度为62.8m
6.某物流中转站为提高工作效率，配置了快递自动化
智能分拣设备，现对一批中转货物进行分拣。若每
套设备每小时分拣3.5万件，则经过1h,剩下4万件未分拣;若每套设备每小时分拣4万件，则经过1h,剩下1万件未分
拣。该物流中转站配置了多少套这样的分拣设备
解：设该物流中转站配置了x套分拣设备
根据题意，得 3.5x+4＝4x+1
解得 x＝6
答：该物流中转站配置了6套分拣设备
7.今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十;九家共出二百七十，盈三十。问:家数、牛价各几何 (选自《九章算术》)题目大意:几家人合伙买牛，若每7家合伙出190钱，则差330钱;若每9家合伙出270钱，则多了30钱。家数、牛价各是多少
解：设一共有x家，则牛价为()钱或()钱
根据题意列方程得=
解得x=126
=3750(钱)
答：一共有126家，牛价为3750钱.
解：（1）设x s后两人相遇.由题意，得4x+6x=100.解得x=10.答：10s后两人相遇.
（2）设y s后小强能追上小彬.由题意，得6y－4y=10.解得y=5.答：5s后小强能追上小彬.
2.小彬和小强每天早晨坚持跑步，小彬每秒跑4m，小强每秒跑6m．
（1）如果他们站在百米跑道的两端同时相向起跑，那么几秒后两人相遇？
（2）如果小强站在百米跑道的起点处，小彬站在他前面10m处，两人同时同向起跑，几秒后小强能追上小彬？
9.古希腊数学家丢番图的墓碑上记载着：他生命的是幸福的童年；再度过了生命的，他两颊长起了细细的胡须；又度过了一生的他结婚了；5年后，他有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活了他全部年龄的一半；儿子去世后，他在极度痛苦中度过了4年，与世长辞了.
(1)求丢番图去世时的年龄；
(2)尝试提出其他问题并列方程解决.
解：（1）设丢番图去世时x岁
根据等量关系，列出方程：
+ x+ x+5+ x+4=x
解得 x=84
答：丢番图去世时84岁
知识点1 相遇问题
1.李华和赵亮从相距的， 两地同时出发，李华每小时走
，后两人相遇，设赵亮的速度为 ，所列方程正确的是
( )
A
A. B. C. D.
2.甲、乙两站间的路程为 ，
一列慢车从甲站开出，每小时行驶
，一列快车从乙站开出，每
根据题意列方程：______________________。
解得_______。
因此慢车行驶___ 后两车相遇。
小时行驶，快车先开 ，两车相向而行，慢车行驶多少小时后
两车相遇？设慢车行驶后两车相遇，根据下面的示意图（单位： ）
回答问题：
3.甲、乙两人从， 两地同时出发，甲骑自行车，乙开小汽车，沿同一
路线相向匀速行驶，出发后两人相遇，已知乙比甲每小时快 ，
相遇后经乙到达地，则乙行驶的速度为____ 。
45
知识点2 追及问题
4.［2024扬州中考改编］《九章算术》
是中国古代的数学专著，是《算经十书》
中最重要的一部，书中第八章内容“方程”里记载了一个有趣的追及问题，
可理解为：速度快的人每分钟走，速度慢的人每分钟走 ，现
在速度慢的人先走 ，速度快的人去追他。问速度快的人追上他需
要多少分钟？
设速度快的人追上他需要，根据下面的示意图（单位： ）回答
问题：
根据题意列方程为__________________，解得 ____。即速度快的人
追上他需要____ 。
2.5
2.5
回顾本节一元一次方程应用的学习，对于如何寻找等量关系列方程，你积累了哪些经验？
我学会了列表分析、画图分析
谢谢观看！

展开更多......

收起↑