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北师大（2024）版数学七年级上册
第二章 有理数及其运算
章末复习
一、有理数的基本概念
一、知识框架（总览全局）
二、核心知识点梳理（夯实基础）
（一）有理数的相关概念
正数与负数：
正数：大于 0 的数（如 + 3、2.5，可省略 “+”）；
负数：小于 0 的数（如 - 5、-1.8，“-” 不可省略）；
0：既不是正数也不是负数，是正数与负数的分界。
有理数分类（两种标准）：
按定义分：整数（正整数、0、负整数）+ 分数（正分数、负分数）；
按符号分：正数（正整数、正分数）+ 0 + 负数（负整数、负分数）。
数轴：
三要素：原点（0）、正方向（通常向右）、单位长度（统一）；
性质：数轴上的点与有理数一一对应，右边的数总比左边的数大。
相反数：
定义：只有符号不同的两个数（如 3 与 - 3、-2.1 与 2.1）；
性质：互为相反数的两数和为 0（a + (-a) = 0）；0 的相反数是 0；
数轴表示：关于原点对称（到原点距离相等）。
绝对值：
定义：数轴上表示数 a 的点到原点的距离（记为 | a|）；
性质：
非负性：|a| ≥ 0（绝对值最小的数是 0）；
符号法则：|a| = a（a ≥ 0），|a| = -a（a < 0）；
常用结论：|a| = |b| a = b 或 a = -b。
倒数：
定义：乘积为 1 的两个数（如 2 与 1/2、-3/4 与 - 4/3）；
注意：0 没有倒数；互为倒数的两数符号相同；倒数等于本身的数是 1 和 - 1。
科学记数法：
表示形式：a×10 （1 ≤ |a| < 10，n 为整数）；
确定 n 的方法：原数绝对值≥10 时，n 为正整数，n = 整数位数 - 1；原数绝对值 < 1 时，n 为负整数，n = -（第一个非 0 数字前 0 的个数）。
（二）有理数的运算
加法运算：
法则（符号优先）：
同号相加：取相同符号，绝对值相加（如 3 + 5 = 8，-2 + (-3) = -5）；
异号相加：取绝对值较大的符号，用大绝对值减小绝对值（如 4 + (-7) = -3，-5 + 9 = 4）；
互为相反数相加得 0（如 6 + (-6) = 0）；0 加任何数得原数。
减法运算：
法则：减去一个数等于加这个数的相反数（a - b = a + (-b)）；
关键：将减法转化为加法，统一成 “加” 运算后再计算。
乘法运算：
法则（符号优先）：
同号得正，异号得负，绝对值相乘；
任何数乘 0 得 0；多个非 0 数相乘，积的符号由负因数个数决定（奇负偶正）。
除法运算：
法则：除以一个不为 0 的数等于乘这个数的倒数（a ÷ b = a×(1/b)，b≠0）；
符号规则：同号得正，异号得负，绝对值相除；0 除以任何非 0 数得 0。
乘方运算：
定义：求 n 个相同因数 a 的积的运算（记为 a ，a 叫底数，n 叫指数）；
符号规则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数；0 的任何正次幂是 0；
易错提醒：-a 与 (-a) 的区别（如 - 2 = -4，(-2) = 4）。
混合运算顺序：
先算乘方，再算乘除，最后算加减；
有括号的先算括号内（小括号→中括号→大括号）；
同级运算从左到右依次进行。
三、易错点辨析（规避陷阱）
易错点
错误示例
正确认知
绝对值非负性忽略
认为 “
a
乘方符号错误
计算 (-3) = -9、-3 = 9
负数的偶次幂为正（(-3) =9），-a 是 a 的相反数（-3 =-9）
减法转化错误
计算 3 - (-2) = 1
减去负数等于加正数，3 - (-2) = 3 + 2 = 5
多个数相乘符号判断错误
计算 (-1)×(-2)×(-3) = 6
负因数个数为 3（奇数），积为负，结果应为 - 6
科学记数法 a 的范围错误
表示 123000 为 12.3×10
1 ≤
倒数与相反数混淆
认为 “-2 的倒数是 2”
倒数是乘积为 1，-2 的倒数是 - 1/2；相反数是符号相反，-2 的相反数是 2
四、典型例题（学以致用）
例 1：有理数概念辨析
题目：下列说法正确的是（ ）
A. 0 是最小的有理数 B. 绝对值等于本身的数是正数
C. 互为倒数的两数符号相同 D. 有理数分为正有理数和负有理数
解析：A 选项错误（没有最小的有理数）；B 选项错误（绝对值等于本身的数是正数和 0）；C 选项正确（互为倒数乘积为 1，符号必相同）；D 选项错误（有理数含 0）；
答案：C
例 2：有理数运算（混合运算）
题目：计算：(-2) + 3×(-4) - |-5| + 2÷(-1/2)
解析：按顺序计算：
乘方：(-2) = 4；
乘除：3×(-4) = -12，2÷(-1/2) = -4；
绝对值：|-5| = 5；
加减：4 + (-12) - 5 + (-4) = 4 - 12 - 5 - 4 = -17；
答案：-17
例 3：科学记数法应用
题目：用科学记数法表示 3800000，并用科学记数法表示的数 1.05×10 还原成原数。
解析：
3800000：整数位数 7，n=7-1=6，表示为 3.8×10 ；
1.05×10 ：n=6，小数点向右移 6 位，还原为 1050000；
答案：3.8×10 ；1050000
例 4：实际应用（收支计算）
题目：某超市一周收支情况如下（收入为正，单位：元）：+5200，-2300，+1800，-1400，+2700，-3500，+4200。求该超市一周的总收入、总支出及净利润。
解析：
总收入：5200 + 1800 + 2700 + 4200 = 13900（元）；
总支出：2300 + 1400 + 3500 = 7200（元）；
净利润：总收入 - 总支出 = 13900 - 7200 = 6700（元）；
答案：总收入 13900 元，总支出 7200 元，净利润 6700 元。
五、巩固练习（强化提升）
基础题
填空题：
-3 的相反数是______，绝对值是______，倒数是______；（答案：3、3、-1/3）
用科学记数法表示 690000 为______，还原 3.2×10 为______；（答案：6.9×10 、320000）
计算：(-1) + 2×(-3) = ______；（答案：-7）
选择题：
下列运算正确的是（ ）
A. (-2)×(-3) = -6 B. (-3) = -9 C. 1 - (-2) = 3 D. |-4| = -4（答案：C）
若 | a| = 4，|b| = 2，且 a < b，则 a + b 的值为（ ）
A. 6 或 2 B. -6 或 - 2 C. -6 或 2 D. 6 或 - 2（答案：B）
提升题
计算题：
计算：(-1/2)×(-4) + 3×(-5) - (-2) ；
解析：2 + (-15) - (-8) = 2 - 15 + 8 = -5；
答案：-5
应用题：
某地区一天的气温变化范围是 - 8℃到 12℃，求该地区这天的温差（最高温与最低温的差）。
解析：温差 = 12 - (-8) = 12 + 8 = 20（℃）；
答案：20℃
探究题：
已知 | x - 2| + (y + 3) = 0，求 x + y 的值。
解析：绝对值和平方数均非负，和为 0 则各自为 0，故 x=2，y=-3，x+y= -1；
答案：-1
六、本章总结
核心能力：有理数的符号判断能力、运算准确性、实际问题转化能力；
学习目标：掌握有理数的概念及运算法则，能熟练进行混合运算，能用科学记数法表示大数，能解决简单实际问题；
衔接提示：本章是代数运算的基础，为后续 “整式的加减”“一元一次方程” 等内容的运算提供支撑，务必夯实符号处理和运算步骤规范。
1.负数 2.有理数 3.数轴
4.相反数 5.倒数
6.有理数的绝对值
7.有理数大小的比较
8.科学记数法
1.负数
在正数前面加“-”的数；
0 既不是正数，也不是负数.
整数和分数统称有理数.
2.有理数
（ ）数
（ ）数
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
有理数
正整数
零
负整数
正分数
负分数
整
分
3.数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线.
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
（1）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；
（2）正数都大于0，负数都小于0；正数大于一切负数；
（3）所有有理数都可以用数轴上的点表示.
4.相反数
如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数.
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
（1）数a的相反数是-a（a是任意一个有理数）；
（2）0的相反数是0；
（3）若a、b互为相反数，则 a+b = 0.
5.倒数
如果两个有理数的乘积为1，那么称其中的一个数是另一个数的倒数.
（1）a 的倒数是 （a ≠ 0）；
（3）若 a 与 b 互为倒数，则 ab = 1.
（2）0没有倒数 ；
6.有理数的绝对值
在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值.
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
3
若 a＞0，则︱a︱= ____；
若 a＜0，则︱a︱= ____；
若 a = 0，则︱a︱= ____.
a
（1）
-a
0
（2）对任何有理数 a，总有︱a︱≥0.
7.有理数的大小比较
（1）利用数轴比较：
在数轴上的两个数，右边的数
总比左边的数大；
正数都大于0，负数都小于0；
正数大于一切负数.
（2）利用绝对值比较
两个负数比较大小，绝对值大的反而小.
若 a＜0，b＜0，且︱a︱＞︱b︱，则a ＜ b.
一般地，一个大于 10 的数可以表示成 a×10n 的形式，其中 1 ≤ a < 10，n 是正整数，这种记数方法叫做科学记数法.
8.科学记数法
55 000 000 = 5.5×107
二、有理数的运算
1.有理数加法法则
（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.
若a>0，b>0，则 a + b = |a| + |b|
若a<0，b<0，则 a + b = -( |a| + |b| )
（2）异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.
若a>0，b<0，|a| > |b|，则a + b = |a| - |b|.
若a>0，b<0，|a| < |b|，则a + b = -(|b| - |a|).
（3）一个数同0相加，仍得这个数.
a 是任一个有理数，则 a + 0 = a.
2.有理数减法法则
减去一个数，等于加上这个数的相反数.
a - b = a + ( - b )
3.有理数的乘法法则
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；
任何数同0相乘，积仍为0.
若a>0，b>0，则 ab = +|a|×|b|.
若a<0，b<0，则 ab = +|a|×|b|.
若a>0，b<0，则 ab = -|a|×|b|.
若a<0，b>0，则 ab = -|a|×|b|.
同号
异号
4.有理数除法法则
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；
0除以任何一个不等于0的数，都得0.
除以一个数等于乘上这个数的倒数.
a÷b = a× (b ≠ 0)
5.有理数的乘方
求 n 个相同因数 a 的积的运算叫做乘方.
a×a ×… ×a ×a
n个a
= an
正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.
混合运算
先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，先算括号里面的.
有理数的运算律
加法交换律
a + b = b + a
加法结合律
(a + b ) + c = a + ( b + c )
乘法交换律
乘法结合律
ab = ba
(ab)c=a(bc)
乘法对加法的分配律
a( b + c ) = ab + ac
1.下表记录了某星期内股市的涨跌情况，请完成下表：
-50
+60
-30
+2
2.用数轴上的点表示下列各有理数，并求其相反数和绝对值：
- 0.5， - 3.5，7， - 4.5， - 4．
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-5
5
6
7
- 0.5
- 3.5
- 4.5
- 4
7
2.用数轴上的点表示下列各有理数，并求其相反数和绝对值：
- 0.5， - 3.5，7， - 4.5， - 4．
相反数：
绝对值：
0.5
0.5
3.5
3.5
-7
7
4.5
4.5
4
4
3. 下面两个圈分别表示负数集合和整数集合，请将下列各数填在适当的圈中：
负数集合
整数集合
4. 比较下列每组数的大小：
5. 从下图中最小的数开始，由小到大依次用线段连接各数．看看你画出了什么.
6.在如图所示的圆圈内填上彼此都不相等的数，使得每条线上的三个数之和为零。你有几种填法
解：有无数种填法，列出一种填法如图所示。
7. 计算：
(1) ( -8 )-( -1 )； (2) 45+( -30 )；
(3) ( -1.5 )-( -11.5 )； (4) ( )-( )；
(5) 15 - [ 1- (-20 - 4)]； (6) (-40)-28-(-19)+(-24)；
-7
15
10
-10
-73
(9) 2.4-( )+(-3.1)+ ；
(10) ( ) + ( ) - ( -2 )；
(11) - ( ) + ( ) ；
(12) 11 + ( -22 ) - 3×( -11 )；
(7) 7.54+(-4.4)+(-2.54)+4.4；
(8) ( )-( )；
5
0.7
1
22
(13) (-0.1)÷ ×(-100)； (14) ( )×( )×0 ；
(15) ( -2 )3 - 32； (16) 23÷[( -2 )3-( -4 )]；
(17) ( )÷( )； (18) ( -60 )×( ).
20
0
-17
-95
天体名称 围绕太阳公转的轨道半长径/km 科学记数法
水星 58 000 000
金星 110 000 000
地球 150 000 000
火星 230 000 000
8.请用科学记数法表示下表中的数据：
5.8×107
1.1×108
1.5×108
2.3×108
天体名称 围绕太阳公转的轨道半长径/km 科学记数法
木星 780 000 000
土星 1 500 000 000
天王星 2 900 000 000
海王星 4 500 000 000
7.8×108
1.5×109
2.9×109
4.5×109
9. 计算1-2+3-4+5-6+… + 99-100.
10. 点 A，B，C，D 所表示的数如图所示，回答下列问题:
(1) C，D 两点间的距离是多少
(2) A，B 两点间的距离是多少
(3) A，D 两点间的距离是多少
11. “一只闹钟一昼夜误差在 ± 20 s之内.” 这句话是什么含义
这只闹钟工作一昼夜后的时间与标准的时间相比较，时差最多不能超过 20s (包括快 20s 和慢 20s ).
12．下列说法是否正确？请将错误的改正过来．
（1）所有的有理数都能用数轴上的点表示；
（2）符号不同的两个数互为相反数；
√
×
符号不同且绝对值相等的两个数互为相反数.
（3）有理数分为正数和负数；
（4）两数相加，和一定大于任何一个加数；
（5）两数相减，差一定小于被减数．
×
有理数分为正有理数、负有理数和零.
×
两数相加，和不一定大于任何一个加数.
×
两数相减，差不一定小于被减数.
13.写出符合下列条件的数：
（1）最小的正整数；
（2）最大的负整数；
（3）大于 - 3 且小于 2 的所有整数；
1
-1
-2，-1，0，1
（4）绝对值最小的有理数；
（5）绝对值大于 2 且小于 5 的所有负整数；
（6）在数轴上，与表示 - 1 的点的距离为 2 的所有数．
0
-3和-4
-3和1
14. 填空：
（1）两个互为相反数的数（0除外）的商是________；
（2）两个互为倒数的数的积是_______.
-1
1
15. 观察下面的每组数，按某种规律在横线上填上适当的数，并说明你的理由.
（1）-23，-18，-13，______，______；
（2） ， ， ， ，______，______；
（3）2，-4，8 ，-16，______，______；（4）-2，-4，0，-2，2，______，______.
-8
-3
32
-64
0
4
解：理由只要合理即可. 如：(1)后一个数比前一个数大5，后面两个数为-8，-3；
(2)分母扩大2倍，分子加1，并且正负相间，后面两个数为 ， ；
(3)每个数等于( -1 )n+1·2n( n 代表每个数的序号，即 n ≥1)，后面两个数为32，-64；
(4)第 1 个数减 2 得到第 2 个数，第 2 个数加 4得到第 3 个数，第 3 个数减 2 得到第 4 个数，第 4 个数加 4 得到第 5 个数，后面两个数为0，4.
16. 小于 的最大整数是多少？
解：因为 ，所以小于
的最大整数是 -5.
考点1 九个概念
概念1 具有相反意义的量
1.［2025汕头期末］在中国古代数学著作《九章算术》中记载了用算筹
表示正负数的方法，即“正算赤，负算黑”。若向北走80米记作“ 米”，
则向南走40米记作( )
C
A.米 B.米 C.米 D. 米
概念2 正数和负数
2.下列各数为负数的是( )
A
A. B.0 C.3 D.5
概念3 有理数
3.［2025重庆期末］把下列有理数填在相应的集合内：3， ，0，
，，， 。
正有理数集合：____________ ；
负有理数集合：________________ ；
整数集合：__________ ；
分数集合：_____________________ 。
,
,
,
,
概念4 相反数
4.如果和2 025互为相反数，那么 表示的数是( )
A
A. B. C.2 025 D.
概念5 绝对值
5.［2025宿迁一模］有理数 的绝对值等于__。
6. 手机信号的强弱通常用负数来表示，绝对值越小表示
信号越强，则下列信号单位： 最强的是( )
A
A. B. C. D.
概念6 数轴
7.数与 在数轴上的位置如图所示，则它们的大小关系是( )
C
A. B. C. D.无法确定
概念7 倒数
8. 的倒数是( )
D
A. B. C. D.
概念8 科学记数法
9.［2025宁波期末］2025年全国普通高校毕业生规模预计达1 222万人。
其中“1 222万”用科学记数法表示为( )
B
A. B. C. D.
概念9 近似数
10.下列说法正确的是( )
D
A.近似数5.20和近似数5.2的精确度相同
B.近似数5.20和近似数5.21的精确度不同
C.近似数6千万和近似数6 000万的精确度相同
D.近似数42.0和近似数4.2的精确度相同
考点2 一个运算——有理数的运算
11.（16分）计算：
（1） ；
解：原式 。
（2） ；
解：原式 。
（3） ；
解：原式 。
（4） 。
解：原式
。
考点3 一个应用——有理数运算的实际应用
12.（12分）［2025北京丰台区期中］已知某粮库6天内粮食进出库的吨
数如下（单位：吨，“”表示进库，“-”表示出库）， ，
，， ， ，第6天的数据被污染了，且经过这6天，
粮库里的粮食减少了37吨。
（1）经过这6天，仓库管理员结算发现粮库里还存粮450吨，求6天前粮
库里存粮多少吨；
解： （吨），
即6天前粮库里存粮487吨。
（2）求被污染的数据是多少；
解：，即被污染的数据是 。
（3）如果进出粮食的装卸费都是每吨50元，求这6天要付多少元装卸费。
解： （元），
即这6天要付8 250元装卸费。
考点4 两种思想
思想1 分类讨论思想
13.数轴上与表示 的点距离2个单位长度的点所表示的数是_______。
或1
思想2 数形结合思想
14.（12分）一辆货车从百货大楼出发负责送货，向东走了 到达小
明家，继续向东走了到达小红家，然后向西走了 到达小
刚家，最后返回百货大楼。
（1）以百货大楼为原点，向东为正方向，1个单位长度表示 ，请
你在如图所示的数轴上标出小明、小红、小刚家的位置。（小明家用点
表示，小红家用点表示，小刚家用点 表示）
解：小明、小红、小刚家的位置在数轴上表示如图所示。
（2）小明家与小刚家相距多远？
解：由（1）得点表示4，点表示 ，
所以小明家与小刚家相距 。
（3）若货车每千米耗油 ，则这辆货车此次送货共耗油多少升？
解：货车一共行驶了 ，
所以这辆货车此次送货共耗油 。
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