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(共19张PPT)
第五章　四边形
第19讲　平行四边形
课标要求
1．理解平行四边形的概念；了解四边形的不稳定性．
2．探索并证明平行四边形的性质定理：平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分；探索并证明平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形．
知识点
1．平行四边形的性质(5年5考)
图形 平行四边形的性质
(1)边：_____________________；
(2)角：___________________________；
(3)对角线：____________；
(4)对称性：__________________；
(5)面积公式：____________.
对边平行且相等
对角相等，邻角互补
互相平分
中心对称图形
S＝ah
2．平行四边形的判定(5年3考)
平行四边形的判定(定义＋3个判定)
(1)定义：____________________________________________；
(2)__________________________________________________；
(3)_______________________________________________；
(4)____________________________________________.
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
对角线互相平分的四边形是平行四边形
对点训练
1．(2021·贵州)如图，在 ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，若AB＝3，AD＝4，则EF的长是(　 　)
A．1 B．2
C．2.5 D．3
B
2．如图，已知EF∥AC，B，D分别是AC和EF上 的点，∠EDC＝∠CBE.求证：四边形BCDE是平行四 边形．
证明：∵EF∥AC，
∴∠EDC＋∠C＝180°.
∵∠EDC＝∠CBE，
∴∠CBE＋∠C＝180°.
∴EB∥DC．
∵DE∥BC，EB∥DC，
∴四边形BCDE是平行四边形．
典型例题
考查点　平行四边形的性质与判定
(2024·武汉)如图，在 ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，AF＝CE.
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)连接EF.请添加一个与线段相关的条件，使四 边形ABEF是平行四边形(不需要说明理由)．
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠D.
∵AF＝CE，
∴AD－AF＝BC－CE，即DF＝BE.
∴△ABE≌△CDF(SAS)．
(2)解：添加条件AF＝DF(答案不唯一)．
变式训练
如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝EF＝FD，连接AE，EC，CF，FA．
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)若△ABE的面积等于2，求△CFO的面积．
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵BE＝FD，
∴OB－BE＝OD－FD.∴OE＝OF.
∵OA＝OC，OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形．
(2)解：∵S△ABE＝2，BE＝EF，∴S△AEF＝S△ABE＝2.
∵四边形AECF是平行四边形，
判定平行四边形的基本思路
1．若已知一组对边平行，则可以证明这组对边相等或另一组对边平行；
2．若已知一组对边相等，则可以证明这组对边平行或另一组对边相等；
3．若已知一组对角相等，则可以证明另一组对角相等；
4．若已知条件和对角线有关，则可以考虑证明对角线互相平分．
答题规范
示例：(RJ八下P47例4)
(6分)如图，在 ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点．求证：四边形EBFD是平行四边形．
1．(2024·贵州)如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是(　 　)
A．AB＝BC B．AD＝BC
C．OA＝OB D．AC⊥BD
B
2．(2025·广东)如图，点D，E，F分别是△ABC各边上的中点，∠A＝70°，则∠EDF＝(　 　)
A．20° B．40°
C．70° D．110°
C
3．(2025·安徽)在如图所示的 ABCD中，E，G分别为边AD，BC的中点，点F，H分别在边AB，CD上移动(不与端点重合)，且满足AF＝CH，则下列为定值的是(　 　)
A．四边形EFGH的周长 B．∠EFG的大小
C．四边形EFGH的面积 D．线段FH的长
C
4．如图，在 ABCD中，BD＝CD，AE⊥BD于点E，若∠C＝70°，则∠BAE＝______°.
50
5．(2024·北京)如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，DB，CE交于点F，DF＝FB，AF∥DC．
(1)求证：四边形AFCD为平行四边形；
(2)若∠EFB＝90°，tan∠FEB＝3，EF＝1，求BC的长．
(1)证明：∵E是AB的中点，DF＝FB，
∴EF是△ABD的中位线．∴EF∥AD.
又AF∥DC，∴四边形AFCD为平行四边形．
(2)解：∵∠EFB＝90°，∴∠CFB＝180°－90°＝90°.
∵EF是△ABD的中位线，∴AD＝2EF＝2.
∵四边形AFCD为平行四边形，∴CF＝AD＝2.
(2025·陕西)如图，在 ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠B＝60°.动点M，N分别在边AB，AD上，且AM＝AN，以MN为边作等边△MNP，使点P始终在 ABCD的内部或边上．当△MNP的面积最大时，DN的长为___.
5(共21张PPT)
第五章　四边形
第21讲　正方形
课标要求
1.理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念，以及它们之间的关系．
2．正方形既是矩形，又是菱形；理解矩形、菱形、正方形之间的包含关系.
知识点
1．正方形的性质(5年2考)
图形 正方形的性质
(1)边：____________；
(2)角：_____________________；
(3)对角线：___________________________；
(4)对称性：__________________________________；
(5)面积公式：_________________.
四边相等
四个角都是直角
相等且互相垂直平分
既是轴对称图形，又是中心对称图形
2．正方形的判定
正方形的判定
(1)定义：___________________________________________________；
(2)__________________________________________；
(3)__________________________________________；
(4)__________________________________________；
(5)____________________________________.
有一组邻边相等并且一个角是直角的平行四边形是正方形
有一组邻边相等的矩形是正方形
对角线互相垂直的矩形是正方形
有一个角是直角的菱形是正方形
对角线相等的菱形是正方形
对点训练
1.(2025·自贡)如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的边长为5，AB边在y轴上，B(0，－2)．若将正方形ABCD绕点O逆时针旋转90°，得到正方形A′B′C′D′，则点D′的坐标为(　 　)
A．(－3,5) B．(5，－3)
C．(－2,5) D．(5，－2)
A
2．(2024·广西)如图，边长为5的正方形ABCD，E，F，G，H分别为各边中点，连接AG，BH，CE，DF，交点分别为M，N，P，Q，那么四边形MNPQ 的面积为(　 　)
A．1 B．2
C．5 D．10
C
典型例题
考查点　正方形的性质与判定
1．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上 一点，CE＝7，F为DE的中点，若△CEF的周长为32，则OF的长为___.
2．(2024·黑龙江)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件__________________________，使得菱形ABCD为正方形．
AC＝BD(答案不唯一)
变式训练
(2025·浙江)【问题背景】如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板ABCD上剪下机翼状纸板(阴影部分)，点E在对角线BD上．
【数学理解】(1)该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出△ABE≌△CBE的证明过程．
(2)若裁剪过程中满足DE＝DA，求“机翼角”∠BAE的度数．
(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB，∠ABD＝∠CBD.
又BE＝BE，∴△ABE≌△CBE(SAS)．
(2)∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，∠ADB＝45°.
∵DE＝DA，∴∠DAE＝∠DEA．
∵∠DAE＋∠DEA＋∠ADE＝180°，
∴∠DAE＝∠DEA＝67.5°.∴∠BAE＝∠BAD－∠DAE＝22.5°.
正方形的判定方法
答题规范
示例：(RJ八下P67第2题改编)
(6分)已知：如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF.求证：四边形AECF是菱形．
答题规范
证明：如图，连接AC交BD于点O. ……………………………1分
∵四边形ABCD是正方形，
∴AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD. ……3分
又BE＝DF，
∴FO＝EO.
∴四边形AECF是平行四边形. ………5分
又AC⊥BD，
∴四边形AECF是菱形. ………………6分
1．(2022·贵阳)如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．若图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3，则中间小正方形的周长是(　 　)
A．4 B．8
C．12 D．16
B
2．(2024·陕西)如图，正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，AF与DC交于点H，若AB＝6，CE＝2，则DH的长为(　 　)
B
3．(2025·乐山)如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.小乐同学欲添加两个条件使得四边形ABCD是正方形，现有三个条件可供选择：①AC⊥BD；②AC＝BD；③∠ADC＝90°.其中正确的组合是_____________ (只需填一种组合即可)．
①②(或①③)
4．(2025·北京)如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上， CF⊥BE，垂足为F.若AB＝1，∠EBC＝30°，则△ABF的面积为___.
5．(2022·贵阳)如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，连接BE，BE的垂直平分线交AB于点M，交CD于点N，垂足为O，点F在DC上，且MF∥AD.
(1)求证：△ABE≌△FMN；
(2)若AB＝8，AE＝6，求ON的长．
(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，AB∥CD，∠A＝∠D＝90°.
又MF∥AD，∴四边形AMFD为矩形．
∴AD＝MF＝AB，∠A＝∠MFN＝90°.
∵BE⊥MN，∴∠BMO＋∠MBO＝90°.
又∠FMN＋∠BMO＝∠BMF＝90°，
∴∠FMN＝∠MBO.∴△ABE≌△FMN(ASA)．
【几何直观】如图，在正方形ABCD中，O为对角线AC的中点，E为正方形内一点，连接BE，BE＝BA，连接CE并延长，与∠ABE的平分线交于点F，连接OF，若AB＝2，则OF的长度为(　 　)
D(共28张PPT)
第五章　四边形
第20讲　矩形与菱形
课标要求
1．理解矩形、菱形的概念，以及它们之间的关系．
2．探索并证明矩形、菱形的性质定理：矩形的四个角都是直角，对角线相等；菱形的四条边相等，对角线互相垂直．探索并证明矩形、菱形的判定定理：三个角是直角的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形；四边相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
知识点
1．矩形的性质与判定(5年4考)
图形
　
矩形的性质 (1)边：_____________________；
(2)角：_____________________；
(3)对角线：_____________________；
(4)对称性：______________________________________；
(5)面积公式：_____________________.
矩形的判定 (1)定义：______________________________________________；
(2)_______________________________________；
(3)__________________________________________.
对边平行且相等
四个角都是直角
相等且互相平分
既是中心对称图形，也是轴对称图形
S＝AB·AD
有一个角是直角的平行四边形是矩形
三个角是直角的四边形是矩形
对角线相等的平行四边形是矩形
2.菱形的性质与判定(5年4考)
图形
菱形的性质 (1)边：___________________________；
(2)角：___________________________；
(3)对角线：___________________________________________；
(4)对称性：_______________________________________；
(5)面积公式：_____________.
对边平行，四边相等
对角相等，邻角互补
互相垂直平分且每条对角线平分一组对角
既是中心对称图形，也是轴对称图形
菱形的判定 (1)定义：_____________________________________________；
(2)________________________________________________；
(3)_________________________________.
有一组邻边相等的平行四边形是菱形
四边相等的四边形是菱形
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
对点训练
1.(2024·贵州)如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AD∥BC，∠ABC＝90°，有下列条件：①AB∥CD，②AD＝BC．
(1)请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形ABCD是矩形；
(2)在(1)的条件下，若AB＝3，AC＝5，求四边形ABCD的面积．
(1)选择①，证明：∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形．
(或选择②，证明：∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形．)
2.(1)(2024·上海)在菱形ABCD中，∠ABC＝66°，则∠BAC＝_________.
(2)(2025·青海)如图，在菱形ABCD中，BD＝6，E，F分别为AB，BC的中点，且EF＝2，则菱形ABCD的面积为______.
57°
12
4
(4)(2024·上海)四边形ABCD为矩形，过A，C作对角线BD的垂线，过B，D作对角线AC的垂线，如果四个垂线拼成一个四边形，那么这个四边形为(　 　)
A．菱形 B．矩形
C．直角梯形 D．等腰梯形
A
典型例题
考查点　菱形的性质与判定
1．(2025·大庆)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点O.点B，点D关于AC所在直线对称．
(1)求证：四边形ABCD是菱形．
证明：∵点B，点D关于AC所在直线对称，
∴BD⊥AC，BO＝DO.
∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠CDO.
又∠AOB＝∠COD，∴△ABO≌△CDO(ASA)．
∴AB＝CD.∴四边形ABCD是平行四边形．
又BD⊥AC，∴四边形ABCD是菱形
(2)过点D作BC的垂线交BC的延长线于点E. 若CE＝3，AD＝5，则线段OC长为_____.
考查点　矩形的性质与判定
2．(2025·北京)如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，DF⊥BC，垂足为F，点G在DE的延长线上，DG＝FC．
(1)求证：四边形DFCG是矩形；
(2)若∠B＝45°，DF＝3，DG＝5，求BC和AC的长．
(1)证明：∵D，E分别为AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线．
∴DE∥BC．
∵DG＝FC，∴四边形DFCG是平行四边形．
又DF⊥BC，∴∠DFC＝90°.
∴平行四边形DFCG是矩形．
(2)解：∵DF⊥BC，∴∠DFB＝90°.
∵∠B＝45°，∴△BDF是等腰直角三角形．
∴BF＝DF＝3.
∵DG＝FC＝5，∴BC＝BF＋FC＝3＋5＝8.
由(1)可知，DE是△ABC的中位线，四边形DFCG是矩形，
变式训练
1.(2025·泸州)如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的点，且AE＝CF.求证：AF＝CE.
证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC．
∵AE＝CF，∴AB－AE＝BC－CF，即BE＝BF.
∴△ABF≌△CBE(SAS)．
∴AF＝CE.
2.(2025·云南)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，O是AC的中点．延长BO至点D，使OD＝OB.连接AD，CD.记AB＝a，BC＝b，△AOB的周长为l1，△BOC的周长为l2，四边形ABCD的周长为l3.
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
证明：∵O是AC的中点，
∴OA＝OC．
又OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵∠ABC＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形．
解：∵AB＝a，BC＝b，△AOB的周长为l1，△BOC的周长为l2，四边形ABCD的周长为l3，
∴l2－l1＝(BO＋OC＋BC)－(BO＋OA＋AB)＝BC－AB＝b－a＝2，
l3＝2(AB＋BC)＝2(a＋b)＝28.
(2)若l2－l1＝2，l3＝28，求AC的长．
答题规范
示例：(RJ八下P54例2)
(6分)如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OD，∠OAD＝50°，求∠OAB的度数．
1．(2025·贵州)如图，小红想将一张矩形纸片沿AD，BC剪下后得到一个 ABCD.若∠1＝70°，则∠2的度数是(　 　)
A．20° B．70°
C．80° D．110°
B
2．(2022·贵阳)如图，将菱形纸片沿着线段AB剪成两个全等的图形，则∠1的度数是(　 　)
A．40° B．60°
C．80° D．100°
C
3．(2025·泸州)矩形具有而菱形不具有的性质是(　 　)
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角相等
A
4．(2024·内江)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么 tan∠EFC＝___.
5．(2024·广西)如图，两张宽度均为3 cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为60°，则重合部分构成的四边形ABCD的周长为_____cm.
6．(2025·凉山州)如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，E是边CD的中点，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC于点G.若AC＝12，BD＝16，则FG的长为___.
5
7．(2025·贵州)如图，在 ABCD中，E为对角线AC的中点，连接BE，且BE⊥AC，垂足为E.延长BC至点F，使CF＝CE，连接EF，FD，且EF交CD于点G.
(1)求证： ABCD是菱形；
证明：∵E为对角线AC的中点，BE⊥AC，
∴BE垂直平分AC．∴AB＝BC．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ABCD是菱形．
解：∵BE＝EF，∴∠EBF＝∠EFB.∵CF＝CE，
∴∠CEF＝∠CFE. ∴∠BCE＝∠CEF＋∠CFE＝2∠CFE＝2∠EBF.
(2)若BE＝EF，EC＝4，求△DCF的面积．
∵∠BEC＝90°，∴∠CBE＝30°，∠BCA＝60°.
∴∠ACB＝∠ACD＝60°.∴∠DCF＝180°－60°－60°＝60°.
∴∠BCE＝∠DCF.∵BC＝CD，CE＝CF，∴△BCE≌△DCF(SAS)．
∴∠DFC＝∠BEC＝90°.
【推理能力】(2025·贵州)如图，在矩形ABCD中，点E，F，M分别在AB，DC，AD边上，BE＝2CF，FM分别交对角线BD，线段DE于点 G，H，且H是DE的中点．若CF＝2，∠ABD＝30°，则HG的长为_____.

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