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(共34张PPT)
第四章　三角形
第16讲　全等三角形
课标要求
1．理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角．
2．掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．
3．掌握基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等．
4．掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全等．
5．证明定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等．
6．探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理.
知识点
1．全等三角形的性质和判定 (5年5考)
2．角平分线定理与线段的垂直平分线定理(5年5考)
(1)角平分线定理与逆定理：
①定理：如图，
∵OC为∠AOB的平分线， ________________________，
∴PD＝PE.
②逆定理：∵PD＝PE，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴OP为∠AOB的_________.
PD⊥OA，PE⊥OB
平分线
(2)线段的垂直平分线定理与逆定理：
①定理：如图，
∵直线CD是线段AB的垂直平分线，
∴AC＝BC．
②逆定理：∵AC＝BC，
∴点C在线段AB的垂直平分线上．　　　　　　　　　
对点训练
1.(1)如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加下列条件中的一个：①∠A＝∠D；②AC＝DB；③AB＝DC．其中不能判定△ABC≌△DCB的是_____ (填序号)．
②
(2)如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是根据三角形的全等判定(　 　)
A．SAS带① B．SSS带②
C．ASA带③ D．AAS带③
C
2．(1)(2024·青海)如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB于点D，PD＝2，则点P到OA的距离是(　 　)
A．4 B．3
C．2 D．1
C
A．17 B．16
C．15 D．14
D
典型例题
考查点　全等三角形的性质与判定
1．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，∠B＝∠C，AD＝AE.求证：BD＝CE.
证明：在△AEB和△ADC中，
∴△AEB≌△ADC(AAS)．∴AB＝AC．
∴AB－AD＝AC－AE.
∴BD＝CE.
2．如图，点B，F，C，E四点在一条直线上，AB＝DE，∠A＝∠D，请从下列三个条件：
①BF＝EC；②AC∥DF；③AC＝DF中选择一个合适的条件使AB∥DE.
(1)选择的条件是_____________________(填序号)；
(2)证明：
∵AC∥DF，
∴∠ACB＝∠DFE.
∴△ABC≌△DEF(AAS)．∴∠B＝∠E.
∴AB∥DE.
②(答案不唯一)
考查点　角平分线与线段的垂直平分线
3．(2024·凉山州)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE垂直平分AB交BC于点D，若△ACD的周长为50 cm，则AC＋BC＝(　 　)
A．25 cm B．45 cm
C．50 cm D．55 cm　　　　　
C
C
变式训练
1．(2024·乐山)如图，AB是∠CAD的平分线，AC＝AD.求证：∠C＝∠D.
证明：∵AB是∠CAD的平分线，
∴∠CAB＝∠DAB.
在△CAB和△DAB中，
∴△CAB≌△DAB(SAS)．
∴∠C＝∠D.
2.如图，在△ABC和△ADE中，D是BC边上一点，AC＝AE，∠C＝∠E，已知∠BAD＝∠CAE.求证：△ABC≌△ADE.
证明：∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC．
∴∠BAC＝∠DAE.
∴△ABC≌△ADE(ASA)．
3．(2025·连云港)如图，在△ABC中，BC＝7，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G，则△AEG的周长为(　 　)
A．5 B．6
C．7 D．8
C
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE＝1，若E是AB的中点，则AB的长为(　 　)
A
证明三角形全等时寻找边相等或角相等的条件
答题规范
示例：(BS七下P117第4题)
(6分)如图，BE⊥AE，CF⊥AE，垂足分别是E，F，又知D是EF的中点，求证：△BED≌△CFD.
1．(2025·山西)如图，小谊将两根长度不等的木条AC，BD的中点连在一起，记中点为O，即AO＝CO，BO＝DO.测得C，D两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上A，B两点之间的距离．图中△AOB与△COD全等的依据是(　 　)
A．SSS B．SAS
C．ASA D．HL
B
2．(2025·成都)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2.以点A为圆心，以AB长为半径作弧；再以点C为圆心，以BC长为半径 作弧，两弧在AC上方交于点D，连接BD，则BD的长为_______.
3．(2024·烟台)某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线OP为∠AOB的平分线的有(　 　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
D
4．贵州的传统建筑多采用木结构，其中榫卯结构是一种常见的连接方式，不仅美观，而且具有很强的稳定性和耐久性．如图，工匠将两块全等的木楔(△ABC≌△DEF)水平钉入长为10 cm的矩形木条中(点B，C，F，E在同一条直线上)，若CF＝2 cm，则木楔BC的长为(　 　)
A．2 cm B．4 cm
C．6 cm D．8 cm
B
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，点D是线段BC上任意一点，连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E.
(1)若∠BDA＝115°，求∠DEC的度数；
(2)若DC＝AB，求证：△ABD≌△DCE.
(1)解：∵∠ADE＝40°，∠BDA＝115°，
∴∠EDC＝180°－∠BDA－∠ADE＝180°－115°－40°＝25°.
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝40°.∴∠DEC＝180°－∠EDC－∠C＝180°－25°－40°＝115°.
(2)证明：∵∠ADC＝∠B＋∠BAD＝40°＋∠BAD，∠ADC＝∠ADE＋∠EDC＝40°＋∠CDE，
∴∠BAD＝∠CDE.
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．又DC＝AB，∴△ABD≌△DCE(ASA)．
6.(2025·河北)如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，AC＝AD，∠ACB＝∠ADB，点F在ED上，∠BAF＝∠EAD.
(1)求证：△ABC≌△AFD；
(2)若BE＝FE，求证：AC⊥BD.
证明：(1)∵AC，BD相交于点E，∠ACB＝∠ADB，点F在ED上，
∴∠ACB＝∠ADF.
∵∠BAF＝∠EAD，∴∠BAF－∠CAF＝∠EAD－∠CAF.∴∠BAC＝∠FAD.
(2)由(1)，得△ABC≌△AFD.∴AB＝AF.
∵BE＝FE，∴AC⊥BF，即AC⊥BD.
【模型观念】如图，△ABC和△ADE都是等边三角形．将△ADE绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P(点P与点A重合)，有PA＋PB＝PC(或PA＋PC＝PB)成立．
图①
　　　
图③
(1)将△ADE绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA，PB，PC之间有怎样的数量关系？并加以证明．
(2)将△ADE绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA，PB，PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．
图②
解：(1)PB＝PA＋PC．证明如下：
如图②，在BP上截取BF＝PC，连接AF.
∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°.
∴∠BAC＋∠CAD＝∠CAD＋∠DAE.
∴∠DAB＝∠EAC．
∴△ABD≌△ACE(SAS)．∴∠ABD＝∠ACE.
又AB＝AC，BF＝CP，∴△BAF≌△CAP(SAS)．
∴AF＝AP，∠BAF＝∠CAP.∴∠PAF＝∠CAB＝60°.
∴△AFP是等边三角形．∴PF＝PA．
∴PB＝PF＋BF＝PA＋PC．
(2)PC＝PA＋PB.
图②(共33张PPT)
第四章　三角形
第13讲　线与角
课标要求
1．点、线、面、角
(1)通过实物和模型，了解从物体抽象出来的几何体、平面、直线和点等概念．
(2)会比较线段的长短，理解线段的和、差，以及线段中点的意义．
(3)掌握基本事实：两点确定一条直线．
(4)掌握基本事实：两点之间线段最短．
(5)理解两点间距离的意义，能度量和表达两点间的距离．
(6)理解角的概念，能比较角的大小；认识度、分、秒等角的度量单位，能进行简单的单位换算，会计算角的和、差．
课标要求
2．相交线与平行线
(1)理解对顶角、余角、补角等概念，探索并掌握对顶角相等、同角(或等角)的余角相等、同角(或等角)的补角相等的性质．
(2)理解垂线、垂线段等概念，能用三角板或量角器过一点画已知直线的垂线．
(3)掌握基本事实：同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
(4)理解点到直线的距离的意义，能度量点到直线的距离．
课标要求
(5)识别同位角、内错角、同旁内角．
(6)理解平行线的概念．
(7)掌握平行线基本事实I：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．
(8)掌握平行线基本事实Ⅱ：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．
(9)探索并证明平行线的判定定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等(或同旁内角互补)，那么这两条直线平行．
课标要求
(10)掌握平行线的性质定理I：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等．*了解定理的证明．
(11)探索并证明平行线的性质定理Ⅱ：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等(或同旁内角互补)．
(12)能用三角板和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线．
(13)了解平行于同一条直线的两条直线平行.
考情解读：几何图形初步为中考必考内容，在选择题和填空题中单独考查平行线的性质与判定，在解答题中会结合全等、相似、四边形及圆等知识综合考查.
知识点
1．线段中点、角的平分线、垂线、两个基本事实、角的计算
(1)①直线：经过两点有且只有一条直线．直线是向两方无限延伸的，直线没有端点．
②射线：直线上一点和它一旁的部分叫作射线，这点叫作射线的端点，射线向一方无限延伸，射线只有一个端点．
③线段：直线上两点和它们之间的部分叫作线段．线段有两个端点，有长短之分，将某一线段分成两条相等的线段的点叫作该线段的中点．
④两点确定一条直线，两点之间线段最短，两点间线段的长度叫作两点之间的距离．
⑤1°＝60′，1′＝60″.
⑥1周角＝2平角＝4直角＝360°.
(2)对顶角：一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线，则称这两个角是对顶角，对顶角相等．
(3)角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线．
(4)平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
(5)垂线段公理：直线外一点与已知直线连接的所有线段中，_________最短．
垂线段
2．余角和补角
(1)如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角，简称这两个角互余．
同角或等角的余角相等．
(2)如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角，简称这两个角互补．
同角或等角的补角相等．
3．平行线(5年5考)
(1)过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
(2)平行线的性质：
两直线平行，_________相等；
两直线平行，_________相等；
两直线平行，____________互补．
(3)平行线的判定：
_________相等，两直线平行；
_________相等，两直线平行；
____________互补，两直线平行．
同位角
内错角
同旁内角
同位角
内错角
同旁内角
对点训练
1．(1)下列说法正确的是(　 　)
A．两点之间，直线最短
B．不相交的两条直线叫作平行线
C．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．直线外一点到这条直线的垂线段叫作点到直线的距离
C
(3)计算：50°－15°30′＝____________.
C
34°30′
(4)【几何直观、应用意识】下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是(　 　)
A． B．
测量跳远成绩　　 木板上弹墨线
C． D．
两钉子固定木条　 弯曲河道改直
A
2．(1)已知∠A的补角为60°，则∠A＝_________°.
(2)(2024·北京)如图，直线AB和CD相交于点O，OE⊥OC，若∠AOC＝58°，则∠EOB的大小为(　 　)
A．29° B．32°
C．45° D．58°
120
B
3．如图是某物体在斜面上的受力分析，支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行，重力G的方向竖直向下，若重力G与斜面的夹角为65°，则∠1的度数为(　 　)
A．65° B．115°
C．125° D．155°
B
典型例题
考查点　相交线与平行线
1．(2025·湖南)如图，一条排水管连续两次转弯后又回到与原来相同的方向，若第一次转弯时∠CAB＝145°，则∠ABD＝_______.
145°
2．(2024·内蒙古)如图，AD∥BC，AB⊥AC，若∠1＝35.8°，则∠B的度数是(　 　)
A．35°48′ B．55°12′
C．54°12′ D．54°52′
C
3．(2024·泸州)把一块含30°角的直角三角板按如图方式放置于两条平行线间，若∠1＝45°，则∠2＝(　 　)
A．10° B．15°
C．20° D．30°
B
4．如图，BD平分∠ABC，ED∥BC，∠1＝30°，∠4＝120°.
(1)求∠3的度数；
(2)求证：DF∥AB.
(1)解：∵BD平分∠ABC，∠1＝30°，
∴∠ABC＝2∠1＝60°.
∵ED∥BC，∴∠3＝∠ABC＝60°.
(2)证明：∵∠ABC＝60°，∠4＝120°，
∴∠ABC＋∠4＝180°.∴DF∥AB.
变式训练
1．(2024·深圳)如图，一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角∠1＝50°，则反射光线与平面镜夹角∠4的度数为(　 　)
A．40° B．50°
C．60° D．70°
B
2．(2025·绥化)如图，AD是∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B＝38°，则∠C的度数是(　 　)
A．16° B．30°
C．38° D．76°
C
3．(2024·齐齐哈尔)将一个含30°角的三角尺和直尺如图放置，若∠1＝50°，则∠2的度数是(　 　)
A．30° B．40°
C．50° D．60°
B
4.如图，已知点D，E，F，G都在△ABC的边上，EF∥AC，且∠1＋∠2＝180°.
(1)求证：AE∥DG；
(2)若EF平分∠AEB，∠C＝40°，求∠BDG的度数．
(1)证明：∵EF∥AC，∴∠CAE＝∠1.
∵∠1＋∠2＝180°，
∴∠CAE＋∠2＝180°.∴AE∥DG.
(2)解：∵EF∥AC，∠C＝40°，
∴∠BEF＝∠C＝40°.
∵EF平分∠AEB，
∴∠AEB＝2∠BEF＝80°.
由(1)，知AE∥DG，
∴∠BDG＝∠AEB＝80°.
答题规范
示例：[RJ七下P25第3(1)题]
(6分)如图，AB∥CD，CB∥DE.求证：∠B＋∠D＝180°.
证明：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C． ……………………2分
∵CB∥DE，
∴∠C＋∠D＝180°. ……………4分
∴∠B＋∠D＝180°. ……………6分
1．(2025·贵州)下列图中能说明∠1＝∠2一定成立的是(　 　)
A B
C D
A
2．(2023·贵州)如图，AB∥CD，AC与BD相交于点E.若∠C＝40°，则∠A的度数是(　 　)
A．39° B．40°
C．41° D．42°
B
3．(2024·福建)在同一平面内，将直尺、含30°角的三角尺和木工角尺(CD⊥DE)按如图方式摆放，若AB∥CD，则∠1的大小为(　 　)
A．30° B．45°
C．60° D．75°
A
4．(2024·赤峰)将一副三角尺(厚度不计)按如图所示摆放，使有刻度的两条边互相平行，则图中∠1的度数为(　 　)
A．100° B．105°
C．115° D．120°
B
5．(2025·扬州)如图，平行于主光轴PQ的光线AB和CD经过凸透镜折射后，折射光线BE，DF交于主光轴上一点G.若∠ABE＝130°，∠CDF＝150°，则∠EGF的度数是(　 　)
A．60° B．70°
C．80° D．90°
C
6．如图，∠A＋∠C＝180°，点P为AC上一点，∠1＋∠2＝60°，则∠BPD＝_________.
60°
【几何直观】如图，将一矩形纸片沿AB折叠，已知∠ABC＝36°，则∠D1AD＝(　 　)
A．48°　　 B．66°
C．72° D．78°
C(共29张PPT)
第四章　三角形
第15讲　等腰三角形与直角三角形
课标要求
1.理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合．探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形．探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°.探索等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形(或有一个角是60°的等腰三角 形)是等边三角形．
课标要求
2．理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．掌握有两个角互余的三角形是直角三角形．
3．探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题.
知识点
1．等腰三角形和等边三角形(5年5考)
(1)等腰三角形
定义：两边相等的三角形叫作等腰三角形．
性质：①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两个底角相等，即“_______________”；
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、_______________重合，简称“____________”．
等边对等角
底边上的高
三线合一
(2)等边三角形
性质：具有等腰三角形的所有性质；三边相等；三个内角相等且都等于60°.
判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形；
②三个角都相等的三角形是等边三角形；
③有一个角是_________的等腰三角形是等边三角形．
60°
2．直角三角形(5年5考)
对点训练
1．(1)如图，已知△ABC中，AB＝AC，BC＝6，∠C＝50°，AD⊥BC，则∠B＝_______，∠1＝_______，∠2＝_______，BD＝___.
50°
40°
40°
3
(2)如图，AD是等边三角形ABC的中线，点E在AC上，AE＝AD，则∠EDC等于(　 　)
A．15° B．20°
C．25° D．30°
A
C
(2)(2024·安徽)如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝2，点D在AB的延长线上，且CD＝AB，则BD的长是(　 　)
B
典型例题
考查点　等腰三角形和等边三角形
1．(2024·兰州)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，DA⊥AC，则∠ADB＝(　 　)
A．100° B．115°
C．130° D．145°
B
2．(2024·自贡)如图，等边三角形ABC钢架的立柱CD⊥AB于点D，AB长12 m．现将钢架立柱缩短成DE，∠BED＝60°，则新钢架减少用钢(　 　)
D
考查点　直角三角形
3．如图，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，已知点A的坐标为(－2,0)，点B的坐标为(0,1)，则点C的坐标为(　 　)
A．(－3,1.5) B．(－4,1.5)
C．(－3,2) D．(－4,2)
C
B
C
3．如图，直线y＝4x＋4与坐标轴交于A，B两点，点C为x轴负半轴 上一点，∠CAB＝45°，则点C的坐标是___________.
答题规范
示例：(RJ八上P84第2题)
(6分)如图，AD∥BC，BD平分∠ABC．求证：AB＝AD.

证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC． ………………2分
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC． ………………4分
∴∠ADB＝∠ABD. …………………5分
∴AB＝AD. …………………………6分
1．(2023·贵州)5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型(示意图如图所示)，它的顶角为120°，腰长为12 m，则底边上的高是(　 　)
A．4 m B．6 m
C．10 m D．12 m
B
2．(2025·贵州)如图，在 ABCD中，AB＝3，BC＝5，∠ABC＝60°，以A为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点E，则EC的长为(　 　)
A．5 B．4
C．3 D．2
D
3．(2025·广安)如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，D是BC边上的一个动点，连接AD，则AD的最小值为______.
4．(2025·陕西)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°，CD为AB边上的中线，DE⊥AC，则图中与∠A互余的角共有(　 　)
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
C
5．(2024·广元)如图，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，点B，C的对应点分别为点D，E，连接CE，点D恰好落在线段CE上．若CD＝3，BC＝1，则AD的长为(　 　)
A
6．如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC．若DE＝8，AD＝5，则AB的长为(　 　)
A．13 B．12
C．10 D．9
A
8．(2025·扬州)清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3,4,5；②5,12,13；③7,24,25；④9,40,41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为____________.
11,60,61
9．如图，在直角坐标系中，以坐标原点O(0,0)，A(0,4)，B(3,0)为顶点的Rt△AOB，其两个锐角对应的外角平分线相交于点P，则点P的横坐标为(　 　)
A．5 B．6
C．7 D．8
B
【推理能力】综合与实践
主题：制作无盖正方体形纸盒
素材：一张正方形纸板．
步骤1：如图①，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正方形，并剪去四个角上的小正方形；
步骤2：如图②，把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒．
猜想与证明：(1)直接写出纸板上∠ABC与纸盒上∠A1B1C1的大小关系；
(2)证明(1)中你发现的结论．
(1)解：∠ABC＝∠A1B1C1.
(2)证明：∵A1B1为正方形的对角线，
∴∠A1B1C1＝45°.
∴BC2＋AC2＝AB2.∴△ABC为直角三角形．
又AC＝BC，∴△ABC是等腰直角三角形．
∴∠ABC＝45°＝∠A1B1C1.(共28张PPT)
第四章　三角形
第14讲　三角形与多边形
课标要求
1．理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性．
2．探索并证明三角形的内角和定理．掌握它的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
3．证明三角形的任意两边之和大于第三边．
4．了解三角形重心的概念．
5．了解多边形的概念及多边形的顶点、边、内角、外角与对角线；探索并掌握多边形内角和与外角和公式.
知识点
1．三角形的基本概念、性质(5年5考)
(1)三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和对边交点之间的线段．
(2)三角形的中线：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段．
(3)三角形的高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段．
(4)边与边的关系：三角形任意两边之和______第三边，任意两边之差______第三边．
大于
小于
(5)角与角的关系：
①三角形的内角和等于180°.
②三角形的一个外角______与它不相邻的两个内角的和．
③三角形的一个外角______任何一个与它不相邻的内角．　
(6)中位线定理：三角形的中位线______于第三边，且等于第三边的______.
(7)稳定性：三角形具有_________.
等于
大于
平行
一半
稳定性
2．多边形(5年1考)
(1)内角和定理：n边形的内角和等于_______________.
(2)外角和定理：多边形的外角和都等于____________.
(3)经过n边形的一个顶点可以作__________条对角线，它们将n边形分成(n－2)个三角形．
(4)正多边形的性质：①正多边形的各边______；②正多边形的各角______.　　　　　　　　　　
(n－2)×180°
360°
(n－3)
相等
相等
对点训练
1．(1)(2024·河北)观察图中尺规作图的痕迹，可得线段BD一定是△ABC的(　 　)
A．角平分线 B．高线
C．中位线 D．中线
B
(2)下列长度的3根小木棒不能搭成三角形的是(　 　)
A．2 cm,3 cm,4 cm　　
B．1 cm,2 cm,3 cm
C．3 cm,4 cm,5 cm　　
D．4 cm,5 cm,6 cm
B
(3)如图，在△ABC中，∠A＝40°，点D是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，则∠BDC＝____________.
110°
D
(5)下列图形中有稳定性的是(　 　)
A．三角形 B．平行四边形
C．长方形 D．正方形
A
2．(1)花窗多见于中国古典建筑中，如图为六边形花窗，其内角和为____________.
(2)一个多边形的内角和的度数可能是(　 　)
A．1 700° B．1 800°
C．1 900° D．2 000°
720°
B
典型例题
考查点　三角形的基本概念、性质
1．小明有两根长度分别为4 cm和7 cm的木棒，他想钉一个三角形的木框．现有4根木棒供他选择，其长度分别为3 cm,6 cm,11 cm,12 cm.小明可以选择的木棒长度为(　 　)
A．3 cm和6 cm B．6 cm
C．11 cm和12 cm D．11 cm
B
2．(2024·广安)如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，BC的中点，若∠A＝45°，∠CED＝70°，则∠C的度数为(　 　)
A．45° B．50°
C．60° D．65°
D
3．如图，在△ABC中，AB＝16，BC＝10，BD是AC边上的中线，若△ABD的周长为30，则△BCD的周长是(　 　)
A．20 B．24
C．26 D．28
B
考查点　多边形
4．五边形的内角和是_________度．
540
B
2．如图，点D，E，F分别是△ABC各边上的中点，连接DE，EF，FD，若△ABC的周长为12 cm，则△DEF的周长为(　 　)
A．9 cm B．8 cm
C．6 cm D．5 cm
C
3．已知AD是△ABC的中线，且△ABD的面积为13 cm2，则△ABC的面积等于______cm2.
4．(2024·包头)已知一个n边形的内角和是900°，则n＝___.
26
7
1.根据中线将对边平分成两条相等的线段的性质，可求解与三角形的周长有关的问题；根据中线将三角形分为两个面积相等的三角形的性质，可求解与其面积有关的问题．
2．求多边形边数或者角度时，可利用多边形内角和公式巧列方程进行求解．
答题规范
示例：(RJ八上P12例1)
(6分)如图，在△ABC中，∠BAC＝40°，∠B＝75°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数．
1．(2025·连云港)下列长度(单位：cm)的3根小木棒能搭成三角形的是(　 　)
A．1,2,3 B．2,3,4
C．3,5,8 D．4,5,10
B
2．(2025·南充)如图，把含有60°的直角三角板斜边放在直线l上，则∠α的度数是(　 　)
A．120° B．130°
C．140° D．150°
D
3．(2025·河南)如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在网格线的交点上，点D，E分别是边BA，CA与网格线的交点，连接DE，则DE的长为(　 　)
B
4．(2024·长春)在剪纸活动中，小花同学想用一张矩形纸片剪出一个正五边形，其中正五边形的一条边与矩形的边重合，如图所示，则∠α的大小为(　 　)
A．54° B．60°
C．70° D．72°
D
5．(2024·遂宁)佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到了一个内角和为1 080°的正多边形图案，这个正多边形的每个外角为(　 　)
A．36° B．40°
C．45° D．60°
C
6．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是△ABC的外角平分线，若∠ABP＝20°，∠ACP＝60°，则∠A－∠P＝(　 　)
A．70° B．60°
C．50° D．40°
D
7．如图①，已知在△ABC中，AB＝AC．小明的作法如图②所示，则他作出的两条线的交点O是△ABC的(　 　)
A．中心 B．内心
C．外心 D．重心
C
【几何直观】如图，在△ABC中，点D是BC边上的任意一点，E是AD的中点，F是BE的中点，连接CE，CF，若点D从点B运动到点C，则△CEF的面积(　 　)
A．一直变大 B．一直变小
C．先变大再变小 D．不变
D(共33张PPT)
第四章　三角形
第17讲　相似三角形
课标要求
1．了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割．
2．通过具体实例认识图形的相似，了解相似多边形和相似比．
3．掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
课标要求
4．了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似．*了解相似三角形判定定理的证明．
5．了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方．
6．了解图形的位似，知道利用位似可以把一个图形放大或缩小．
7．会利用图形的相似解决一些简单的实际问题.
知识点
1．比例线段的概念和性质
(1)比例线段：在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即________________，那么这四条线段a，b，c，d叫作成比例线段，简称比例线段．
a∶b＝c∶d
(2)比例的基本性质：
①如果a∶b＝c∶d，那么ad＝bc；
ad＝bc
黄金分割点
3．相似三角形的性质和判定(5年5考)
4．位似图形
(1)位似多边形的定义：如果两个相似多边形任意一组对应顶点A，A′的连线都经过同一个点O，且有OA′＝kOA(k≠0)，那么这样的两个多边形叫作______多边形，点O叫作位似中心，k就是这两个相似多边形的相似比．
(2)位似多边形的性质：①位似多边形一定______，位似多边形具有相似多边形的一切性质；②位似多边形上任意一对对应点连线都经过位似中心，并且到位似中心的距离之比等于_________.
位似
相似
相似比
对点训练
1．(1)下列各组线段(单位：cm)中，是成比例线段的是(　 　)
A．1,2,3,4　 B．1,2,2,4　
C．3,5,9,13　 D．1,2,2,3
B
C
5
2．(1)【模型观念】如图，已知D，E分别为AB，AC上的两点，且DE∥BC，AE＝2CE，AB＝6，则AD的长为(　 　)
A．3 B．4
C．5 D．6
B
(2)主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20 m，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x m 时恰好站在舞台的黄金分割点上(BP长为x)，则x满足的方程是(　 　)
A．(20－x)2＝20x B．x2＝20(20－x)
C．x(20－x)＝202 D．以上都不对
A
3．(1)如图，在△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边上，请添加一个条件_____________________________，使△ADE∽△ABC．
∠ADE＝∠B(答案不唯一)
(2)(2024·扬州)物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛(竖直放置)AB经小孔O在屏幕(竖直放置)上成像A′B′.设AB＝36 cm，A′B′＝24 cm，小孔O到AB的距离为30 cm，则小孔O到A′B′的距离为______cm.
20
4．(2024·浙江)如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点O.若点A(－3,1)的对应点为A′(－6,2)，则点B(－2,4)的对应点B′的坐标为(　 　)
A．(－4,8) B．(8，－4)
C．(－8,4) D．(4，－8)
A
典型例题
考查点　相似三角形的性质与判定
1．(2024·广州)如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，BE＝3，EC＝6，CF＝2.求证：△ABE∽△ECF.
证明：∵BE＝3，EC＝6，
CF＝2，
∴BC＝3＋6＝9.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝9，∠B＝∠C＝90°.
A．2 B．3
C．4 D．5
B
变式训练
1. 如图，P是正方形ABCD的边BC上一点，且BP＝3PC，Q是CD的中点．
(1)△ADQ与△QCP相似吗？为什么？
(2)连接AP，△ADQ与△AQP相似吗？为什么？
解：(1)△ADQ∽△QCP.理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD＝BC，∠C＝∠D＝90°.
又Q是CD的中点，
2．如图，D，E两点分别在线段AB和AC上，在下列四个条件中：①∠AED＝∠B；②∠ADE＝∠C；③AD·AB＝AE·AC；④AD∶AC＝DE∶BC．其中能使△ADE与△ACB相似的是_________.(填序号)
①②③
答题规范
示例：(RJ九下P43第7题)
(6分)如图，AD是Rt△ABC斜边上的高，若AB＝4 cm，BC＝10 cm，求BD的长．
1．(2025·贵州)如图，已知△ABC∽△DEF，AB∶DE＝2∶1.若DF＝2，则AC的长为(　 　)
A．1 B．2
C．4 D．8
C
2．如图，在平面直角坐标系中，△OAB与△OCD位似，点O是它们的位似中心，已知A(－4,2)，C(2，－1)，则△OAB与△OCD的面积之比为__________.
4∶1
D
4．如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AB上，∠ADE＝60°.若BD＝4DC，DE＝2.4，则AD的长为(　 　)
A．1.8 B．2.4
C．3 D．3.2
C
5．许多少数民族服饰在设计时，会将服装的某些关键部位(如腰线、袖口、裙摆等)设置在整体长度的黄金分割点上，以达到视觉上的和谐美感．若某种苗族传统服饰的上衣长度与裙子长度的比等于黄金分割比，且裙子的长度是1 m，则上衣的长度是(　 　)
B
6．如图，D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，DE∥AC，若 S△BDE∶S△DEA＝1∶3，则S△DOE∶S△AOC的值为___.
A
2．【运算能力、推理能力】(2025·安顺三模)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E是边BC上的一动点，连接AE，过点E作 EF⊥AE，与边CD交于点F，连接AF，则AF的最小值为___.(共36张PPT)
第四章　三角形
第18讲　锐角三角函数
课标要求
1.利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数(sin A，cos A，tan A)，知道30°，45°，60°角的三角函数值．
2．会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角．
3．能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题.
知识点
1．锐角三角函数
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以∠A为例，则∠A的锐角三角函数如下表．
2．30°，45°，60°角的三角函数值
3．方向角
(1)指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角，叫作方向角．
(2)如图，OA，OB，OC，OD的方向角分别是北偏东30°、_________45°(东南方向)、_________60°、_________60°.
南偏东
南偏西
北偏西
4．仰角、俯角
(1)仰角：视线在水平线上方的角；
(2)俯角：视线在水平线下方的角．
5．坡度(坡比)、 坡角
(1)如图，坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫作坡度(坡比)．用字母i表示，即i＝h∶l.如 i＝1∶5等．
C
(2)(2024·长春)2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点A时，位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为a km，仰角为θ，则此时火箭距海平面的高度AL为(　 　)
A
2．(1)sin 30°＝___.
3
20.8
4.如图，从航拍无人机A看一栋楼顶部B的仰角α为30°，看这栋楼底部C的俯角β为60°，无人机与楼的水平距离为120 m，则这栋楼的高度为(　 　)
B
A
典型例题
考查点　解直角三角形及其应用
近年来在西电东送工程绿色转型中，风力发电发展迅速．某学校综合实践探究小组成员通过查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”(图①)非常重要，它的高度是一个重要的设计参数．于是小组成员到贵阳市高坡云顶开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动．如图②，
已知一风电塔筒AH垂直于地面，测角仪CD，EF在AH两侧，CD＝EF＝1.6 m，点C与点E相距182 m(点C，H，E在同一条直线上)，小明在D处测得筒尖顶点A的仰角为45°，在F处测得筒尖顶点A的仰角为53°，求风电塔筒AH的高度．
解：如图②，连接DF交AH于点G.
由题意，得CD＝EF＝GH＝1.6 m，
DF＝CE＝182 m，DF⊥AH.
设DG＝x m，∴FG＝DF－DG＝(182－x)m.
∵在Rt△ADG中，∠ADG＝45°，
∴AG＝DG＝x m.
∵在Rt△AFG中，∠AFG＝53°，
答：风电塔筒AH的高度约为105.6 m.
变式训练
东山寺始建于明正德十一年，是位于贵州省铜仁市的寺庙，为明清铜仁城区十景之首，拥有众多建筑，景色优美，吸引众多游客．如图①是其中的一座塔．小张想用所学知识测量这座塔的高度，其示意图如图②所示．
在垂直地面的这座塔PO前阶梯下有一平台，小张在平台A处测得塔顶端P的仰角为53°，AP＝88 m，走上阶梯BC，阶梯BC的坡度i＝1∶2，阶梯BC的坡面长度为30 m.
(1)求阶梯BC的垂直高度，即点C到直线AB的距离；
(2)求这座塔PO的高度．
答：阶梯BC的垂直高度，即点C到直线AB的距离约为13 m.
∴PN＝AP·sin A＝88×sin 53°≈70.4(m)．
∵∠CON＝∠ONM＝∠CMN＝90°，
∴四边形OCMN为矩形．∴ON＝CM＝13 m．
∴PO＝PN－ON＝70.4－13≈57(m)．
答：这座塔PO的高度约为57 m.
答题规范
示例：(RJ九下P78第2题)
(6分)如图，厂房屋顶人字架(等腰三角形)的跨度BC＝10 m，∠B＝36°，求中柱AD(D为底边中点)和上弦AB的长(结果保留小数点后一位，参考数据：
sin 36°≈0.588，cos 36°≈0.809，tan 6°≈0.727)．
B
2．(2025·长春)如图，已知某山峰的海拔高度为m m，一位登山者到达海拔高度为n m的点A处，测得山峰顶端B的仰角为α，则A，B两点之间的距离为(　 　)
B
A．1.59 m B．2.07 m
C．3.55 m D．3.66 m
D
4．(2025·内蒙古)如图，因地形原因，湖泊两端A，B的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量，他们将无人机上升并飞行至距湖面90 m的点C处，从C点测得A点的俯角为60°，测得B点的俯角为30°(A，B，C三点在同一竖直平面内)，则湖泊两端A，B的距离为________m(结果保留根号)．
6．(2024·贵州)综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习．
【实验操作】
第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁AC的夹角为∠A；
第二步：向水槽注水，水面上升到AC的中点E处时，停止注水．(直线NN′为法线，AO为入射光线，OD为折射光线．)
【测量数据】
如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，N′在同一平面内，测得AC＝20 cm，∠A＝45°，折射角∠DON＝32°.
【问题解决】
根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：
(1)求BC的长；
(2)求B，D之间的距离(结果精确到0.1 cm)．
(参考数据：sin 32°≈0.52，cos 32°≈0.84，tan 32°≈0.62)
7.(2024·广东)中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献．为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形PQMN充电站的平面示意图，矩形ABCD 是其中一个停车位．经测量，∠ABQ＝60°，AB＝5.4 m，CE＝1.6 m，GH⊥CD于点H，GH是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定．
(1)求PQ的长；
(2)该充电站有20个停车位，求PN的长．
【几何直观、应用意识】如图①，圆规两脚形成的角α称为圆规的张角．已知一个圆规两脚的长均为10 cm，最大的张角为150°.将圆规直立放置，两脚从并拢到形成最大张角(如图②)，圆规高度下降____cm(脚的宽度忽略不计)(参考数据：sin 75°≈0.97，cos 75°≈0.26，tan 75°≈3.73)．
4

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