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(共27张PPT)
第七章　图形的变换
第26讲　尺规作图
课标要求
1．能用尺规作图：作一个角等于已知角；作一个角的平分线．
2．能用尺规作图：作一条线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线．
3．能用尺规作图：过直线外一点作这条直线的平行线．
课标要求
4．能用尺规作图：已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高线作等腰三角形；已知一直角边和斜边作直角三角形．
5．能用尺规作图：过不在同一直线上的三点作圆；作三角形的外接圆、内切圆；作圆的内接正方形和内接正六边形．
6．*能用尺规作图：过圆外一点作圆的切线.
考情解读：一般考查学生对基本作图的掌握情况和实践操作能力，并且在作图的基础上进一步推理计算(或证明).
知识点
五种基本作图(5年5考)
(1)作一条线段等于已知线段
步骤：①作射线AB；②在射线AB上截取AC＝a，则线段AC就是所求作的线段．
(2)作一个角等于已知角
步骤：①作射线O′A′；②以点O为圆心，以任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D；③以点O′为圆心，以OC的长为半径画弧，交O′A′于点C′；④以点C′为圆心，以CD的长为半径画弧，交前弧于点D′；⑤过点O′，D′作射线O′B′，则∠A′O′B′就是所求作的角．
对点训练
(1)作线段AC＝A．
(2)作∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB.
(3)作∠AOB的平分线OC．
(4)作线段AB的垂直平分线CD.
(5)过点P作直线AB的垂线．
①点P在AB上；　　　②点P在AB外．
典型例题　
考查点　尺规作图及应用
1．如图，已知 ABCD，AB＜BC．
(1)利用尺规作图，作∠BAD的平分线AE，交BC于点E(不写作法，保留作图痕迹)；
解：如图，AE即为所求．
(2)若AD＝8，DC＝5，则CE的长为_______.
(3)在(1)的基础上，利用尺规在AD上截取AF＝AB，连接EF，则四边形ABEF的形状是______.
3
菱形
解：如图，AF，EF即为所求．
2．如图，已知 ABCD，AB＜BC．
(1)①在图①中作边CD的垂直平分线，交AD于点E，交CD于点F(不写作法，保留作图痕迹)；
100°
②连接CE，若∠D＝50°，则∠AEC的度数为____________.
解：如图①，EF即为所求．
②∵ ABCD中，BC∥AD，
∴∠NMC＝∠DAM，∠NCM＝∠D.∴△NMC∽△NAD.
(2)①在图②中作∠DAM，使∠DAM＝∠D，AM交BC于点M，并延长DC交AM的延长线于点N(不写作法，保留作图痕迹)；
解：①如图②，∠DAM、点N即为所求．
3．如图，在 ABCD中，∠DAB＝30°.
(1)实践与操作：用尺规作图法过点D作AB边上的高DE(保留作图痕迹，不要求写作法)；
(2)应用与计算：在(1)的条件下，AD＝4，AB＝6，求BE的长．
变式训练
1.如图，点D，E分别在△ABC边AB，AC上，且∠AED＝∠ACB.
(1)作∠BDE的平分线DF，交BC于点F(用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)；
(2)在(1)的条件下，判断△BDF的形状，并说明理由．
解：(1)如图，DF即为所求．
(2)△BDF为等腰三角形．理由如下：
∵∠AED＝∠ACB，∴DE∥BC．∴∠EDF＝∠BFD.
∵DF平分∠BDE，∴∠BDF＝∠EDF.
∴∠BFD＝∠BDF.∴BD＝BF.∴△BDF为等腰三角形．
2.尺规作图(只保留作图痕迹，不要求写出作法)． 如图，已知△ABC，且AB＞AC．
(1)在AB边上求作点D，使DB＝DC；
(2)在AC边上求作点E，使△ADE∽△ACB.
解：(1)如图，点D即为所求．
(2)如图，点E即为所求．
3.如图，∠A＝∠B＝30°.
(1)尺规作图：过点C作CD⊥AC交AB于点D(保留痕迹，不要求写作法)；
(2)在(1)的条件下，求证：BC2＝BD·AB.
(1)解：如图，CD即为所求．
(2)证明：∵CD⊥AC，∴∠ACD＝90°.
∵∠A＝∠B＝30°，
∴∠ACB＝120°.∴∠DCB＝∠A＝30°.
又∠B＝∠B，∴△CDB∽△ACB.
答题规范
示例：(BS七下P132例3改编)
(9分)如图，△ABC中，点D在边AC上，且AD＝AB.
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出∠A的平分线，与边BC交于点E，连接DE(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)求证：DE＝BE.
答题规范
(1)解：如图，AE，DE即为所求．……4分
(2)证明：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠DAE. …………………………6分
又AB＝AD，AE＝AE，
∴△BAE≌△DAE(SAS) ……………………………………………8分
∴DE＝BE. …………………………………………………………9分
1．(2025·贵州改编)如图，在 ABCD中，AB＝5，BC＝7，∠ABC＝60°，以A为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点E，则BE的长为(　 　)
A．5 B．4
C．3 D．2
A
A．2 B．3
C．4 D．5
A
A．OB＝OC
B．∠BOD＝∠COD
C．DE∥AB
D．△BOC≌△BDE
D
4．伟大的“乡村振兴”战略思想为广大的农村地区带来了福音，各项惠农政策极大地促进了农村产业高速发展，某地政府为了加快农产品快速输出，计划整修公路缩短运输路程．如图，C地是当地蔬菜种植基地，原先C地的蔬菜运往A城市必须先经过B地中转然后才能到达A市(即沿C－B－A路线)，现在政府计划打通一条隧道CD(大概位置为图中粗墨色线条)，然后再到达A市，即沿C－D－A路线．
(1)为了使隧道最短，请你利用尺规作图准确作出D点位置(保留作图痕迹)；
解：如图，点D即为所求．
(2)已知AC⊥BC，AC＝60 km，BC＝80 km，请你利用所学知识计算打通隧道后由C地到A城市的路程缩短了______km.
96
5．(2024·广东)如图，在△ABC中，∠C＝90°.
(1)实践与操作：用尺规作图法作∠A的平分线AD交BC于点D(保留作图痕迹，不要求写作法)；
(2)应用与证明：在(1)的条件下，以点D为圆心，DC长为半径作⊙D.求证：AB与⊙D相切．
(1)解：如图，AD即为所求．
(2)证明：过点D作DE⊥AB于点E，如图．
∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，
∴DE＝CD.∴DE为⊙D的半径．
∴AB与⊙D相切．
【几何直观、推理能力】(2025·青岛)已知：如图，D是∠AOB内部一点．
求作：等腰△COE，使点C，E分别在射线OA，OB上，且底边CE经过点D.
解：如图，△COE即为所求．(共36张PPT)
第七章　图形的变换
第28讲　视图与投影
课标要求
1．通过实物和具体模型，了解从物体抽象出来的几何体、平面等概念．
2．通过丰富的实例，了解中心投影和平行投影的概念．
3．会画直棱柱、圆柱、圆锥、球的主视图、左视图、俯视图，能判断简单物体的视图，并会根据视图描述简单的几何体．
4．了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图想象和制作实物模型．
5．通过实例，了解视图与展开图在现实生活中的应用.
知识点
1．几何体的识别及其三视图(5年2考)
(1)三视图的画法：主视图和俯视图的___相等；主视图和左视图的___相等；左视图和俯视图的___相等．看得见的部分画成___线；看不见的部分画成___线．
长
高
宽
实
虚
(2)常见的几何体及其三视图与展开图
几何体
正方体 圆柱 圆锥
主视图
左视图
几何体
正方体 圆柱 圆锥
俯视图
平面展开图
(选其中一种)
几何体 球 正三棱柱 正三棱锥
主视图
左视图
几何体 球 正三棱柱 正三棱锥
俯视图
平面展开图
(选其中一种)
无
2.正方体的展开与折叠
正方体的展开图类型(注：相同颜色表示相对的面)
(1)一四一型
(2)二三一型
(3)三三型
(4)二二二型
3.平行投影与中心投影
(1)平行投影：由____________形成的投影叫作平行投影．太阳光线可以看成是______光线．
(2)中心投影：由____________________发出的光线形成的投影．例如：路灯．
平行光线
平行
同一点(点光源)
4.几何体的截面图(5年1考)
(1)截面的定义：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫作截面．
(2)用一个平面去截一个棱柱，截面与棱柱的面有几条交线，截面的形状就是几边形．
(3)圆柱的截面形状可能是_______________等．
(4)圆锥的截面形状可能是_______________等．
长方形、圆
三角形、圆
对点训练
1．(1)用5个完全相同的小正方体组成如图所示的立体图形，它的左视图是(　 　)
C
(2)如图，位于贵州的“中国天眼”是500 m口径球面射电望远镜，简称FAST.它是世界上最大的单口径球面射电望远镜，它的俯视图是(　 　)
D
(3)如图是一个几何体的侧面展开图，这个几何体可以是(　 　)
A．圆锥　 B．圆柱　
C．棱锥　 D．棱柱
A
(4)如图所示的是一个长方体的三视图(单位： cm)，根据图中数据计算这个长方体的体积是______cm3，表面积是______cm2.
24
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2．(1)某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“亮”字所在面相对的面上的汉字是(　 　)
A．青　　 B．春　　
C．梦　　 D．想
D
(2)下列图形是正方体展开图的个数为(　 　)
A．1 B．2
C．3 D．4
C
3．张华同学的身高为1.6 m，某一时刻他在阳光下的影长为2 m，与他邻近的一棵树的影长为6 m，则这棵树的高为(　 　)
A．3.2 m　　　　　　 B．4.8 m
C．5.2 m　 D．5.6
B
4.(1)用一个平面分别去截下列几何体，截面形状不可能是三角形的是(　 　)
A B
C D
B
(2)用一个平面去截一个长方体，截面的形状不可能是(　 　)
A．四边形 B．五边形
C．六边形 D．七边形
D
典型例题
考查点　几何体的三视图
1．(2024·宁夏)用5个大小相同的小正方体搭一个几何体，其主视图、左视图如图②，现将其中4个小正方体按图①方式摆放，则最后一个小正方体应放在(　 　)
A．①号位置
B．②号位置
C．③号位置
D．④号位置
B
考查点　投影
2．下列四幅图中，表示两棵树在同一时刻阳光下的影子的是(　 　)
A　　 　B　　　　C　　　　 D
B
变式训练
1．(2024·黑龙江)一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图和左视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少是(　 　)
A．6 B．5
C．4 D．3
C
2.如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处走到B处这一过程中，他在地上的影子(　 　)
A．逐渐变短
B．逐渐变长
C．先变短后变长
D．先变长后变短
C
答题规范
示例：(RJ九下P99例5)
(7分)某工厂要加工一批密封罐，设计者给出了密封罐的三视图．请按照三视图确定制作每个密封罐所需钢板的面积(图中尺寸单位：mm)．
答题规范
1．贵州鼓楼文化是贵州地区，尤其是黔东南苗族侗族自治州独特的地域文化的重要组成部分，鼓楼作为侗族村寨的地标性建筑，承载着丰富的历史与文化价值．如图是某鼓楼的手绘插画图，该图形可以近似地看作一个圆锥，则该立体图形的主视图是(　 　)
A
2．(2023·贵州)如图所示的几何体，从正面看，得到的平面图形是(　 　)
　
A B C D
A
3．(2022·贵阳)如图，用一个平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面的形状是(　 　)
A B C D
B
4．(2025·河北)一个几何体由圆柱和正方体组成，其主视图、俯视图如图所示，则其左视图为(　 　)
A
5．如图，裁掉一个正方形后能折叠成正方体，不能裁掉的是(　 　)
A．① 　　　 B．② 　　　
C．③ 　　　 D．④
A
6．【应用意识】如图，小莉用灯泡O照射一个矩形硬纸片ABCD，在墙上形成矩形影子A′B′C′D′，现测得OA＝2 cm，OA′＝5 cm，纸片ABCD的面积为8 cm2，则影子A′B′C′D′的面积为______cm2.
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【应用意识、空间观念】(跨学科命题)(2024·广东)综合与实践
【主题】滤纸与漏斗
【素材】如图①所示：①一张直径为10 cm的圆形滤纸；②一只漏斗口直径与母线均为7 cm的圆锥形过滤漏斗．
【实践操作】步骤1：取一张滤纸；步骤2：按如图②所示步骤折叠好滤纸；步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形；步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图①所示漏斗中．
【实践探索】(1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁(忽略漏斗管口处)？用你所学的数学知识说明．
(2)当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积(结果保留π)．(共20张PPT)
第七章　图形的变换
第25讲　定义、命题、定理
课标要求
1．通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义．
2．结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念．会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立．
3．知道证明的意义和证明的必要性，知道数学思维要合乎逻辑，知道可以用不同的形式表述证明的过程，会用综合法的证明格式．
4．了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的．
5．通过实例体会反证法的含义.
知识点
1．命题
判断一件事情的语句，叫作命题．
正确的命题称为_________，不正确的命题称为_________.
要说明一个命题是假命题，通常可以举出一个例子，使之具备命题的条件而不具备命题的结论，这种例子称为______.
真命题
假命题
反例
2．逆命题
在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的______和______，那么这两个命题称为互逆命题．其中一个命题是另一个命题的_________.
3．定理、命题的证明
(1)公认的真命题称为______，真命题的正确性是通过推理的方法证实．推理的过程称为______，经过证明的真命题称为______.
结论
条件
逆命题
公理
证明
定理
(2)几何图形中命题证明的一般步骤：
①根据题意，画出图形；
②根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证；
③经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程．
(3)反证法的一般步骤：
①分清命题的条件和结论；
②做出与命题结论相矛盾的假设；
③由假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果；
④断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真．
对点训练
1.(2025·宁夏)下列判断正确的是(　 　)
A．若点P(a，b)关于x轴的对称点在第二象限，则b＜0
B．夜晚，小明走向一盏路灯，他在地面上的影长由短变长
C．4的平方根是2
D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
A
2.下列说法正确的是(　 　)
A．命题一定有逆命题
B．所有的定理一定有逆定理
C．真命题的逆命题一定是真命题
D．假命题的逆命题一定是假命题
A
3．证明三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半(要求根据所给图形写出已知、求证和证明)．
证明：如图，延长DE到点F，使DE＝EF，连接CF.
∵点E是AC的中点，∴AE＝CE.
又∠AED＝∠CEF，∴△ADE≌△CFE(SAS)．
∴AD＝CF，∠ADE＝∠F.∴AB∥CF.∵点D是AB的中点，
∴AD＝BD.∴BD＝CF. 又BD∥CF，∴四边形BCFD是平行四边形．
∴DF∥BC，DF＝BC．
典型例题
考查点　命题
1．下列命题正确的是(　 　)
A．方差越小则数据波动越大
B．等边三角形是中心对称图形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．正多边形的外角和为360°
D
考查点　逆命题
2．下列命题中，逆命题为真命题的有(　 　)
③垂直于弦的直径平分这条弦；
④对角线互相垂直的四边形是菱形．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
B
考查点　定理、命题的证明
3．用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设_______________.
a不平行b
变式训练
1.下列命题是真命题的是(　 　)
B．－a是负数
C．若|a|＝1，则a＝±1
D．S＝πr2中，S，π，r均为变量
C
2.下列各命题的逆命题成立的是(　 　)
A．全等三角形的面积相等
B．如果a＝b，那么a2＝b2
C．对顶角相等
D．两直线平行，同旁内角互补
D
3.(2025·北京)能说明命题“若a2＞4b2，则a＞2b”是假命题的一组实数a，b的值分别为_______________________.
－3,1(答案不唯一)
1．命题：已知△ABC，AB＝AC．求证：∠B＜90°.运用反证法证明这个命题时，第一步应假设(　 　)
A．AB≠AC B．∠B＞90°
C．∠B≥90° D．AB≠AC且∠B≥90°
C
2．(2025·成都)下列命题中，假命题是(　 　)
A．矩形的对角线相等　
B．菱形的对角线互相垂直
C．正方形的对角线相等且互相垂直
D．平行四边形的对角线相等
D
3．(2025·长沙)衣服穿戴整不整齐，系好第一粒扣子很重要．青少年迈开人生第一步就要走正道，要严格遵守国家法律法规．同样的道理，学习数学首先就必须遵守数学中的基本法则．例如：下面命题的推理过程所得出的错误结论就是由于不遵守数学的基本法则导致的．
命题：如果a，b，c为实数，且满足a＋b＝－C．那么2＝1.
推理过程如下：
第一步：根据上述命题条件有a＋b＝－c；①
第二步：根据七年级学过的整式运算法则有a＝2a－a，b＝2b－b，c＝2c－c；②
第三步：把②代入①，可得(2a－a)＋(2b－b)＝－(2c－c)；
第四步：利用去括号法则、移项、提公因式等，整理得2(a＋b＋c)＝(a＋b＋c)；
第五步：两边同时除以(a＋b＋c)，得2＝1.
请你判断上述推理过程中，第___步是错误的，它违背了数学的基本法则．
五
【推理能力】嘉琪同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的，她先用尺规作出了如图所示的四边形ABCD，并写出了如下不完整的已知和求证：
已知：在四边形ABCD中，BC＝AD，AB＝______.
求证：四边形ABCD是______四边形．
嘉琪：我的想法是利用三角形全等，依据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”来证明．
CD
平行
(1)①在方框中填空，补全已知和求证；②并按嘉琪的想法写出证明过程．
(2)用文字叙述所证明的命题的逆命题为________________________ ___________.
平行四边形的两组对边分
别相等
②证明：如图，连接AC．
∴△ABC≌△CDA(SSS)．
∴∠ACB＝∠CAD，∠BAC＝∠DCA．∴AD∥BC，AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形．(共31张PPT)
第七章　图形的变换
第27讲　图形的变换
课标要求
1．通过具体实例理解轴对称的概念，探索它的基本性质：成轴对称的两个图形中对应点的连线被对称轴垂直平分．
2．能画出简单平面图形(点、线段、直线、三角形等)关于给定对称轴的对称图形．
3．理解轴对称图形的概念；探索等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆的轴对称性质．
4．通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转，探索它的基本性质：一个图形和旋转得到的图形中，对应点到旋转中心距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等．
课标要求
5．了解中心对称、中心对称图形的概念，探索它们的基本性质：成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分．
6．探索线段、平行四边形、正多边形、圆的中心对称性质．
7．通过具体实例认识平移，探索它的基本性质：一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行(或在同一条直线上)且相等．
8．运用图形的轴对称、旋转、平移进行图案设计.
知识点
1．图形的对称(5年1考)
一个图形 图形 判断步骤
轴对称图形 ①有对称轴——直线
②图形沿对称轴折叠
③直线两旁的部分重合
中心对称图形 ①有对称中心——点
②图形绕对称中心旋转180°
③旋转前后的图形完全重合
两个图形 图形 性质
成轴对称 ①成轴对称的两个图形全等
②对称点的连线被对称轴垂直平分
③点P(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，点P(x，y)关于y轴的对称点为(－x，y)
成中心对称 ①成中心对称的两个图形全等
②对称点所连线段都经过对称中心，且被对称中心平分
③点P(x，y)关于原点的对称点为(－x，－y)
2.图形的折叠(轴对称的应用)(5年1考)
(1)折叠：将一个图形(某部分)沿一条直线(折痕)对折，对折前后两部分完全重合．
(2)折叠的性质：①折痕两边的折叠部分______; ②折叠前后对应点的连线被折痕____________.
全等
垂直平分
3．图形的平移
(1)平移：平移是指在平面内，将一个图形沿某个______移动一定的______.
(2)平移的性质：①对应线段______(或在同一条直线上)且______，对应角______；②对应点所连的线段______(或在同一条直线上)且______；每个点移动的距离______；③平移后的图形与原图形______.
方向
距离
平行
相等
相等
平行
相等
相等
全等
4.图形的旋转(5年2考)
(1)旋转：旋转是指在平面内，将一个图形绕一个_____按某个_____转动一个______.
(2)旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离______；②对应点与旋转中心所连线段的夹角______，都等于______角；③旋转后的图形与原图形______.
定点
方向
角度
相等
相等
旋转
全等
对点训练
1．(1)(2024·广东)下列几何图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是(　 　)
C
(2)在平面直角坐标系中，点(3,2)关于x轴对称的点的坐标为(　 　)
A．(－3,2) B．(－2,3)
C．(2，－3) D．(3，－2)
(3)在平面直角坐标系xOy中，点A与点A1关于x轴对称，点A与点A2关于y轴对称．已知点A1(1,2)，则点A2的坐标是(　 　)
A．(－2,1) B．(－2，－1)
C．(－1,2) D．(－1，－2)
D
D
(4)在平面直角坐标系中，点 A(a，1)与点B(－2，b)关于原点成中心对称，则a＋b的值为(　 　)
A．－3 B．－1
C．1 D．3
C
2．如图，将矩形纸片ABCD的两个直角进行折叠，使CB，AD恰好落在对角线AC上，B′，D′分别是B，D的对应点，折痕分别为CF，AE.若AB＝4，BC＝3，则线段B′D′的长是(　 　)
D
3.(传统文化)“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为2 cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1 cm得到正方形 A′B′C′D′，形成一个“方胜”图案，则点D，B′之间的距离为(　 　)
D
4．如图，已知△ABC中，AB＝4，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，连接BD，则△ABD的周长为_______________.
典型例题
考查点　图形的旋转
1．如图，已知△ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，将△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′，以下结论： ①BC＝B′C′；②AC∥C′B′；③C′B′⊥BB′； ④∠ABB′＝∠ACC′.正确的有(　 　)
A．①②③　　 B．①②④
C．①③④ D．②③④
B
考查点　图形的折叠
2．(2025·河南)如图，在菱形ABCD中，∠B＝45°，AB＝6，点E在边BC上，连接AE，将△ABE沿AE折叠，若点B落在BC延长线上的点F处，则CF的长为(　 　)
D
变式训练
1．(2024·长春)一块含30°角的直角三角板ABC按如图所示的方式摆放，边AB与直线l重合，AB＝12 cm.现将该三角板绕点B顺时针旋转，使点C的对应点C′落在直线l上，则点A经过的路径长至少为______cm(结果保留π)．
8π
2．(2024·雅安)如图，把矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点E处，BE与AD交于点F.若AB＝6，BC＝8，则cos∠ABF的值是 _______.
答题规范
示例：(RJ九上P62第4题改编)
(8分)在4×4的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形(顶点均在格点 上)．
(1)在图①中先画出一个以格点P为顶点的等腰三角形PAB，再画出该三角形向右平移2个单位长度后的△P′A′B′.
(2)将图②中的格点△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°，画出经旋转后的△A′B′C．
答题规范
解：(1)如图①，△PAB，△P′A′B′即为所求．(答案不唯一)

图①
…………………………………………………………………………4分
(2)如图②，△A′B′C即为所求．

图②
…………………………………………………………………………8分
1．(2024·贵州)“黔山秀水”写成下列字体，可以看作是轴对称图形的是(　 　)
A． B．
C． D．
B
2．(2022·六盘水)如图，将一张长方形纸对折，再对折，然后沿图中虚线剪下，剪下的图形展开后可得到(　 　)
A．三角形 B．梯形
C．正方形 D．五边形
C
3．(2025·凉山州)如图，将周长为20的△ABC沿BC方向平移2个单位长度得△DEF，连接AD，则四边形ABFD的周长为______.
24
5．(2025·潍坊)如图，在 ABCD中，点E在边BC上．将△ABE沿AE折叠，点B的对应点B′恰好落在边DC上；将△ADB′沿AB′折叠，点 D的对应点D′恰好落在AE上．若∠C＝α，则∠CB′E＝___.(用含α的式子表示)
(2)问题探究：如图②，当∠BAD＝45°，将△ABE沿BE翻折后，使EF∥BM，求∠ABE的度数，并求出此时m的最小值；
(3)拓展延伸：当∠BAD＝30°，将△ABE沿BE翻折后，若EF⊥AD，且AE＝MD，根据题意在备用图中画出图形，并求出m的值．
解：(2)∵∠BAD＝45°，BA＝BM，
∴△AMB是等腰直角三角形．∴∠MBC＝∠AMB＝45°.
∵EF∥BM，∴∠FEM＝∠AMB＝45°.
∵AD∥NC，∴∠BAE＝∠ABN＝45°.
∴∠ABE＝180°－∠AEB－∠BAE＝22.5°.
AN(AM)
2(1)
(3)当点F落在BC上方时，如图所示．如图，连接FM，延长FE交NC于点G，则FG⊥BC．
∵AB＝BM，∠BAD＝30°，∴∠AMB＝30°.
∴∠MBC＝∠AMB＝30°，∠ABM＝120°.∴∠FBM＝90°.
【几何直观】(2025·天津)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB′C′，点B，C的对应点分别为B′，C′，B′C′的延长线与边BC相交于点D，连接CC′.若AC＝4，CD＝3，则线段CC′的长为(　 　)
D

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