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二次根式的乘法
人教·八年级数学下册
二次根式
19
新课导入
正方形面积 =
长方形面积 =
探索新知
计算下列各式，观察计算结果.
（1）
___________，
（2）
___________，
（3）
___________，
你能发现什么规律？
一般地，二次根式的乘法法则是
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
（1）
（2）
（3）
二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.
例 1
计算：
（1）
（2）
（3）
解：（1）
（2）
（3）
两个无理数相乘，结果可以是有理数.
下边的式子如何运算？
可先用乘法结合律，再运用二次根式的乘法法则
乘法法则的推广：
把 反过来，就得到
积的算术平方根等于积中各个因数或因式的算术平方根的积 .
二次根式的乘法法则的逆用，利用它可以进行二次根式的化简.
例 2
化简：
（1）
（2）
解：（1）
（2）
公式的推广：
例 3
计算：
（1）
（2）
（3）
解:（1）
（2）
乘法交换律、结合律在二次根式的运算中仍然适用：
(≥0，d ≥0)
例 3
计算：
（1）
（2）
（3）
（3）
练 习
1. 计算：
（1） ；
（2） .
解:（1）原式= ；
（2）原式= ；
（3） ；
（4） .
（3）原式= ；
=
（4）原式= .
=
2. 化简：
（1） ；
（2） ；
（3） .
解:（1）原式 = ；
（2）原式 = ；
· =
（3）原式 = .
· · · = 4bc
3. 一个长方形的长和宽分别是 和 ，
求这个长方形的面积.
解: 这个长方形的面积为
× 2
×
课堂小结
这节课有什么收获呢？
乘法法则：
拓展法则：
乘法法则的逆用：
公式推广：
二次根式的除法
人教·八年级数学下册
二次根式
19
新课导入
广播电视塔高 h 与广播电视节目信号的传播半径 r 之间
存在近似关系 r = ，其中 R 是地球半径，R ≈ 6 400 km．
如果两个广播电视塔的高分别是 h1 km、h2 km，那么它们的传播半径之比是 . 你能将这个式子化简吗？
探索新知
计算下列各式，观察计算结果.
（1）
___________，
（2）
__________，
（3）
__________，
你能发现什么规律？
一般地，二次根式的除法法则是
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
（1）
（2）
（3）
二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.
为什么 b > 0？
因为 b = 0 时分母为 0，没意义.
例 4
计算：
（1）
（2）
解：（1）
（2）
下边的式子如何运算？
二次根式的除法法则的推广：
把 反过来，就得到
商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.
二次根式的除法法则的逆用，利用它可以进行二次根式的化简.
例 5
化简：
（1）
（2）
解:（1）
（2）
例 6
设长方形的面积为 S，相邻两边长分别为 a，b. 已知 S = ，b = ，求 a.
解：因为 S = ab，所以
a =
二次根式化简的结果中被开方数不含分母.
练 习
1. 计算：
（1） ；
（2） ；
解:（1）原式= ；
（2）原式= ；
（3） ；
（4） .
（3）原式= ；
= = = 2
（4）原式= .
= · = 2a
2. 化简：
（1） ；
（2） ；
（3） .
解:（1）原式 = ；
（2）原式 = ；
=
（3）原式 = .
=
3. 计算：
（1） ；
（2） .
解:（1）原式= ；
（2）原式= .
=
课堂小结
这节课有什么收获呢？
二次根式的除法法则：
二次根式的除法法则的逆用：
最简二次根式
人教·八年级数学下册
二次根式
19
探索新知
观察这些二次根式，你能发现什么？
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数中不含能开得尽平方的因数或因式.
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫作最简二次根式.
例 7
计算：
（1） ；
（2） ；
（3） .
解:（1）解法 1:
除法法则
分数的基本性质
逆用除法法则
解法 2:
分数的基本性质
例 7
计算：
（1） ；
（2） ；
（3） .
（2）
=
=
=
=
=
（3）
= = =
在二次根式的运算中，一般要把最后结果化简，使其中的二次根式为最简二次根式，并且分母中不含二次根式.
现在来看本章引言中的问题.
如果两个广播电视塔的高分别是 h1 km，h2 km，那么它们的传播半径之比是 .
= = =
可以看出，这个比与地球半径无关. 这样，只要知道 h1，h2，就可以求出比值.
练 习
1. 化简，使结果中的二次根式为最简二次根式：
（1） ；
（2） ；
解:（1）原式= ；
（2）原式= ；
（3） ；
（3）原式=
（4） ；
（5） ；
（6） .
将小数化为分数，再化简.
（4）原式=
= = =
（5）原式=
= =
（6）原式=
=
2. 化简：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
解:（1）原式 = ；
（2）原式 = ；
= =
2. 化简：
（3）原式 = ；
= =
（4）原式 = .
= =
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
3. 一个长方体的体积 V = ，高 h = ，
求它的底面积 S.
解: 依题意得
化简二次根式的一般方法：
方法 举例
将被开方数中能开得尽平方的因数或因式进行开方
化去根号
下的分母
若被开方数中含有带分数，应先将带分数化成假分数
若被开方数中含有小数，应先将小数化成分数
若被开方数是分式，应先将分式的分母化成平方的形式，再进行开方运算
= =
=
=
= = =

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