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(共43张PPT)
二次根式的加减
人教·八年级数学下册
二次根式
19
新课导入
84 = 32
= 2 = 22= 4
你会计算吗？
？
探索新知
如何计算 ？
+
与 的被开方数不同，无法直接相加.
如果 与 能化成被开方数相同的形式，
那么就可以类比整式运算中的合并同类项进行运算
探索新知
+
+
（化成最简二次根式）
（利用分配律合并）
一般地，二次根式加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并.
+
如何计算 ？
+
例 1
计算：
（1）
（2）
解:（1）
（2）
（3）
（3）
比较二次根式的加减与整式的加减，你能得出什么结论？
相同的地方 不同的地方
合并时都是计算“系数”，计算的方法相同；
二次根式合并的是化成最简二次根式后被开方数相同的二次根式，整式合并的是同类项.
例 2
计算：
（1）
有括号先去括号.
解:（1）
（2）
去括号时注意符号.
（2）
与 被开方数不同，不能继续合并.
例 3
有一块长为 7.5 dm、宽为 5 dm 的木板，能否采用如图（1）的方式，在这块木板上截出两个面积分别是 8 dm2和 18 dm2 的正方形木板？
8 dm2
18 dm2
分析：由图（1）可以看出，只要木板的宽大于大正方形木板的边长，木板的长大于两个正方形木板的边长的和，就能截出所要求的两个正方形木板.
8 dm2
18 dm2
解：大正方形木板的边长为 dm.
因为 ，所以这块木板够宽.
两个正方形木板的边长的和为 dm，而
由 可知 ，
即两个正方形木板的边长的和小于这块木板的长，所以这块木板够长.
练 习
1. 下列计算是否正确？为什么？
（1） ；
（2） ；
解:（1）错误，因为
（2）错误，因为
5 ≠；
= ， ；
（3） ；
（3）正确.
（1） ；
2. 计算：
（2） ；
解:（1）原式 = ；
（2）原式 = ；
（3） ；
（4） .
（3）原式= ；
－=
（4）原式=
－ +
3. 如图，两个圆的圆心相同，它们的面积分别是 62.8
和 141.3. 求圆环的宽度 d（π 取 3.14）.
d = 大圆的半径－ 小圆的半径.
解：设大圆的半径为 R，小圆的半径为 r.
由圆的面积公式可得
－=
=
d = R－r ≈
课堂小结
这节课有什么收获呢？
二次根式的混合运算
人教·八年级数学下册
二次根式
19
新课导入
说一说，整式的乘法法则和乘法公式.
单项式× 单项式
单项式× 多项式
多项式× 多项式
平方差公式
完全平方公式
把它们的 系数 、 相同字母的幂 分别相乘，其余字母 连同其指数 作为积的因式
用单项式去乘多项式的 每一项 ，再把所得的积 相加
先用一个多项式的 每一项 乘另一个多项式的 每一项 ，再把所得的积 相加
(a + b)(a－b) = a2－b2
(a ± b)2 = a2±2ab + b2
探索新知
例 4
计算：
（1）
（2）
解:（1）
=
=
=
结果要化成最简二次根式或整式.
探索新知
例 4
计算：
（1）
（2）
（2）
1. 在二次根式的混合运算中，整式的乘法法则和乘法
公式是否仍然适用？
先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）
2. 你知道二次根式的混合运算顺序吗？
仍然适用
例 5
计算：
（1）
（2）
解:（1）
15
15
运用了多项式乘多项式的法则.
例 5
计算：
满足平方差公式结构特征.
（2）
=
=
=
能使用乘法公式 的尽量使用，
可简化运算.
（1）
（2）
练 习
1. 计算：
（1） ；
（2） ；
解:（1）原式 =
=
=
（2）
=
= +
=
= ；
（3） ；
（4） .
（3）
= + + 6
= ；
（4）
=
=
= .
（1） ；
2. 计算：
（2） ；
（3） ；
（4） .
解:（1）原式 =
= 2
= 7 = 9；
（2）
=
= b ；
（3）
= + 22
= + 4
= ；
（4）
= +
= + .
（1） ；
2. 计算：
（2） ；
（3） ；
（4） .
课堂小结
这节课有什么收获呢？
先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）
二次根式的混合运算顺序：
习题19.3
人教·八年级数学下册
二次根式
19
复习巩固
1. 计算：
（1）
（2）
解:（1）原式
（2）原式
（3） ；
（4） .
被开方数含字母，将被开方数分解因式，把开得尽平方的因式或因数开出来.
（3）原式
=
= = ；
（4）原式
=
=
= .
2. 计算：
（1）
（2）
解:（1）原式
（2）原式
；
（3）
（4）
（3）原式
；
（3）
（4）
（4）原式
=
=
= .
3. 计算：
（1）
（2）
解:（1）原式
=
（2）原式
=18 =－6 ；
（3） ；
（4） .
÷
（3）原式
=
= ；
（4）原式
= =
= .
4. 已知 ，求 的近似值
（结果保留小数点后两位）.
－ +
－ +
解：
－ +
－ + =
因为 ，所以
综合运用
5. 已知 ，求下列各式的值：
y =
（1）x2 + 2xy + y2 ；
（2）x2－y2 .
解：因为
y =
所以
=
=
（1）x2 + 2xy + y2 = (x + y)2 = ()2 = 12 .
（2）x2－y2 = (x + y)(x－y) =.
6. 已知边长分别为 m， m 的两个
正方形的面积分别为 S1，S2 .
（1）求 S1 + S2 的值；
解:（1）
+
+ 2 +
.
（2）用一根长为 20 m 的铁丝，能否围成这两个正方形？
（2）两个正方形的周长和为
+
+ = .
因为 < 20，所以能围成这两个正方形.
6. 已知边长分别为 m， m 的两个
正方形的面积分别为 S1，S2 .
拓广探索
7. 已知 ，求 的值.（提示：利用
a + =
a－
与 之间的关系.）
分析：
两者之间存在一定的数量关系.
=
=
拓广探索
解：因为 ，所以
a + =
=
所以 ，所以
所以 ，所以 .
=
7. 已知 ，求 的值.（提示：利用
a + =
a－
与 之间的关系.）
8. 在下列各方程后面的括号内分别给出了一组数，
从中找出方程的解：
（）－
（）
分析：将括号内的数代入方程进行计算，若方程左右两边的值相等，则这个数就是此方程的解.
8. 在下列各方程后面的括号内分别给出了一组数，
从中找出方程的解：
（）－
（）
解：运用代入法检验得到：
（）－
（）

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