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章末复习
人教·八年级数学下册
二次根式
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知识结构图
知识回顾
1. 二次根式的定义：
一般地，我们把形如 的式子叫作二次根式.
(a ≥ 0)
= a (a ≥ 0)
= a (a ≥ 0)
= －a (a ＜ 0)
2. 二次根式的性质：
3. 二次根式的乘法法则：
乘法法则：
拓展法则：
乘法法则的逆用：
公式推广：
4. 二次根式的除法法则：
二次根式的除法法则：
二次根式的除法法则的逆用：
5. 最简二次根式：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数中不含能开得尽平方的因数或因式.
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫作最简二次根式.
6. 二次根式的加减法则：
一般地，二次根式加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并.
7. 二次根式的混合运算顺序：
先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）
复习巩固
1. 当 x 满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义？
解：（1）由二次根式的意义可知 3 + x ≥ 0，所以 x ≥ －3，
所以当 x ≥ －3时， 在实数范围内有意义；
（2）由二次根式的意义及分母不为零可知 2x－1 > 0，
所以 x > ，所以当 x > 时， 在实数范围内有意义；
（3）由二次根式的意义及分母不为零可知 2－3x > 0，
所以 x < ，所以当 x < 时， 在实数范围内有意义；
（4）由二次根式的意义及分母不为零可知 x－1 ≠ 0，
所以 x ≠ 1，所以当 x ≠ 1 时， 在实数范围内有意义.
2. 化简：
（1）
（2）
（3）
解:（1）原式
=
（2）原式
=
（3）原式
（4）
（5）
（6）
（4）原式
（5）原式
（6）原式
3. 计算：
（1）
（2）
；
解:（1）原式
=
（2）原式
=
= = =
（3）
；
（4）
（3）原式
= ；
（4）原式
= ；
（5）
；
（6）
（5）原式
=
= ；
=
（6）原式
= + = 5－ .
4. 正方形的边长为 a，它的面积与一个长为 96、宽为 12 的
长方形的面积相等. 求 a.
解：由题意可知 a2 = 96×12.
等量关系：正方形面积 = 长方形面积.
所以
综合运用
5. 已知 x = ，求代数式 x2 + 5x – 6 的值.
解: 因为 x = ，且 x2 + 5x－6 = (x－1)(x + 6)，
所以原式 = (x－1)(x + 6) =
10 = .
6. 已知 ，求代数式 的值.
解: 因为 x = ，代入代数式，得
=
=
=
= .
7. 一列按如下顺序排列的数：
1，1，2，3，5，8，13，21，…，
从第 3 个数开始，后一个数是其前两个数的和，这列数称为斐波那契数列. 斐波那契数列的第 n 个数可以表示为
请你用这个式子验算斐波那契数列的第 1 个数和第 2 个数是否都是 1.
=
解: 当 n = 1 时，
当 n = 2 时，
=
=
= = 1 .
8. 电流通过导线时会产生热量，电流 I（单位：A）、导线电阻 R（单位：Ω）、通电时间 t（单位：s）与产生的热量 Q（单位：J）
满足 Q = I Rt. 已知导线的电阻为 5 Ω，1 s 时间导线产生 30 J 的
热量，求电流 I 的值（结果保留小数点后两位）.
解：由 Q = I2Rt 得 ，
=
当 R = 5 Ω，t = 1 s，Q = 30 J 时，
=
即电流 I 的值约为 2.45 A.
拓广探索
9. 已知 n 是正整数， 是整数，求 n 的最小值.
分析：将 化为 ，由此易得 n 的最小值为 21.
n 是正整数，所以 n 的最小值为 21.
解：因为 ，
且 是整数，
10.（1）把一个圆的面积四等分.你能想出几种分割方法？
（2）如图，以点 O 为圆心的三个同心圆把以 OA 为半径的
大圆 O 的面积四等分. 若 OA = r，求这三个圆的半径
OB，OC，OD 的长.
分析：（1）可以将圆分成面积等大的扇形，也可以将圆分成面积等大的小圆与圆环.
（2）分别计算出以 OD，OC，OB
为半径的圆的面积，再根据圆的面积
公式求出对应的半径.
解:（1）用互相垂直的两条直径分割圆，即可把一个圆的面积四等分.
（2）由题意可知：
· OD2 = πr2，①
πr2，②
= πr2 .③
由①得 OD = r，
把 OD = r 代入②中，得 OC = r，
把 OC = r 代入③中，得 OB = r，
所以 OB = r ， OC = r， OD = r .
11. 判断下列各式是否成立：
如果成立，你能看出其中的规律吗？用字母表示这一规律，并给出证明.
解：上述式子均成立.用字母表示规律为：
证明

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