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二次根式的概念
人教·八年级数学下册
二次根式
19
情境导入
　　广播电视塔越高，从塔顶发射的电磁波传播得越远，从而能收听收看到广播电视节目的区域越广. 那么，广播电视塔高 h（单位：km）增加到一定的倍数，广播电视节目信号的传播半径 r（单位：km）是否也会增加到相应的倍数呢？
实际上，广播电视塔高 h 与广播电视节目信号的
传播半径 r 之间存在近似关系 r = ，其中 R 是地球半径，R ≈ 6 400 km．如果两个广播电视塔的高分别是 h1 km、h2 km，那么它们的传播半径之比是 .
与以往学过的整式和分式不同，这个式子中含有根号，如何化简这个式子呢？
情境导入
探索新知
（2）一个大正方形的面积是一个边长为 a 的正方形与另一个边长为 1 的正方形的面积之和，则大正方形的边长为_______.
用带根号的式子填空，看一看写出的结果有什么共同特征:
思 考
（1）一个长方形围栏，长是宽的 2 倍，面积为 130 m2，则它的宽为______m．
（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下时离地面的高度 h（单位：m）满足关系 h = 5t2. 如果用含有 h 的式子表示 t ，则 t 为______．
h＝5t2
t2 =
t =
（1）这些式子分别表示什么意义？
（2）这些式子有什么共同特征？
上面的问题结果分别是： ， ， ．
分别表示 65，a2 + 1， 的算术平方根．
①根指数都为 2；
②被开方数为非负数.
一般地，我们把形如 的式子叫作二次根式. “ ”称为二次根号.
(a ≥ 0)
注意：a 可以是数，也可以是式.
两个必备特征
①外貌特征：含有“ ”
②内在特征：被开方数 a ≥ 0
（4） ； （5） .
下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
练一练
（1） ； （2）81； （3） ；
(x ≤ 0)
二次根式
是否含二次根号
被开方数是不是非负数
√
×
×
√
×
例 1
当 x 满足什么条件时， 在实数范围内有意义？
解：由 x－2 ≥ 0，得
x ≥ 2.
当 x ≥ 2 时， 在实数范围内有意义.
思 考
当 x 满足什么条件时， 在实数范围内有意义？
因为 x ≥ 0，所以 x 可以为任意实数.
要使 x ≥ 0，必须 x ≥ 0 .
呢？
练 习
1. 要画一个面积为 18 cm2 的长方形，使它的长与宽
之比为 3 ∶ 2，它的长、宽各应取多少？
解：设长为 3x，宽为 2x。
3x × 2x = 18
6x2 = 18
x =
所以 3x = ，2x = 。
3
2
2. 当 a 满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义？
（1） ；（2） ；（3） .
解：（1）因为 a－1 ≥ 0，所以 a ≥ 1.
（2）因为 5－a ≥ 0，所以 a ≤ 5.
（3）因为 2a + 1 ≥ 0，所以 a ≥ .
－
3. 当 a = 5 时， 的值是______.
课堂小结
这节课有什么收获呢？
一般地，我们把形如 的式子叫作二次根式.
(a ≥ 0)
二次根式的性质
人教·八年级数学下册
二次根式
19
探索新知
当 a＞0 时， 表示 a 的算术平方根，因此 > 0.
当 a = 0 时， 表示 0 的算术平方根，因此 = 0.
探 究
根据算术平方根的意义填空：
=____；
=_____；
=____；
=____.
3
0.5
0
= a (a ≥ 0)
注意：不要忽略 a ≥ 0 这一限制条件. 这是使二次根式 有意义的前提条件.
例 2 计算：
（1） ；
（2） .
解：（1）
= 1.5；
（2）
= 22× 5 = 20.
(2)用到了幂的哪条基本性质呢？
积的乘方：(ab)2 = a2b2
探 究
填空：
=____；
=_____；
=____；
=____.
2
0.1
0
= a (a ≥ 0)
当 a 为任意实数时， 都有意义. 如果上式中的 a 为负实数，那么上式还成立吗？为什么？
=
=
=
= －a (a ＜ 0)
例 3 化简：
（1） ；
（2） .
解：（1）
= = 4；
（2）
= = 5 .
如何区别 与 ？
从运算顺序看
从取值范围看
从运算结果看
意义
先开方，后平方
先平方，后开方
a ≥ 0
a 取任何实数
a
| a |
表示一个非负数 a 的算术平方根的平方
表示一个实数 a 的平方的算术平方根
练 习
1. 计算：
（1） ；
（2） .
解：（1）
= 3；
（2）
= 32× 3×2 = 6.
2. 化简：
（1） ；
（2） ；
解：（1）
= 0.3；
（2） ；
（3） ；
（4） .
（3） ；
= －
（4） .
=
课堂小结
这节课有什么收获呢？
= a (a ≥ 0)
= a (a ≥ 0)
= －a (a ＜ 0)
二次根式性质
习题19.1
人教·八年级数学下册
二次根式
19
复习巩固
1. 当 a 满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义？
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
解：（1）a + 2 ≥ 0，a ≥ －2.
（2）3－a ≥ 0，a ≤ 3.
（3）5a2 ≥ 0，a 为全体实数.
（4）2a + 1 ≥ 0，a ≥ .
－
2. 计算：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
解：（1）
= 5；
（2） ；
= 0.2
（3） .
（6） ；
（4） ；
（5） ；
（4） ；
= 52× 5 = 125
（5） ；
= 72 ×
（6） = 10 ；
（7） ；
（8） .
－
（7） ；
（8） .
－= －
3. 用代数式表示：
（1）面积为 S 的圆的半径；
（2）面积为 S 且两条邻边的比为 1 ∶ 2 的长方形的两邻边长.
解：（1）
r2，r =
（2）设宽为 x，长为 2x；
2x · x = S
2x2 = S
x =
2x =
4. 利用 ，把下列非负数分别
写成一个非负数的平方的形式：
a = (a ≥ 0)
（1）5；（2）2.5；（3） ；（4）0.
解：（1）
5 = ()
（2）
2.5 = ()
（3）
=
（4）
0 = ()
综合运用
5. 已知一个大圆的面积是两个小圆的面积之和. 如果大圆
的半径为 r，两个小圆的半径分别为 2 和 3，求 r 的值.
解：π×22 + π×32 = πr2，所以 r2 = 13，
所以 r =
6. △ABC 的面积为 12，AB 边上的高是 AB 边长的 4 倍.
求 AB 的长.
A
B
C
解：设 AB 的长为 x，
则 AB 边上的高为 4x，
则 x · 4x = 12，
即 x = （负值舍去），
所以 AB 的长为 .
7. 当 x 满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义？
（1） ；
（2） ；
解：（1）因为 x2 + 1 > 0，
所以 x 为任意实数， 在实数范围内都有意义；
（2）因为 (x－1)2 ≥ 0，
所以 x 为任意实数， 在实数范围内都有意义；
（3） ；
（4） .
（3）由 ≥ 0 得，x > 0，
所以当 x > 0时， 在实数范围内有意义；
（4）由 x + 1 > 0 得，x > －1，
所以当 x > －1 时， 在实数范围内有意义.
8. 小球从离地面为 h（单位：m）的高处自由下落，落到地面所用的时间为 t（单位：s）.经过实验，发现 h 与 t2 成正比例关系，而且当 h = 20 时，t = 2. 试用含 h 的代数式表示 t，并分别求当 h = 10 和 h = 25 时，小球落地所用的时间.
解：因为 h 与 t2 成正比例关系，所以设 h = kt2（k ≠ 0）.
因为当 h = 20 时，t = 2，即 20 = k×22，所以 k = 5.
所以 h = 5t2，则 t = （负值舍去）.
当 h = 10 时，t = = ；当 h = 25 时，t = = .
所以当 h = 10 和 25 时，小球落地所用的时间分别为 s， s.
拓广探索
9.（1）已知 是整数，求自然数 n 所有可能的值；
（2）已知 是整数，求正整数 n 的最小值.
解：（1）由二次根式的意义可知 18－n ≥ 0，所以 n ≤ 18.
因为 n 是自然数，所以 0 ≤ n ≤ 18. 又 是整数，
= = =
= = =
= = =
拓广探索
9.（1）已知 是整数，求自然数 n 所有可能的值；
（2）已知 是整数，求正整数 n 的最小值.
= = =
= = = 0
综上所述，自然数 n 所有可能的值是 2，9，14，17，18.
拓广探索
9.（1）已知 是整数，求自然数 n 所有可能的值；
（2）已知 是整数，求正整数 n 的最小值.
（2）因为 是整数，且 n 是正整数，易知 n = 1，2，3，4，5 均不符合题意，而当 n = 6 时， = = = 12，
所以正整数 n 的最小值是 6.
10. 一个圆柱的高为 10，体积为 V. 求它的底面半径（r 用含
V 的代数式表示），并分别求当 V = 10π 和 20π 时，底面
半径 r 的大小.
解：由圆柱体积公式 V = πr2h 知 r = (负值舍去)，即 r = .
当 =
当 =

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