资源简介

(共43张PPT)
验证勾股定理
人教·八年级数学下册
勾股定理
20
新课导入
对于直角三角形的三条边，它们之间有什么特殊关系呢？
直角三角形作为一种特殊的三角形，它的三个角满足其中一个角是直角、其余两个角互余.
A
B
C
a
b
c
探索新知
在《周髀算经》的开篇，商高（约公元前 11 世纪）构造了一个勾、股、弦分别为三、四、五的直角三角形，并指出“两矩共长二十有五”，意指分别以勾、股为边的正方形的面积之和，恰好等于以弦为边的正方形的面积.
商高所指的面积关系可以用图形表示. 如图，红色直角三角形的三边长分别为 3，4，5，分别以这
三边为边向外作正方形.
3
4
5
所得正方形的面积分别为
____，____，____.
9
16
25
面积之间的数量关系是:
9 + 16 = 25
这个直角三角形的三边满足：
两条直角边长的平方和等于斜边长的平方.
其他直角三角形的三边是否也满足上述数量关系？
如图，每个小方格的面积均为 1，图中正方形 A1，B1，C1 的面积之间有什么关系？A2，B2，C2 呢？A3，B3，C3 呢？
C1，C2，C3 的面积你会求吗？
以直角三角形斜边为边的正方形的面积，等于某个正方形的面积减去 4 个直角三角形的面积.
转化思想（补形法）
以格点为顶点，在方格纸中任意画一个直角三角形，类似地作出三个正方形，这三个正方形的面积有什么关系？由此，你能得出关于直角三角形三边关系的猜想吗？
可以发现，以直角三角形两条直角边为边的正方形的面积之和，等于以斜边为边的正方形的面积. 由此我们猜想：
如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，
那么 a2 + b2 = c2 .
B
A
C
b
a
c
证明这个猜想的方法有很多，下面介绍我国古代数学家赵爽（约3世纪）的证法.
a
b
c
黄实
朱实
朱实
朱实
这个图案是赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．
赵爽根据此图指出，四个全等的直角三角形（红色）可以围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形（黄色）.
赵爽拼图证明法
a
b
c
b
a
b
c
a2 + b2
左边：
c2
右边：
a2 + b2 = c2
a
证法 1:
赵爽拼图证明法
a
b
c
b－a
证法 2:
= c2，
= (b－a)2，
= 4S三角形 + S小正方形，
c2 = 4×ab + (b－a)2 = a2 + b2.
这样就证明了前面的猜想. 它表明了直角三角形三边之间的关系，我国把它称为勾股定理.
赵爽通过对图形的分割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，这种方法是我国古代数学家常用的“出入相补法”.“赵爽弦图”体现了我国古人的聪明才智和对数学的钻研精神，是我国古代数学的骄傲.
2002年在北京召开的国际数学家大会的会标，就是以此图为原型设计的.
例 1
如图，根据所给条件分别求两个直角三角形中未知边的长.
A
C
B
8
6
①
解：在Rt△ABC 中，根据勾股定理，
AB2 = AC2 + BC2 = 82 + 62 = 100，
所以 AB = 10.
已知两直角边长，求斜边长.
例 1
如图，根据所给条件分别求两个直角三角形中未知边的长.
17
15
D
E
F
②
已知斜边长与一直角边长，求另一直角边长.
在 Rt△DEF 中，根据勾股定理，DE2 + EF2 = DF2，
从而 DE2 = DF2－EF2
= 172－152 = 64，
所以 DE = 8.
练 习
1. 设直角三角形的两条直角边长分别为 a 和 b，斜边长为 c.
（1）已知 a = 6，c = 10，求 b；
（2）已知 a = 5，b = 12，求 c；
（3）已知 b = 15，c = 25，求 a.
c2 = a2 + b2
变式 1: a2 = c2－b2
变式 2: b2 = c2－a2
解: 由勾股定理:（1）
=；
=；
=.
2. 如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形
都是正方形. 已知正方形 A，B，C，D 的边长分别
是 12，16，9，12，求最大正方形 E 的面积.
=
=
=
解：根据图形，
最大正方形 E 的面积为122 + 162 + 92 + 122 = 625.
3. 如图，在平面直角坐标系中有两点 A（5，0）和
B（0，4）. 求这两点间的距离.
解：由图可知，A，B 两点间的距离为
=
课堂小结
这节课有什么收获呢？
如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，
那么 a2 + b2 = c2 .
B
A
C
b
a
c
勾股定理
变式 1: a2 = c2－b2
变式 2: b2 = c2－a2
勾股定理的应用
人教·八年级数学下册
勾股定理
20
这节课我们就来学习用勾股定理解决实际问题.
新课导入
波平如镜一湖面，3 尺高处出红莲.
亭亭多姿湖中立，突遭狂风吹一边.
离开原处 6 尺远，花贴湖面像睡莲.
请君动脑想一想，湖水在此深几尺？
探索新知
一个门框的尺寸如图所示，一块长 3 m，宽 2.2 m 的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？
例 2
分析：可以看出，木板横着或竖着都不能从门框内通过，只能试试斜着能否通过. 门框对角线 AC 的长度是木板斜着能通过的最大长度. 求出 AC，
再与木板的宽比较，就能知道木板能否通过.
木板厚度可忽略.
2.2 > 2
解：连接 AC，在 Rt△ABC 中，根据勾股定理，
因为 AC 大于木板的宽 2.2 m，所以木板能从门框内通过.
一个门框的尺寸如图所示，一块长 3 m，宽 2.2 m 的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？
例 2
探索新知
如图，一架长为 2.5 m 的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点 A 处，底端位于地面的点 B 处，点 B 到墙面的距离 BO 为 0.7 m. 如果将梯子底端沿 OB 向外移动 0.8 m，那么梯子顶端也沿墙 AO 下滑 0.8 m 吗？
例 3
AB = CD = 2.5 m
OB = 0.7 m
BD = 0.8 m
△AOB 和△COD 均为直角三角形，
两次运用勾股定理，即可求出 AC 的长.
解：当梯子底端沿 OB 向外移动 0.8 m 时，设梯子的底端由点 B 移动到点 D，顶端由点 A 下滑到点 C. 可以看出，AC = OA－OC.
在 Rt△AOB 中，根据勾股定理，
OA2 = AB2－OB2 = 2.52－0.72 = 5.76，
OA = 2.4.
在 Rt△COD 中，根据勾股定理，
OC2 = CD2－OD2 = 2.52－(0.7 + 0.8)2 = 4，
OC = 2.
所以，AC = OA－OC = 2.4－2 = 0.4.
因此，当梯子底端向外移动 0.8 m 时，梯子顶端并不是下滑 0.8 m，
而是下滑 0.4 m.
利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
实际问题
数学问题
勾股定理
直角三角形
转化
建构
利用
解决
将实际问题转化为数学问题，建立几何模型，画出图形，分析已知量、待定量，这是利用勾股定理解决实际问题的一般思路.
练 习
1. 如图，A，B 是池塘边上的两点，点 C 是与 BA 方向成直角
的方向上一点，测得 BC = 60 m，AC = 20 m. 求 A，B 两点
间的距离（结果取整数）.
解
2. 如图，用激光测距仪测量一栋楼的高度. 位于地面上
点 A 处的激光测距仪先将激光射向楼底端的点 B，
仪器显示 AB = 23.1 m；再将激光射向楼顶端的点 C，
仪器显示 AC = 31.9 m；最后仪器自动显示出楼高
BC = 22 m. 你能说出其中的数学道理吗？
解：根据勾股定理，
3. 电视机的屏幕尺寸是指其屏幕对角线的长度，通常以
英寸（1 英寸= 2.54 cm）为单位. 王芳测得自家电视机
的屏幕宽为 71 cm，高为 40 cm，这台电视机的屏幕尺
寸是多少英寸（结果取整数）？
解：根据题意知，屏幕对角线的长度为
答：这台电视机的屏幕尺寸是 32 英寸.
，
课堂小结
这节课有什么收获呢？
勾股定理的应用
两点间距离问题
梯子问题
利用勾股定理作图、计算
人教·八年级数学下册
勾股定理
20
探索新知
在八年级上册中，我们曾经通过探究得出结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等. 学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？
A
C
B
A′
C′
B′
已知：如图，在 Rt△ABC 和 Rt△A'B’C′ 中，∠C = ∠C' = 90°，AB = A'B'，AC = A'C' .
求证：△ABC ≌ △A'B'C' .
证明：在 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C' 中，∠C = ∠C' = 90°，根据勾股定理，
.
又 AB = A'B'，AC = A'C'，
∴ BC = B'C' .
∴△ABC ≌ △A'B'C'（SSS）
A
C
B
A′
C′
B′
你能在数轴上表示出 的点吗？
我们知道，长为 的线段是两条直角边的长都为 1 的直角三角形的斜边.
O
1
2
3
4
1
1
=
1
用同样的方法作 ， ， .
O
1
2
3
4
1
=
=
=
长为 的线段能是直角边的长都为正整数的直角三角形的斜边吗？
1
2
3
=
=
=
作长为 （n 是大于 1 的整数）的线段，关键是找到正整数 a，b，使 a2 + b2 = n.
你能在数轴上画出表示 的点吗？
O
1
2
3
4
1. 在数轴上找出表示 3 的点 A，
则 OA = 3.
2. 过点 A 作直线 l 垂直于 OA，
在 l 上取点 B，使 AB = 2.
3. 以原点 O 为圆心，OB 长为半径
作弧，弧与数轴正半轴的交点 C
即为表示 的点.
利用勾股定理表示无理数的方法:
（1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边
是两个正整数的直角三角形的斜边.
（2）以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧
与数轴存在交点，在原点左边的点表示是负
无理数，在原点右边的点表示是正无理数.
练 习
1. 在数轴上画出表示 的点.
O
1
2
3
4
5
解：如图，O 为数轴原点，首先在数轴上找出表示 4 的点 A，则 OA = 4. 然后过点 A 作直线 l 垂直于 OA，在 l 上取点 B，
使 AB = 1. 最后以原点 O 为圆心，OB 长为半径作弧，弧与
数轴正半轴的交点 C 即为表示 的点.
2. 如图，等边三角形 ABC 的边长为 6，求：
（1）高 AD 的长；
（2）等边三角形 ABC 的面积.
解：（1）由题意知 BD = CD = 3.
在 Rt△ABD 中，由勾股定理，
AD2 = AB2－BD2 = 62－32 = 27，
（2）等边三角形 ABC 的面积
.
故 AD = .
3. 如图，AD 是△ABC 的边 BC 上的高. 分别以线段 AB，AC，
BD，CD 为边向外作正方形，正方形的面积分别为 S1，S2，
S3，S4. 请写出关于 S1，S2，S3，S4 的等式.
解：在 Rt△ABD 和 Rt△ACD 中，
由勾股定理，AD2 = AB2－BD2 = AC2－CD2.
∵S1 = AB2，S2 = AC2，S3 = BD2，S4 = CD2，
∴S1－S3 = S2－S4 .
课堂小结
这节课有什么收获呢？
利用勾股定理证明“HL”
利用勾股定理在数轴上确定无理数的点

展开更多......

收起↑