资源简介

(共36张PPT)
勾股定理的逆定理
人教·八年级数学下册
勾股定理
20
新课导入
前面我们学习了勾股定理，同学们能说出它的题设和结论吗？
如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，
那么 a2 + b2 = c2 .
题设
结论
如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2 + b2 = c2 .
那么这么三角形是直角三角形.
题设和结论交换，还成立吗？
题设
结论
探索新知
据说，古埃及人曾用如图所示的方法画直角.
把一根长绳打上等距离的 13 个结，然后以 3 个结间距、4 个结间距、5 个结间距的长度为边长，用木桩将长绳钉成一个三角形，其中一个角便是直角.
这种做法真能得到一个直角三角形吗？
这个三角形三边有什么关系吗？
4
3
5
32 + 42 = 52
这个三角形是直角三角形.
满足两条边长的平方和等于第三条边长的平方的三角形都是直角三角形吗？
画一画，如果三角形的三边长分别为 2.5 cm，6 cm，6.5 cm，它们满足关系“2.52 + 62 = 6.52”，画出的三角形是直角三角形吗？换成三边长分别为 4 cm，7.5 cm，8.5 cm，再试一试.
2.5
6
6.5
4
7.5
8.5
如果三角形的三边长 a，b，c 满足a2 + b2 = c2，
那么这个三角形是直角三角形.
猜想
42 + 7.52 = 8.52
已知 △ABC 的三边长分别为 a，b，c，满足 a2 + b2 = c2 .
求证 △ABC 是直角三角形.
证明：作一个 Rt△A'B'C' ，使 B'C' = a，A'C’ = b，∠C' = 90°．
根据勾股定理，A'B' 2 = B'C' 2 + A'C' 2 = a2 + b2 .
因为 a2 + b2 = c2，所以 A'B' = c.
所以△ABC ≌ △A'B'C'（SSS）.
因此∠C = ∠C' = 90°，即△ABC 是直角三角形.
在△ABC 和△A'B'C'中，
BC = a = B'C' ，
AC = b = A'C' ，
AB = c = A'B' ，
A
C
B
b
a
c
A′
C′
B′
b
a
勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长 a，b，c 满足a2 + b2 = c2，
那么这个三角形是直角三角形.
A
C
B
b
a
c
它是判定直角三角形的一个依据.
勾股定理的逆定理与勾股定理的关系：
勾股定理 勾股定理的逆定理
条件
结论
关系 在 Rt△ABC 中，∠A，∠B，∠C 的
对边长分别为 a，b，c，∠C = 90°
在△ABC 中，∠A，∠B，∠C 的对边长分别为a，b，c，且 a2 + b2 = c2
a2 + b2 = c2
△ABC 为直角三角形，且 ∠C = 90°
A
C
B
b
a
c
a2 + b2 = c2
勾股定理
勾股定理的逆定理
判断由线段 a，b，c 组成的三角形是不是直角三角形：
例 1
（1）a = 8，b = 15，c = 17；
（2）a = 14，b = 13，c = 15.
分析：根据勾股定理及其逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要判断两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.
判断由线段 a，b，c 组成的三角形是不是直角三角形：
例 1
（1）a = 8，b = 15，c = 17；
（2）a = 14，b = 13，c = 15.
解:（1）因为 82 + 152 = 64 + 225 = 289，
172 = 289，
所以 82 + 152 = 172 .
根据勾股定理的逆定理，由线段 a，b，c 组成的三角形是直角三角形.
像 8，15，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.
判断由线段 a，b，c 组成的三角形是不是直角三角形：
例 1
（1）a = 8，b = 15，c = 17；
（2）a = 14，b = 13，c = 15.
（2）因为 142 + 132 = 196 + 169 = 365，
152 = 225，
所以 142 + 132 ≠ 152.
根据勾股定理，由线段 ɑ，b，c 组成的三角形不是直角三角形.
利用勾股定理的逆定理判定直角三角形的步骤：
① 找：找三角形的最长边；
② 算：计算最长边的平方与另两边的平方和；
③ 判：若两者相等，则是直角三角形，否则不是.
练 习
1. 判断由线段 a，b，c 组成的三角形是不是直角三角形：
（1）a = 4，b = 5，c = 6；
（2）a = 2.5，b = 0.7，c = 2.4；
解:（1）∵a2 + b2 = 42 + 52 = 16 + 25 = 41，c2 = 62 = 36，
∴a2 + b2 ≠ c2，∴这个三角形不是直角三角形.
（2）∵c2 + b2 = 2.42 + 0.72 = 5.76 + 0.49 = 6.25，a2 = 2.52 = 6.25，
∴c2 + b2 = a2，∴这个三角形是直角三角形.
（3）a = ，b = ，c = ；
（4）a = 1 ，b = ，c =
∴a2 + b2 ≠ c2，∴这个三角形不是直角三角形.
∴a2 + b2 = c2，∴这个三角形是直角三角形.
2. 如图，以 △ABC 的三边为直径，分别作三个半圆，
三个半圆的面积分别为 S1，S2，S3. 若 S1 + S2 = S3，
判断△ABC 是不是直角三角形，并说明理由.
解：△ABC 是直角三角形.理由如下：
∵ S1 + S2 = S3，
∴AB2 + BC2 = AC2. ∴△ABC 是直角三角形.
课堂小结
这节课有什么收获呢？
勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长 a，b，c 满足a2 + b2 = c2，
那么这个三角形是直角三角形.
勾股定理的逆定理的应用
人教·八年级数学下册
勾股定理
20
新课导入
在军事和航海上经常要确定方向和位置，从而常需要使用一些数学知识和方法，其中勾股定理的逆定理经常会被用到，这节课让我们一起来学习吧！
探索新知
如图，港口 P 位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行 16 n mile，“海天”号每小时航行 12 n mile.
它们离开港口 1.5 h 后分别位于点 Q，R 处，且相距 30 n mile. 如果“远航”号沿东北方向航行，那么“海天”号沿什么方向航行？
例 2
路程 = 速度×时间
远航号
海天号
16×1.5
12×1.5
30
45°
由于“远航”号的航向已知，如果能求出两艘轮船的航向所成的角，就能知道“海天”号的航向了.
远航号
海天号
16×1.5
12×1.5
30
45°
解：根据题意，
PQ = 16 × 1.5 = 24，
PR = 12×1.5 = 18，
QR = 30.
因为 242 + 182 = 302，即 PQ2 + PR2 = QR2，
所以∠QPR = 90°.
由“远航”号沿东北方向航行可知，∠1 = 45°. 因此 ∠2 = 45°，即“海天”号沿西北方向航行.
如图，在四边形 ABCD 中，AB = 5，BC = 3，AD = ，DC = . 如果 AC ⊥ BC，判断 AC 与 AD 是否也垂直，并说明理由.
例 3
分析：若能求出 AC 的长，就可以根据勾股定理或其逆定理判断△ACD 是不是直角三角形，从而判断 AC 是否垂直于 AD.
5
3
解：因为 AC ⊥ BC，所以 ∠ACB = 90°.
5
3
在Rt△ABC 中，根据勾股定理，
AC2 = AB2－BC2 = 52－32 = 16.
所以 AC = 4.
在△ACD 中，
AC2 + AD2 =42 + ，
CD2 =，
所以 AC2 + AD2 = CD2.
因此△ACD 是直角三角形，即 AC ⊥ AD.
应用勾股定理
应用勾股定理的逆定理
练 习
1. A，B，C 三地的两两距离如图所示，A 地在 B 地的正东方向，
C 地在 B 地的什么方向？
解：由图知：在△ABC 中，AB = 12 km，BC = 5 km，AC = 13 km.
∵AB2 + BC2 = 122 + 52 = 144 + 25 = 169，AC2 = 132 = 169，
∴AB2 + BC2 = AC2，
由勾股定理的逆定理得△ABC 为直角三角形，且 ∠B = 90°.
∵A 地在 B 地的正东方向，
∴C 地在 B 地的正北方向.
2. 高师傅有 5 根长度（单位：dm）分别为 a = 6，b = 8，c = 10，
d = 24，e = 26 的钢条，准备选 3 根焊接一个直角三角形钢架.
请你帮高师傅找出所有可能的钢条组合.
用勾股定理的逆定理判定是否为直角三角形.
解：a2 = 36，b2 = 64，c2 = 100，d2 = 576，e2 = 676，
∴a2 + b2 = c2，c2 + d2 = e2，
∴所有可能的钢条组合有 2 种，长度（单位：dm）分别为 6，8，10 和10，24，26.
3. 如图，在四边形 ABCD 中，AB = 3，BC = 4，CD = 12，
AD = 13，∠B = 90°. 求四边形 ABCD 的面积.
面积转化：S四边形ABCD = S△ABC + S△ACD
解：∵AB = 3，BC = 4，∠B = 90°，
∴由勾股定理，AC2 = AB2 + BC2，
∴AC= = 5.
又 CD = 12，AD = 13，
∴AC2 + CD2 = AD2，
∴△ACD 为直角三角形，且∠ACD = 90°，
∴S四边形ABCD = S△ABC + S△ACD = AB·BC + AC·CD
= ×3×4 + ×5×12 = 36.
2. 如图，以 △ABC 的三边为直径，分别作三个半圆，
三个半圆的面积分别为 S1，S2，S3. 若 S1 + S2 = S3，
判断△ABC 是不是直角三角形，并说明理由.
解：△ABC 是直角三角形.理由如下：
∵ S1 + S2 = S3，
∴AB2 + BC2 = AC2. ∴△ABC 是直角三角形.
课堂小结
这节课有什么收获呢？
勾股定理的逆定理的应用：
1. 航海问题
2. 与勾股定理结合解决不规则图形等问题
习题20.2
人教·八年级数学下册
勾股定理
20
复习巩固
1. 判断由线段 a，b，c 组成的三角形是不是直角三角形：
（1）a = 9，b = 40，c = 41；
解:（1）∵ a2 + b2 = 92 + 402 = 81 + 1600 = 1681，
c2 = 412 = 1681，
∴a2 + b2 = c2 . ∴这个三角形是直角三角形.
（2）∵b2 + c2 = 42 + 52 = 16 + 25 = 41，a2 == 41，
∴b2 + c2 = a2 . ∴这个三角形是直角三角形.
（2）a = ，b = 4，c = 5；
（3）a = ，b = 1，c = ；
（4）a = 40，b = 50，c = 60 .
（3）∵b2 + c2 = 12 + = 1 + = ，a2 == ，
∴b2 + c2 = a2 . ∴这个三角形是直角三角形.
（4）∵a2 + b2 = 402 + 502 = 1600 + 2500 = 4100，
c2 = 602 = 3600，
∴a2 + b2 ≠ c2，∴这个三角形不是直角三角形.
2. 已知三条线段的长分别为 6，10，x，以这三条线段为边，
恰好可以构成一个直角三角形，求 x.
解：分两种情况讨论：
①当 x 为直角边时，62 + x2 = 102，∴ x = 8.
②当 x 为斜边时，62 + 102 = x2，∴ x = .
∴ x 为 8 或 .
3. 刘伟先向东走了 80 m，然后换了一个方向走了 60 m，
再换第三个方向走了 100 m，此时恰好回到原地 .
刘伟向哪个方向走了 60 m？请说明理由.
三段路程对应的线段构成三角形.
解：刘伟向北或南走了 60 m. 理由如下：
刘伟的行走路线恰好构成三角形.
∵602 + 802 = 3600 + 6400 = 10000 = 1002 ，
∴ 这个三角形是直角三角形.
∵ 刘伟先向东走了 80 m，∴刘伟向北或南走了 60 m.
综合运用
4. 在△ABC 中，AB = 13，BC = 10，BC 边上的中线 AD = 12.
求 AC 的长.
A
B
C
D
12
13
10
BC = BC = 5
解：在△ABD 中，BD = CD = BC = ×10 = 5，
AD = 12，AB = 13.
∵BD2 + AD2 = 52 + 122 = 25 + 144 = 169，AB2 = 132 = 169，
∴BD2 + AD2 = AB2，∴△ABD 是直角三角形，且∠ADB = 90°.
在△ADC 中，∠ADC = 180°－∠ADB = 90°，
由勾股定理，AC2 = AD2 + CD2 =122 + 52 = 132，∴AC = 13.
5. 如图，在正方形 ABCD 中，E 是 BC 的中点，F 是 CD 上一点，
且 CF = CD . 求证 ∠AEF = 90°.
即证△AEF 是直角三角形.
证明: 设 CF = x，易知 DF = 3x，CD = BC = AD = AB = 4x.
∵E是 BC 的中点，∴BE = CE = AB = 2x .
由勾股定理，得 EF2 = CE2 + CF2 = 5x2 ，
AE2 = AB2 + BE2 = 20x2，AF2 = AD2 + DF2 = 25x2，
∴EF2 + AE2 = 25x2 = AF2 .
∴△AEF 是直角三角形，∴∠AEF = 90°.
拓广探索
6. 我们知道 3，4，5 是一组勾股数，那么 3k，4k，5k（k 是正整数）
也是一组勾股数吗？一般地，如果 ɑ，b，c 是一组勾股数，那么
ak，bk，ck（k 是正整数）也是一组勾股数吗？
解：∵(3k)2 + (4k)2 = 9k2 + 16k2 = 25k2，(5k)2 = 25k2，
∴ (3k)2 + (4k)2 = (5k)2 .
又 3k，4k，5k 都是正整数，∴3k，4k，5k 也是一组勾股数.
如果 a，b，c 是一组勾股数，那么 ak，bk，ck 也是一组勾股数.
∵a，b，c 是勾股数，∴a2 + b2 = c2 ，
∴(ak)2 + (bk)2 = a2k2 + b2k2 = (a2 + b2)k2 = c2k2 = (ck)2 ，
故 (ak)2 + (bk)2 = (ck)2 .
又 ak，bk，ck 都是正整数，∴ak，bk，ck 也是一组勾股数.
拓广探索
6. 我们知道 3，4，5 是一组勾股数，那么 3k，4k，5k（k 是正整数）
也是一组勾股数吗？一般地，如果 ɑ，b，c 是一组勾股数，那么
ak，bk，ck（k 是正整数）也是一组勾股数吗？

展开更多......

收起↑