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章末复习
人教·八年级数学下册
勾股定理
20
知识结构图
勾股定理
勾股定理的逆定理
直角三角形边长的数量关系
直角三角形的判定
互逆定理
知识回顾
1. 勾股定理：
如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，
那么 a2 + b2 = c2 .
B
A
C
b
a
c
变式 1: a2 = c2－b2
变式 2: b2 = c2－a2
2. 勾股定理的应用：
实际问题
数学问题
勾股定理
直角三角形
转化
建构
利用
解决
3. 勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长 a，b，c 满足a2 + b2 = c2，
那么这个三角形是直角三角形.
A
C
B
b
a
c
利用勾股定理的逆定理判定直角三角形的步骤：
① 找：找三角形的最长边；
② 算：计算最长边的平方与另两边的平方和；
③ 判：若两者相等，则是直角三角形，否则不是.
4. 勾股数：
能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.
3
4
5
8
6
10
12
13
5
复习巩固
1. 如图，点 D 在 Rt△ABC 的边 AB 上，AD = 8，DB = 2，
CD = 17. 求 AC 和 BC 的长.
17
8
2
解：在 Rt△ACD 中，由勾股定理，
AC = = = 15.
∵AD = 8，DB = 2，∴AB = 10.
在 Rt△ABC 中，由勾股定理，
BC = = =.
2. 两人从同一地点同时出发，一人以 20 m/min 的速度向北直行，
一人以 30 m/min 的速度向东直行. 10 min 后他们相距多远
（结果取整数）？
解：如图，设两人从 C点出发，10 min 后分别到达
A，B 两点，连接 AB.
依据题意，∠C = 90°，AC = 10× 20 = 200（m），BC =10×30 = 300（m）.
在Rt△ABC 中，由勾股定理，
AB = = 361
∴10 min 后他们相距约 361 m.
3. 如图，过圆锥的顶点 P 和底面圆的圆心 O 的平面截得截面△PAB，
其中 PA = PB，AB 是圆锥底面圆 O 的直径. 已知 PA = 7 cm，
AB = 4 cm，求截面△PAB 的面积.
解：根据题意，PA = PB，OA = OB = AB.
∴PO ⊥ AB.
∴ S△PAB = =
由勾股定理，
PO = =
∴截面△PAB 的面积为 cm2 .
4. 如图，帐篷的长 l = 2.6 m，其横截面是一个底边长 a = 2 m，
高 h = 1.8 m 的等腰三角形. 制作此帐篷（不包含底面）至少
需要用多少平方米布料（结果保留小数点后一位）？
2 个横截面面积 + 2 个侧面面积.
解：设等腰三角形的腰长为 b.
由勾股定理，h2 += b2 ，
∴ b = =
∴ ah + 2bl = 2 = ≈ 14.3
答：制作此帐篷（不包含底面）至少需要用约 14.3 m2 布料.
5. 如图，每个小正方形的边长都为 1.
（1）求四边形 ABCD 的面积和周长；
（2）∠BCD 是直角吗？请说明理由.
解:（1）由勾股定理，BC = =，
CD = =， AD = =， AB = =，
∴四边形 ABCD 的周长为 AB + BC + CD + AD = + +3.
A
B
C
D
如图，沿格线过 A，B，C 三点作正方形 AEFG，过点 D 作 DH ⊥ AG 于点 H.
5. 如图，每个小正方形的边长都为 1.
（1）求四边形 ABCD 的面积和周长；
（2）∠BCD 是直角吗？请说明理由.
∴S四边形ABCD = S正方形AEFG－S△BCF－S△ABE－S△ADH－S梯形CDHG
=
=
A
B
C
D
H
E
F
G
A
B
C
D
H
E
F
G
5. 如图，每个小正方形的边长都为 1.
（1）求四边形 ABCD 的面积和周长；
（2）∠BCD 是直角吗？请说明理由.
（2）∠BCD 是直角. 理由如下：
如图，连接 BD，
由勾股定理，BD = = 5.
由（1）知 CD = ，BC = ，
因此在△BCD 中，BD2 = 25，CD2 + BC2 =()2 + ()2 = 25，
∴BD2 = CD2 + BC2，∴△BCD 是直角三角形，且∠BCD 是直角.
综合运用
6. 如图，在三角形支架中，AD ⊥ BC，垂足为 D，AB = 2 m，
AC = 1.5 m，DC = 0.9 m.
（1）求 BD 的长；
（2）判断支架外框 △ABC 的形状，并说明理由.
解:（1）在 Rt△ACD 中，由勾股定理，
AD2 = AC2－DC2 = 1.52－0.92 = 1.44.
在 Rt△ABD 中，由勾股定理，
BD = = = 1.6 .
综合运用
6. 如图，在三角形支架中，AD ⊥ BC，垂足为 D，AB = 2 m，
AC = 1.5 m，DC = 0.9 m.
（1）求 BD 的长；
（2）判断支架外框 △ABC 的形状，并说明理由.
（2）支架外框 ABC 是直角三角形. 理由如下：
∵BD = 1.6 m，DC = 0.9 m，∴BC = 2.5 m.
∵AB2 + AC2 = 22 + 1.52 = 6.25，BC2 = 2.52 = 6.25，
∴AB2 + AC2 = BC2，∴支架外框 ABC 是直角三角形.
7. 如图，一根竹子高 1 丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端 3 尺处.
折断处离地面的高度是多少？（此题出自《九章算术》，其中的
丈、尺是长度单位，1 丈= 10 尺.）
解：折断的竹子与地面上所在的线段构成直角三角形，
设折断处离地面的高度为 x 尺.
根据勾股定理可得方程：x2 + 32 = (10－x)2.
解这个方程，得 x = 4.55.
∴折断处离地面的高度为 4.55 尺.
8. 古希腊哲学家柏拉图曾指出，如果 m 表示大于 1 的整数，
a = 2m，b = m2－1，c = m2 + 1，那么 a，b，c 为勾股数.
你认为这种说法正确吗？如果正确，请给出证明，并利用
这个结论写出一些勾股数.
解：正确. 证明：
∵a2 = (2m)2 = 4m2，b2 = (m2－1)2 = m4－2m2 + 1，
c2 = (m2 + 1)2 = m4 + 2m2 + 1，
a2 + b2 = 4m2 + m4－2m2 + 1 = m4 + 2m2 + 1 = c2 .
又易知 a，b，c 都是正整数，
∴a，b，c 为勾股数. 例：20，99，101；10，24，26.
9. 如图，一个长方形由 5 个边长为 1 的正方形组成，
请把它分割后拼接成一个大正方形.
解：分割小正方形，如图①，拼接大正方形，如图②.
①
②
拓广探索
10. 一根 70 cm 长的木棒，要放在长、宽、高分别是 50 cm，40 cm，
30 cm 的长方体木箱中，能放进去吗？（提示：长方体的高垂直
于底面的任何一条直线.）
分析：如图，连接 DC，AC 构建直角三角形，由勾股定理求出对角线 DC 的长.
解：如图，长方体木箱能放进木棒的最大长度应为对角线 DC 的长. 连接 DC，AC，则 AD ⊥ AC，即∠DAC = 90°.
在 Rt△ABC 中，∠ABC = 90°，AB = 50 cm，BC = 40 cm，
由勾股定理，AC2 = AB2 + BC2 = 502 + 402 = 4100.
在 Rt△ADC 中，由勾股定理，
DC = = = = 50
∵50> 70，∴能放进去.
11. 公园中一长方体石凳如图所示，若一只蚂蚁以 3 cm/s 的速度
从点 M 爬到点 N，最快需要多长时间（结果保留小数点后一位）？
分析：将点 M，N 所在的面展开有 2 种情况，分别求出这 2 种情况下点 M，N 之间的距离，从而求出时间.
解：将点 M，N 所在的面展开有以下 2 种情况：
如图①，连接 MN.
由勾股定理，MN = = 20 （cm）
如图②，连接 MN.
由勾股定理，MN = = 10 （cm）.
∵20 < 10 ，
∴最快需要 20 ÷3 ≈ 24.0（s）
12. △ABC 的三边长分别为 a，b，c，面积为 S. 利用勾股定理
S =
（提示：设 △ABC 的边 AC 上的高为 BD，利用勾股定理
先将 CD 用三边长表示，再将 BD 用三边长表示.）
证明秦九韶公式
解：设△ABC 的边 BC = a，AC = b，AB = c，边 AC 上的高为 BD，CD 的长为 x，则 AD 的长为 b－x.
由勾股定理，AB2－AD2 = BD2 = BC2－CD2 ，
即 c2－(b－x)2 = a2－x2 . 解得 x = ，∴ CD = ，
∴BD ==. ∴ S =
BD ==

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