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第六章 数据的分析
6.1平均数与方差第3课时
01
教学目标
02
新知导入
03
新知探究
04
巩固训练
05
课堂小结
06
作业设计
01
教学目标
理解方差、标准差的概念，能按步骤计算一组数据的方差，会用科学计算器求标准差；
01
通过分析甲、丁射击成绩，经历 “提出问题—推导方法—验证应用” 的过程，提升数据分析与运算能力；
02
体会方差在判断数据稳定性中的作用，感受数学的严谨性，培养用定量方法解决问题的科学意识。
03
02
新知导入
复习回顾：
1.什么是加权平均数？
2.加权平均数如何计算？
加权平均数的计算公式：
(为权)
一组数据里各个数据的“重要程度”未必相同,因而,在计算这组数据的平均数时,往往根据各个数据的“重要程度”赋一个“权”，这样就得到了加权平均数.
02
新知导入
3.加均平均数与算术平均数有什么区别？
当数据 “没区别” 时，用算术平均数；
当数据 “有轻重” 时，用加权平均数;
两者本质都是 “刻画数据集中趋势”，只是加权平均数更灵活，能适应更多实际场景.
03
新知探究
(1)甲发挥的更稳定，因为从图中可以看现他的成绩数据波动较小；
在本节一开始的射击问题中,甲与丁每次的射击成绩如图6-4所示,他们的平均成绩都是8环,两个人的射击表现一样吗 你对甲、丁的射击表现有什么评价
(1)你觉得谁发挥得更稳定 你的理由是什么
03
新知探究
(2)通过计算这些数据与平均数之间的差的平方和再除数据个数，通过大小判断他们的成绩稳定程度.
在本节一开始的射击问题中,甲与丁每次的射击成绩如图6-4所示,他们的平均成绩都是8环,两个人的射击表现一样吗 你对甲、丁的射击表现有什么评价
(2)你能设法通过计算说明两人成绩的稳定程度吗 与同伴进行交流。
03
新知探究
离差平方和是各个数据与它们平均数之差的平方和,即
.
在实际生活中,除了关心数据的集中趋势外,人们往往还关注数据的离散程度,即它们相对于集中趋势的偏离情况。
在统计学里,数据的离散程度可以用离差平方和、方差或标准差等统计量来刻画。
03
新知探究
方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数,即
其中,是的平均数。
在实际生活中,除了关心数据的集中趋势外,人们往往还关注数据的离散程度,即它们相对于集中趋势的偏离情况。
在统计学里,数据的离散程度可以用离差平方和、方差或标准差等统计量来刻画。
03
新知探究
标准差则是方差的算术平方根,即
一般而言,一组数据的方差或标准差越小,这组数据就越稳定。
在实际生活中,除了关心数据的集中趋势外,人们往往还关注数据的离散程度,即它们相对于集中趋势的偏离情况。
在统计学里,数据的离散程度可以用离差平方和、方差或标准差等统计量来刻画。
计算图6-4中甲射击成绩的标准差(结果精确到0.01环)。
例2
分析
首先计算图中数据的平均数,然后计算离差平方,接着计算方差,最后得到标准差即可.
03
新知探究
解析
解:(环),
,
(环)。
所以,甲射击成绩的标准差约为1.04环.
03
新知探究
使用科学计算器可以很方便地计算一组数据的标准差，大致步骤是：进入统计计算状态，输入数据，按键得出标准差。
方法总结
请在你自己使用的科学计算器上探索计算标准差的具体步骤。
03
新知探究
解:=(6+7+8×2+9×6+10×3)≈8.69(环),
=[(6-8.69)2+(7-8.69)2+(8-8.69)2×2+(9-8.69)2×6+(10-8.69)2×3]≈1.29
从平均数角度比较:=8(环)　=8.69(环),说明丙的平均射击水平比甲高;
从方差角度比较:=　=1.29,<,甲的射击成绩比丙更稳定;
综上,丙的平均射击水平比甲高,但甲的射击成绩比丙更稳定。
(1)计算图6-1中丙射击成绩的方差，并对甲、丙的射击成绩进行比较。
03
新知探究
03
新知探究
后面次次射击的成绩与平均值相近,然后计算方差会变小,这样他成绩的波动相对之前变小了。
(2)丁又进行了几次射击，这时他所有射击成绩的平均数没变，但方差变小了。你认为丁后面几次射击的成绩有什么特点？与同伴进行交流。
03
新知探究
1.数据对比的核心逻辑：分析两组数据时，需同时结合集中趋势（平均数） 与离散程度（方差） 。
2.方差变化的规律：当数据平均数不变时，方差变小→数据更均数（波动减小），方差变大→数据偏离平均数更远（波动增大）。
3.实际应用注意点：计算方差时需注意 “先算平均、再求偏差平方、最后求平均”，避免直接用 “偏差和”；复杂数据可借助计算器统计模式提高效率。
总结归纳
04
巩固训练
1.离差平方和刻画的是　 。
数据的离散程度
2.计算2,3,4,5,6,8,11,13的离差平方和。
解:首先,计算这组数据的平均数:
(2+3+4+5+6+8+11+13)÷8=6.5。
然后计算每个数据与平均数的差值的平方:
(2-6.5)2=(-4.5)2=20.25,(3-6.5)2=(-3.5)2=12.25,(4-6.5)2=(-2.5)2=6.25,(5-6.5)2=(-1.5)2=2.25,(6-6.5)2=(-0.5)2=0.25,(8-6.5)2=1.52=2.25,(11-6.5)2=4.52=20.25,(13-6.5)2=6.52=42.25。
最后将这些差值的平方相加,得到离差平方和:
20.25+12.25+6.25+2.25+0.25+2.25+20.25+42.25=106。
综上,这组数据的离差平方和为106。
3.为了判断八(1)班和八(2)班学生口语测试成绩哪个班比较整齐,通常需要知道两班成绩的 (　　)
A.平均数 B.方差 C.众数 D.中位数
B
4.已知一组数据的方差计算公式为s2=[(x1-15)2+(x2-15)2+…+(x10-15)2],则这组数据的个数和平均数分别为 (　　)
A.10,10 B.15,10 C.10,15 D.15,15
04
巩固训练
5.一组数据2,3,3,4,则这组数据的方差为 (　　)
A.1 B.0.8 C.0.6 D.0.5
D
6.已知一组数据的方差是3,则这组数据的标准差是 (　　)
A.9 B.3 C. D.
D
04
巩固训练
7.为考察甲、乙两种农作物的长势,研究人员分别抽取了6株苗,测得它们的高度(单位:cm)如下:
甲:98,102,100,100,101,99;乙:100,103,101,97,100,99。
你认为哪种农作物长得更整齐 说明理由。
解:甲种农作物长得更整齐。
理由:甲种农作物高度的平均数=×(98+102+100+100+101+99)=100(cm);
乙种农作物高度的平均数=×(100+103+101+97+100+99)=100(cm);
×[(98-100)2+(102-100)2+…+(99-100)2]=;
×[(100-100)2+(103-100)2+…+(99-100)2]=。
因为,
所以甲种农作物长得更整齐。
04
巩固训练
05
课堂小结
通过本节课的学习你收获了什么？
核心概念与公式：
离差平方和：；
方差：（为平均数，n为数据个数）；
标准差：（与数据单位一致，更易解释实际意义）。
关键结论：方差（或标准差）越小，数据离散程度越小，稳定性越强；反之则波动越大，稳定性越弱。
工具操作：科学计算器计算标准差步骤：进入统计模式→输入数据→按键（如 “SD” 键）读取结果。
2.在某次射击训练过程中,小明打靶10次的成绩如表所示,则小明射击成绩的众数和方差分别为 (　　)
A.10环和0.1 B.9环和0.1
C.10环和1 D.9环和1
1.小庆、小铁、小娜、小萌四名同学均从1,2,3,4,5,6这六个数字中选出四个数字,玩猜数游戏。下列选项中,能确定该同学选出的四个数字含有1的是 (　　)
A.小庆选出四个数字的方差等于4.25
B.小铁选出四个数字的方差等于2.5
C.小娜选出四个数字的平均数等于3.5
D.小萌选出四个数字中最大数和最小数的差等于4
06
作业设计
基础达标：
A
C
3.若一组数据x1,x2,x3,…,xn的方差为2,则数据x1+3,x2+3,x3+3,…,xn+3的方差是 (　　)
A.2 B.5 C.6 D.11
06
作业设计
A
基础达标：
4.若数据0,1,2,3,x的平均数是2,则这组数据的标准差是　　　　。
解析:数据0,1,2,3,x的平均数是2,
即0+1+2+3+x=2×5,
解得x=4。
方差s2=×[(0-2)2+(1-2)2+(2-2)2+(3-2)2+(4-2)2]=2,
则标准差s=。
5.八年级体育素质测试,某小组5名同学的成绩如下表所示:
其中有两个数据被遮盖,那么被遮盖的两个数据从左到右依次是　　　　。
06
作业设计
能力提升：
编号 1 2 3 4 5 方差 平均成绩
得分 38 34 ■ 37 40 ■ 37
36,4
6.为迎接五月份全县中考九年级体育测试,小强每天坚持引体向上锻炼。他记录了某一周每天做引体向上的个数,如下表:
其中有三天的个数被墨汁覆盖了,但小强已经计算出这组数据唯一众数是13,平均数是12,那么这组数据的方差是　　　　。
06
作业设计
能力提升：
7.假设有三个处理数组A1,A2,A3,每个数组有6个数,具体数据如下:
A1:1,2,3,4,5,9;A2:2,4,5,6,7,6;A3:3,6,7,8,9,9.
求每个数组的离差平方和。
解:计算每个数组的平均数:
A1:=4,A2:=5,A3:=7。
则每个数组的离差平方和为
A1:(1-4)2+(2-4)2+(3-4)2+(4-4)2+(5-4)2+(9-4)2=40,
A2:(2-5)2+(4-5)2+(5-5)2+(6-5)2+(7-5)2+(6-5)2=16,
A3:(3-7)2+(6-7)2+(7-7)2+(8-7)2+(9-7)2+(9-7)2=26。
06
作业设计
迁移拓展：
8.某校为了选派一名学生参加全市实践活动技能竞赛,A,B两位同学在校实习基地现场进行加工直径为20 mm的零件测试,他们各加工10个零件的直径(mm)如图所示:
根据测试的有关数据,试解答下列问题:
(1)考虑平均数与完全符合要求的个数,你认为　　　　的成绩好些;
(2)求出A,B两人的方差,考虑平均数与方差,说明谁的成绩好些;
(3)考虑图中折线走势及竞赛加工零件的个数远远超过10个的实际情况,你认为派谁去合适 简述理由。
项目 平均数 方差 完全符合要求的个数
A 20 5
B 20 2
06
作业设计
迁移拓展：
(2)×[5×(20-20)2+3×(19.9-20)2+(20.1-20)2+(20.2-20)2]=0.008,
×[3×(20.2-20)2+3×(19.8-20)2+(19.9-20)2+(20.1-20)2+2×(20-20)2]=0.026。
因为,,
所以A更稳定,A的成绩好些。
(3)派B去更合适。理由:从折线走势看,B的成绩越来越接近20 mm,并趋于稳定,所以派B去更合适。
Thanks!
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分课时学案
课题 6.1平均数与方差第3课时 单元 第六单元 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1.理解方差、标准差的概念，能按步骤计算一组数据的方差，会用科学计算器求标准差； 2.通过分析甲、丁射击成绩，经历 “提出问题—推导方法—验证应用” 的过程，提升数据分析与运算能力； 3.体会方差在判断数据稳定性中的作用，感受数学的严谨性，培养用定量方法解决问题的科学意识。
重点 1.理解方差的概念，能准确计算一组数据的方差； 2.掌握 “方差越小，数据越稳定” 的规律，能结合实际情境判断数据稳定性。
难点 理解方差的计算逻辑（为何用 “数据与平均数的偏差平方和的平均数” 刻画波动），而非单纯记忆公式，并能解释方差大小的实际意义。
教学过程
导入新课 复习回顾： 1.什么是加权平均数？ 2.加权平均数如何计算？ 3.加均平均数与算术平均数有什么区别？
新知讲解 探究活动一： 在本节一开始的射击问题中，甲与丁每次的射击成绩如图6-4所示，他们的平均成绩都是8环，两个人的射击表现一样吗？你对甲、丁的射击表现有什么评价？ (1)你觉得谁发挥得更稳定？你的理由是什么？ (2)你能设法通过计算说明两人成绩的稳定程度吗？与同伴进行交流。 探究活动二： 例题精讲 计算图64中甲射击成绩的标准差(结果精确到0.01环)。 探究活动三： 思考交流： (1)计算图6-1中丙射击成绩的方差，并对甲、丙的射击成绩进行比较。 (2)丁又进行了几次射击，这时他所有射击成绩的平均数没变，但方差变小了。你认为丁后面几次射击的成绩有什么特点？与同伴进行交流。
课堂练习 巩固训练 1.离差平方和刻画的是　 。 2.计算2，3，4，5，6，8，11，13的离差平方和。 3.为了判断八(1)班和八(2)班学生口语测试成绩哪个班比较整齐，通常需要知道两班成绩的 (　　) A.平均数 B.方差 C.众数 D.中位数 4.已知一组数据的方差计算公式为s2=[(x1-15)2+(x2-15)2+…+(x10-15)2]，则这组数据的个数和平均数分别为 (　　) A.10，10 B.15，10 C.10，15 D.15，15 5.一组数据2，3，3，4，则这组数据的方差为 (　　) A.1 B.0.8 C.0.6 D.0.5 6.已知一组数据的方差是3，则这组数据的标准差是 (　　) A.9 B.3 C. D. 7.为考察甲、乙两种农作物的长势，研究人员分别抽取了6株苗，测得它们的高度(单位:cm)如下: 甲:98，102，100，100，101，99； 乙:100，103，101，97，100，99。 你认为哪种农作物长得更整齐？说明理由。
作业布置 基础达标： 1.小庆、小铁、小娜、小萌四名同学均从1，2，3，4，5，6这六个数字中选出四个数字，玩猜数游戏。下列选项中，能确定该同学选出的四个数字含有1的是 (　　) A.小庆选出四个数字的方差等于4.25 B.小铁选出四个数字的方差等于2.5 C.小娜选出四个数字的平均数等于3.5 D.小萌选出四个数字中最大数和最小数的差等于4 2.在某次射击训练过程中，小明打靶10次的成绩如表所示，则小明射击成绩的众数和方差分别为 (　　) 靶次成绩/环89910107891010
A.10环和0.1 B.9环和0.1 C.10环和1 D.9环和1 3.若一组数据x1，x2，x3，…，xn的方差为2，则数据x1+3，x2+3，x3+3，…，xn+3的方差是 (　　) A.2 B.5 C.6 D.11 4.若数据0，1，2，3，x的平均数是2，则这组数据的标准差是　　　　。 能力提升： 5.八年级体育素质测试，某小组5名同学的成绩如下表所示: 编号12345方差平均成绩得分3834■3740■37
其中有两个数据被遮盖，那么被遮盖的两个数据从左到右依次是　　　　。 6.为迎接五月份全县中考九年级体育测试，小强每天坚持引体向上锻炼。他记录了某一周每天做引体向上的个数，如下表: 星期日一二三四五六个数11121312
其中有三天的个数被墨汁覆盖了，但小强已经计算出这组数据唯一众数是13，平均数是12，那么这组数据的方差是　　　　。 7.假设有三个处理数组A1，A2，A3，每个数组有6个数，具体数据如下: A1:1，2，3，4，5，9， A2:2，4，5，6，7，6， A3:3，6，7，8，9，9， 求每个数组的离差平方和。 拓展迁移： 8.某校为了选派一名学生参加全市实践活动技能竞赛，A，B两位同学在校实习基地现场进行加工直径为20 mm的零件测试，他们各加工10个零件的直径(mm)如图所示: 根据测试的有关数据，试解答下列问题: 项目平均数方差完全符合要求的个数A205B202
(1)考虑平均数与完全符合要求的个数，你认为　　　　的成绩好些； (2)求出A，B两人的方差，考虑平均数与方差，说明谁的成绩好些； (3)考虑图中折线走势及竞赛加工零件的个数远远超过10个的实际情况，你认为派谁去合适？简述理由。
参考答案：
例题精讲：
例2：
解:(环)，
，
(环)。
所以，甲射击成绩的标准差约为环。
巩固训练：
1.数据的离散程度
2.解:首先，计算这组数据的平均数:
(2+3+4+5+6+8+11+13)÷8=6.5。
然后计算每个数据与平均数的差值的平方:
(2-6.5)2=(-4.5)2=20.25，
(3-6.5)2=(-3.5)2=12.25，
(4-6.5)2=(-2.5)2=6.25，
(5-6.5)2=(-1.5)2=2.25，
(6-6.5)2=(-0.5)2=0.25，
(8-6.5)2=1.52=2.25，
(11-6.5)2=4.52=20.25，
(13-6.5)2=6.52=42.25。
最后将这些差值的平方相加，得到离差平方和:
20.25+12.25+6.25+2.25+0.25+2.25+20.25+42.25=106。
综上，这组数据的离差平方和为106。
3.B　4.C　5.D　6.D
7.解:甲种农作物长得更整齐。
理由:甲种农作物高度的平均数=×(98+102+100+100+101+99)=100(cm)；
乙种农作物高度的平均数=×(100+103+101+97+100+99)=100(cm)；
×[(98-100)2+(102-100)2+…+(99-100)2]=；
×[(100-100)2+(103-100)2+…+(99-100)2]=。
因为，
所以甲种农作物长得更整齐。
作业设计：
1.A　解析:A.假设选出的数据没有1，则选出的数据为2，3，5，6时，方差最大，此时=(2+3+5+6)÷4=4，方差为s2=[(2-4)2+(3-4)2+(5-4)2+(6-4)2]=2.5，当数据为1，2，5，6时，=(1+2+5+6)÷4=3.5，s2=[(1-3.5)2+(2-3.5)2+(5-3.5)2+(6-3.5)2]=4.25，故该选项符合题意；B.当该同学选出的四个数字为2，3，5，6时，由以上分析可知，s2=2.5，故该选项不符合题意；C.当该同学选出的四个数字为2，3，4，5时，=(2+3+4+5)÷4=3.5，故该选项不符合题意；D.当选出的数据为2，4，5，6或2，3，4，6时，最大数和最小数的差也是4，故该选项不符合题意。故选A。
2.C　解析:由题意可知，10环出现的次数最多，为4次，故众数为10环；这10次射击成绩的平均数为×(7+2×8+3×9+4×10)=9(环)，故方差为×[(7-9)2+2×(8-9)2+3×(9-9)2+4×(10-9)2]=1。故选C。
3.A　解析:设一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为，则方差为[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]=2，所以数据x1+3，x2+3，x3+3，…，xn+3的平均数为+3，方差为[(x1+3--3)2+(x2+3--3)2+…+(xn+3--3)2]=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]=2。故选A。
4.　解析:数据0，1，2，3，x的平均数是2，即0+1+2+3+x=2×5，解得x=4。方差s2=×[(0-2)2+(1-2)2+(2-2)2+(3-2)2+(4-2)2]=2，则标准差s=。
5.36，4　解析:因为这组数据的平均数是37，所以编号为3的同学得分是37×5-(38+34+37+40)=36，被遮盖的方差是×[(38-37)2+(34-37)2+(36-37)2+(37-37)2+(40-37)2]=4。
6.　解析:因为平均数是12，所以这组数据的和为12×7=84。所以被墨汁覆盖的数字之和为84-(11+12+13+12)=36，因为这组数据唯一众数是13，所以被墨汁覆盖的三个数为10，13，13，再计算这组数据的方差为。
7.解:计算每个数组的平均数:
A1:=4，
A2:=5，
A3:=7。
则每个数组的离差平方和为
A1:(1-4)2+(2-4)2+(3-4)2+(4-4)2+(5-4)2+(9-4)2=40，
A2:(2-5)2+(4-5)2+(5-5)2+(6-5)2+(7-5)2+(6-5)2=16，
A3:(3-7)2+(6-7)2+(7-7)2+(8-7)2+(9-7)2+(9-7)2=26。
8.解:(1)A
(2)×[5×(20-20)2+3×(19.9-20)2+(20.1-20)2+(20.2-20)2]=0.008，×[3×(20.2-20)2+3×(19.8-20)2+(19.9-20)2+(20.1-20)2+2×(20-20)2]=0.026。
因为，，
所以A更稳定，A的成绩好些。
(3)派B去更合适。理由:从折线走势看，B的成绩越来越接近20 mm，并趋于稳定，所以派B去更合适。
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6.1平均数与方差第3课时教学设计
学科 数学 年级 八年级 课型 新授课 单元 六单元
课题 6.1平均数与方差第3课时 课时 1
课标要求 本节课需落实 “数据与代数” 领域核心素养：理解方差、标准差的概念及刻画数据离散程度的本质，能按步骤计算一组数据的方差，掌握用科学计算器求标准差的方法；能通过方差大小判断数据稳定性，结合射击成绩、生活实例解释其实际意义；经历 “直观感知波动 — 定量刻画波动” 的过程，发展数据观念与逻辑推理能力；体会统计量（方差）在决策中的价值，为后续复杂数据分析奠定基础，契合新课标 “注重数据定量分析与实际应用” 的要求。
教材分析 本节课是前两课时 “集中趋势统计量” 的延伸，聚焦 “离散程度统计量（方差、标准差）”，是数据分析从 “定性判断” 到 “定量衡量” 的关键转折。教材以 “甲、丁射击平均成绩相同但稳定性不同” 的核心矛盾切入，先引发 “如何用计算描述波动” 的思考，再依次定义离差平方和、方差、标准差，通过例 2具象化计算步骤，最后补充计算器操作，降低计算复杂度。既衔接前期 “平均相同看波动” 的认知，又为后续多组数据对比、统计决策提供工具，体现新课标 “问题驱动 — 概念建构 — 实践应用” 的编写逻辑。
学情分析 学生已具备 “平均相同则观察波动” 的定性认知，但存在两大核心障碍：一是对 “方差计算步骤（算平均→求偏差→平方→求和→求平均）” 的逻辑理解薄弱，易机械套公式，不清楚 “偏差平方” 的作用；二是计算过程繁琐，易因 “偏差计算错误”“平方失误” 导致结果偏差；此外，部分学生对 “方差越小越稳定” 的理解停留在结论记忆，不会结合具体情境解释意义，个体差异集中在 “步骤逻辑性” 与 “意义转化” 上。
教学目标 1.理解方差、标准差的概念，能按步骤计算一组数据的方差，会用科学计算器求标准差； 2.通过分析甲、丁射击成绩，经历 “提出问题—推导方法—验证应用” 的过程，提升数据分析与运算能力； 3.体会方差在判断数据稳定性中的作用，感受数学的严谨性，培养用定量方法解决问题的科学意识。
教学重点 1.理解方差的概念，能准确计算一组数据的方差； 2.掌握 “方差越小，数据越稳定” 的规律，能结合实际情境判断数据稳定性。
教学难点 理解方差的计算逻辑（为何用 “数据与平均数的偏差平方和的平均数” 刻画波动），而非单纯记忆公式，并能解释方差大小的实际意义。
教法与学法分析 教法采用 “问题链驱动 + 分步拆解”，以 “如何定量波动” 为核心，拆解方差计算步骤（先算偏差、再平方、后求平均），结合纠错演示（如偏差正负抵消的问题）突破难点；学法以 “自主计算 + 小组互助” 为主，通过手动计算、计算器实操、成绩对比，主动建构方差认知，落实 “做中学”，符合新课标学生主体理念。
教学过程
教学步骤 教学主要内容 教师活动 学生活动 设计意图
环节一：依标靠本，独立研学 复习回顾： 1.什么是加权平均数？ 一组数据里各个数据的“重要程度”未必相同，因而，在计算这组数据的平均数时，往往根据各个数据的“重要程度”赋一个“权”，这样就得到了加权平均数. 2.加权平均数如何计算？ 加权平均数的计算公式： (为权) 3.加权平均数与算术平均数有什么区别？ 当数据 “没区别” 时，用算术平均数；当数据 “有轻重” 时，用加权平均数； 两者本质都是 “刻画数据集中趋势”，只是加权平均数更灵活，能适应更多实际场景. 提问 “加权平均数的定义是什么？公式如何写？它与算术平均数有何区别？”，随机抽答并补充强调 “权反映数据重要程度”。 回忆并口头回答定义、公式，简述 “权相等时加权平均即算术平均”。 衔接前两课时 “集中趋势统计量”，为 “离散程度统计量（方差）” 的学习铺垫认知基础。
探究活动一： 在本节一开始的射击问题中，甲与丁每次的射击成绩如图6-4所示，他们的平均成绩都是8环，两个人的射击表现一样吗？你对甲、丁的射击表现有什么评价？ (1)你觉得谁发挥得更稳定？你的理由是什么？ (2)你能设法通过计算说明两人成绩的稳定程度吗？与同伴进行交流。 解：(1)甲发挥的更稳定，因为从图中可以看见他的成绩数据波动较小； (2)通过计算这些数据与平均数之间的差的平方和再除数据个数，通过大小判断他们的成绩稳定程度. 总结归纳： 在实际生活中，除了关心数据的集中趋势外，人们往往还关注数据的离散程度，即它们相对于集中趋势的偏离情况。 在统计学里，数据的离散程度可以用离差平方和、方差或标准差等统计量来刻画。 离差平方和是各个数据与它们平均数之差的平方和，即 . 方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数，即 其中，是的平均数。 而标准差则是方差的算术平方根。 一般而言，一组数据的方差或标准差越小，这组数据就越稳定。 展示甲、丁射击成绩图提问，引导学生思考。 观察图表判断，小组讨论后尝试计算，初步感知定量刻画波动的方法。 以 “平均相同但稳定性不同” 的矛盾切入，激发 “定量刻画波动” 的需求，自然引出方差概念。
环节二：同伴分享，互助研学 探究活动二： 例题精讲 计算图6-4中甲射击成绩的标准差(结果精确到0.01环)。 解：(环) ， (环)。 所以，甲射击成绩的标准差约为环。 总结归纳： 使用科学计算器可以很方便地计算一组数据的标准差，大致步骤是：进入统计计算状态，输入数据，按键得出标准差。 请在你自己使用的科学计算器上探索计算标准差的具体步骤。 示范甲射击成绩的标准差计算，指导学生探索科学计算器的统计模式操作。 模仿计算甲的标准差，小组互助熟悉计算器 “输入数据→求标准差” 的步骤。 落实 “方差、标准差计算” 的教学重点，降低手动计算复杂度，提升工具使用能力。
环节三：全班展学，互动深入 探究活动三： 思考交流： (1)计算图6-1中丙射击成绩的方差，并对甲、丙的射击成绩进行比较。 解：=(6+7+8×2+9×6+10×3)≈8.69(环)， =[(6-8.69)2+(7-8.69)2+(8-8.69)2×2+(9-8.69)2×6+(10-8.69)2×3]≈1.29 从平均数角度比较：=8(环)　=8.69(环)，说明丙的平均射击水平比甲高； 从方差角度比较：=　=1.29，<，甲的射击成绩比丙更稳定； 综上，丙的平均射击水平比甲高，但甲的射击成绩比丙更稳定。 (2)丁又进行了几次射击，这时他所有射击成绩的平均数没变，但方差变小了。你认为丁后面几次射击的成绩有什么特点？与同伴进行交流。 后面次次射击的成绩与平均值相近，这样他成绩的波动相对之前变小了。 总结归纳： 1.数据对比的核心逻辑：分析两组数据时，需同时结合集中趋势（平均数） 与离散程度（方差） 。 2.方差变化的规律：当数据平均数不变时，方差变小→数据更均数（波动减小），方差变大→数据偏离平均数更远（波动增大）。 3.实际应用注意点：计算方差时需注意 “先算平均、再求偏差平方、最后求平均”，避免直接用 “偏差和”；复杂数据可借助计算器统计模式提高效率。 引导学生计算丙的方差，对比甲丙的平均成绩与方差，提问 “丁的平均不变但方差变小，说明其后续成绩有何特点？”。 计算丙的方差，总结 “丙平均高但甲更稳定”；讨论得出 “丁后续成绩均值” 的结论。 深化 “方差越小越稳定” 的认知，理解方差变化的本质，突破 “解释方差实际意义” 的难点。
环节四：巩固内化，拓展延伸 巩固训练 1.离差平方和刻画的是　 。 2.计算2，3，4，5，6，8，11，13的离差平方和。 3.为了判断八(1)班和八(2)班学生口语测试成绩哪个班比较整齐，通常需要知道两班成绩的 (　　) A.平均数 B.方差 C.众数 D.中位数 4.已知一组数据的方差计算公式为s2=[(x1-15)2+(x2-15)2+…+(x10-15)2]，则这组数据的个数和平均数分别为 (　　) A.10，10 B.15，10 C.10，15 D.15，15 5.一组数据2，3，3，4，则这组数据的方差为 (　　) A.1 B.0.8 C.0.6 D.0.5 6.已知一组数据的方差是3，则这组数据的标准差是 (　　) A.9 B.3 C. D. 7.为考察甲、乙两种农作物的长势，研究人员分别抽取了6株苗，测得它们的高度(单位：cm)如下： 甲：98，102，100，100，101，99； 乙：100，103，101，97，100，99。 你认为哪种农作物长得更整齐？说明理由。 巡视课堂迅速掌握学情 当堂小测，用所学知识解决问题，学生代表回答。 学以致用，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 1.知识： 核心概念与公式： 离差平方和：； 方差：（为平均数，n为数据个数）； 标准差：（与数据单位一致，更易解释实际意义）。 关键结论：方差（或标准差）越小，数据离散程度越小，稳定性越强；反之则波动越大，稳定性越弱。 工具操作：科学计算器计算标准差步骤：进入统计模式→输入数据→按键（如 “SD” 键）读取结果。 教师以提问的形式小结 学生思考自由回答，自我小结 课堂小结可以帮助学生理清所学知识的层次结构，掌握其外在的形式和内在联系，形成知识系列及一定的结构框架。
板书设计 6.1平均数与方差第3课时 离差平方和：. 方差： 标准差： 例： 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计 基础达标： 1.小庆、小铁、小娜、小萌四名同学均从1，2，3，4，5，6这六个数字中选出四个数字，玩猜数游戏。下列选项中，能确定该同学选出的四个数字含有1的是 (　　) A.小庆选出四个数字的方差等于4.25 B.小铁选出四个数字的方差等于2.5 C.小娜选出四个数字的平均数等于3.5 D.小萌选出四个数字中最大数和最小数的差等于4 2.在某次射击训练过程中，小明打靶10次的成绩如表所示，则小明射击成绩的众数和方差分别为 (　　) 靶次12345678910成绩/环89910107891010
A.10环和0.1 B.9环和0.1 C.10环和1 D.9环和1 3.若一组数据x1，x2，x3，…，xn的方差为2，则数据x1+3，x2+3，x3+3，…，xn+3的方差是 (　　) A.2 B.5 C.6 D.11 4.若数据0，1，2，3，x的平均数是2，则这组数据的标准差是　　　　。 能力提升： 5.八年级体育素质测试，某小组5名同学的成绩如下表所示： 编号12345方差平均成绩得分3834■3740■37
其中有两个数据被遮盖，那么被遮盖的两个数据从左到右依次是　　　　。 6.为迎接五月份全县中考九年级体育测试，小强每天坚持引体向上锻炼。他记录了某一周每天做引体向上的个数，如下表： 星期日一二三四五六个数11121312
其中有三天的个数被墨汁覆盖了，但小强已经计算出这组数据唯一众数是13，平均数是12，那么这组数据的方差是　　　　。 7.假设有三个处理数组A1，A2，A3，每个数组有6个数，具体数据如下： A1：1，2，3，4，5，9， A2：2，4，5，6，7，6， A3：3，6，7，8，9，9， 求每个数组的离差平方和。 拓展迁移： 8.某校为了选派一名学生参加全市实践活动技能竞赛，A，B两位同学在校实习基地现场进行加工直径为20 mm的零件测试，他们各加工10个零件的直径(mm)如图所示： 根据测试的有关数据，试解答下列问题： 项目平均数方差完全符合要求的个数A205B202
(1)考虑平均数与完全符合要求的个数，你认为　　　　的成绩好些； (2)求出A，B两人的方差，考虑平均数与方差，说明谁的成绩好些； (3)考虑图中折线走势及竞赛加工零件的个数远远超过10个的实际情况，你认为派谁去合适？简述理由。
教学反思 本节课通过分步拆解方差计算，多数学生能掌握公式应用，但存在两点不足：一是部分学生对 “偏差平方” 的必要性理解不深，仍有同学直接用 “偏差和” 计算，需后续补充 “正负抵消” 的对比实验（如计算偏差和与偏差平方和）；二是计算器操作指导不足，部分学生因不熟悉统计模式，输入数据耗时较长，可课前发放 “计算器操作步骤卡”。此外，方差的实际应用案例较少（仅射击情境），可补充 “产品尺寸误差”“班级成绩稳定性” 等案例，让学生更易理解意义。后续需优化难点突破方式，增加 “方差意义辨析” 的小组讨论，深化认知。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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