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6.1平均数与方差第4课时教学设计
学科 数学 年级 八年级 课型 新授课 单元 六单元
课题 6.1平均数与方差第4课时 课时 1
课标要求 本节课需落实 “数据与代数” 领域核心要求：能运用方差分析仪仗队身高、气温波动等实际问题的稳定性，结合具体需求作出决策；理解 “组内离差平方和最小” 的分组原则，初步掌握数据分组的科学方法；培养从实际场景中提取关键数据、结合目标分析问题的能力，发展数据观念；体会统计在生活决策中的价值，为后续复杂数据分类与分析奠定基础，契合新课标 “用数学解决真实问题” 的核心素养导向.
教材分析 本节课是前 3 课时方差知识的应用延伸与能力提升，聚焦 “方差的实际决策” 与 “数据分组的科学方法”.教材以四层案例递进：先通过 “仪仗队身高”“两地气温” 巩固 “方差判断稳定性” 的基础应用；再以 “跳远运动员选拔” 为核心矛盾，引导学生发现 “仅靠方差或平均数不够，需结合具体目标(夺冠 / 破纪录)分析数据”，突破单一统计量的认知局限；最后用 “苹果直径分组” 引入 “组内离差平方和最小” 原则，体现数据分类的科学性.既衔接前期方差计算，又拓展统计的应用维度，符合新课标 “从知识掌握到综合应用” 的编写逻辑.
学情分析 学生已掌握方差计算与 “方差越小越稳定” 的结论，但存在两大认知障碍：一是面对实际决策时，易陷入 “只看方差或平均数” 的误区，不会结合具体需求综合分析；二是理解 “组内离差平方和” 时，易机械套用计算步骤，不明白 “平方和最小” 为何能保证 “组内数据集中、组间差异明显”；且分组计算步骤繁琐，易因运算失误影响对分组原则的理解，个体差异集中在 “需求与数据的关联” 及 “分组逻辑” 上.
教学目标 1.能运用方差分析数据稳定性，结合实际需求作出合理决策；初步理解 “组内离差平方和最小” 的分组原则，能完成简单数据分组计算； 2.通过分析运动员选拔、苹果分组等问题，经历 “明确需求—分析数据特征—决策/分组验证” 的过程，提升数据分析与逻辑推理能力； 3.体会统计知识在体育选拔、商品分级中的应用，感受数学与生活的紧密联系，培养根据实际场景灵活运用工具的科学意识.
教学重点 1.运用方差分析数据稳定性，并结合实际需求作出决策； 2.理解 “组内离差平方和最小” 的分组意义，能完成简单数据的分组计算.
教学难点 根据具体实际需求，综合方差、数据达标率及极值特点选择合适方案；同时理解 “组内离差平方和” 的计算逻辑.
教法与学法分析 教法采用 “案例驱动 + 问题链探究”，以运动员选拔、苹果分组为核心案例，层层设疑引导学生突破 “单一统计量” 局限；学法以 “小组合作 + 自主分析” 为主，通过讨论选拔理由、分工计算分组离差平方和，化解运算繁琐难题，落实 “做中学”，契合新课标学生主体理念.
教学过程
教学步骤 教学主要内容 教师活动 学生活动 设计意图
环节一：依标靠本，独立研学 1. 复习回顾 上节课我们用方差判断了数据稳定性，若甲、乙两支仪仗队身高方差分别为 1.2 和 3.5，哪支队伍身高更整齐？ 答案：甲队，方差越小，数据波动越小，身高越整齐. 2. 情景问题 学校拟从甲、乙两名跳远运动员中选 1 人参赛，10 次选拔赛成绩(单位：cm)如下：甲：585、596、610、598、612、597、604、600、613、601乙：613、618、580、574、618、593、585、590、598、624已知：①夺冠需成绩≥596cm；②破纪录需成绩≥610cm.仅看目前数据，你认为：(1)若目标是夺冠，选甲还是乙？理由是什么？(2)若目标是破纪录，选甲还是乙？理由是什么？ 预设答案 (1)选甲：甲平均成绩约 601.6cm，乙约 599.3cm，甲略高；且甲成绩≥596cm 的有 9 次(达标率 90%)，乙仅 7 次(70%)，甲达标更稳定；(2)选乙：乙有 618、624cm 的高极值(≥610cm 的有 4 次)，甲虽稳定但极值最高 613cm，乙破纪录可能性更大. 复习提问，引导思考 “夺冠与破纪录选谁”. 回答 “甲队更整齐”，分析运动员成绩，初步说出 “夺冠选甲(达标率高)、破纪录选乙(极值高)” 的理由. 唤醒 “方差越小越稳定” 的旧知，通过情景题引出 “需结合实际目标决策”，为新课铺垫.
探究活动一： 某日，A，B两地的气温如图6-5所示. (1)不进行计算，说说A，B两地这一天气温的特点. 从折线图的波动趋势和整体水平判断： A 地：气温折线起伏较大，说明气温变化幅度大(昼夜温差大)； B 地：气温折线较为平缓，说明气温变化幅度小(昼夜温差小)；且 B 地气温整体高于 A 地. (2)分别计算这一天A，B两地气温的平均数和方差，所得结果与你刚才的看法一致吗？ 计算平均数得：， ， 方差：， ， 平均数：，说明 B 地平均气温更高； 方差：，说明 A 地气温波动更大(变化幅度大)，B 地气温更平缓. 综上，(1) A 地气温变化幅度大，B 地气温变化平缓且整体温度高；(2) 计算结果与观察一致，B 地平均气温高、方差小，A 地平均气温低、方差大. 展示气温折线图，先让学生观察特点，再引导计算平均数和方差验证猜想. 观察得出 “A 地波动大、B 地平缓”，计算验证观察. 巩固 “方差判断稳定性”，结合折线图培养数形结合能力，落实基础应用.
环节二：同伴分享，互助研学 探究活动二： 尝试思考： 某校要从甲、乙两名跳远运动员中挑选一人参加一项比赛.在最近的10次选拔赛中，他们的成绩(单位：cm)如下. 甲：585，596，610，598，612，597，604，600，613，601； 乙：613，618，580，574，618，593，585，590，598，624. (1)甲、乙的平均成绩分别是多少？ (2)甲、乙这10次比赛成绩的方差分别是多少？ (3)这两名运动员的运动成绩各有什么特点？ (4)历届比赛成绩表明，成绩达到5.96 m就很有可能夺冠，你认为为了夺冠应选谁参加这项比赛？如果历届比赛成绩表明，成绩达到6.10 m就能打破纪录，那么你认为为了打破纪录应选谁参加这项比赛呢？ 解：(1)=(585+596+610+598+612+597+604+600+613+601)÷10=601.6(cm)， =(613+618+580+574+618+593+585+590+598+624)÷10=599.3(cm)， (2)=65.84；=284.21. (3)由上面计算结果可知：甲队员的平均成绩较好，也比较稳定，乙队员的平均成绩没有甲队员好，也不稳定. (4)从平均数分析可知，甲、乙两队员都有夺冠的可能.但由方差分析可知，甲队员成绩比较平稳，夺冠的可能性比乙队员大.但要打破纪录，成绩要比较突出，因此乙队员打破纪录的可能性大，我认为为了打破纪录，应选乙队员参加这项比赛. 引导学生计算甲、乙平均成绩和方差，追问 “夺冠与破纪录选谁”，强调结合达标率和极值. 计算统计量，讨论得出 “夺冠选甲、破纪录选乙. 突破 “只看方差 / 平均数” 的误区，培养 “结合实际目标综合分析” 的能力.
环节三：全班展学，互动深入 探究活动三： 思考交流： 10个苹果的直径如图6-6所示. (1)若想把这10个苹果分成两组，使每组苹果的“个头”差不多，你想怎么分？说说你分组的理由. (2)一般情况下，如果想把一组数据分成若干组，使每组组内的数据差距不大，且组与组之间的数据差别明显，那么你认为应遵循怎样的分组原则？与同伴进行交流. 解：(1) 将1 号、3 号、4 号苹果分为一组，2 号、5 号、6 号、7 号、8 号、9 号、10 号分为另一组. 理由：从图中提取各苹果直径(单位：mm)：1 号(80)、3 号(81)、4 号(80)的直径集中在左右，数值非常接近；剩余苹果的直径大多在之间，虽有差距，但整体比与前三个苹果的直径差距更小.这样分组能让每组内苹果的 “个头”(直径)更相近. (2) 分组原则 应遵循 “组内数据集中，组间数据差异明显” 的原则： 组内：将数值相近的数据分在同一组，使组内数据的波动(差距)尽可能小； 组间：让不同组的数据数值差异尽可能大，保证组与组之间 “差别明显”. 可通过观察数据的分布范围(如最小值、最大值的跨度)、集中趋势(如哪些数值更集中出现)来确定分组. 总结归纳： 在统计学里，分组的方法有很多，其中较常用的方法是使“组内离差平方和达到最小”.多组数据的组内离差平方和是指每组数据的离差平方和的和. 探究活动四： 例题精讲： 按照“组内离差平方和达到最小”的方法，把图6-6中的10个苹果按直径大小分成两组. 解：将10个数据由小到大排序： 65，69，70，75，76，76，78，80，80，81. 把10个数据分成两组，共有9种情况：第一组1个数据{65}，第二组9个数据{69，…，81}；第一组2个数据{65，69}，第二组8个数据{70，…，81}；……；第一组9个数据{65，…，80}，第二组1个数据{81}. 以第2种分组情况为例，计算组内离差平方和.其中，第一组有2个数据{65，69}，这2个数据的平均数是67，故第一组数据的组内离差平方和S1=(65-67)2+(69-67)2=8；第二组有8个数据{70，75，76，76，78，80，80，81}，这8个数据的平均数是77，故第二组数据的组内离差平方和S2=(70-77)2+(75-77)2+…+(81-77)2=90 因此第2种分组情况的组内离差平方和：S=S1+S2=8+90=98. 同理计算其他8种分组情况的组内离差平方和，结果如下： 计算结果表明，第3种情况的组内离差平方和最小.因此把10个苹果按直径大小分成的两组是{65，69，70}，{75，76，76，78，80，80，81}. 总结归纳： 1.分组步骤：①先将数据从小到大排序；②列出所有可能分组；③计算每组的离差平方和，求和后找最小值对应的分组. 2.核心意义：“组内离差平方和最小” 能确保 “组内数据波动最小、集中度最高”，比直观分组更科学，常用于商品分级、数据分类等需精准分组的场景. 3.计算提醒：分组时可分工计算不同情况的平方和，减少运算量；复杂数据可借助计算器或 Excel 辅助，聚焦 “分组原则” 而非单纯运算. 展示 10 个苹果直径数据，引导学生尝试分组并说明理由，总结 “组内集中、组间差异” 的原则. 示范排序数据、计算某分组的离差平方和，引导学生计算其他分组，找出最小值对应的分组. 按直径集中情况分组，分享分组思路，归纳分组原则. 跟着计算不同分组的平方和，发现 “{65，69，70} 和 {75，76，…，81}” 的平方和最小，理解科学分组依据. 让学生初步感知数据分组的直观逻辑，为 “科学分组(组内离差平方和最小)” 做铺垫. 掌握 “组内离差平方和最小” 的分组方法，理解科学分组的合理性，突破 “分组逻辑” 难点.
环节四：巩固内化，拓展延伸 巩固训练 1．一组数据14，15，19，20，24.若分成{14，15}，{19，20，24}两组，则组内离差平方和是 ( ) A．14 B．14.5 C．15 D．15.5 2．在一次期中考试中，某校八年级(1)(2)两班学生的数学成绩(成绩均为整十数)统计如下： 成绩/分5060708090100人数八(1)班351631112八(2)班251112137
请你根据所学的统计知识，分别从平均数、众数、方差等不同角度判断这两个班的考试成绩谁优．
巡视课堂迅速掌握学情 当堂小测，用所学知识解决问题，学生代表回答. 学以致用，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 方差的实际应用： 结合目标决策：若需 “稳定达标”，选方差小、达标率高的数据；若需 “突破极值”，选有高极值的数据； 数据分组原则： 直观原则：组内数据集中、组间数据差异明显； 科学原则：组内离差平方和最小. 组内离差平方和计算： 步骤：①算组内平均数；②算每个数据与平均的偏差平方；③求和；④所有组求和后比较. 教师以提问的形式小结 学生思考自由回答，自我小结 课堂小结可以帮助学生理清所学知识的层次结构，掌握其外在的形式和内在联系，形成知识系列及一定的结构框架.
板书设计 6.1平均数与方差第4课时 一、复习回顾 二、探究活动 三、总结： 方差应用：结合目标(达标 / 极值)决策 分组原则：直观(组内集中)、科学(平方和最小) 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系.
作业设计 基础达标： 1.甲、乙两学生在军训打靶训练中，打靶的总次数相同，且所中环数的平均数也相同，但甲的成绩比乙的成绩稳定，那么两者的方差的大小关系是 (　　) A. B. C. D.不能确定 2.如图是甲、乙两人6次投篮测试(每次投篮10个)成绩的统计图，甲、乙两人测试成绩的方差分别记作，，则　　　 .(填“>”“=”或“<”) 3.按照“组内离差平方和达到最小”的方法，把数据1，3，7，8，10，12，13，15，19，21，24分成两组. 能力提升： 4.下表记录了两位射击运动员的八次训练成绩： 运动员第1次第2次第3次第4次第5次第6次第7次第8次甲107788897乙1055899810
根据以上数据，设甲、乙的平均数分别为 ，， 甲、乙的方差分别为，，则下列结论正确的是 (　　) A.， B.， C.， D.， 5.把数据8，9，12，15，18，19，21，26分成两组，使组内离差平方和最小： 　　　　　　　. 拓展迁移： 6.某试验基地对新培育的甲、乙两个枸杞改良品种各试种200棵，从中各随机抽取10棵，对其产量(kg/棵)进行整理分析.给出了下列部分信息. 甲品种产量：2.0，3.2，3.1，3.2，3.1，2.5，3.2，3.6，3.8，3.9； 乙品种产量：如图所示(不完整). 项目平均数众数方差甲品种3.16a0.294 4乙品种3.163.50.148 4
(1)补全折线统计图(图中要写上数据)； (2)a=　　　　； (3)从枸杞产量的稳定性角度考虑，你认为该基地应推广种植哪个品种的枸杞？并说明理由.
教学反思 本节课通过运动员选拔、苹果分组案例，有效帮助学生突破 “单一统计量决策” 的局限，但仍有不足：一是部分学生在 “结合目标分析” 时，仍忽略达标率、极值等关键信息，需后续设计 “需求与数据特征匹配” 的专项练习；二是组内离差平方和计算繁琐，部分学生因运算耗时未深入理解 “最小原则”，可课前准备简化数据案例，或用 Excel 辅助计算，减少运算干扰；此外，对 “分组原则的实际应用”拓展不足，后续可补充生活案例，让学生更直观感受统计的实用性，进一步落实数据观念.
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分课时学案
课题 6.1平均数与方差第4课时 单元 第六单元 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1.能运用方差分析数据稳定性，结合实际需求作出合理决策；初步理解 “组内离差平方和最小” 的分组原则，能完成简单数据分组计算； 2.通过分析运动员选拔、苹果分组等问题，经历 “明确需求 — 分析数据特征 — 决策 / 分组验证” 的过程，提升数据分析与逻辑推理能力； 3.体会统计知识在体育选拔、商品分级中的应用，感受数学与生活的紧密联系，培养根据实际场景灵活运用工具的科学意识.
重点 1.运用方差分析数据稳定性，并结合实际需求作出决策； 2.理解 “组内离差平方和最小” 的分组意义，能完成简单数据的分组计算.
难点 根据具体实际需求，综合方差、数据达标率及极值特点选择合适方案；同时理解 “组内离差平方和” 的计算逻辑.
教学过程
导入新课 1. 复习回顾 上节课我们用方差判断了数据稳定性，若甲、乙两支仪仗队身高方差分别为 1.2 和 3.5，哪支队伍身高更整齐？ 2. 情景问题 学校拟从甲、乙两名跳远运动员中选 1 人参赛，10 次选拔赛成绩(单位：cm)如下：甲：585、596、610、598、612、597、604、600、613、601乙：613、618、580、574、618、593、585、590、598、624已知：①夺冠需成绩≥596cm；②破纪录需成绩≥610cm.仅看目前数据，你认为：(1)若目标是夺冠，选甲还是乙？理由是什么？(2)若目标是破纪录，选甲还是乙？理由是什么？
新知讲解 探究活动一： 某日，A，B两地的气温如图6-5所示. (1)不进行计算，说说A，B两地这一天气温的特点. (2)分别计算这一天A，B两地气温的平均数和方差，所得结果与你刚才的看法一致吗？ 探究活动二： 尝试思考： 某校要从甲、乙两名跳远运动员中挑选一人参加一项比赛.在最近的10次选拔赛中，他们的成绩(单位：cm)如下. 甲：585，596，610，598，612，597，604，600，613，601； 乙：613，618，580，574，618，593，585，590，598，624. (1)甲、乙的平均成绩分别是多少？ (2)甲、乙这10次比赛成绩的方差分别是多少？ (3)这两名运动员的运动成绩各有什么特点？ (4)历届比赛成绩表明，成绩达到5.96 m就很有可能夺冠，你认为为了夺冠应选谁参加这项比赛？如果历届比赛成绩表明，成绩达到6.10 m就能打破纪录，那么你认为为了打破纪录应选谁参加这项比赛呢？ 探究活动三： 思考交流： 10个苹果的直径如图6-6所示. (1)若想把这10个苹果分成两组，使每组苹果的“个头”差不多，你想怎么分？说说你分组的理由. (2)一般情况下，如果想把一组数据分成若干组，使每组组内的数据差距不大，且组与组之间的数据差别明显，那么你认为应遵循怎样的分组原则？与同伴进行交流. 探究活动四： 例题精讲： 按照“组内离差平方和达到最小”的方法，把图66中的10个苹果按直径大小分成两组.
课堂练习 巩固训练 1．一组数据14，15，19，20，24.若分成{14，15}，{19，20，24}两组，则组内离差平方和是 ( ) A．14 B．14.5 C．15 D．15.5 2．在一次期中考试中，某校八年级(1)(2)两班学生的数学成绩(成绩均为整十数)统计如下： 成绩/分5060708090100人数八(1)班351631112八(2)班251112137
请你根据所学的统计知识，分别从平均数、众数、方差等不同角度判断这两个班的考试成绩谁优．
作业布置 基础达标： 1.甲、乙两学生在军训打靶训练中，打靶的总次数相同，且所中环数的平均数也相同，但甲的成绩比乙的成绩稳定，那么两者的方差的大小关系是 (　　) A. B. C. D.不能确定 2.如图是甲、乙两人6次投篮测试(每次投篮10个)成绩的统计图，甲、乙两人测试成绩的方差分别记作，，则　　　 .(填“>”“=”或“<”) 3.按照“组内离差平方和达到最小”的方法，把数据1，3，7，8，10，12，13，15，19，21，24分成两组. 能力提升： 4.下表记录了两位射击运动员的八次训练成绩： 运动员第1次第2次第3次第4次第5次第6次第7次第8次甲107788897乙1055899810
根据以上数据，设甲、乙的平均数分别为 ，， 甲、乙的方差分别为，，则下列结论正确的是 (　　) A.， B.， C.， D.， 5.把数据8，9，12，15，18，19，21，26分成两组，使组内离差平方和最小： 　　　　　　　. 拓展迁移： 6.某试验基地对新培育的甲、乙两个枸杞改良品种各试种200棵，从中各随机抽取10棵，对其产量(kg/棵)进行整理分析.给出了下列部分信息. 甲品种产量：2.0，3.2，3.1，3.2，3.1，2.5，3.2，3.6，3.8，3.9； 乙品种产量：如图所示(不完整). 项目平均数众数方差甲品种3.16a0.294 4乙品种3.163.50.148 4
(1)补全折线统计图(图中要写上数据)； (2)a=　　　　； (3)从枸杞产量的稳定性角度考虑，你认为该基地应推广种植哪个品种的枸杞？并说明理由.
参考答案：
例题精讲：
解：将10个数据由小到大排序：
65，69，70，75，76，76，78，80，80，81.
把10个数据分成两组，共有9种情况：第一组1个数据{65}，第二组9个数据{69，…，81}；第一组2个数据{65，69}，第二组8个数据{70，…，81}；……；第一组9个数据{65，…，80}，第二组1个数据{81}.
以第2种分组情况为例，计算组内离差平方和.其中，第一组有2个数据{65，69}，这2个数据的平均数是67，故第一组数据的组内离差平方和S1=(65-67)2+(69-67)2=8；第二组有8个数据{70，75，76，76，78，80，80，81}，这8个数据的平均数是77，故第二组数据的组内离差平方和S2=(70-77)2+(75-77)2+…+(81-77)2=90
因此第2种分组情况的组内离差平方和：S=S1+S2=8+90=98.
同理计算其他8种分组情况的组内离差平方和，结果如下：
计算结果表明，第3种情况的组内离差平方和最小.因此把10个苹果按直径大小分成的两组是{65，69，70}，{75，76，76，78，80，80，81}.
巩固训练：
1.B
2.解：八(1)班总人数为3＋5＋16＋3＋11＋12＝50，
八(2)班总人数为2＋5＋11＋12＋13＋7＝50，
八(1)班＝(50×3＋60×5＋70×16＋80×3＋90×11＋100×12)＝80(分)，
八(2)班＝(50×2＋60×5＋70×11＋80×12＋90×13＋100×7)＝80(分)，
八(1)班众数为70分，八(2)班众数为90分，
s＝[(50－80)2×3＋(60－80)2×5＋…＋(100－80)2×12]＝244，
s＝[(50－80)2×2＋(60－80)2×5＋…＋(100－80)2×7]＝180，
∴从平均数看，两个班成绩相同；从众数看，八(2)班成绩较好；从方差看，八(2)班成绩较稳定．
作业设计：
1.A　2.<
3.解：将11个数据分为2组，共有10种情况：第1组1个数据{1}，第2组10个数据{3，…，24}；第1组2个数据{1，3}，第2组9个数据{7，…，24}……第1组10个数据{1，…，21}，第2组1个数据{24}.计算10种分组情况的组内离差平方和，结果如下：
分组情况 组内离差平方和
第一组1个，第二组10个 395.6
第一组2个，第二组9个 282
第一组3个，第二组8个 238.167
第一组4个，第二组7个 192.179
第一组5个，第二组6个 168.133
第一组6个，第二组5个 166.033
第一组7个，第二组4个 162.179
第一组8个，第二组3个 178.542
第一组9个，第二组2个 266.056
第一组10个，第二组1个 374.9
计算结果表明第7种情况的组内离差平方和最小，因此把数据分成的两组是{1，3，7，8，10，12，13}，{15，19，21，24}.
4.A　解析：×(10+7+7+8+8+8+9+7)=8，×(10+5+5+8+9+9+8+10)=8，×[(10-8)2+(7-8)2+(7-8)2+(8-8)2+(8-8)2+(8-8)2+(9-8)2+(7-8)2]=1，×[(10-8)2+(5-8)2+(5-8)2+(8-8)2+(9-8)2+(9-8)2+(8-8)2+(10-8)2]=，所以，.故选A.
5.{8，9，12，15}，{18，19，21，26}
解析：将8个数据分为2组，共有7种情况：第1组1个数据{8}，第2组7个数据{9，…，26}；第1组2个数据{8，9}，第2组6个数据{12，…，26}……第1组7个数据{8，…，21}，第2组1个数据{26}.计算8种分组情况的组内离差平方和，结果如下：
分组情况 组内离差平方和
第一组1个，第二组7个 194.857
第一组2个，第二组6个 118
第一组3个，第二组5个 75.467
第一组4个，第二组4个 68
第一组5个，第二组3个 95.2
第一组6个，第二组2个 118
第一组7个，第二组1个 153.714
计算结果表明第4种情况的组内离差平方和最小，因此把数据分成的两组是{8，9，12，15}，{18，19，21，26}.
6.解：(1)设乙品种第7棵的产量为x kg.
由题意，得(2.5+2.7+3.5+3.0+3.4+2.7+x+3.6+3.5+3.2)÷10=3.16，
解得x=3.5.
所以补全折线统计图，如图所示：
(2)3.2
(3)该基地应推广种植乙品种的枸杞.理由：因为乙品种产量的方差为0.148 4，甲品种产量的方差为0.294 4，0.148 4<0.294 4，
所以乙品种的枸杞产量更加稳定.
所以该基地应推广种植乙品种的枸杞.
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第六章 数据的分析
6.1平均数与方差第4课时
01
教学目标
02
新知导入
03
新知探究
04
巩固训练
05
课堂小结
06
作业设计
01
教学目标
能运用方差分析数据稳定性，结合实际需求作出合理决策；初步理解 “组内离差平方和最小” 的分组原则，能完成简单数据分组计算；
01
通过分析运动员选拔、苹果分组等问题，经历 “明确需求—分析数据特征—决策/分组验证” 的过程，提升数据分析与逻辑推理能力；
02
体会统计知识在体育选拔、商品分级中的应用，感受数学与生活的紧密联系，培养根据实际场景灵活运用工具的科学意识.
03
02
新知导入
复习回顾：
上节课我们用方差判断了数据稳定性，若甲、乙两支仪仗队身高方差分别为1.2和 3.5，哪支队伍身高更整齐？
因为1.2<3.5，
所以甲队更整齐，
方差越小，数据波动越小，身高越整齐.
02
新知导入
学校拟从甲、乙两名跳远运动员中选 1 人参赛，10 次选拔赛成绩(单位:cm)如下:甲:585、596、610、598、612、597、604、600、613、601乙:613、618、580、574、618、593、585、590、598、624已知:①夺冠需成绩≥596cm；②破纪录需成绩≥610cm.
仅看目前数据，你认为:(1)若目标是夺冠，选甲还是乙？理由是什么？
(2)若目标是破纪录，选甲还是乙？理由是什么？
(1)选甲:甲平均成绩约 601.6cm，乙约 599.3cm，甲略高；且甲成绩≥596cm 的有 9 次(达标率 90%)，乙仅 7 次(70%)，甲达标更稳定；
(2)选乙:乙有 618、624cm 的高极值(≥610cm 的有 4 次)，甲虽稳定但极值最高 613cm，乙破纪录可能性更大.
03
新知探究
从折线图的波动趋势和整体水平判断:
A 地:气温折线起伏较大，说明气温变化幅度大(昼夜温差大)；
B 地:气温折线较为平缓，说明气温变化幅度小(昼夜温差小)；
且 B 地气温整体高于 A 地.
某日，A，B两地的气温如图6-5所示.
(1)不进行计算，说说A，B两地这一天气温的特点.
03
新知探究
计算平均数得:， ，
方差:， ，
平均数:，说明 B 地平均气温更高；
方差:，说明 A 地气温波动更大(变化幅度大)，B 地气温更平缓.
某日，A，B两地的气温如图6-5所示.
(2)分别计算这一天A，B两地气温的平均数和方差，所得结果与你刚才的看法一致吗？
03
新知探究
某校要从甲、乙两名跳远运动员中挑选一人参加一项比赛.在最近的10次选拔赛中，他们的成绩(单位:cm)如下.
甲:585，596，610，598，612，597，604，600，613，601；
乙:613，618，580，574，618，593，585，590，598，624.
(1)甲、乙的平均成绩分别是多少？
(1)=(585+596+610+598+612+597+604+600+613+601)÷10=601.6(cm)，
=(613+618+580+574+618+593+585+590+598+624)÷10=599.3(cm)，
03
新知探究
某校要从甲、乙两名跳远运动员中挑选一人参加一项比赛.在最近的10次选拔赛中，他们的成绩(单位:cm)如下.
甲:585，596，610，598，612，597，604，600，613，601；
乙:613，618，580，574，618，593，585，590，598，624.
(2)甲、乙这10次比赛成绩的方差分别是多少？
(3)这两名运动员的运动成绩各有什么特点？
(2)=65.84；=284.21.
(3)由上面计算结果可知:甲队员的平均成绩较好，也比较稳定，乙队员的平均成绩没有甲队员好，也不稳定.
03
新知探究
(4)历届比赛成绩表明，成绩达到5.96 m就很有可能夺冠，你认为为了夺冠应选谁参加这项比赛？如果历届比赛成绩表明，成绩达到6.10 m就能打破纪录，那么你认为为了打破纪录应选谁参加这项比赛呢？
(4)从平均数分析可知，甲、乙两队员都有夺冠的可能.但由方差分析可知，甲队员成绩比较平稳，夺冠的可能性比乙队员大.但要打破纪录，成绩要比较突出，因此乙队员打破纪录的可能性大，我认为为了打破纪录，应选乙队员参加这项比赛.
03
新知探究
10个苹果的直径如图6-6所示.
(1)若想把这10个苹果分成两组，使每组苹果的“个头”差不多，你想怎么分？说说你分组的理由.
(1) 将1号，3号，4号苹果分为一组，2号，5号，6号，7号，8号，9 号，10号分为另一组.
理由:从图中提取各苹果直径(单位:mm):1号(80)，3号(81)，4号(80)的直径集中在左右，数值非常接近；剩余苹果的直径大多在之间，虽有差距，但整体比与前三个苹果的直径差距更小.这样分组能让每组内苹果的 “个头”(直径)更相近.
03
新知探究
10个苹果的直径如图6-6所示.
(2)一般情况下，如果想把一组数据分成若干组，使每组组内的数据差距不大，且组与组之间的数据差别明显，那么你认为应遵循怎样的分组原则？与同伴进行交流.
(2) 分组原则:应遵循 “组内数据集中，组间数据差异明显” 的原则:
组内:将数值相近的数据分在同一组，使组内数据的波动(差距)尽可能小；组间:让不同组的数据数值差异尽可能大，保证组与组之间 “差别明显”.
可通过观察数据的分布范围(如最小值、最大值的跨度)、集中趋势(如哪些数值更集中出现)来确定分组.
在统计学里，分组的方法有很多，其中较常用的方法是使“组内离差平方和达到最小”.
多组数据的组内离差平方和是指每组数据的离差平方和的和.
方法总结
03
新知探究
分析
首先将数据排序后，分成两组，根据不同的分组情况计算离差平方和，比较后确定最小的情况即可.
按照“组内离差平方和达到最小”的方法，把图6-6中的10个苹果按直径大小分成两组.
例
03
新知探究
解析
解:将10个数据由小到大排序:
65，69，70，75，76，76，78，80，80，81.
把10个数据分成两组，共有9种情况:
第一组1个数据{65}，第二组9个数据{69，…，81}；第一组2个数据{65，69}，第二组8个数据{70，…，81}；……；第一组9个数据{65，…，80}，第二组1个数据{81}.
03
新知探究
解析
以第2种分组情况为例，计算组内离差平方和.其中，第一组有2个数据{65，69}，这2个数据的平均数是67，故第一组数据的组内离差平方和S1=(65-67)2+(69-67)2=8；第二组有8个数据{70，75，76，76，78，80，80，81}，这8个数据的平均数是77，故第二组数据的组内离差平方和S2=(70-77)2+(75-77)2+…+(81-77)2=90
因此第2种分组情况的组内离差平方和:S=S1+S2=8+90=98.
03
新知探究
解析
同理计算其他8种分组情况的组内离差平方和，结果如下:
03
新知探究
解析
计算结果表明，第3种情况的组内离差平方和最小.
因此把10个苹果按直径大小分成的两组是{65，69，70}，{75，76，76，78，80，80，81}.
03
新知探究
1.分组步骤:①先将数据从小到大排序；
②列出所有可能分组；
③计算每组的离差平方和，求和后找最小值对应的分组.
方法总结
03
新知探究
2.核心意义:“组内离差平方和最小” 能确保 “组内数据波动最小、集中度最高”，比直观分组更科学，常用于商品分级、数据分类等需精准分组的场景.
3.计算提醒:分组时可分工计算不同情况的平方和，减少运算量；复杂数据可借助计算器或 Excel 辅助，聚焦 “分组原则” 而非单纯运算.
方法总结
03
新知探究
04
巩固训练
1.一组数据14，15，19，20，24.若分成{14，15}，{19，20，24}两组，则组内离差平方和是 ( )
A．14 B．14.5 C．15 D．15.5
D
2.在一次期中考试中，某校八年级(1)(2)两班学生的数学成绩(成绩均为整十数)统计如下:
请你根据所学的统计知识，分别从平均数、众数、方差等不同角度判断这两个班的考试成绩谁优．
成绩/分 50 60 70 80 90 100
人数 八(1)班 3 5 16 3 11 12
八(2)班 2 5 11 12 13 7
解:八(1)班总人数为3＋5＋16＋3＋11＋12＝50，
八(2)班总人数为2＋5＋11＋12＋13＋7＝50，
(分)，
(分)，
八(1)班众数为70分，八(2)班众数为90分，
∴从平均数看，两个班成绩相同；从众数看，八(2)班成绩较好；
从方差看，八(2)班成绩较稳定．
04
巩固训练
05
课堂小结
通过本节课的学习你收获了什么？
方差的实际应用:
结合目标决策:若需 “稳定达标”，选方差小、达标率高的数据；若需 “突破极值”，选有高极值的数据；
数据分组原则:
直观原则:组内数据集中、组间数据差异明显；
科学原则:组内离差平方和最小.
组内离差平方和计算:
步骤:①算组内平均数；②算每个数据与平均的偏差平方；③求和；④所有组求和后比较.
2.如图是甲、乙两人6次投篮测试(每次投篮10个)成绩的统计图，甲、乙两人测试成绩的方差分别记作，，则　　　 .(填“>”“=”或“<”)
1.甲、乙两学生在军训打靶训练中，打靶的总次数相同，且所中环数的平均数也相同，但甲的成绩比乙的成绩稳定，那么两者的方差的大小关系是 (　　)
A. B. C. D.不能确定
06
作业设计
基础达标：
A
<
3.按照“组内离差平方和达到最小”的方法，把数据1，3，7，8，10，12，13，15，19，21，24分成两组.
06
作业设计
基础达标：
解:将11个数据分为2组，共有10种情况:第1组1个数据{1}，第2组10个数据{3，…，24}；第1组2个数据{1，3}，第2组9个数据{7，…，24}……第1组10个数据{1，…，21}，第2组1个数据{24}.计算10种分组情况的组内离差平方和，结果如下:
06
作业设计
分组情况 组内离差平方和
第一组1个，第二组10个 395.6
第一组2个，第二组9个 282
第一组3个，第二组8个 238.167
第一组4个，第二组7个 192.179
第一组5个，第二组6个 168.133
第一组6个，第二组5个 166.033
第一组7个，第二组4个 162.179
第一组8个，第二组3个 178.542
第一组9个，第二组2个 266.056
第一组10个，第二组1个 374.9
计算结果表明第7种情况的组内离差平方和最小，
因此把数据分成的两组是{1，3，7，8，10，12，13}，{15，19，21，24}.
4.下表记录了两位射击运动员的八次训练成绩:
根据以上数据，设甲、乙的平均数分别为 ，， 甲、乙的方差分别为，，则下列结论正确的是 (　　)
A.， B.，
C.， D.，
06
作业设计
能力提升：
运动员 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次
甲 10 7 7 8 8 8 9 7
乙 10 5 5 8 9 9 8 10
A
06
作业设计
5.把数据8，9，12，15，18，19，21，26分成两组，使组内离差平方和最小:
解析:将8个数据分为2组，共有7种情况:第1组1个数据{8}，第2组7个数据{9，…，26}；第1组2个数据{8，9}，第2组6个数据{12，…，26}……第1组7个数据{8，…，21}，第2组1个数据{26}.计算8种分组情况的组内离差平方和，结果如下:
分组情况 组内离差平方和
第一组1个，第二组7个 194.857
第一组2个，第二组6个 118
第一组3个，第二组5个 75.467
第一组4个，第二组4个 68
第一组5个，第二组3个 95.2
第一组6个，第二组2个 118
第一组7个，第二组1个 153.714
计算结果表明第4种情况的组内离差平方和最小，
因此把数据分成的两组是{8，9，12，15}，{18，19，21，26}.
06
作业设计
迁移拓展：
6.某试验基地对新培育的甲、乙两个枸杞改良品种各试种200棵，从中各随机抽取10棵，对其产量(kg/棵)进行整理分析.给出了下列部分信息.
甲品种产量:2.0，3.2，3.1，3.2，3.1，2.5，3.2，3.6，3.8，3.9；
乙品种产量:如图所示(不完整).
(1)补全折线统计图(图中要写上数据)；
(2)a=　　　　；
(3)从枸杞产量的稳定性角度考虑，
你认为该基地应推广种植哪个品种的枸杞？并说明理由.
项目 平均数 众数 方差
甲品种 3.16 a 0.294 4
乙品种 3.16 3.5 0.148 4
06
作业设计
迁移拓展：
解:(1)设乙品种第7棵的产量为x kg.
由题意，得(2.5+2.7+3.5+3.0+3.4+2.7+x+3.6+3.5+3.2)÷10=3.16，
解得x=3.5.
所以补全折线统计图，如图所示:
(2)3.2
06
作业设计
迁移拓展：
(3)该基地应推广种植乙品种的枸杞.
理由:因为乙品种产量的方差为0.148 4，甲品种产量的方差为0.294 4，
0.148 4<0.294 4，
所以乙品种的枸杞产量更加稳定.
所以该基地应推广种植乙品种的枸杞.
Thanks!
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