资源简介

(共75张PPT)
19.1　二次根式及其性质
第十九章 二次根式
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
二次根式
二次根式有意义的条件
二次根式的性质
知识点
二次根式
知1－讲
1
1. 二次根式的定义：一般地，我们把形如 (a ≥ 0)的式子叫作二次根式.二次根式也是代数式.
此处省略了根指数2，不要误认为根指数是1或没有根 指数.
知1－讲
示 例 是二次根式.
二次根号不能少
被开方数是非负数
判断二次根式时，是对式子本身进行判断，而不是对计算后的结果进行判断
知1－讲
特别提醒
二次根式应满足两个条件：
1.含有二次根号“”；
2. 被开方数是正数或0. 特别地，形如b(a≥0)的式子也是二次根式，它表示b与的乘积；当b是带分数时，要写成假分数.例如2要写成.
知1－讲
2. 二次根式的特征
(1)必须含有二次根号“”；
(2)二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子.
知1－讲
特别解读
a≥0是二次根式的前提，反之，如果是二次根式，就意味着满足a≥0这一隐含条件.
知1－练
例 1
给出下列式子：
① ； ② ； ③ ；
④ ； ⑤ ； ⑥ .
其中一定是二次根式的是_________(填序号).
①③⑤
知1－练
思路引导：识别二次根式的方法
知1－练
解：
序号 结论 理由
①③⑤ 是 含有二次根号，且被开方数(－2)2，0，
a2＋1 都是非负数
② 不是 “”是三次根号，不是二次根号
④ 不一定 虽然含有二次根号，但被开方数x＋y 可能是负数
⑥ 不是 虽然含有二次根号，但被开方数 －2a2－1 ＜ 0
知1－练
1－1. 若式子是二次根式，则a的值不可以是(　　)
A. 0 B. －2
C. 2 D. 4
B
知1－练
1－2.[期末·北京密云区]在式子① ；② ；③ (x＞－1)；④ ； ⑤ ；⑥ 中，是二次根式的有_______(填序号)．
③④⑥
知1－练
当x＝3时，二次根式的值是________.
2
例 2
解题秘方：将x的值代入二次根式，化简算术平方根即可.
解：当x＝3时，＝＝＝2.
知1－练
2－1.[期中·温州鹿城区]当x＝－4时，二次根式的值是________.
1
知2－讲
1. 二次根式有无意义的条件
知识点
二次根式有意义的条件
2
条件 字母表示
二次根式有意义 被开方数为非负数 有意义a≥0
二次根式无意义 被开方数为负数 无意义a<0
知2－讲
2. 使式子有意义的字母取值范围的类型(拓展)
类型 条件
二次根式型 被开方数大于或等于0
分式型 分母不等于0
负整数和零指数幂型 底数不为0
复合型 取各条件下字母取值范围的公共部分
知2－讲
巧记口诀
二次根式有意义，被开方数非负数；
二次根式无意义，被开方数是负数；
单个二次根式时，列出不等式求解；
复合形式的式子，列不等式组求解.
知2－练
当a满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义？
(1)； (2)；
(3)； (4)＋(a＋5)0；
(5)－； (6).
例 3
知2－练
解题秘方：要使式子有意义，必须保证组成该式子的每一部分都有意义，即字母取值是各部分有意义的条件的公共部分.
知2－练
解：(1)由a－1 ≥ 0，得a ≥ 1.
当a ≥ 1 时，在实数范围内有意义.
(2)≥ 0 且3－a ≠ 0，得3－a＞0，故a＜3.
当a＜3时，在实数范围内有意义.
二次根式的被开方数是非负数
分母不为0
知2－练
(3)因为不论a为何值，(a＋1)2 ≥ 0 恒成立，
所以a取任意实数，在实数范围内都有意义.
(4)由得
当a ≤ －3 且a ≠ －5 时，＋(a＋5)0在实数范围内有意义.
知2－练
(5)由得
当2 ≤ a ≤ 5 时，－在实数范围内有意义.
(6)由得
当a ≥ －4 且a ≠ 2 时，在实数范围内有意义.
知2－练
3－1. [中考·无锡]若二次根式有意义，则x的取值范围为(　　)
A．x＞ B．x＜ C．x≥ D．x≤
D
知2－练
3－2. 已知x为正整数，写出一个使在实数范围内没有意义的x的值是________.
3－3. 若式子在实数范围内有意义， 则m的取值范围是______________.
1(或2)
m≥－1且m≠3
知3－讲
知识点
二次根式的性质
3
1. 二次根式的性质
性质 文字语言 应用及拓展
≥ 0(a ≥ 0) 一个非负数的算术平方根是非负数 (1)三类常见的非负数：，
|a|，a2；
(2)若＋|b|＋c2＝0，则a＝0，b＝0，c＝0，即若几个非负数的和等于0，则这几个非负数均为0
二次根式具有
双重非负性
知3－讲
续表
性质 文字语言 应用及拓展
()2＝a (a ≥ 0) 一个非负数的算术平方根的平方等于这个数本身 (1)正用公式：()2＝2，
()2＝a2＋2；
(2)逆用公式：若a ≥ 0，则a＝
()2，如5＝()2，＝()2
知3－讲
续表
性质 文字语言 应用及拓展
＝|a|＝ 一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值 (1)正用公式：化简形如的
式子时，先转化为|a|，再根
据a的符号去掉绝对值符号，如＝|π－4|＝4－π；
(2)逆用公式：若a ≥ 0，则
a＝，如3＝
知3－讲
特别提醒
对于公式 ()2＝a(a ≥ 0)，无论是正用，还是逆用，都要注意前提：a ≥ 0.
知3－讲
2. ()2与的相同点与不同点
()2
不 同 点 表达的意义 表示非负数a的算术平方根的平方 表示实数a的平方的算术平方根
包含的运算顺序 先开方再平方 先平方再开方
a的取值范围 a ≥ 0 a为任意实数
结果的表达形式 ()2＝a(a ≥ 0) ＝|a|＝
知3－讲
续表
()2
相同点 ()2和均为非负数；当a ≥ 0 时， ()2＝
知3－讲
速记口诀
平方在外面，直接去根号；
平方在里面，得到绝对值，分类来讨论.
知3－练
(1)若y＝＋＋2，则xy＝_____.
(2)若实数m，n满足|m－n－5|＋＝0，则3m＋n＝________.
解题秘方：紧扣二次根式定义中的双重非负性：“a ≥ 0， a ≥ 0”进行解答.
例 4
9
7
知3－练
解：(1)由二次根式中被开方数的非负性，得
故x＝3.
由y＝＋＋2，
得y＝2.
所以xy＝32＝9.
当互为相反数的两个数同时作为二次根式的被开方数时，这两个被开方数都为0
知3－练
(2)由绝对值的非负性和二次根式的非负性，得
解得
所以3m＋n＝3×3－2＝7.
几个非负数的和等于0，那么每个非负数都等于0
知3－练
4－1.[中考·宿迁]若实数m，n满足等式|m－2|＋＝0， 且m，n恰好是等腰三角形ABC的两条边的边长，则△ABC 的周长是(　　)
A．12 B．10 C．8 D．6
4－2. 若|a－2|＋＋(c＋)2＝ 0, 则abc的值是______.
B
2
知3－练
计算：(1)()2；(2)；(3)；
(4)(－2)2；(5).
解题秘方：紧扣“二次根式的性质的两公式”进行计算.
例 5
知3－练
解：(1)()2＝.
(2)＝ |－6|＝6.
(3)＝＝10－1＝.
(4)(－2)2＝(－2)2×()2＝4×2＝8.
(5)＝ |3.14－π|＝π－3.14.
幂的乘方的逆用，
即amn＝(am)n＝(an)m
a－n＝(a≥0)
(b)2＝b2()2＝b2a(a≥0)
知3－练
温馨提示：
(1)运用()2＝a(a ≥ 0)进行计算时，要严格按照公式进行，在遇到积的乘方时，可运用公式(ab)n＝anbn进行 计算；
(2)化简形如的式子时，先转化为|a|的形式，再根据a 与0 的大小去掉绝对值符号.
知3－练
5－1. 已知＝1－2a, 那么a 的取值范围是(　　)
A．a＞ B．a＜
C．a ≥ D．a ≤
D
知3－练
5－2. 计算：
(1)(－)2＝_______；
(2)(3)2＝_______；
(3)＝_______；
(4)＝________.
2
45
二次根式及其性质
()2＝a(a≥0)
≥ 0
a ≥ 0
定义
二次根式
性质
＝|a|
若已知实数a，b，c满足＋＋＝2，求ab＋bc的值.
例 6
思路引导：
题型
利用二次根式的性质求值
1
解：由题意得(a2＋2 025)(b－6)≥ 0.
又因为a2＋2 026>0，所以 b－6 ≥ 0. 所以b ≥ 6.
所以＝ |10－2b|＝2b－10.
所以 ＋＋2b－10＝2.
所以 ＋＋(2b－12)＝0.
因为 ≥ 0，≥ 0 ，2b－12 ≥ 0，
所以 a＋b＋c＝0，(a2＋2 025)(b－6)＝ 0 ，2b－12＝0.
所以b＝6，a＋c＝－6.
所以ab＋bc＝b(a＋c)＝6×(－6)＝－36.
解法提醒
1. 二次根式的双重非负性是解决二次根式问题的一个重要隐含条件.
2. 非负数除了三个常见形式，，|a|以外，还可以根据取值范围直接确定为非负数.
题型
利用二次根式的性质化简
2
已知实数a，b在数轴上对应点的位置如图19.1－1所 示.试化简：＋＋＋－ .
例 7
类型1 结合数轴化简
思路引导：
解：由数轴上点的位置可知0＜a＜1，b＜－1，
所以a－b>0，b－1＜0，a－1＜0.
则＋＋＋－
＝|a|＋|b|＋|a－b|＋|b－1|－|a－1|
＝a－b＋a－b＋1－b－(1－a)
＝3a－3b.
解题通法
运用 ＝|a|进行化简时，其关键步骤是去绝对值符号，而去绝对值符号的关键是判断绝对值符号内的代数式的符号. 如例7是根据字母在数轴上对应点的位置来确定的，因此一定要结合具体问题(如数轴、几何图形的特征等)确定其符号，然后进行化简.
设a，b，c分别为一个三角形的三边长，化简：
＋|a－b－c|＋－.
例 8
思路引导：
类型2 结合三角形三边关系化简
解：∵a，b，c分别为一个三角形的三边长，
∴a＋b＋c>0，a－b－c＜0，b－a－c＜0，c－b－a＜0.
∴原式＝|a＋b＋c|＋|a－b－c|＋|b－a－c|－|c－b－a|
＝(a＋b＋c)－(a－b－c)－(b－a－c)＋(c－b－a)
＝a＋b＋c－a＋b＋c－b＋a＋c＋c－b－a
＝4c.
知识链接
三角形三边关系：
三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.
已知x为任意实数，化简：＋.
例 9
类型3 分段化简
思路引导：
解：＋＝＋
＝|x－1|＋|x＋3|.
(1)当x＜－3时，x－1＜0，x＋3＜0,
∴原式＝1－x－x－3＝－2x－2；
(2)当－3≤x≤1时，x－1≤0，x＋3≥0，
∴原式＝1－x＋x＋3 ＝4；
(3)当x＞1 时，x－1＞0，x＋3＞0，
∴原式＝x－1＋x＋3＝2x＋2 .
方法总结
“零点分段法”：
利用代数式的零点进行分类讨论，从而解决含有绝对值的式子的运算的方法称为“零点分段法”．
易错点
利用二次根式的性质计算时，忽略二次根式有意义的条件而出错
计算：＋.
错解：＋＝5－x＋x－6＝－1.
例10
正解：由5－x ≥ 0，得x ≤ 5，故x－6<0.
所以＋＝5－x＋6－x＝11－2x.
诊误区：
对于此类含字母的二次根式计算题，先根据其有意义的条件确定字母的取值范围，再计算.
[中考·烟台]若代数式在实数范围内有意义，则x 的取值范围为_______．
x＞1
考法
利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围
1
例11
试题评析：本题考查二次根式有意义的条件，同时还要注意分母不为零.
解：∵代数式在实数范围内有意义，
∴ x－1＞0，解得x＞1.
[中考·乐山]已知1＜x＜2，化简＋|x－2|的结果为(　　)
A．－1 B．1
C．2x－3 D．3－2x
考法
利用二次根式的性质化简
2
例12
试题评析：本题考查二次根式、绝对值的化简，正确判断式子的符号及掌握二次根式、绝对值的性质是解题关键.
答案：B
解：∵ 1＜x＜2，
∴ x－1>0，x－2<0.
∴ ＋|x－2|＝x－1＋2－x＝1．
[中考· 成都]若m，n 为实数，且(m＋4)2＋＝0，则(m＋n)2的值为_______．
考法
利用二次根式的非负性求值
3
例14
1
试题评析：本题考查了平方的非负性及二次根式的非负性，根据“几个非负数的和等于0，则每一个非负数都等于0”列式是解题的关键.
解： ∵ m，n 为实数，且(m＋4)2＋＝0，
∴ m＋4＝0，n－5＝0，解得m＝－4，n＝5.
∴(m＋n)2＝(－4＋5)2＝1．
1. [中考·连云港]若在实数范围内有意义，则x 的取值范围是( )
A. x ≤ 1 B. x ≥ 1
C. x ≤ －1 D. x ≥ －1
D
2. [中考·安徽]下列计算正确的是(　　)
A．＝－a B． ＝－a
C．a3·(－a)2＝a4 D．(－a2)3＝a6
B
3. [母题 教材P5习题T9]若二次根式的值是整数，则下列n 的取值符合条件的是( )
A. n＝12 B. n＝15
C. n＝18 D. n＝16
C
4. 实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则－(b－a－2)的化简结果是(　　)
A．2 B．2a－2
C．2－2b D．－2
A
5. 若a 满足|2 026－a|＋＝a，则a－2 0262的值为 (　　)
A．0 B．1
C．2 026 D．2 027
D
6. 已知与|3－a－b|互为相反数，则(a－b)2 027＝__________．
－1
7. 计算：
(1)()2；
(2)(－4)2；
(3)；
(4)－.
8. 座钟的钟摆摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为T＝2π，其中T表示周期(单位：s)，l 表示摆长(单位：m)．假如一台座钟钟摆的摆长为0.2 m.(π取3，g ≈ 9.8 m/s2)
(1)求钟摆摆动的周期．
(2)如果钟摆每摆动一个来回，座钟发出一次滴答声，那么在6 min 内，该座钟大约发出了多少次滴答声？
9. 求代数式a＋的值，其中a＝1 013．如图是小兰和小芳的解答过程：
(1)_______的解法是正确的；
小芳
(2)化简代数式a＋(a＜0)；
(3)若＋＝13，直接写出a的取值范围．
－8≤a≤5.

展开更多......

收起↑