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19.2 二次根式的乘法与除法
第十九章 二次根式
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
二次根式的乘法法则
二次根式乘法法则的逆用
二次根式的除法法则
二次根式除法法则的逆用
最简二次根式
知识点
二次根式的乘法法则
知1－讲
1
符号语言 ·＝(a≥0，b≥0)
文字语言 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变
此法则成立的条件
知1－讲
拓展 (1)二次根式的乘法法则可推广到多个二次根式相乘的情况，即··＝(a≥0,b≥0,c≥0) ；
(2)乘法交换律、结合律在二次根式的乘法中仍然适. 类比单项式乘单项式，可得a·c＝ac (b≥0,d≥0)；
续表
知1－讲
特别提醒
1. 法则中的被开方数a，b既可以是数，也可以是代数式，但都必须是非负的.
2. 如果没有特别说明，本章中的所有字母都表示正数.
知1－练
例 1
计算：
(1)×； (2)·；
(3)6×(－2)； (4)××.
解题秘方：紧扣“二次根式的乘法法则”进行计算.
知1－练
解：(1)×＝＝＝14.
(2)·＝＝.
(3)6×(－2)＝6×(－2)×＝－12＝－12×9＝－108.
(4)××＝＝.
根号外的因数，不要遗漏负号
被开方数有带分数时，要先把带分数化成假分数，再运用法则计算
知1－练
1－1．计算：
(1)×；
(2)3×2；
(3)××．
知2－讲
知识点
二次根式乘法法则的逆用
2
1. 二次根式乘法法则的逆用：＝·(a ≥ 0， b ≥ 0)
语言叙述：积的算术平方根等于积中各个因数或因式的算术平方根的积.
知2－讲
2. 逆用二次根式乘法法则化简的步骤
(1)将被开方数进行因数分解或因式分解，如化简时，先化成 的形式；
(2)利用＝·(a ≥ 0，b ≥ 0)和 ＝a(a ≥ 0)，将能开得尽方的因数或因式开到根号外，如＝＝3.
拓展： ＝··(a ≥ 0，b ≥ 0，c ≥ 0).
知2－讲
特别解读
1. 公式中的a，b既可以是数，也可以是代数式.
2. 当a ＜ 0，b ＜ 0 时，＝＝· .
知2－练
化简：
(1)；(2)； (3)；
(4).
例 2
知2－练
解题秘方：化简二次根式的一些策略
(1)当被开方数是几个因数(或因式)的积的形式时，把数(或因式)中能写成平方形式的写成平方形式，再开平方；
(2)若积中的因数(或因式)不是非负数，应先将其化为非负数，再运用公式化简；
(3)当被开方数是多项式时，要先把被开方数因式分解，再化简.
知2－练
解：(1)＝＝×＝3；
(2)＝
＝＝ ×＝2；
(3)＝＝
＝×＝7；
(4)＝··＝··＝2·a·b＝2ab .
先去掉负号，再化简
将被开方数分解为完全平方数与非完全平方数的积
利用平方差公式分解因式
知2－练
2－1. 化简：
(1)；
(2)；
知2－练
(3)；
(4).
知3－讲
知识点
二次根式的除法法则
3
符号语言 ＝(a≥0，b>0)
文字语言 两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变
此法则成立的条件，注意此处b的取值范围与乘法法则中b的取值范围不同
知3－讲
续表
拓展 (1)二次根式的除法法则可推广到多个二次根式相除的情况，如÷÷＝(a≥0,b>0,c>0)；
(2)类比单项式除以单项式可得a÷c＝(a÷c) (b≥0,d>0,c≠0)
知3－讲
特别提醒
进行二次根式的除法运算时，若两个被开方数可以整除，就直接运用二次根式的除法法则进行计算；若两个被开方数不能整除，可以对二次根式化简或变形后再相除.
知3－练
如果＝成立，那么( )
A. a≥8 B. 0≤a≤8 C. a≥0 D. a＞8
例 3
解题秘方：紧扣“二次根式除法法则”成立的条件求解.
解：根据二次根式除法法则成立的条件，得
∴a＞8.
注意：分母不能为0
D
知3－练
3－1.[中考·绵阳]等式＝成立的x的取值范围在数轴上可表示为(　　)
B
知3－练
计算：
(1)； (2)÷；
(3)9÷3； (4)－÷÷.
例 4
知3－练
解题秘方：(1)如果被开方数是带分数，应先将其化成假分数；(2)当a是b的倍数或a，b为分数时，常先利用＝进行计算；(3)当二次根式含有“系数”时，根号外的“系数”对应相除，根号内的被开方数对应相除.
知3－练
解：(1)＝＝＝2.
(2)÷＝＝＝＝3.
(3)9÷3＝(9÷3)＝3＝9.
知3－练
(4)－÷÷＝(－1÷÷1)＝－ ＝－.
知3－练
4－1.下列各式计算正确的是(　　)
A．÷＝9 B．÷＝
C．÷＝5 D．÷＝3
B
知3－练
4－2.计算：
(1)；
(2)－÷()；
知3－练
(3)8÷3÷6.
知3－练
计算：－3×2÷(－).
例 5
解题秘方：紧扣二次根式乘除运算的法则及混合运算的顺序进行计算.
知3－练
解：－3×2÷(－)
＝[(－3)×2÷(－)]
＝(3×2×)＝9.
知3－练
5－1. 计算：×÷.
二次根式除法法则的逆用：＝(a≥0，b>0)
语言叙述：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根
知4－讲
知识点
二次根式除法法则的逆用
4
必须非负
必须为正
知4－讲
特别提醒
利用商的算术平方根的性质可以把被开方数中含有分母的二次根式化成被开方数中不含分母的二次根式.
知4－练
化简：
(1)； (2)；
(3)； (4) (a＞0，b ≥ 0).
例 6
知4－练
解题秘方：(1)若被开方数是带分数，要先化为假分数；
(2)若被开方数的分母是完全平方数(式)，则直接化简；若被开方数的分母不是完全平方数(式)，则分子、分母同乘一个不为0 的整式，使分母变成一个完全平方数(式)，再化简.
知4－练
解：(1)＝＝＝；
(2)＝＝＝＝＝；
知4－练
(3)＝＝＝＝＝；
(4)＝＝.
知4－练
6－1. 化简：
(1)；
(2)
(2).
知5－讲
1. 最简二次根式：满足下面两个条件的二次根式，叫作最简二次根式.
(1)被开方数不含分母；
(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
知识点
最简二次根式
5
知5－讲
特别提醒
在二次根式的运算中，一般要把最后结果化简，使其中的二次根式为最简二次根式，并且分母中不含二次根式.
知5－讲
2. 化简二次根式的一般方法
方法 举例
将被开方数中能开 得尽方的因数或因 式进行开方 ＝＝2；
＝＝a (a ≥ 0,b ≥ 0)
知5－讲
续表
方法 举例
化去根号下的分母 若被开方数中含有带分数，应先将带分数化成假分数 ＝＝＝
若被开方数中含有小数，应先将小数化成分数 ＝＝＝
知5－讲
续表
方法 举例
化去根号下的分母 若被开方数是 分式，应先将分式的分母化成平方的形式 ＝＝＝(a ≥ 0,b>0,c>0)
被开方数是多项式的要进行因式分解 ＝＝＝(x2＋y2)
知5－讲
解题通法
将二次根式化成最简二
次根式的一般步骤：
知5－讲
3. 分母有理化(拓展)
(1)分母有理化：当分母中含有根式时，可根据分式(数)的基本性质化去分母中的根号，这种化去分母中根号的变形叫作分母有理化.
知5－讲
(2)分母有理化的方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的有理化因式(两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式)，化去分母中的根号. 分母的有理化因式不唯一，以运算简便为宜.
知5－讲
特别解读
常用的互为有理化因式：
与k；与k；
与k；±与 ；
a±c与a c等.
知5－练
下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是最简二次根式？不是最简二次根式的，请说明理由.
(1)；(2)；(3)；(4)；(5).
解题秘方：紧扣“最简二次根式的定义”进行判断.
例 7
知5－练
解：(2)(5)是最简二次根式；(1)(3)(4)不是最简二次根式. 理由：(1)被开方数中含有分母，(3)被开方数是小数(即含有分母)，(4)被开方数中含有开得尽方的因数.
知5－练
7－1. 有下列二次根式①；②；③；④2；⑤；⑥. 琪琪说：“最简二次根式只有①④”，嘉嘉 说：“我认为最简二次根式只有③⑥”，则(　　)
A. 嘉嘉说得对 B. 琪琪说得对
C. 嘉嘉和琪琪合在一起对
D. 嘉嘉和琪琪合在一起也不对
C
知5－练
计算：
(1)；(2)；(3)；(4).
解题秘方：对于分母是形如b的式子，分子、分母同乘可使分母不含根号.
例 8
知5－练
解：(1)＝＝×＝2.
(2)＝＝＝.
(3)方法一：＝＝＝＝＝；
方法二：＝＝＝＝＝＝.
(4)＝＝＝.
知5－练
8－1. 计算：
(1)；
(2)；
(3)；
知5－练
(4).
二次根式的乘法与除法
二次根式的乘法
二次根式的除法
互逆关系
积的算术平方根
二次根式的乘除法
顺用
逆用
互逆关系
顺用
逆用
商的算术平方根
最
简
二
次
根
式
题型
根号内外因数(式)的移动
1
把下列各式中根号外的因数(式)移到根号内：
(1)3；(2)－2；(3)x.
例 9
解题秘方：紧扣“a＝ (a≥0)和·＝ (a≥0，b ≥ 0)”对式子进行变形.
解：(1)3＝×＝＝.
(2)－2＝－ ×＝－＝－.
(3)∵－>0 ，∴ x<0 .
∴x＝－·＝－＝－.
解题通法
先判，再移：
1. 如果根号外的式子为正，直接将其平方后移入根号内；
2. 如果根号外的式子为负，保留其负号，再取其相反数，然后将其相反数的平方移入根号内.
题型
二次根式的大小比较
2
比较大小：(1)7与3；(2)－2与－3.
例10
解题秘方：紧扣“被开方数大的算术平方根大”或“两个正数，平方大的正数大”的规律进行比较.
解：(1)方法一：∵ 7＝ ＝，
3＝＝，< ，
∴ < ，即7<3.
方法二：∵(7)2＝49×2＝98，
(3)2＝9×11＝99，98<99，∴(7)2<(3)2 .
又∵ 7>0 ，3>0，∴ 7<3.
(2)－2＝－，－3＝－.
∵ 44<45，∴ < .
∴ － >－，即－2>－3.
方法总结
比较两个二次根式的大小的方法：
1. 可以转化成比较两个被开方数的大小，即可以将根号外的正因数平方后移到根号内，比较移后的被开方数的大小，被开方数大的，其算术平方根也大.
2. 可以将两个二次根式分别平方，计算出结果，再比较大小，此法称为平方法. 依据是：当a>0，b>0时，若a2>b2，则a>b.
题型
二次根式乘除的应用
3
一个直角三角形的两直角边长分别为 cm 和 cm，斜边长为20 cm，求这个直角三角形斜边上的高.
例11
解题秘方：设出斜边上的高，利用面积法建立方程，根据二次根式的乘除解方程.
解：设这个直角三角形斜边上的高为x(cm)，
则×·x＝××.
所以x＝×÷＝××＝＝＝.
因此这个直角三角形斜边上的高为 cm.
解题通法
直角三角形的面积可以表示为两直角边长乘积的一半，也可以表示为乘斜边乘斜边上的高，利用面积法可求斜边上的高.
题型
二次根式的规律探究
4
观察下面式子及其验证过程．
2＝，验证：2＝＝ ＝ ＝.
例12
思路引导：
解：5＝.验证：5＝＝＝＝.
(1)按照上面等式及其验证过程的基本思路，猜想5的变形结果并进行验证；
解： n＝(n 为任意自然数，且n ≥ 2).
验证：n＝·＝＝＝ ＝.
(2)针对上面式子反映的规律，试用含n(n 为任意自然数，且n ≥ 2)的等式表示出来，并验证.
技巧点拨
把二次根号外的正因数平方后移到根号内，式子的值不变. 例如：
－3＝－＝－ .
方法点拨
验证含二次根式的等式时，将等式的一边进行变形，直到与另一边的二次根式相同，等式即得证.
易错点
化简二次根式时忽略题中的隐含条件
1
化简：.
错解：＝＝＝＝.
正解：∵ －a>0，∴ a<0.
∴ ＝＝＝－.
例13
诊误区：
当二次根式的被开方式中含有字母时，不要急于计算，要先分析字母的取值范围.此题中，式子隐含了a<0 这一条件，故等于－a而不是a.
计算：÷·(x>0，y>0).
错解：原式＝÷(·)＝÷1＝＝x.
易错点
乘除混合运算中运算顺序不对而造成错误
2
正解：原式＝x··＝＝＝.
例14
诊误区：
在二次根式的运算中，如果只有乘除，应从左到右依次计算.此题中，因为与恰好是一对互为倒数的式子，在计算时容易先计算后面的乘法运算，从而得出错误答案.
[中考·聊城]计算÷3×的结果正确的是(　　)
A. 1 B.
C. 5 D. 9
考法
二次根式的乘除运算
1
例15
试题评析：本题主要考查二次根式的乘除法运算，正确运用二次根式的乘除法运算法则是解题的关键.
答案：A
解：方法一：原式＝×＝1.
方法二：原式＝÷×＝＝1.
1. 下列各式中，最简二次根式是(　　)
A． B．
C． D．
D
2. [期中·北京海淀区] 下列等式不成立的是( )
A. ÷＝2 B. ×＝
C. ＝2 D. ＝
D
3. 把式子－a根号外的字母移到根号内，正确的结果是( )
A. B. C.－ D.－
B
4. 若＝a，＝b，用含a，b的式子表示，则下列选项正确的是(　　)
A．a3b2 B．
C． D．
C
5. 化简：＝_______.
6. 若计算×m的结果为正整数，则无理数m的值可以是______________(写出一个符合条件的即可).
7. [中考· 烟台]实数3的整数部分为_______.
4
8. 小明做数学题时，发现：＝；＝2×；＝3×；＝4×；…．按此规律，若＝a·(a，b为正整数)，则a＋b＝_______．
73
9. 计算：
(1)[中考·湖北]|－6|－×＋22；
(2)×8÷．
10.高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t(单位：s)和下落高度h(单位：m)近似满足公式t＝(不考虑风速的影响).
(1)从50 m高空抛物到落地所需时间是t1 s，从100 m高空抛物到落地所需时间是t2 s，求t1，t2的值.
(2)t2是t1的多少倍？
(3)高空抛物下落的时间为1.5 s, 高空抛物下落的高度是多少？

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