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19.3 二次根式的加法与减法
第十九章 二次根式
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
可以合并的二次根式
二次根式的加减
二次根式的混合运算
知识点
可以合并的二次根式
知1－讲
1
1. 可以合并的二次根式：将二次根式化成最简二次根式 后，如果被开方数相同，那么这样的二次根式称为可以合并. 如和，化成最简二次根式是2，所以 和 可以合并.
也称为同类二次根式
知1－讲
2. 合并的方法：合并二次根式的方法与合并同类项类似，将根号外的因数或因式相加，根指数和被开方数不变，合并的依据是分配律，如a＋b＝(a＋b)·(m≥0).
可看作二次根式的“系数”
知1－讲
特别提醒
可以合并的二次根式必须同时满足：最简二次根式和被开方数相同这两个条件，它与根号前面的因数(式) 无关.
知1－练
例 1
下列根式中，不能与合并的是( )
A. B. C. D.
解题秘方：紧扣“可以合并的二次根式”的定义中的两个条件进行识别. 判断两个二次根式是否能合并，应先把二次根式化为最简二次根式，然后看被开方数是否相同，相同就能合并，否则不能合并.
知1－练
解：
答案：C
选项 化成最简二次根式 判断被开方数是否相同 结论
A ＝ 与被开方数相同 能合并
B ＝ 与被开方数相同 能合并
C ＝ 与被开方数不同 不能合并
D ＝2 与被开方数相同 能合并
知1－练
1－1.下列各组二次根式中，化简后可以合并的是(　　)
A．与 B．与
C．与 D．与
D
知1－练
若最简二次根式与3可以合并，求的值.
解题秘方：由最简二次根式与3可以合并，可知这两个二次根式的被开方数相同，根指数相同，列出方程组，求出方程组的解，得到m与n 的值，代入原式计算即可.
例 2
知1－练
解：由题意可知解得
故＝＝3.
知1－练
2－1. [期中·梅州梅江区]若最简二次根式与2可以合并，则x＝_______.
－2
知2－讲
1. 二次根式的加减法法则
一般地，二次根式加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并.
知识点
二次根式的加减
2
实质是合并被开方数相同的最简二次根式
知2－讲
2. 二次根式加减运算的步骤
化—将二次根式化成最简二次根式
找—找出被开方数相同的二次根式
并—合并被开方数相同的二次根式：“系数”相加(减)，作为和(差)的“系数”.
知2－讲
3. 二次根式的乘除法与二次根式的加减法的区别
二次根式的乘除法 二次根式的加减法
根号外的 因数(式) 根号外的因数(式)相乘除 根号外的因数(式)相加减
被开方数 被开方数相乘除 被开方数不变
化简 结果化为最简二次根式或整式 先化为最简二次根式，再合并被开方数相同的二次根式
知2－讲
特别提醒
1. 化成最简二次根式后被开方数不相同的二次根式不能合并，但是不能丢弃，它们也是结果的一部分.
2. 整式加减运算中的交换律、结合律、去括号法则、添括号法则在二次根式运算中仍然适用.
知2－练
计算：(1)－；(2)－＋；
(2)＋－－；(3)－(2x－6).
解题秘方：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并. 若有括号，则先利用去括号法则去掉括号再运算.
例 3
知2－练
解：(1)－＝5－4＝2 ；
(2)－＋＝2－4＋＝－.
(3)＋－－＝3＋－－＝＋.
(4)－(2x－6)＝2－2＋3＝3.
知2－练
3－1.[中考·河北]已知：－＝a－＝b，则ab＝________.
3－2.已知某三角形三条边的长分别为cm，cm， cm，则它的周长为________cm.
6
知2－练
3－3.计算：
(1)－＋＋；
知2－练
(2)(－＋2)－(－).
知3－讲
知识点
二次根式的混合运算
3
1. 二次根式的混合运算种类：二次根式的加、减、乘、 除、乘方(或开方)的混合运算.
2. 二次根式的混合运算顺序：先算乘方、开方，再算乘 除，最后算加减，如果有括号就先算括号里面的，与整式的混合运算顺序相同.
3. 二次根式混合运算中的运算依据：实数的运算律(交换律、结合律、分配律)、整式的乘法法则和乘法公式(平方差公式、完全平方公式)在二次根式的运算中仍然适用.
4. 二次根式混合运算的几种常见类型及计算方法
(1)(＋)＝＋；
(2)(＋)(＋)＝＋＋＋；
(3)(＋)(－)＝()2－()2＝a－b；
(4)(±)2＝()2±2＋()2＝a±2＋b；
(5)(＋)÷＝＝；
(6)(＋)÷(－)＝＝＝.
知3－讲
特别提醒
1. 二次根式混合运算的结果应写成最简二次根式( 或整式)的形式，并且分母中不含二次根式.
2. 进行二次根式的开方运算时应使开出的因数(式)是非负数(式).
3. 在进行计算时，能用乘法公式的要尽量使用乘法公式，同时注意合理地运用运算律.
知3－练
计算：
(1)(＋)； (2)(4－3)÷ 2；
(3)(＋2)(－3)； (4)(＋5)(5－)；
(5)(＋2)2； (6)－＋.
例 4
知3－练
解题秘方：二次根式混合运算的要点：
(1)牢记运算顺序和法则并能正确运用；
(2)用运算律和乘法公式可简化运算；
(3)结果必须化成最简二次根式或整式.
知3－练
解：(1)(＋)＝＋＝3＋2；
(2)(4－3)÷ 2＝(4－3)×
＝4×－3×
＝2－;
知3－练
(3)(＋2)(－3)＝6－3＋2－6＝－;
(4)(＋5)(5－)＝(5＋)(5－)＝52－()2＝25－7＝18；
(5)(＋2)2 ＝5＋4＋4＝9＋4；
利用完全平方公式
知3－练
(6)－＋
＝－(1－)＋|1－|
＝2－1＋＋－1
＝4－2.
＝ ÷－
÷＝1－
知3－练
活学巧记
二次根式混合算，加减乘除和乘方，
运算顺序同实数，恰到好处运算律，
乘法公式用到位，计算过程变容易.
知3－练
4－1.[中考·青岛]计算(－)×的结果是(　　)
A． B．1 C． D．3
4－2.计算(－)÷的结果为________.
4－3. 计算：(＋)·(－)2＝________.
B
知3－练
4－4.计算：
(1)÷×2－6.
知3－练
(2)[中考·临沂]|－|＋(－)2－(＋)2.
知3－练
计算：
(1)(＋－)2－(－－)2；
(2)(1＋－)(1－＋)；
(3)(3＋2)2 025(3－2)2 024.
解题秘方：紧扣“乘法公式”和“幂的运算法则”的特征进行灵活计算.根据式子形式，灵活应用乘法公式或整式的乘法法则进行计算，能大大简化运算过程.
例 4
二次根式的加法与减法
可合并的
二次根式
法则
二次根式
的加减法
运算种类
运算顺序
方法
“逆用法则法”化简与计算
1
计算：
(1)(＋－)2－(－－)2；
(2)(1＋－)(1－＋)；
(3)(3＋2)2 027(3－2)2 026.
例 5
解题秘方：逆用法则和公式计算.
解：(1)(＋－)2－(－－)2
＝(＋－＋－－)(＋－－＋＋)
＝(2－2)×2
＝4－12;
逆用平方差公式
(2)(1＋－)(1－＋)
＝[1＋(－)][1－(－)]
＝12－(－)2
＝1－(5－2)＝2－4;
(3)(3＋2)2 027(3－2)2 026
＝[(3＋2)(3－2)]2 026(3＋2 )
＝12 026×( 3＋2)＝3＋2.
添加括号后应用平方差公式
技巧点拨
紧扣“乘法公式”和“幂的运算法则”的特征进行灵活计算. 根据式子形式，逆用乘法公式或整式的乘法法则进行计算，能大大简化运算过程.
方法
“定义法”求值
2
已知a，b是正整数，且＋＝，求a，b 的值.
解题秘方：紧扣“＋＝，即，可以合并”这一特征解答.
例 6
技巧点拨
解答本题的技巧在于巧用“＋＝，即，是可以合并的二次根式”，也就是说，，，可以化为被开方数相同的最简二次根式，利用这一特征解决问题.如按思维习惯把已知等式两边平方，这样等式中的两个未知数a，b是无法求出的.
解：由＋＝，可知，是可以合并的二次根式.
＝＝2，设＝m，＝n.
故m＋n＝2，即(m＋n)＝2.
可得m＋n＝2.
又因为a，b是正整数，所以m，n是正整数.
得m＝n＝1. 所以a＝b＝507.
方法
“整体代入法”求值
3
已知x＝(＋)，y＝(－)，求代数式x2－
xy＋y2的值.
思路引导：
例 7
解：由x＝(＋)，y＝(－)，
得 x＋y＝，xy＝.
所以 x2－xy＋y2＝(x＋y)2－3xy＝()2－3×＝7－＝.
方法点拨
用整体思想求代数式的值的方法：
求关于x，y的对称式(即交换两个字母的位置后，代数式不变)的值，一般先求出x＋y，xy，x－y，等的值，然后将所求对称式进行适当变形，使之成为只含有x＋y，xy，x－y，等的式子，最后将其值整体代入即可求解.
方法
“估值作差法”求值
4
已知a，b 分别是3－的整数部分和小数部分，求
(a－)(b－1)的值.
思路引导：
例 8
解：由1<2<4，得1< <2 . 故1<3－<2 .
所以a＝1，b＝3－－1＝2－.
所以(a－)(b－1)＝(1－)(2－－1)＝(1－)2＝ 3－2.
知识储备
任何一个无理数都可以表示为整数部分与小数部分的和的形式，确定其整数部分和小数部分的方法是先确定该无理数在哪两个连续整数之间，然后估算出整数部分，进而确定其小数部分.
方法
“化简代入法”求值
5
已知a＝，求－的值.
解题秘方：化简a和及所求代数式，将a和代入原式求值.
例 9
解：a＝＝＝ 2－.
显然0所以 －＝－＝ a－1－＝a－1＋. 由a＝，得＝ 2＋.故原式＝2－－1＋(2＋)＝ 3 .
技巧总结
解化简求值问题的常用技巧：
1. 当代数式复杂而字母的值单一时，一般先化简代数式，再把字母的值代入；
2. 当代数式复杂且字母的值含有运算时，一般先将代数式和字母的值同时化简，再把字母的值化简后的结果代入化简后的代数式中求值.
若最简二次根式与能合并成一项，则a＝________.
1
易错点
对能合并的二次根式满足的条件理解不清，导致错误
1
错解：∵被开方数相同的二次根式才能合并，
∴ a＋1＝8，解得a＝7.
正解：∵ 最简二次根式与能合并成一项，且＝2，∴ a＋1＝2，解得a＝1.
例10
诊误区：
被开方数相同的最简二次根式才能合并.此题应先把化成最简二次根式，再根据被开方数相同列出方程求解.
计算：1－12÷×2.
错解：原式＝1－12÷(×2)＝1－12÷12＝1－1＝0.
易错点
混合运算中运算顺序不对而造成错误
2
正解：原式＝1－12××2＝1－2×2＝1－12＝
－11.
例11
诊误区：
此题应该先做除法运算，后做乘法运算，不能认为后两个式子相乘计算简单就先计算乘法.
[中考· 自贡] 计算：－3＝_______.
考法
二次根式的加减法
1
试题评析：本题主要考查二次根式的加减法法则，运用运算法则进行计算是解题的关键.
解：原式＝ －3＝3－3＝0.
0
例12
(1)[中考·聊城]计算(5－2)÷(－)的结果为 (　　)
A. 5 B. －5 C. 7 D. －7
(2)[中考·大连] 计算：(＋1)2－＋(－2)2.
考法
利用二次根式的混合运算顺序进行计算
2
例13
试题评析:本题考查了二次根式的混合运算，正确掌握混合运算顺序和理解乘法公式的结构是解题的关键.
答案：A
解：(1)原式＝(－6)÷(－)＝(－5)÷(－)＝5．
(2)原式＝3＋2－2＋4＝7.
(1)[中考·襄阳] 先化简，再求值：(a＋2b)2＋(a＋2b)(a－2b)＋2a(b－a),其中a＝－，b＝＋.
考法
与二次根式有关的化简求值
3
例14
试题评析：本题主要考查整式的混合运算和二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握整式和二次根式的运算法则；
解：原式＝a2＋4b2＋4ab＋a2－4b2＋2ab－2a2＝6ab.
当a＝－，b＝＋时，
原式＝6×(－)(＋)＝6.
(2)[中考·广元] 先化简，再求值：(＋)÷ , 其中x＝＋1，y＝．
试题评析：本题主要考查分式的混合运算和二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握分式和二次根式的运算法则.
解：原式＝·＝·＝.
当x＝＋1，y＝时，
原式＝＝.
1. 下列二次根式中，化简后能与进行合并的是(　　)
A． B． C． D．
2. [中考·重庆]已知m＝－，则实数m的范围是(　　)
A．2＜m＜3 B．3＜m＜4
C．4＜m＜5 D．5＜m＜6
C
B
3. [中考·包头]若x＝＋1，则代数式x2－2x＋2的值为( )
A．7 B．4 C．3 D．3－2
4. 若等腰三角形的两边长分别为和，则这个三角形的周长为(　　)
A．2＋10 B．4＋5
C．4＋10 D．4＋5或2＋10
C
A
5. [期中·武汉武昌区]正整数a，b满足a＞b，且和是可以合并的二次根式，若＋＝，－＝，则的值为(　　)
A． B． C． D．1
A
6. 计算：(－3)÷＝________.
7. 已知最简二次根式与可以合并， 则＝_________.
3
1
8. 从－，3，6中任意选择两个数，分别填在算式(□＋○)2÷里面的“□”与“○”中，计算该算式的结果是____________________(只需写出一种结果).
9. 观察下列等式：
3－2＝(－1)2，
5－2＝(－)2，
7－2＝(－)2，
…，
请你根据以上规律，写出第6个等式：______________.
10. 计算：
(1)－×；
(2)4－6＋(－)(＋)；
(3)2b＋－(4a＋)(a>0，b>0)；
(4)－(－)÷.
11. 先化简， 再求值：(－)÷ 其中a＝＋1，b＝－1.
12. 已知x＝3＋，y＝3－，求下列各式的值：
(1)x2－y2；
(2)＋.
13.有一块长方形木板，木工师傅采用如图所示的方式，在木板上截出面积分别为18 dm2和32 dm2的两块正方形木板．
(1)截出的两块正方形木板的边长分别为______________；
(2)求剩余木板的面积；
(3)如果木工师傅想从剩余的木板中截出长为1.5 dm，宽为1 dm的长方形木板，最多能截出______块这样的木板．
2

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