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章末核心要点分类整合
第十九章 二次根式
1. 二次根式具有双重非负性：一是a ≥ 0，二是≥ 0.
2. 二次根式的性质
(1)＝|a|；
(2)()2＝a(a ≥ 0)；
(3)＝ · (a ≥ 0，b ≥ 0)；
(4)＝(a ≥ 0，b>0).
3. 两个互逆过程
(1) · (a ≥ 0，b ≥ 0)；
(2) (a ≥ 0，b>0).
4. 常用的有理化因式
与；与；与；＋与－；a＋c与a－c等.
二次根式的乘法
积的算术平方根
二次根式的除法
商的算术平方根
5. 根号外的因数(式)移到根号内的方法
先根据二次根式有意义的条件判断根号外的因数(式)的正负性，(1)如果根号外的因数(式) 是正数，则直接把该因数(式)变成其平方放在根号内；(2)如果根号外的因数 (式)是负数，则把负号留在根号外，把根号外的因数 (式)变成其相反数的平方放在根号内.
专题
二次根式有意义的条件
1
链接中考 >>二次根式有意义的条件是二次根式的核心，也是解决很多二次根式问题的隐含条件.在中考中单独考查较多，有时也与分式进行综合考查.一般都以选择题或填空题的形式出现.
例 1
[中考·包头]若代数式＋在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________.
x≥－1且x≠0
解题秘方：紧扣二次根式和分式有意义的条件，建立不等式组求解是解题的关键.
解：根据题意，得解得x≥－1且x≠0.
专题
二次根式的性质
2
链接中考 >>二次根式的性质是对二次根式进行化简的关键，此类化简题在中考中经常与数轴、绝对值相结合，一般以选择题或填空题的形式考查.
[模拟· 成都双流区]实数a，b在数轴上对应的点的位置如图19－1所示，则化简＋－的结果是(　　)
A．－2 B．0 C．－2a D．2b
例 2
解题秘方：根据数轴得出字母a，b的取值范围，从而得出式子取值的正负，为进一步化简打下基础．
解：由数轴可知－2＜a＜－1，1＜b＜2，∴a＋1＜0，b－1＞0，a－b＜0.
∴原式＝|a＋1|＋|b－1|－|a－b|＝－(a＋1)＋(b－1)＋(a－ b)＝－a－1＋b－1＋a－b＝－2.
答案：A
专题
最简二次根式
3
链接中考 >>最简二次根式(或整式)是二次根式运算的最后结果，识别最简二次根式是最常见的考查形式, 关键就是扣住最简二次根式的两个条件. 在中考中一般以选择题的形式出现.
例 3
[中考·西宁]下列二次根式中，最简二次根式是(　　)
A． B． C． D．
C
解题秘方：对照最简二次根式的概念， 逐一判断.
解：A选项中，可以化为；B选项中，可以化为；D选项中，可以化为5.它们都不是最简二次根式.
专题
二次根式的运算
4
链接中考 >>二次根式的运算包括二次根式的加减乘除以及乘方等运算，二次根式的运算不仅要考虑运算的法则、运算的顺序和运算律，还要注意与整式的乘法公式相结合应用. 在中考中一般以填空题或选择题的形式出现.
[中考·天津]计算(＋1)(－1)的结果为________.
60
解题秘方：根据平方差公式(a＋b)·(a－b)＝a2－b2进行计算即可.
解：原式＝()2－12＝61－1＝60.
例 4
[中考·福建] 计算：20＋|1－ |－ .
解：原式＝1＋－1－2＝－.
解题秘方：本题考查二次根式的运算， 先根据二次根式和绝对值的性质化简， 再进行加减运算.
例 5
专题
整体思想
5
专题解读 >>整体思想就是在数学问题中，对于某些问题，可以从整体角度去思考，即将局部放在整体中去观察分析、探究问题的解决方法，从而使问题得以巧妙解决. 在二次根式的运算中，遇到对称式、倒数式的求值问题时经常用到整体思想.
已知xy＝6，x＋y＝－5，求x＋y的值.
解题秘方：根据已知条件判断x，y的符号，化简所求的代数式，再将已知条件整体代入求值.
例 6
知3－练
解：由题意可知x<0，y<0.
则 x＋y＝x·＋y·＝＋
＝－·(＋)＝－·.
将xy＝6，x＋y＝－5代入，则原式＝－.
专题
数形结合思想
6
专题解读 >>数形结合思想就是根据数学问题的题设和结论之间的内在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义，使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并充分地利用这种结合，使问题得到解决.
[中考·淄博]如图19－2，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为 (　　)
A．
B．2
C．2
D．6
例 7
解题秘方：由题意得到大正方形的边长和小正方形的边长，再求阴影部分的面积.
答案：B
解：由题意可得，大正方形的边长为＝2，小正方形的边长为，
∴图中阴影部分的面积为×(2－)＝2.
类型
利用二次根式的非负性求值
1
题型1 利用二次根式的非负性求字母的值
1. 已知＋＝0，求x，y的值.
题型2 利用二次根式的非负性求最值
2. 当x 取什么实数时，式子＋3的取值最小？并求出这个最小值.
3. [月考·泰州靖江市]已知实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，化简：－|a＋c|＋－.
类型
利用二次根式的性质化简式子
2
类型
巧比较含二次根式的式子的大小
3
方法1 平方法
4. 比较＋与＋的大小
方法2 作商法
5. 比较与的大小.
方法3 作差法
6. 比较与的大小.
方法4 倒数法
7. 已知x＝－，y＝－，试比较x，y的大小.
类型
巧用二次根式化简求值
4
方法1 因式分解法
8. 化简：.
方法2 换元法
9. 化简：＋.
方法3 配方法
10.已知－＝2，求的值.
方法4 辅元法
11. 已知x∶y∶z＝1∶2∶3(x>0，y>0，z>0)，求的值.
方法5 整体代入法
12.已知a－b＝＋，b－c＝－， 求a2＋b2＋c2－ab－ac－bc的值.
方法6 阅读类比法
13.求＋的值.
解：设x＝＋，两边同时平方，得x2＝ ()2＋()2＋2，即x2＝3＋＋3－＋4，∴ x2＝10，即x＝±.
∵ ＋>0，∴ ＋＝ .
请利用上述方法，求＋的值.

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