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20.2 勾股定理的逆定理及其应用
第二十章 勾股定理
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
勾股定理的逆定理
勾股数
知1－讲
知识点
勾股定理的逆定理
1
1. 勾股定理的逆定理: 如果三角形的三边长a，b，c 满足 a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形.
2. 利用边的关系判定直角三角形的步骤
(1)找：找出三角形三边中的最长边；
(2)算：计算其他两边的平方和与最长边的平方；
(3)判：若两者相等，则这个三角形是直角三角形，否则 不是.
知1－讲
3. 勾股定理与其逆定理的关系
勾股定理 勾股定理的逆定理
条件 在Rt△ABC 中，∠A，∠B，∠C 的对边长分别 为a，b，c，∠C＝90° 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边长分别为a，b，c，且a2＋b2＝c2
结论 a2＋b2＝c2 △ABC 为直角三角形，且∠C＝90°
知1－讲
续表
勾股定理 勾股定理的逆定理
关系
知1－讲
特别提醒
1. 勾股定理的逆定理是判定直角三角形的一个依据，在判定时不能说“在直角三角形中”“直角边”“斜边”，因为还没有确定是直角三角形.
2. a2＋b2＝c2只是一种表现形式，满足a2＝b2＋c2或b2＝ a2＋c2的也是直角三角形，只是这时a或b为斜边长.
知1－练
判断满足下列条件的三角形是不是直角三角形：
(1)在△ABC中，∠A＝25°，∠C＝65°；
(2)在△ABC中，AC＝12，AB＝20，BC＝16；
(3)一个三角形的三边长a，b，c 满足a∶b∶c＝1∶1∶ .
例 1
知1－练
解题秘方：直角三角形的判定方法
(1)用角判定：①(定义法)有一个角为90°的三角形是直角三角形；
②(判定定理)有两个角互余的三角形是直角三角形；
(2)用边判定：勾股定理的逆定理.
解：(1)∠B＝180°－25°－65°＝90°.
因此△ABC 是直角三角形.
(2)在△ABC 中，∵ AC2＋BC2＝122＋162＝202＝AB2，
因此△ABC是直角三角形，且∠C为直角.
(3)设a＝x，则b＝x，c＝x.
由x2＋x2＝(x)2，知a2＋b2＝c2.
因此该三角形是直角三角形.
知1－练
已知比例式，设参数，表示边长
知1－练
知识拓展
设三角形的三边长分别为a，b，c(c为最长边的长).
(1)如果a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形；
(2)如果a2＋b2＜c2，那么这个三角形是钝角三角形；
(3)如果a2＋b2＞c2，那么这个三角形是锐角三角形.
知1－练
1－1. 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，那么下面不能判定△ABC是直角三角形的是( )
A. ∠B＝∠C－ ∠A
B. a2＝(b＋c)(b－c)
C. ∠A∶∠B∶∠C ＝5∶4∶3
D. a∶b∶c＝ 5∶4∶3
C
知1－练
学校内有一块如图20.2－1所示的三角形空地，计划开辟为生物园，测得AC＝10 m，BC＝24 m，AB＝26 m. 如果沿CD修一条水渠且D点在AB边上，水渠的造价为130 元/m，当水渠的造价
最低时，CD的长为多少米？
最低造价是多少元？
例 2
知1－练
解题秘方：当CD⊥AB时，水渠的造价最低. 由勾股定理的逆定理推知∠ACB＝90°，所以结合面积法来求CD的长度，然后求其造价即可.
解：因为AC2＋BC2＝100＋576＝676＝AB2，
所以△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°.
当CD⊥AB时，水渠的造价最低.
因此S△ABC＝AB·CD＝AC·BC. 所以CD＝＝＝. ×130＝1 200. 因此，当水渠的造价最低时，CD的长为m，最低造价是1 200 元.
知1－练
知1－练
2－1. 如图， 某港口P 位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口， 各自沿一固定方向航行， 甲、乙轮船每小时分别航行12 n mile和16 n mile，1 h 后两船分别位于点A， B处， 且相距20 n mile. 如果知道
甲船沿北偏西40 °方向航行， 则乙船沿
_________方向航行.
北偏东50°
知2－讲
知识点
勾股数
2
1. 勾股数
定义 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数
意义 某些三角形能根据勾股数快速判断是否为直角三角形
常见 勾股数 常见的勾股数有3，4，5(这是最著名的一组，俗称“勾三股四弦五”)；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41等. 勾股数有无数组
知2－讲
注意
以勾股数为三边长的三角形是直角三角形，但是能构成直角三角形的三条边的数不一定是勾股数.
知2－讲
2. 勾股数的倍数：每组勾股数的相同正整数倍也是勾股 数，即一组勾股数同时扩大为原来的k(k为正整数)倍 后，依然是勾股数. 但注意，每组勾股数缩小为原来的时，虽然三边仍然满足勾股定理，但不一定还是勾股 数. 如：3，4，5是一组勾股数，6，8，10是一组勾股 数，但0.3，0.4，0.5不是一组勾股数.
不是正整数
知2－讲
拓宽视野
1. 毕达哥拉斯发现的勾股数组：2n＋1，2n2＋2n，2n2＋2n＋1(n为正整数).当n＝2时，可以得到一组勾股数5，12，13.
2. 柏拉图发现的勾股数组：2m，m2－1，m2＋1(m>1且m是正整数).当m＝4时，可以得到一组勾股数8，15，17.
知2－练
给出下列数组：
① 5，13，12；② 2，3，4；③ 2.5，6，6.5；④ 32，42，52.
其中勾股数的组数是( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
例 3
知2－练
思路导引：
知2－练
解：
序号 分析 判断
① 因为52＋122＝132，且5，12，13 均是正整数，所以5，12，13 是一组勾股数 是
② 因为22＋32 ≠ 42，所以2，3，4 不是一组勾股数 不是
知2－练
答案：D
序号 分析 判断
③ 因为2.5，6，6.5 不都是正整数，所以2.5，6，6.5 不是一组勾股数 不是
④ 因为32＝9，42＝16，52＝25，92＋162 ≠ 252， 所以32，42，52 不是一组勾股数 不是
知2－练
3－1.下列几组数中，是勾股数的是(　　)
A．1，， B．8，15，17
C．7，14，15 D．，，1
B
勾股定理的逆定理及其应用
勾股定理的逆定理
作用
勾股数
判定直角
勾股定理
由数到形
由形到数
题型
利用勾股定理及其逆定理解决边角问题
1
如图20.2－2，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC边上的中线AD＝6. 求BC 的长.
类型1 求线段的长
例 4
思路引导：
解： 如图20.2－2，延长AD到点M，
使DM＝AD，则AM＝ 2AD＝12.
连接CM，易得△ABD≌△MCD，
∴ CM＝AB＝5.
在△ACM中，AM2＋CM2＝122＋52＝132＝AC2，
∴△ACM为直角三角形，且∠AMC＝90°.
∴在Rt△DCM中，CD＝＝＝.
∵ AD为BC边上的中线，∴ BC＝2CD＝2.
方法总结
倍长中线法：
当出现三角形的中线时，一般要延长中线，使延长的部分与中线等长(倍长中线法)，构造全等三角形，把已知条件转化到同一个三角形中进行计算或证明.
如图20.2－3，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内的一点，且PB＝1，PC＝2，PA＝3. 求∠BPC 的度数.
类型2 求角的度数
例 5
思路引导：
解：如图20.2－3，过点C作CE⊥CP，并截取CE＝CP，
连接BE，PE，则△PCE为等腰直角三角形.
∴∠CPE＝45°，PE2＝PC2＋CE2＝8.
∵∠ACP＋∠PCB＝∠BCE＋∠PCB＝90°，
∴∠ACP＝∠BCE.又∵AC＝BC，CP＝CE，
∴△APC ≌△BEC(SAS).∴ BE＝PA＝3. ∵ PB＝1，∴ PE2＋PB2＝BE2 . ∴△BPE 是直角三角形，且∠BPE＝90°.
∴∠BPC＝∠CPE＋∠BPE＝45°＋90°＝135°.
思路点拨
当已知长度的三条线段共点时，可通过构造全等三角形，将已知线段(或根据已知条件能求出长度的线段)集中在一个三角形中，进而寻找解决问题的方法.
模型解读
构造“手拉手”模型的方法
图示
解读 已知AB ＝ AC，∠BAC＝α，作∠DAE＝α，且AD＝AE，则可证△ABD≌△ACE(SAS).
题型
利用勾股定理及其逆定理解决面积问题
2
如图20.2－4，已知AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，CD＝24，DA＝26. 求四边形ABCD的面积.
例 6
解题秘方：连接AC，将四边形ABCD分割成两个三角形，从而将求四边形ABCD的面积转化为求△ABC，△ACD的面积之和.
解：如图20.2－4 ，连接AC. 在Rt△ABC中，由勾股定理
得AC＝＝＝10.
在△ACD中，AC2＋CD2＝102＋242＝
262＝AD2.
∴△ACD为直角三角形，且∠ACD＝90°，
∴ S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝×6×8＋×10×24＝144.
技巧点拨
求不规则图形的面积时，就目前所学的知识来说作辅助线应遵循的几个原则：
1. 作垂线或垂线段构造直角三角形；
2. 分割或补充图形使之由不规则图形变为规则图形；
3. 尽可能把具有勾股数特征的线段集中到一个三角形中.
题型
利用勾股定理及其逆定理解决实际问题
3
如图20.2－5，南北方向的领海线PQ以东为我国领海区域，以西为公海．
例 7
某日22 点30 分，我边防反偷渡巡逻号艇A发现其正西方向有一可疑船只C正向我国的领海靠近，便立即通知正处于PQ上的巡逻艇B注意其动向.经观测，发现A艇与可疑船只C之间的距离为10 n mile，A，B两艇之间的距离为6 n mile，B艇与可疑船只C之间的距离为8 n mile．若该可疑船只的航行速度为12.8 n mile/h，则它最早在何时进入我国的领海区域？
思路引导：
解：∵ AC＝10，AB＝6，BC＝8，
∴ AB2＋BC2＝36＋64＝100＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°.
由题可知PQ⊥AC，
∴ S△ABC＝AB·BC＝AC·BD，
即6×8＝10×BD，解得BD＝4.8．
∵ PQ⊥AC，BC＝8，BD＝4.8，
∴ CD＝6.4．
另解
由题意得∠ADB＝∠BDC＝90°，
所以在Rt△ADB和Rt△BDC中，BD2＝AB2－AD2＝BC2－CD2，即62－(10－CD)2＝82－CD2，
解得CD＝6.4.
∵该可疑船只的速度为12.8 n mile/h，
∴从C到D所需的时间为＝0.5(h)＝30(min)．
因此，该可疑船只最早在23点进入我国领海区域．
方法点拨
转化思想在勾股定理的逆定理中的应用：
解此类实际应用题时，我们应从实际问题入手，将其转化为数学问题，然后选择相应的数学知识解决问题. 例如，要求该可疑船只最早何时进入我国领海，必须首先确定该可疑船只进入我国领海的航行路线, 由“垂线段最短”可知线段CD的长即为该可疑船只进入我国领海的最短距离，因此，计算CD的长即为解题的关键.
题型
利用勾股定理及其逆定理判断两线的位置关系
4
如图20.2－6，在正方形ABCD中，E为AD的三等分
点，G为DC上一点，且DG∶GC＝2∶7，那么BE与EG 垂直吗？请说明你的理由.
解题秘方：判断两条线段的垂直关系，转化为判断两条线段所在的三角形为直角三角形.
例 8
解：BE 与EG 垂直. 理由如下：如图20.2－6，连接BG.
设正方形ABCD的边长为9x.
∵ E为AD的三等分点，∴ AE＝3x.∴ ED＝6x.
∵ DG∶GC＝2∶7，∴ DG＝ 2x，CG＝7x.
在Rt△AEB中，∵ AB＝9x，AE＝3x，
∴ BE2＝AB2＋AE2＝(9x)2＋(3x)2＝90x2.
同理可得EG2＝ED2＋DG2＝(6x)2＋(2x)2＝40x2，
BG2＝BC2＋CG2＝(9x)2＋(7x)2＝130x2.
∵ 90x2＋40x2＝130x2，即BE2＋EG2＝BG2，
∴△BEG 是直角三角形，且∠BEG＝90°.
∴ BE⊥EG.
思路点拨
BE与EG不在同一个三角形中，如果要用勾股定理的逆定理证明BE与EG垂直，就需要连接BG，构造△BEG .
方法点拨
本题利用数形结合思想，通过对边长的计算，利用勾股定理的逆定理判定直角三角形来判定两条线段垂直.
易错点
运用勾股定理的逆定理判断三角形的形状时易受思维定式的影响而出错
判断以a，b，c为边长的三角形是不是直角三角形，其中a＝，b＝1，c＝.
错解：a2＋b2＝()2＋12＝6＋1＝7，c2＝()2＝5.
∵ a2＋b2 ≠ c2，
∴ 以a，b，c 为边长的三角形不是直角三角形.
例 9
正解：∵ a2＝()2＝6，b2＝1，c2＝()2＝5，
∴ b2＋c2＝a2.
∴ 以a，b，c为边长的三角形是直角三角形(其中a为斜边长).
诊误区：
利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状时，我们不能简单地看两边a，b的平方和是否等于边c的平方，而应先比较a，b，c的大小，找出最大边长，再分别计算出三边长的平方，最后看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.
[中考·济宁]如图20.2－7，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点A，B，C，D，E均在小正方形方格的顶点上，线段AB，CD交于点F，若∠CFB＝α，则∠ABE 等于(　　)
A. 180°－α B. 180°－2α
C. 90°＋α D. 90°＋2α
考法
利用勾股定理的逆定理确定角的度数
1
例10
试题评析：本题考查了勾股定理的逆定理的应用，解题的关键是先应用勾股定理的逆定理判定某个三角形为直角三角形，再进行角度的计算.
解：如图20.2－7，过B点作BG∥CD，连接EG.
∵ BG∥CD，∴∠ABG＝∠CFB＝ α.
∵ BG2＝＝，BE2＝＝17，
EG2＝32＋52＝34，∴ BG2＋BE2＝EG2，
∴ △BEG是直角三角形，且∠GBE＝90°.
∴∠ABE＝∠GBE＋∠ABG＝90°＋α．
答案：C
清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”. 法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献.由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；….根据上述规律，写出第⑤组勾股数为__________.
考法
勾股数的应用
2
例11
11，60，61
试题评析：本题考查勾股数，是数字类规律探究题. 观察可知，每组勾股数的第一个数字为奇数，后面两个数字为两个连续的整数，从而得到第⑤组勾股数的第1 个数，设出未知数，根据勾股定理列出方程求解．
解：由题意知，第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为x，则第3个数为x＋1.
由勾股定理，得112＋x2＝(x＋1)2，解得x＝60. 则x＋1＝61.
因此第⑤组勾股数为11，60，61.
1. [期中·重庆綦江区]下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是( )
A. 6，8，10 B. 7，24，25
C. 2，3，4 D. 9，12，15
C
2. [期中·三明永安市]已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足(a－17)2＋|b－15|＋c2－16c＋64＝0，则△ABC是 (　　)
A. 以a为斜边的直角三角形
B. 以b为斜边的直角三角形
C. 以c为斜边的直角三角形
D. 非直角三角形
A
3. [中考·益阳]已知M，N是线段AB上的两点，AM＝MN＝ 2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B 为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC 一定是(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
B
4. 甲、乙两艘客轮沿不同方向同时离开港口P，航行的速度都是40 m/min，甲客轮用30 min 到达A点，乙客轮用40 min 到达B点. 若A，B两点的直线距离为2 000 m，甲客轮沿北偏西60°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是( )
A. 南偏西30° B. 北偏东60°
C. 南偏东30° D. 南偏西60°
A
5. 如图所示的一块地，已知AD＝4 m，CD＝3 m，AD⊥ DC，AB＝13 m ，BC＝12 m ，则这块地的面积为_________.
24 m2
6. 勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，径隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5， 12 ，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1． 柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2 的一类勾股数，如：6，8，10；8，15， 17；…，若此类勾股数的勾为2m(m ≥ 3，m 为正整数)，则其弦是________(结果用含m 的式子表示).
m2＋1
7. [月考·福州福清市]如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1，点A，B在格点上(每个小正方形的顶点称为格点)．按要求回答问题：
(1)直接写出AB的长；
(2)在网格中找出一个格点C，使得AC＝，BC＝3，并通过计算判断△ABC 的形状．
8. [模拟·荆门]如图，汉江是长江最大的支流，它流经美丽的荆门，汉江一侧有一村庄C，江边原有两个观景台 A，B，其中AB＝AC，现建设美丽乡村，决定在汉江边新建一个观景台H(点A，H，B 在同一
条直线上)，并新修一条路CH，测得
BC＝6 km，CH＝4.8 km，
BH＝3.6 km．
(1)CH是不是从村庄C到江边的最短路线？请通过计算加以说明；
解：CH是从村庄C到江边的最短路线．
理由：在△CHB中，BC＝6 km，CH＝4.8 km，BH＝ 3.6 km，
∴CH2＋BH2＝4.82＋3.62＝36，BC2＝36.
∴CH2＋BH2＝BC2.
因此CH⊥AB，即CH是从村庄C到河边的最短路线．
(2)求原来的路线AC的长．
解：设AC＝AB＝x km，则AH＝(x－3.6)km.
在Rt△ACH中，由勾股定理得AC2＝AH2＋CH2，
∴x2＝(x－3.6)2＋4.82，解得x＝5.
因此原来的路线AC的长为5 km.
9. 如图，四边形ABCD的三条边AB，BC，CD和对角线BD的长度都为5 cm，动点P从点A出发沿AB－BD运动到点D，速度为2 cm/s，动点Q从点D出发沿
DC－CB－BA运动到点A，速度为2.8 cm/s.
若点P，Q同时出发，5 s时点P，Q相距
3 cm ，试确定5 s时△APQ的形状.
解：∵动点P从点A出发沿AB—BD运动到点D，速度为2 cm/s，∴5 s时点P的运动路程为2×5＝10(cm)．
∵AB＝BD＝5 cm，∴AB＋BD＝10 cm，
∴5 s时点P与点D重合．
∵动点Q从点D出发沿DC－CB－BA运动到点A，速度为 2.8 cm/s，
∴5 s时点Q的运动路程为2.8×5＝14(cm)．
∵AB＝BC＝CD＝ 5，∴DC＋CB＋BA＝15，
∴5 s时点Q在AB边上，且BQ＝4，如图．
在△BPQ中，∵BQ＝4，
PQ＝3，BP＝5，
∴BQ2＋PQ2＝BP2，
∴△BPQ为直角三角形，且∠BQP＝90°，
∴∠AQP＝180°－∠BQP＝90°.因此△APQ为直角三角形.
10.定义：如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．
(1)已知M，N 把线段AB分割成AM，MN，NB，若AM＝ 2.5，MN＝6.5，BN＝6，则点M，N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．
解：点M，N是线段AB的勾股分割点．
理由：∵AM2＋NB2＝2.52＋62＝42.25，MN2＝6.52＝42.25，∴AM2＋NB2＝MN2，
∴以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，
∴点M，N是线段AB的勾股分割点．
(2)已知点M，N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝14，AM＝4，求BN的长．
解：设BN＝x，则MN＝14－AM－BN＝10－x.
①当MN为最长线段时，依题意，得MN2＝AM2＋NB2，即(10－x)2＝16＋x2，解得x＝4.2；
②当BN为最长线段时，依题意，得BN2＝AM2＋MN2.
即x2＝16＋(10－x)2，解得x＝5.8.
综上所述，BN的长为4.2或5.8.

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