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满分题溯源
第二十章 勾股定理
思想方法 勾股定理中的数学思想
荣老师告诉你
勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论，它有着悠久的历史，在数学发展中起着重要的作用. 它揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系，把数与形统一起来，在现实世界中有着广泛的应用. 在运用勾股定理解题时，若能正确地把握数学思想，则可开阔思路，简便快捷地解决问题.
思想
数形结合思想
1
例 1
如图1，某人到岛上去探宝，从A处登陆后先往东走4 km，又往北走1.5 km，遇到障碍后又往西走2 km，再转向北走到4.5 km 处往东一拐，仅走0.5 km 就
找到宝藏. 问： 登陆点A 与宝藏
埋藏点B 之间的距离是多少？
解题秘方：过点B作BC⊥AC，构造直角三角形，通过数形结合求解.
解：如图1，过点B作BC⊥AC，垂足为C，依题
意得AC＝4－2＋0.5＝2.5(km)，BC＝4.5＋1.5＝
6(km).在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB＝
＝＝6.5(km)，即登陆
点A与宝藏埋藏点B之间的距离是6.5 km.
思想
方程思想
2
如图2，△ABC是直角三角形，DE是AB的垂直平分线. 若AC＝4 cm，BC＝3 cm，求CE的长.
例 2
解题秘方：CE是Rt△EBC的直角边，设CE为x cm，则BE可用含x的代数式表示，由勾股定理列出关于x的方程，解之
即可.
解：设CE＝x(cm).
∵AC＝4，∴AE＝AC－CE＝4－x.
∵ DE是AB的垂直平分线，
∴ BE＝AE＝4－x.
在Rt△EBC中，∵ CE2＋BC2＝BE2，BC＝3，
∴ x2＋32＝(4－x)2，解得x＝. 因此， CE的长为cm.
思想
转化思想
3
例 3
如图3，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20 dm，3 dm，2 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点
去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台
阶面爬到B 点的最短路程是
多少？
解题秘方：求空间几何体表面的最短路程问题，通常可将几何体表面展开，把立体图形问题转化为平面图形问题.
解：如图4所示是三级台阶的部分平面展开图，其为长方形，长为20dm，宽为(2＋3)×3＝15(dm)，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点的最短路程是此长方形的对角线长．
由勾股定理，得AB＝＝25.
因此，蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是25 dm.
思想
整体思想
4
[中考·温州]我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式.
例 4
后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图5所示的长方形由两个这样的图形拼成，若a＝3，b＝4，则该长方形的面积为(　　)
A. 20 B. 24
C. D.
解题秘方：欲求长方形的面积，则求出小正方形的边长即可，由此可设小正方形的边长为x，在Rt△ACB 中，利用勾股定理可建立关于x 的方程，利用整体代入的思想解决问题，进而可求出该长方形的面积．
解：设小正方形的边长为x，
∵ a＝3，b＝4，∴ AB＝3＋4＝7.
在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2，即(3＋x)2＋(x＋4)2＝72，
∴ x2＋7x＝12.
∴ 长方形的面积为(3＋x)(4＋x)＝x2＋7x＋12＝12＋12＝24.
答案：B
思想
分类讨论思想
5
例 5
如图6是一块直角三角形的绿地，量得直角边BC长为6 m，AC长为8 m，现在要将原绿地扩充
成等腰三角形，且扩充的部分是以AC
为直角边的直角三角形，求扩充后的等
腰三角形绿地的周长.
解题秘方：根据题意画出图形，构造出等腰三角形，根据等腰三角形及直角三角形的性质利用勾股定理解答．
解： 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，由勾股定理，得AB＝10. 由题意若扩充部分为Rt△ACD，则扩充后为等腰△ABD，应分以下三种情况：
①如图7 ①，当AB＝AD＝10时.
∵ AC⊥BD，∴ CD＝CB＝6.
∴△ABD的周长＝10＋10＋2×6＝32(m).
②如图7 ②，当AB＝BD＝10时.
∵ BC＝6，∴ CD＝10－6＝4.
∴AD＝＝＝4.
∴ △ABD的周长＝10＋10＋4＝(20＋4)m.
③如图7 ③，当AB为底时，设AD＝BD＝x m，则
CD＝x－6. 在Rt△ACD 中，由勾股定理，得
AD2＝AC2＋CD2，即82＋(x－6)2＝x2，解得x＝．
∴ △ABD的周长＝AD＋BD＋AB＝＋＋10＝(m).
综上所述，扩充后的等腰三角形绿地的周长为32 m或(20 ＋4)m或m.

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