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章末核心要点分类整合
第二十章 勾股定理
1. 勾股定理及其应用 勾股定理是反映直角三角形中三边关系的性质定理，是求线段长度的常用依据之一，是数学中从形到数的一个重要体现.
2. 勾股定理的逆定理的应用 勾股定理的逆定理是判定直角三角形的重要方法之一. 题目中若告诉三角形三边的数量关系，就需要借助勾股定理的逆定理加以判断.
专题
勾股定理
1
链接中考 >>勾股定理是直角三角形的性质，可结合直角三角形的其他性质，解决求线段的长、判断线段的数量关系等问题，有时还需综合特殊直角三角形的性质解题. 勾股定理单独考查时，一般以填空题、选择题的形式出现.
例 1
[中考·浙江]如图20－1，正方形ABCD由四个全等的直角三角形(△ABE，△BCF，△CDG，△DAH)和中间一个小正方形EFGH组成，连接DE．
若AE＝4，BE＝3，则DE＝(　　)
A．5 B．2
C． D．4
解题秘方： 本题综合考查全等三角形的性质和勾股定理，利用Rt△DAH ≌ Rt△ABE 求出DH 和EH 的长是解题关键.
解：∵ Rt△DAH≌Rt△ABE，∴ DH＝AE＝4，AH＝BE＝3.
∴ EH＝AE－AH＝ 4 －3＝1.
∵四边形EFGH 是正方形，
∴∠DHE＝90°.
∴ DE＝＝＝ .
答案：C
专题
勾股定理的逆定理
2
链接中考 >>勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，是用三角形的三边关系说明三角形为直角三角形. 通过线段的数量关系来研究线段的位置关系，证明中经常用到. 勾股定理的逆定理在中考中很少单独考查，一般在解答题的某一环节中涉及.
[中考·北京] 如图20－2所示的网格是正方形网格，则∠PAB＋ ∠PBA＝_____°(点A，B，P 是网格线交点).
例 2
45
解题秘方：延长AP 交格点于点D，连接BD，设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理的逆定理得∠PDB＝90 °，最后根据三角形外角的性质得出结论．
解： 如图20－2，延长AP交格点于点D，连接BD. 设每个小正方形的边长为1，则PD2＝BD2＝12＋22＝5，
PB2＝12＋32＝10，
∴ PD2＋DB2＝PB2.
∴ △PDB是等腰直角三角形，且
∠PDB＝90°.
∴∠DPB＝∠PAB＋∠PBA＝45°.
专题
勾股定理的应用
3
链接中考 >>勾股定理作为直角三角形中最重要的性质之一，描述了直角三角形三边之间的关系，主要用来求线段的长度.在实际生活中，当我们遇到求距离、高度、宽度、长度等可以转化为求线段长度的问题时，首先看所求线段能否看成某直角三角形的一边，若不能，可以先构造直角三角形，然后再利用勾股定理进行求解.
如图20－3，小丽在公园里荡秋千，在起始位置A处摆绳OA与地面垂直，摆绳长2 m，向前荡起到最高点B处时距地面高度1.3 m，摆动水平距离BD为1.6 m，然后向后摆到最高点C处. 若前后摆动过程中绳始终拉直，且OB与OC成90°角，则小丽在C处时距离地面的高度是( )
A. 0.9 m B. 1.3 m
C. 1.6 m D. 2 m
例 3
解题秘方：本题考查全等三角形的判定和性质及勾股定理， 解题的关键是过点C作OA的垂线， 构造直角三角形， 证明其与△OBD全等， 进行等线段的转换.
解：如图20－4，过点C作CE⊥OA于点E，摆绳OA与地面的垂足为点F.
由题意可知，OB＝OC＝2， BD＝1.6，
DF＝1.3，
∴OD＝＝1.2.
∴OF＝OD＋DF＝1.2＋1.3＝2.5.
∵∠ODB＝90°，∴∠OBD＋∠BOD＝90°.
∵∠BOC＝90°，∴∠BOD＋∠COE＝90°.
∴∠OBD＝∠COE.
在△BOD和△OCE中，
∴△BOD≌△OCE(AAS). ∴OE＝BD＝1.6.
∴EF＝OF－OE＝2.5－1.6＝0.9.
因此小丽在C处时距离地面的高度是0.9 m.
答案：A
专题
面积法
4
链接中考 >>利用三角形的面积之间的关系得到三角形中边之间的关系的方法叫作面积法. 本章中勾股定理的证明就用到了面积法.
我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理. 如图20－5，在Rt△ABC中，
∠ACB＝90°，Rt△ADE与Rt△AGE全
等，Rt△BFE与Rt△BGE全等，BC＝a，
AC＝b，AB＝c，正方形DEFC中，
DE＝EF＝CF＝CD＝x.
例 4
小明发现了一种求正方形DEFC边长的方法：由题意可得BF＝BG＝a－x，AD＝AG＝b－x. 因为AB＝BG＋AG，所以a－x＋b－x＝c，解得x＝.
(1)小亮也发现了一种求正方形DEFC边长的方法：连接 CE，利用S△ABC＝S△AEB＋S△AEC＋S△BEC可以得到x与a， b，c的关系. 请根据小亮的思路完成他的求解过程；
解：如图20－5， 连接EC.
由题意可得，ED＝EG＝EF＝x，
∴ S△AEB＝cx，S△AEC＝bx，S△BEC＝ax.
∵ S△ABC＝S△AEB＋S△AEC＋S△BEC，
∴ab＝cx＋bx＋ax，∴(a＋b＋c)x＝ab，∴x＝.
(2)请结合小明和小亮得到的结果验证勾股定理.
解：由小明和小亮所得结果知，＝，
∴(a＋b＋c)(a＋b－c)＝2ab，
∴(a＋b)2－c2＝2ab，∴(a＋b)2－2ab＝c2，
∴ a2＋b2＋2ab－2ab＝c2，即a2＋b2＝c2.
专题
分类讨论思想
5
链接中考 >>几何中的折叠问题与勾股定理紧密相关，特别是未给出图形的情况，一般都需要分情况画图求解，体现了分类讨论的数学思想.
[模拟· 洛阳涧西区]在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°. AC＝1，点D在边BC上(不与B，C重合)，连接AD，将△ACD沿AD折叠，折叠后点C的对应点为点 E，当△BDE是直角三角形时，CD的长为_______.
例 5
或1
解：∵在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，∴∠ABC＝30°.
∵AC＝1. ∴AB＝2AC＝2. ∴BC＝＝.
∵点D是BC边上的一点，∴∠DBE≠ 90°.
∴ 当△BDE是直角三角形时， ∠BDE＝90°或∠BED＝90°.
① 当∠BDE＝90 ° 时， 如图20－6，
则∠CDE＝90°.
∵ 将△ACD沿AD折叠， 使点C落在点E处，
∴∠ADC＝ ∠ADE＝45°.∴CD＝AC＝1.
②当∠BED＝90°时，∵ 将△ACD沿AD折叠， 使点C落在点E处，∴ ∠AED＝∠C＝90°， AC＝AE＝1， CD＝DE.
∴∠AED＋∠BED＝180°. ∴点E在AB上， 如图20－7.
∴BE＝AB－AE＝1. ∵DE2＋BE2＝BD2，
∴CD2＋12＝ (－CD)2. ∴CD＝.
综上所述，CD的长为或1.
1. [中考· 安徽]如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，边AC的中点为D，边BC上的点E满足ED⊥AC. 若DE＝，则AC的长是( )
A. 4 B. 6
C. 2 D. 3
类型
巧用勾股定理求线段长
1
B
2. [中考· 成都] 如图， 在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝ 1，BC＝2．以点A为圆心，以AB长为半径作弧；再以点C为圆心，以BC长为半径作弧，两弧在AC上方交于点 D，连接BD，则BD的长为_______．
3. [中考·长春]图①、图②、图③均是4×3的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点.只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作△ABC，使△ABC的顶点均在格点上.
类型
巧用勾股定理及其逆定理解网格作图问题
2
(1)在图①中，△ABC是面积最大的等腰三角形；
(2)在图②中，△ABC是面积最大的直角三角形；
解：如图①所示，△ABC即为所求．
如图②所示，△ABC即为所求．
(3)在图③中，△ABC是面积最大的等腰直角三角形．
解：如图③所示，△ABC即为所求．
4. [中考·徐州]如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，使C，A两点重合，点D落在点G处．已知AB＝4，BC＝8．
(1)求证：△AEF是等腰三角形；
类型
巧用勾股定理解折叠问题
3
证明：由折叠性质可知，∠AEF＝∠CEF，由长方形性质可得AD∥BC，∴∠AFE＝∠CEF.
∴∠AEF＝∠AFE.
∴AE＝AF，即△AEF为等腰三角形．
(2)求线段FD的长．
解：由折叠可得AE＝CE，设CE＝x＝AE，
则BE＝BC－CE＝8－x.
在Rt△ABE中，由勾股定理得AB2＋BE2＝AE2，
即42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5.
结合(1)可得AF＝AE＝5，
∴FD＝AD－AF＝BC－AF＝8－5＝3.
5. 如图，等边三角形ABC内有一点O，已知OA＝4，OB＝ 3，OC＝5，求∠AOB的度数．
类型
巧用勾股定理的逆定理求角的度数
4
解：∵△ABC为等边三角形，∴BA＝BC.
可将△BOC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，
连接EO，如图，则BE＝BO＝3，AE＝
CO＝5，∠OBE＝60°，∴△BOE为等边三角形，
∴OE＝OB＝3，∠BOE＝60°.
∵在△AEO中，AE＝5，AO＝4，OE＝3，∴AE2＝OE2＋OA2，∴△AOE为直角三角形，且∠AOE＝90°，
∴∠AOB＝90°＋60°＝150°.
方法1 展开法
6. 如图，桌子上有一个长方体盒子，长、宽、高分别是 12 cm，8 cm，30 cm，在AB的中点C处有一
滴蜜糖，一只小虫从E 处沿盒子表面爬到C
处去吃. 那么小虫爬行的最短路程为________.
25 cm
类型
巧用勾股定理解最短距离问题
5
方法2 对称法
7. [中考·广州]如图，正方形ABCD的边长为4，点E 在边BC 上，且BE＝1，F为对角线BD上一动点，连接CF，EF，则CF＋EF的最小值为_______.
8. [中考·潍坊] 如图，l是南北方向的海岸线，码头A与灯塔B相距24千米，海岛C位于码头A北偏东60°方向．一艘勘测船从海岛C沿北偏西30°方向往灯
塔B行驶，沿线勘测石油资源，勘测
发现位于码头A北偏东15°方向的D处
石油资源丰富．
类型
巧用勾股定理解实际问题
6
若规划修建从D处到海岸线的输油管道，则输油管道的最短长度是多少千米(结果保留根号)？
解：如图，过点D作DE⊥AB，垂足为E，
由题意得∠BAD＝15°，∠BAC＝60°，
∠BCF＝30°，AB∥FG，
∴∠ACG＝∠BAC＝60°，∠BCF＝∠ABC＝30°.
∴∠ACB＝180°－∠ACG－∠BCF＝90°.
9. 如图，已知直线l1∥l2．
(1)在l1，l2所在的平面内求作直线l，使得l∥l1∥l2，且l与l1 间的距离恰好等于l与l2间的距离(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；
类型
巧用勾股定理解面积问题
7
解：如图，直线l就是所求作的直线．
(2)在(1) 的条件下，若l1与l2间的距离为2，点A，B，C分别在l，l1，l2上，且△ABC为等腰直角三角形，求△ABC的面积．

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