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学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 湘教版 册、章 上册第4章
课标要求 1.理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性. 2.探索并证明三角形的内角和定理，掌握它的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 3.证明三角形的任意两边之和大于第三边. 4.理解全等三角形的概念，能识别全等三角形的对应边、对应角. 5.掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等. 6.掌握基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等. 7.掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全等. 8.证明定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等. 9.理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。 10.理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合. 11.探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形. 12.探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°。 13.探索等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形(或有一个角是60°的等腰三角形)是等边三角形. 14.通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义. 15.结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念。会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立. 16.知道证明的意义和证明的必要性，知道数学思维要合乎逻辑，知道可以用不同的形式表述证明的过程，会用综合法的证明格式. 17.了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误. 18.通过实例体会反证法的含义. 19.能用尺规作图：已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高线作等腰三角形；过直线外一点作这条直线的平行线；作一条线段的垂直平分线；作已知角的平分线.
内容分析 本章是初中数学湘教版八年级上册第3章《三角形》，属于《义务教育数学课程标准》中的“图形与几何”领域中的“三角形”和“定义、命题、定理”。本章内容以三角形为核心，系统整合其定义、性质、分类及全等判定等知识，既承接平行线与相交线的基础，又为后续直角三角形、四边形等内容奠定方法论框架。教材通过“观察—操作—归纳”路径展开教学，如用小棒摆三角形、拼内角验证内角和定理，强化几何直观；同时注重逻辑推理渗透，例如通过三角形内角和定理推导外角性质，引导学生从特殊到一般归纳结论。此外，单元融入等腰三角形、等边三角形等特殊三角形研究，形成“一般—特殊”的认知结构，并通过全等三角形的判定（SSS、SAS等）培养演绎推理能力，体现“几何研究大观念”的单元整体设计理念。
学情分析 八年级学生已具备平行线、角度等几何基础，能初步运用逻辑推理解决简单问题，但对抽象概念的理解仍需直观支持。例如，在三角形三边关系中，学生易混淆“较短两边之和大于第三边”与“任意两边之和大于第三边”，需通过操作实验突破认知障碍；在全等三角形判定中，学生可能因忽视对应关系导致证明错误，需通过对比练习强化条件匹配意识。此外，学生合作探究能力较强，但独立思考与创新表达较弱，需通过角色扮演、开放性问题激发思维活力。
单元目标 （一）教学目标 1.认识三角形及三角形有关的概念，如三角形的顶点、边、角，会表示三角形，知道等腰三角形、等边三角形的概念. 2.掌握三角形的三边关系，能判断三条线段能否构成三角形. 3.认识三角形的高、角平分线、中线，能准确地表示出或画出相关图形. 4.探究并证明三角形的内角和定理，会应用定理进行相关计算. 5.会根据角的大小对三角形进行分类. 6.认识三角形的外角，掌握三角形的外角的性质，会应用三角形的外角及内角和进行相关 计算. 7.初步认识定义、命题、互逆命题、公理、定理、互逆定理的概念. 8.能分清命题的条件和结论，会把命题写成“如果……，那么……”的形式. 9.会判断命题的真假，会用举反例的方法说明一个命题是假命题. 10.会识别两个命题是不是互逆命题，会写出一个简单命题的逆命题. 11.知道证明的一般步骤及反证法，会进行一些简单命题的证明. 12.认识全等图形与全等三角形，会正确找出全等三角形的对应边、对应角. 13.能利用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决一些实际问题. 14.掌握判定两个三角形全等的四个判定定理，并能熟练地判定两个三角形全等. 15.在探索三角形全等的条件及其运用过程中，培养实践能力和逻辑思维能力. 16.知道尺规作图的概念，对尺规作图题会写已知、求作和作法. 17.会用尺规作一个角等于已知角，过直线外一点作这条直线的平行线. 18.在分别给出三边、两边及其夹角、两角及其夹边的条件下，会用尺规作三角形. 19.会利用尺规作图留下的痕迹分析作图类型并能利用相关知识解决问题. 20.掌握等腰三角形、等边三角形的性质，能利用等腰三角形、等边三角形的性质进行计算与证明. 21.掌握等腰三角形、等边三角形的判定定理，能利用等腰三角形、等边三角形的判定定理证明一个三角形是等腰三角形或等边三角形. 22.尝试说理，进一步发展有条理的思考和表达能力，提高演绎推理能力. 23.认识线段的垂直平分线，会利用线段垂直平分线的性质进行相等线段的转化. 24.能运用线段垂直平分线的性质定理及逆定理解决问题. 25.会用尺规作一条线段的垂直平分线以及过一点作已知直线的垂线. 26.已知底边及底边上的高线会用尺规作等腰三角形. 27.会用尺规作已知角的平分线. （二）教学重点、难点 重点 1.三角形边角关系与内角和定理的系统掌握. 2.全等三角形的性质及三种基本判定方法的灵活运用. 3.等腰三角形“等边对等角”及“三线合一”的本质理解. 4.定义、命题、证明的逻辑结构与书写规范. 难点 1.从实验验证上升到演绎证明的思维转换. 2.在复杂图形中准确找出全等三角形的对应元素并选择恰当判定. 3.将等腰三角形性质迁移到多步证明与实际问题. 4.对命题条件、结论及逆命题的辨析与反例构造.
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数4.1认识三角形24.2命题与证明34.3全等三角形54.4尺规作图24.5等腰三角形34.6线段的垂直平分线2第3章小结与复习1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务4.1 认识三角形（1）1.认识三角形及三角形有关的概念，如三角形的顶点、边、角，会表示三角形.知道等腰三角形、等边三角形的概念。 2.掌握三角形的三边关系，能判断三条线段能否构成三角形。 3.认识三角形的高、角平分线、中线，能准确地表示出或画出相关图形。1.能判断三条线段能否构成三角形。2.能利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围。 3.能准确地表示出三角形的高、角平分线、中线或画出相关图形。任务一：情境导入，观察图形。 任务二：探究新知，认识三角形及三角形有关的概念。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.1 认识三角形（2）1.探究并证明三角形的内角和定理，会应用定理进行相关计算。 2.会根据角的大小对三角形进行分类。 3.认识三角形的外角，掌握三角形的外角的性质，会应用三角形的外角及内角和进行相关计算。1.会应用三角形的内角和定理进行相关计算。 2.会根据角的大小对三角形进行分类。 3.会应用三角形的外角及内角和进行相关计算。任务一：动手操作，回顾旧知。 任务二：探究新知，进行证明。 任务三：例题精讲，应用三角形的外角及内角和进行相关计算。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.2.1 定义，命题1.理解并掌握二次根式乘法法则，能正确计算及含系数的乘法。 2.能逆向应用法则化简二次根式，确保结果为最简形式。能正确计算及含系数的乘法。任务一：复习导入，回顾积的算术平方根的性质。 任务二：探究新知，观察猜想. 任务三：例题精讲，运用法则进行计算。 任务四：巩固练习，课堂小结4.2.2 证明，举反例1.理解反例的作用，学会通过构造反例判断假命题，并能在不同类型的命题中灵活运用证明与举反例的方法。 2.知道证明的一般步骤及反证法，会进行一些简单命题的证明。1.会通过构造反例判断假命题，并能在不同类型的命题中灵活运用证明与举反例的方法。 2.会进行一些简单命题的证明。任务一：认真思考，初步感知举反例。 任务二：探究新知，探究举反例和证明. 任务三：例题精讲，进行证明。 任务四：巩固练习，课堂小结4.2.3 定理，推论1.理解定理与推论的概念，掌握定理的证明方法，能运用已知定理推导简单推论。 2.初步认识定理、互逆定理的概念。能运用已知定理推导简单推论。任务一：复习导入，回顾已学定理。 任务二：探究新知，探究定理和推论。 任务三：例题精讲，进行证明。 任务四：巩固练习，课堂小结4.3.1 认识全等三角形1.认识全等图形与全等三角形，会正确找出全等三角形的对应边、对应角。 2.能用符号正确表示两个全等三角形。 3.能利用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决一些实际问题。1.会正确找出全等三角形的对应边、对应角。 2.能用符号正确表示两个全等三角形。 3.能利用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决一些实际问题。任务一：认真观察，提出猜想。 任务二：探究新知，全等三角形的性质。 任务三：例题精讲，进行计算。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.3.2 全等三角形的判定定理（边角边）1.理解“边角边”（SAS）判定定理的内容，能准确识别定理中的对应边和夹角。 2.掌握定理的证明方法。能运用SAS定理证明两个三角形全等，并解决简单的几何问题。任务一：认真观察，进行判断。 任务二：探究新知，掌握边角边。 任务三：例题精讲，进行判定。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.3.3 全等三角形的判定定理（角边角、角角边）1.理解“角边角、角角边”判定定理的内容，能准确识别定理中的对应边和对应角。 2.掌握定理的证明方法。能运用ASA、AAS定理证明两个三角形全等，并解决简单的几何问题。任务一：认真思考，动手操作。 任务二：探究新知，掌握角边角、角角边。 任务三：例题精讲，进行判定。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.3.4 全等三角形的判定定理（边边边）1.理解“边边边”判定定理的内容，能准确识别定理中的对应边和对应角。 2.掌握定理的证明方法。能运用SSS定理证明两个三角形全等，并解决简单的几何问题。任务一：认真思考，动手操作。 任务二：探究新知，掌握边边边。 任务三：例题精讲，进行判定。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.3.5 全等三角形的应用1.理解全等三角形在测量、设计、证明等实际问题中的应用价值。 2.能根据问题条件抽象出全等三角形模型，灵活运用判定定理和性质解决线段相等、角相等及不可达距离测量等问题。能根据问题条件抽象出全等三角形模型，灵活运用判定定理和性质解决线段相等、角相等及不可达距离测量等问题。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，构建全等三角形模型。 任务三：例题精讲，进行判定。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.4 尺规作图（1）1.掌握尺规作图的基本方法，能正确作出“已知三边的三角形”“一个角等于已知角”“已知两边及其夹角的三角形”。 2.理解三种作图方法的理论依据（SSS、SAS全等判定及角复制原理），并能用几何语言清晰表达步骤。能用规范的几何语言描述作图步骤，能读懂并绘制简单的作图流程图。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，学习尺规作图的基本方法。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.4 尺规作图（2）1.能规范使用直尺和圆规完成“已知两角及其夹边作三角形”与“过直线外一点作平行线”任务，掌握关键步骤。 2.理解两种作图方法的理论依据（AAS全等判定、同位角相等两直线平行），并能用几何语言清晰表达。能用规范的几何语言描述作图步骤，能读懂并绘制简单的作图流程图。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，学习尺规作图的基本方法。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.5 等腰三角形（1）1.掌握等腰三角形的性质定理，能运用“等边对等角”和“三线合一”解决角、线段相等的证明问题。 2.理解性质定理的证明方法（利用全等三角形），规范书写推理过程。能运用“等边对等角”和“三线合一”解决角、线段相等的证明问题。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，学习等腰三角形的性质。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.5 等腰三角形（2）1.掌握等腰三角形的判定定理，并能运用该定理进行几何证明和计算。 2.理解判定定理与性质的互逆关系。能运用定理证明线段相等或三角形为等腰三角形。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，学习等腰三角形的判定定理。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.5 等腰三角形（3）1.掌握等边三角形的性质和判定定理。 2.能运用性质与判定解决线段相等、角度计算及几何证明问题。能运用性质与判定解决线段相等、角度计算及几何证明问题。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，学习等边三角形的性质和判定。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.6 线段的垂直平分线（1）1.理解线段垂直平分线的定义，掌握其性质定理与逆定理的内容及符号表达。 2.能运用性质定理与逆定理证明线段相等、点共线或垂直关系，解决简单几何问题。能运用性质定理与逆定理证明线段相等、点共线或垂直关系，解决简单几何问题。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，探究线段垂直平分线。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.6 线段的垂直平分线（2）1.掌握线段垂直平分线、过一点作已知直线垂线、已知底边及高线作等腰三角形、作角平分线的尺规作图方法，能规范书写作图步骤。 2.理解各作图方法的几何依据。能用规范的几何语言描述作图步骤，能读懂并绘制简单的作图流程图。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，动手操作。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。第4章 小结与评价1.系统回顾三角形的三边关系、内角和定理、外角性质及分类标准。 2.熟练运用全等三角形的判定与性质、等腰（等边）三角形的“等边对等角”“三线合一”等核心定理。 3.掌握垂直平分线的性质与判定，并能结合尺规作图解决实际问题。1.能够熟练运用三角形的三边关系、内角和定理、外角性质解决问题。 2.能够熟练运用全等三角形的判定与性质、等腰（等边）三角形的“等边对等角”“三线合一”等核心定理。 3.能够熟练运用垂直平分线的性质与判定解决问题任务一：知识图谱，梳理本章知识点。 任务二：思考回顾，回顾重点知识，了解注意事项 任务三：自评互评，了解知识掌握情况 任务四：巩固练习，进行习题自测。
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分课时教学设计
第二课时《等腰三角形》教学设计
课型 新授课 复习课 试卷讲评课 其他课
教学内容分析 《等腰三角形的判定定理》是湘教版八年级上册第4章《三角形》的第五节第二课时的内容。本节课是承接等腰三角形性质的学习，形成“性质—判定”的完整逻辑闭环。教材通过“等角对等边”的判定定理，将角的相等关系转化为边的相等关系，为后续等边三角形判定、全等三角形证明及几何综合题奠定基础。该定理不仅是证明线段相等的常用工具，更渗透了“从特殊到一般”的数学思想，强化学生对几何图形内在联系的理解。
学习者分析 学生已经掌握了等腰三角形的性质（等边对等角）和全等三角形的判定方法（SAS、ASA、SSS等），具备一定的逻辑推理能力。但在运用逆向思维（从角相等推导边相等）时可能存在困难，容易混淆性质定理与判定定理的区别。部分学生在几何证明的书写规范上仍需加强，教学中需通过典型例题和变式训练，帮助学生理解判定定理的应用，并提升严谨的数学表达能力。
教学目标 1.掌握等腰三角形的判定定理，并能运用该定理进行几何证明和计算。 2.理解判定定理与性质的互逆关系。 3.通过观察、猜想、证明的过程，发展逻辑推理能力，体会“等角对等边”的转化思想。
教学重点 等腰三角形判定定理的理解与证明。
教学难点 在复杂图形中识别等腰三角形，并灵活运用判定定理进行证明。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：复习回顾教师活动1： 回顾1：等腰三角形具有什么性质？ 回顾2：怎么判断一个三角形是等腰三角形？ 等腰三角形的性质定理： 1.等腰三角形的两个底角相等（简称 “等边对等角”). 2.底边上的高线、中线及顶角平分线重合（简称“三线合一”). 3.等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线. 教师讲授： 根据等腰三角形的定义，如果一个三角形的两条边相等，那么就可判定这 个三角形是等腰三角形.学生活动1： 快问快答，举手回答问题 认真听讲，回顾等腰三角形的性质定理 认真思考，寻找共同特征 认真听讲活动意图说明：复习导入有利于衔接新旧知识，提高学习效率。通过旧知识引入新的知识有利于活跃课堂教学氛围，激发学生学习动机。环节二：新知探究教师活动2： 探究：等腰三角形的判定定理 【探究】任意画∠EBC,在线段BC的同侧，以C为顶点作∠FCB，使∠FCB=∠EBC，BE与CF交于点A，得到△ABC，如图所示.用圆规量一量AB和AC，它们相等吗？由此，你能发现什么？ 猜想：有两个角相等的三角形是等腰三角形. 【证明】已知：∠B=∠C. 求证：△ABC是等腰三角形. 教师追问： 思考1：要证明△ABC是等腰三角形需证明什么？（从定义出发） 思考2：怎么证明AB=AC？ 思考3：图中没有全等三角形时还能利用全等三角形的性质吗？ 思考4：怎么构造全等三角形？ 教师布置任务：证明△ABC是等腰三角形. 证明：过点A作AD⊥BC， 则∠ADB=∠ADC=90°. 在△ABD 和△ACD 中， ∴△ABD≌△ACD (角角边). 从而 AB = AC，因此△ABC 是等腰三角形. 【归纳】等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”） 几何语言 ∵∠B=∠C. ∴△ABC是等腰三角形(等角对等边).学生活动2： 动手操作，发现AB=AC，作出猜想 认真思考 认真思考，构造全等三角形 认真思考，独立进行证明 认真听讲 认真听讲，了解等腰三角形的判定定理和几何语言活动意图说明：数学是一门严谨的学科，它要求推理过程和结论都必须经过严格的逻辑推理和证明。让学生通过自主证明，感受数学的严谨性，提高学生的逻辑推理能力和自主解题能力。环节三：例题探究教师活动3： 例2如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别是AB，AC上的点，且DE∥BC. 求证：△ADE为等腰三角形. 证明：因为AB=AC， 所以∠B=∠C（等边对等角）. 又因为DE//BC， 所以∠ADE=∠B，∠AED=∠C. 因此∠ADE=∠AED. 于是△ADE为等腰三角形（等角对等边）. 例3求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形. 已知：如图,∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD//BC. 求证：AB=AC. 教师带领学生分析：要证明AB=AC，可先证明∠B=∠C.因为∠1=∠2，所以应想办法找出∠B，∠C与∠1，∠2的关系. 证明：因为AD//BC， 所以∠1=∠B(两直线平行，同位角相等)， ∠2=∠C(两直线平行，内错角相等). 又因为∠1=∠2， 所以∠B=∠C. 因此AB=AC(等角对等边).学生活动3： 学生认真思考，独立完成习题 认真听讲 学生认真思考 认真听讲 学生认真思考，独立完成习题 认真听讲活动意图说明：让学生通过具体例题的教学理解和巩固数学基础知识，把数学理论与实践相结合，掌握数学基础知识理论的用途和方法，从而达到提高分析问题解决问题的能力的目标。环节四：课堂总结教师活动4： 等腰三角形的判定定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）. 几何语言 ∵∠B=∠C. ∴△ABC是等腰三角形(等角对等边).学生活动4： 学生跟随教师对学习内容进行归纳梳理 活动意图说明：对课堂教学进行归纳梳理，给学生一个整体印象，促进学生掌握知识总结规律。
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.下列条件中，可以判定是等腰三角形的是（　　） A． B． C． D． 2.如图，∠A=36°，∠ADB=108°，则图中共有等腰三角形（　　） A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．4个 3.如图，中，点在边上，若，则下列结论正确的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 选做题： 4.如图，已知交于点，且，若，，则的长为　 　． 5.如图，为内一点，平分，，，若，，则的长为　 　． 6.如图，B是射线上动点，，若为等腰三角形，则的度数可能是　 　． 【综合拓展类作业】 7.如图，在与中，，，与交于点E．求证：．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.已知三角形的两个内角，能判定这个三角形是等腰三角形的是(　　). A．30°，60°　　B．40°，70°　　C．50°，60°　　D．100°，30° 2.如图，，D点在边上，若，则的度数为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 3.如图，上午10时，一条船从海岛出发，以（海里/时，）的速度向正北航行，12时到达海岛处．从，望灯塔，测得，．求从海岛到灯塔的距离为（　　） A．12海里　　B．24海里　　C．20海里　　D．36海里 【综合拓展类作业】 4.如图，在中，，是边上的中点，连接，平分交于点，过点作交于点． （1）若，求的度数； （2）求证：．
教学反思 教学中发现，部分学生在证明书写时容易遗漏关键步骤（如全等条件的说明），需加强规范性训练。此外，可增加生活实例（如人字梯、屋顶结构）增强直观感知，提升学习兴趣。对于学困生，可设计分层练习，从基础证明到综合运用逐步提升，确保不同层次学生都能掌握核心内容。
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第4章 三角形
4.5 等腰三角形（2）
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
掌握等腰三角形的判定定理，并能运用该定理进行几何证明和计算。
01
理解判定定理与性质的互逆关系。
02
通过观察、猜想、证明的过程，发展逻辑推理能力，体会“等角对等边”的转化思想。
03
02
新知导入
回顾1：等腰三角形具有什么性质？
等腰三角形的性质定理：
1.等腰三角形的两个底角相等（简称 “等边对等角”).
2.底边上的高线、中线及顶角平分线重合（简称“三线合一”).
3.等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线.
02
新知导入
回顾2：怎么判断一个三角形是等腰三角形？
一般三角形
等腰三角形
两条边相等
根据等腰三角形的定义，如果一个三角形的两条边相等，那么就可判定这个三角形是等腰三角形.
03
新知探究
探究
任意画∠EBC,在线段BC的同侧，以C为顶点作∠FCB，使∠FCB=∠EBC，BE与CF交于点A，得到△ABC，如图所示.用圆规量一量AB和AC，它们相等吗？由此，你能发现什么
猜想：有两个角相等的三角形是等腰三角形
可以发现AB=AC，从而△ABC是等腰三角形.
03
新知探究
思考1：要证明△ABC是等腰三角形需证明什么？（从定义出发）
已知：∠B=∠C.
求证：△ABC是等腰三角形.
AB=AC
思考2：怎么证明AB=AC？
利用全等三角形的性质
03
新知探究
思考3：图中没有全等三角形时还能利用全等三角形的性质吗？
已知：∠B=∠C.
求证：△ABC是等腰三角形.
构造全等三角形
思考4：怎么构造全等三角形？
作辅助线
03
新知探究
已知：∠B=∠C.
求证：△ABC是等腰三角形.
证明：过点A作AD⊥BC，
则∠ADB=∠ADC=90°.
在△ABD 和△ACD 中，
∴△ABD≌△ACD (角角边).
从而 AB = AC，因此△ABC 是等腰三角形.
03
新知探究
等腰三角形的判定定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称 “ 等角对等边”）.
几何语言
∵∠B=∠C.
∴△ABC是等腰三角形(等角对等边).
03
新知探究
如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别是AB，AC上的点，
例2
证明：因为AB=AC，
所以∠B=∠C（等边对等角）.
又因为DE//BC，
所以∠ADE=∠B，∠AED=∠C.
因此∠ADE=∠AED.
于是△ADE为等腰三角形（等角对等边）.
且DE//BC.
求证：△ADE为等腰三角形.
03
新知探究
求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，
例3
分析：要证明AB=AC，可先证明∠B=∠C.因为∠1=∠2，所以应想办法找出∠B，∠C与∠1，∠2的关系.
那么这个三角形是等腰三角形.
已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD//BC.
求证：AB=AC.
03
新知探究
证明：因为AD//BC，
所以∠1=∠B(两直线平行，同位角相等)，
∠2=∠C(两直线平行，内错角相等).
又因为∠1=∠2，
所以∠B=∠C.
因此AB=AC(等角对等边).
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.下列条件中，可以判定△ABC是等腰三角形的是（　　）
A．∠A=20°,∠B=100°
B．a:b:c =1:1:2
C．∠A:∠B:∠C=1:1:2
D．∠A=∠B+∠C
C
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
2.如图，∠A=36°，∠ADB=108°，则图中共有等腰三角形（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
A
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3.如图，△ABC中，点D在边AB上，若∠ACD=∠B+∠BCD，则下列结论正确的是（　　）
A．AC=BC
B．AD=CD
C．AC=CD
D．AD=AC
D
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
4.如图，已知△ABC △DBE,DE交BC于点F，且∠A=∠DFB，若CF=2，AB=6，则BC的长为　 　．
8
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
5.如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A=∠ABD，若AC=10，BC=6，则BD的长为　 　．
2
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
6.如图，B是射线AD上动点，∠A=50°，若△ABC为等腰三角形，则∠C的度数可能是　 　．
80°，65°或50°
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
7.如图，在△ABC与△BAD中，∠CBA=∠DAB，∠C=∠D，AC与BD交于点E．求证：BE=AE．
证明：在与中，
，
∴，
∴，
∴．
05
课堂小结
等腰三角形的判定定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称 “ 等角对等边”）.
几何语言
∵∠B=∠C.
∴△ABC是等腰三角形(等角对等边).
06
作业布置
【知识技能类作业】
1.已知三角形的两个内角，能判定这个三角形是等腰三角形的是(　　).
A．30°，60°　　
B．40°，70°　　
C．50°，60°　　
D．100°，30°
B
06
作业布置
2.如图，△ABC≌△DBE，D点在AC边上，若∠A=70°，则∠CDE的度数为（　　）
A．40°　　
B．35°　　
C．70°　　
D．45°
A
06
作业布置
3.如图，上午10时，一条船从海岛A出发，以12nmile/h（海里/时，1nmile/h=1852m）的速度向正北航行，12时到达海岛B处．从A，B望灯塔C，测得∠NAC=42°，∠NBC=84°．求从海岛B到灯塔C的距离为（　　）
A．12海里　　
B．24海里　　
C．20海里　　
D．36海里
B
06
作业布置
【综合拓展类作业】
4.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，连接AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF//BC交AB于点F．
（1）若∠C=36°，求∠BAD的度数；
（2）求证：FB=FE．
06
作业布置
（1）解：∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC，
∵∠C=36°，
∴∠ABC=36°，
∵AB=AC，D是BC边上的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=90°36°=54°．
06
作业布置
（2）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠FBE=∠CBE=∠ABC，
∵EF//BC，
∴∠CBE=∠FEB，
∴∠FBE=∠FEB，
∴FB=FE．
07
板书设计
判定定理：
几何语言表述：
4.5 等腰三角形（2）
习题讲解书写部分
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第4章 三角形
4.5.2 等腰三角形的判定定理
学习目标与重难点
学习目标：
1.掌握等腰三角形的判定定理，并能运用该定理进行几何证明和计算。
2.理解判定定理与性质的互逆关系。
3.通过观察、猜想、证明的过程，发展逻辑推理能力，体会“等角对等边”的转化思想。
学习重点：
等腰三角形判定定理的理解与证明。
学习难点：
在复杂图形中识别等腰三角形，并灵活运用判定定理进行证明。
学习过程
一、复习回顾
回顾1：等腰三角形具有什么性质？
回顾2：怎么判断一个三角形是等腰三角形？
二、探究新知
探究：等腰三角形的判定定理
教材第131页
【探究】任意画∠EBC，在线段BC的同侧，以C为顶点作∠FCB，使∠FCB=∠EBC，BE与CF交于点A，得到△ABC，如图所示.用圆规量一量AB和AC，它们相等吗？由此，你能发现什么
【证明】已知：∠B=∠C.
求证：△ABC是等腰三角形.
【归纳】等腰三角形的判定定理:有_______________的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）.
三、例题精讲
例2如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别是AB，AC上的点，且DE∥BC.
求证：△ADE为等腰三角形.
例3求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形.
已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD//BC.
求证：AB=AC.
四、课堂练习
【知识技能类作业】
必做题
1.下列条件中，可以判定是等腰三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
2.如图，∠A=36°，∠ADB=108°，则图中共有等腰三角形（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3.如图，中，点在边上，若，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
选做题
4.如图，已知交于点，且，若，，则的长为　 　．
5.如图，为内一点，平分，，，若，，则的长为　 　．
6.如图，B是射线上动点，，若为等腰三角形，则的度数可能是　 　．
【综合拓展类作业】
7.如图，在与中，，，与交于点E．求证：．
五、课堂小结
这节课你收获了什么，在计算过程中须注意什么
六、作业布置
1.已知三角形的两个内角，能判定这个三角形是等腰三角形的是(　　).
A．30°，60° B．40°，70° C．50°，60° D．100°，30°
2.如图，，D点在边上，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
3.如图，上午10时，一条船从海岛出发，以（海里/时，）的速度向正北航行，12时到达海岛处．从，望灯塔，测得，．求从海岛到灯塔的距离为（　　）
A．12海里 B．24海里 C．20海里 D．36海里
4.如图，在中，，是边上的中点，连接，平分交于点，过点作交于点．
（1）若，求的度数；
（2）求证：．
答案解析
课堂练习：
1.【答案】C
【解析】解：、∵，，
∴，
∴
∴三角形不是等腰三角形，不符合题意；
、∵，
∴，
∴，，不构成三角形，即三角形不是等腰三角形，不符合题意；
、∵，，
∴
∴三角形是等腰三角形，符合题意；
、由，不能判断三角形是等腰三角形，不符合题意；
故选：．
2.【答案】A
【解析】解：∵∠A=36°，∠ADB=108°，
∴∠ABD=180°-108°-36°=36°，
∴∠ABD=∠A，即△ABD是等腰三角形．
故答案为：A.
3.【答案】D
【解析】解：∵是△BCD的一个外角，
∴，
又∵，
∴，
∴．
故答案为：D．
4.【答案】8．
【解析】解：，
，，
已知：，
，
，
，
故答案为：8．
5.【答案】．
【解析】解：如图，延长交于，
∵平分，，
∴，，
在和中，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：
6.【答案】，或．
【解析】解：根据题意
当为等腰三角形的顶角时，
当为等腰三角形的顶角时
当为等腰三角形的顶角时，
综上，的度数可能是，或
故答案为：，或
7.【答案】证明：在与中，
，
∴，
∴，
∴．
作业布置：
1.【答案】B
【解析】解：A、∵三角形中已知两个内角为30°、60°，
∴第三个内角为180°- 30°- 60°= 90°，
∴这个三角形是直角三角形，不是等腰三角形，故选项A不符合题意；
B、∵三角形中已知两个内角为40°、70°，
∴第三个内角为180°- 40°- 70°= 70°，
∴这个三角形由两个内角相等，
∴这个三角形是等腰三角形，故选项B符合题意；
C、∵三角形中已知两个内角为50°、60°，
∴第三个内角为180°-50°-60°= 70°，
∴这个三角形不是等腰三角形，故选项C不符合题意；
D、∵三角形中已知两个内角为100°、30°，
∴第三个内角为180°-100°-30°= 50°，
∴不是等腰三角形，故选项D不符合题意；
故答案为：B.
2.【答案】A
【解析】解：∵，
∴，
∴为等腰三角形，
∴，
∴，
故答案为：A
3.【答案】B
【解析】解：根据题意得：（海里），
∵，，
∴，
∴，
∴海里．
即从海岛B到灯塔C的距离是24海里．
故选：B．
4．【答案】（1）解：，
，
，
∴，
∵，是边上的中点，
，
，
．
（2）证明：平分，
，
∵，
，
，
．
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