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2025—2026学年八年级数学上学期单元测试卷
第五章 一次函数 单元测试·培优卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B D C C B C C A D
1．A
本题考查的知识点是分式有意义的条件；分式有意义的条件是分母不为，对于函数，要使函数为分式形式，分母不能为零，因此自变量需满足分母．
解：∵分母
∴．
故选：A．
2．B
本题考查了根据函数关系式求自变量，注意要结合自变量的取值范围来求解．将分别代入和中，即可求出的值，结合的取值范围即可得解．
解：当时，，
解得：
所以不合题意，舍去；
当时，，
解得：，符合题意，
当函数值时，自变量取值为．
故选：B．
3．D
本题主要考查了用待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，解题的关键是根据表中的数据求出函数关系式．
通过表格数据确定气温y与海拔高度x之间的一次函数关系，并验证各选项是否符合该关系．
∵ 从表格数据可知，当时，，时，；
x每增加，y减少，
∴ 函数关系为，
选项A、B、C均符合该函数关系：
A：海拔每上升，气温下降，正确；
B：，经代入验证正确；
C：斜率，y随x增大而减小，正确；
选项D：当时，代入，
∴，解得，
即海拔高度为，而非，故D错误．
故选：D．
4．C
本题考查一次函数的性质，利用一次函数与坐标轴的交点，两个一次函数的交点，一次函数平行条件k相同，一次函数关于坐标轴对称逐项判断解答即可．
A、点代入①，通过；②，通过；③，不通过；④，通过，通过的是①②④，该选项错误；
B、交点在y轴上需时y值相等，时，①，②，③，④，②和④y值不相等，该选项错误；
C、函数的，①，③，均与平行，该选项正确；
D、②与③，关于x轴对称需x取相同值时，y值互为相反数，但时均为，不相反，该选项错误；
故选：C．
5．C
本题考查一次函数的图象性质，包括与坐标轴交点、增减性、平行条件及象限分布．需逐一分析各选项即得．
A、∵令，得，
∵，
∴，交点为，
故A错误．
B、∵ 函数的斜率是k，
当时y随x增大而增大，
当时y随x增大而减小，
选项B中仅当时成立，
但不恒成立，
故B错误．
C、∵ 函数与的斜率均为k，
∴ 两直线平行，
故C正确．
D、∵ 当时，函数经过第一、二、三象限；
当时，经过第二、三、四象限，
故可能同时经过第二象限（时），
故D错误．
故选：C．
6．B
本题考查了一次函数与正比例函数的图象性质，解题的关键是根据两个函数的系数关系（与的符号），判断图象特征是否一致（正比例函数过象限由符号决定，一次函数过象限由的增减性和的截距符号决定）．
先根据正比例函数的图象判断的符号（确定与异号或同号）；再根据该符号关系，判断一次函数的增减性（的符号）和轴截距（的符号），验证是否与选项中一次函数的图象特征一致；同时排除正比例函数不经过原点的选项．
解：∵ 是正比例函数，图象必过原点，
∴ 选项C中正比例函数不经过原点，此选项不符合题意；
剩余选项中，正比例函数均经过第二、四象限，故，即与异号（一正一负）．
A、一次函数过第二、三、四象限，说明（函数递减）且（截距在轴负半轴），则与同号，与矛盾，此选项不符合题意；
B、一次函数过第一、三、四象限，说明（函数递增）且（截距在轴负半轴），则与异号，与一致，此选项符合题意；
D、一次函数过第一、二、三象限，说明（函数递增）且（截距在
轴正半轴），则与同号，与矛盾，此选项不符合题意；
故选：B．
7．C
本题考查一次函数定义，掌握相关知识是解决问题的关键．根据一次函数的定义（形如，），逐一判断即可．
解：①可化为，符合一次函数定义；
②不符合一次函数定义；
③可化为，符合一次函数定义；
④化简为（），定义域不全为实数，不符合一次函数定义；
⑤展开化简为，符合一次函数定义；
⑥不符合一次函数定义．
综上，①、③、⑤符合条件，共3个，选C．
故选：C．
8．C
本题主要考查用待定系数法求一次函数关系式和求一次函数自变量的值，解题的关键会利用待定系数法求解．
设，求出，即得、之间的函数关系式，把代入（1）中、之间的函数关系式，求出即为这条蛇的尾长．
解：某种蛇的体长与其尾长满足一次函数关系．
设，当时，，
当时，，
则
解得
∴
由于、之间的函数关系式为，
当时，，
解得，
即尾长为．
故选：C
9．A
本题考查了点的坐标和用待定系数法求一次函数的解析式，掌握一次函数解析式的求法是解题的关键．根据棋子“帅”位于点的位置，求出“马”所在的点的坐标，由此解答即可．
解：由题意，∵“帅”位于点，
∴“马”，
设经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为，
∴，
∴．
∴．
故选：A．
10．D
本题考查了从函数图象中获取信息、一次函数的应用，采用数形结合的思想是解此题的关键；
根据函数图象提供的信息即可判断①；分别利用待定系数法求出函数解析式即可判断②③；再由求出的值即可判断④；
解：由图象可得：，两地相距为，故①正确；
∵货车的速度为：，
∴货车到达地一共需要，
设两小时后，货车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式为，
∵在图象上，
∴，
解得：，
∴两小时后，货车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式为：，
故②正确；
设客车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式为：，
∵在图象上，
∴，解得：，
∴客车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式为：，
故③正确；
由相遇得：，
∴，
∴，
∵，∴符合题意，
即客、货两车在小时相遇，故④正确；
综上所述，正确的有①②③④，共个，
故选：D．
11．
本题考查了分式有意义的条件和求函数自变量的范围，明确分式的分母不为0是解题的关键．根据分式的分母不能为零，得，可得答案．
解：当时，有意义，
，
解得．
自变量x的取值范围是．
12．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及勾股定理的应用，根据题目中所给的材料结合勾股定理和乘法公式是解答此题的关键．依据题意得到三个关系式：，，，运用完全平方公式即可得到c的值．
解：∵点在“勾股一次函数”的图象上，
，即，
∵分别是的三条边长，，的面积为，
∴，，
∴，
，
∴，
解得：（负值舍去）．
故答案为：．
13．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、两直线平行或相交问题以及规律型中数字的变化类．由题意分别求出、、、、、、的坐标，找出的横坐标的规律，即可求解．
解：∵过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，…依次进行下去，
∴与横坐标相同，与纵坐标相同，
∵函数，当时，，
∴．
∵函数，当时，，
∴．
同理可得…，
∴，，，，…的横坐标为，…，
∴的横坐标为，
∴点的横坐标为．
故答案为：．
14．
本题主要考查了一次函数图像与系数的关系及一次函数图像上点的坐标特征，熟知一次函数图像与性质是解题的关键．
根据题意，将一次函数改写为关于k的关系式，再令k的系数为零即可解决问题．
解：由
则：
当，解得：
∴此点坐标为
故答案为：．
15．
本题考查了一次函数的定义，解题的关键是根据一次函数的定义列出关于的方程和不等式．
根据一次函数（、为常数，）的定义，可得且，解方程组和不等式即可求出的值．
解：函数是关于的一次函数，
的指数 ，且系数 ．
解方程
得 ，
．
又，即 ，
．
故答案为：
16．或
本题考查一次函数的综合应用，等腰三角形的性质，坐标与图形，掌握数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．设，则，进而得到点在直线上，根据是等腰三角形，分，两种情况讨论，求出点坐标，进而求出点坐标．
解：∵点，，，
∴，，
设，则，
∴点在直线上，
当是等腰三角形，分两种情况：
①当时，过点作，
则，
∵，
∴，两点重合，
∴，
∴，
∴；
②当时，过点作，
则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上可知：点的坐标为：或．
故答案为：或．
17．(1)；
(2)，
本题考查了一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．
（1）利用函数图象写出函数值为0对应的自变量的范围即可；结合函数图象，写出函数值小于2对应的自变量的范围即可；
（2）结合函数图象，利用一次函数的性质求解．
（1）解：由图象可得，当时，，
所以方程的解为；
由图象可得，当时，，
所以不等式的解集为；
故答案为：；；
（2）解：由图象可得，线段的自变量的取值范围是：，
当时，函数值y的范围是，
所以直线上的点在线段上移动，则m，n的取值范围分别为，．
18．(1)
(2)分钟
(3)分钟
本题主要考查了一次函数的实际应用，正确理解表格数据是解题的关键．
（1）根据表格中注意力持续时间随观看短视频时间的变化趋势求解即可；
（2）将代入求解即可；
（3）根据观看短视频时间每增加1小时，注意力持续时间减少5分钟即可求解．
（1）解：由表格可得，当观看短视频时间为0小时时，注意力持续时间为50分钟，观看短视频时间每增加1小时，注意力持续时间减少5分钟，
∴注意力持续时间与观看短视频时间之间的关系式为；
（2）解：当时，，
∴注意力持续时间是分钟；
（3）解：由表格可知，观看短视频时间每增加1小时，注意力持续时间减少5分钟，
∴当观看短视频时间增加3小时，注意力持续时间减少了（分钟）．
19．(1)自变量是燃烧时间，因变量是香可燃烧部分的长度；
(2)
(3)
本题考查了用表格表示变量间的关系以及函数解析式的知识点，读懂表格数据是解题关键．
（1）香可燃烧部分的长度随着时间的变化而变化，据此即可求解；
（2）由表格数据可知：燃烧时间每增加，这根香可燃烧部分的长度减少，求出当时，这根香的长度为：；即可求解；
（3）由（2）即可求解；
（1）解：由题意得：自变量是燃烧时间，因变量是香可燃烧部分的长度；
（2）解：由表格数据可知：燃烧时间每增加，这根香可燃烧部分的长度减少，
∴当时，这根香的长度为：；
∴这根香燃尽所需的时间为：；
∴；
（3）解：由（2）可得：这根香可燃烧的时间为；
20．(1)
(2)
(3)或
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与几何综合，解方程组，求不等式的解集，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
（1）先求得的解析式为，构造方程组求交点坐标即可；
（2）利用交点的横坐标，结合不等式解答即可．
（3）设点P的坐标为，根据，解方程即可得出x的值，进而可求出点P的坐标．
（1）解：根据题意，直线，经过点，，
根据题意，得，
解得，
∴的解析式为，
根据题意，得，
解得，
故．
（2）解：根据题意，得，由，得
，
由图象知①的解集为，
解不等式②得，，
故不等式组的解集，得．
（3）解：设点P的坐标为，
，
解得或，
∴点P的坐标为或．
21．(1)
(2)见解析，
本题考查一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想解答．
（1）根据一次函数（k，b是常数，）的图象过，两点，运用待定系数法可以求得该函数的表达式；
（2）根据一次函数的平移解答即可．
（1）解：∵一次函数（k，b是常数，）的图象过，两点，
∴，
解得，
即该一次函数的表达式是；
（2）解：把向下平移4个单位后可得：，
图象如图：
当时，；当时，，
所以，当时新函数y的取值范围为．
22．(1)
(2)
(3)
本题主要考查了一次函数的定义、一次函数的性质、轴对称、一次函数与x轴交点问题等知识点，熟练掌握一次函数的定义和性质是解题的关键．
（1）根据一次函数的定义，x的指数必须为列绝对值方程，且结合的条件求解即可；
（2）先确定函数解析式，再根据一次函数的增减性作答即可；
（3）先求原函数关于y轴对称后的直线方程，再求该直线与x轴的交点坐标即可．
（1）解：∵函数是一次函数，
∴，解得：或，
又∵，
∴．
（2）解：∵，
∴一次函数的解析式为，
∴y随x的增大而减小，
∵点，均在该一次函数的图象上且，
∴．
（3）解：原函数关于y轴对称，将x替换为，可得直线l的解析式为，
令，得，解得，
∴直线l与x轴的交点坐标为．
23．(1)办理会员的费用为30元，会员每次健身的费用为20元
(2)，
(3)要使花费最少，应该办理会员，理由见解析
本题主要考查了从函数图象获取信息，求函数解析式，求函数值，正确理解题意是解题的关键．
（1）根据健身次数为0时会员的费用为30元可得办理会员的费用；根据会员健身10次的总费用为230元可求出会员每次健身的费用；
（2）根据（1）所求可得会员健身费用与健身次数的函数关系式，会员每次健身的费用是打了八折，据此可求出非会员每次健身的费用，进而可得对应的函数关系式；
（3）分别求出时，和的值，比较即可得到结论．
（1）解：由函数图象可知，办理会员的费用为元，会员每次健身的费用为元，
答：办理会员的费用为30元，会员每次健身的费用为20元；
（2）解：由题意得，，；
（3）解：要使花费最少，应该办理会员，理由如下：
由题意得，，，
∵，
∴要使花费最少，应该办理会员．
24．(1)点的坐标是，点的坐标是；
；
(2)．
本题主要考查一次函数与几何的综合、全等三角形的性质与判定．
根据直线的解析式求出点、的坐标；
过点作轴，可证，根据全等三角形的性质可以求出，，根据线段之间的关系求出的长度，即可求出点的坐标；
过点作轴，可证，设点的坐标是，即可求出点的坐标是，利用待定系数法求出直线的解析式，根据解析式求出点的坐标，即可得到的长度．
（1）解：当时，，
点的坐标是，
当时，
可得：，
解得：，
点的坐标是；
解：如下图所示，过点作轴，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
，，
点的坐标是，点的坐标是，
，，
，，
，
点的坐标是；
（2）解：，
理由如下：
如下图所示，过点作轴，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
，，
设点的坐标是，
则，
，
点的坐标是，
，
，
点的坐标是，
设直线的解析式是，
把点和点的坐标代入，
可得：，
解得：，
直线的解析式是，
当时，
，
点的坐标是，
.2025—2026学年八年级数学上学期单元测试卷
第五章 一次函数 单元测试·培优卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．在函数中，自变量的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数，若函数值，则自变量的取值为（ ）
A． B． C．或 D．
3．已知某山区的气温与海拔高度之间满足一次函数关系，某气象站测得该山区气温随海拔高度变化的部分数据如下表，根据表格中的数据，下列说法错误的是（ ）
海拔高度 0 1 2 3 4 …
气温 17 11 5 …
A．海拔每上升，气温下降
B．y与x之间的函数关系式为
C．随着x的增大，y在不断地减小
D．当气温为时，海拔高度是
4．在同一平面直角坐标系中，对于函数：①，②，③，④的图象，下列说法正确的是（ ）
A．通过点的是①和③ B．交点在轴上的是②和④
C．①和③都与函数的图象平行 D．关于轴对称的是②和③
5．关于一次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A．与轴交点坐标为
B．若为图象上两点，当时，
C．与一次函数的图象平行
D．不会同时经过第一象限和第二象限
6．将一次函数与的图象画在同一坐标系中，它们的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
7．下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是一次函数的有（ ）个．
A．5 B．4 C．3 D．2 E．1
8．经研究表明，某种蛇的体长与其尾长满足一次函数关系．尾长为的蛇，体长为，尾长为的蛇，体长为．某条该种类的蛇，测得其体长为，则其尾长为（ ）
A． B． C． D．
9．中国象棋文化历史悠久．如图所示是某次对弈的残局图，如果建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点的位置，则在同一坐标系下，经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
10．在，两地之间有汽车站站，客车由地驶往站，货车由地驶往地．两车同时出发，匀速行驶．客车、货车离站的路程，(km)与行驶时间之间的函数图象如图所示．有下列说法：①，两地相距为；②两小时后，货车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式为；③客车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式为：；④客、货两车在小时相遇．其中正确的有（ ）
①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．函数中，自变量的取值范围是 ．
12．如图，已知a，b，c分别是的三条边长，，我们把关于x的形如的一次函数称为“勾股一次函数”，若点在“勾股一次函数”的图像上，且的面积是，则c的值是 ．
13．如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，…依次进行下去，则点的横坐标为 ．
14．一次函数 无论k取任何非0值，它的图像总是过一个定点，此点坐标为 ．
15．已知是关于的一次函数，则的值是 ．
16．定义：已知，若点的对应点在的内部或边上，则称点为的“纵横叠入点”．在平面直角坐标系中，点，，，点是直线上的一点，若点为的“纵横叠入点”，且是等腰三角形，则点的坐标为 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．如图，直线是一次函数的图象，点P，Q在直线上，根据图象解决下列问题：
(1)方程的解为______，不等式的解集为______．
(2)若直线上的点在线段上移动，则m，n的取值范围分别是什么
18．研究表明，学生每日观看短视频的时间会影响注意力持续时间．某实验记录的当日内注意力持续时间（分钟）与观看短视频时间（小时）之间满足一次函数关系，其部分数据如下表：
观看短视频时间（小时） 0 1 2 3
注意力持续时间y（分钟） 50 45 40 35
(1)求与之间的函数关系式；（无需写出的取值范围）
(2)本次实验中，当观看短视频时间为4小时时，注意力持续时间是多少
(3)本次实验中，当观看短视频时间增加3小时，则注意力持续时间减少了多少分钟
19．为了估计一根驱蚊线香可燃烧的时间，小颖点燃一根香，并每隔测量一次香可燃烧部分的长度，数据如下：
燃烧时间 1 2 3 4 5 …
香可燃烧部分的长度 …
(1)该表格反映了两个变量之间的关系，写出自变量，因变量．
(2)写出这根香可燃烧部分的长度与燃烧时间的函数关系式．
(3)求这根香可燃烧的时间．
20．如图，已知直线经过点，．
(1)若直线与直线相交于点A，求点A的坐标；
(2)根据图象，直接写出的解集；
(3)在x轴上有一点P，若的面积为9，求P点的坐标．
21．已知一次函数的图象如图所示：
(1)求该一次函数的表达式；
(2)将该一次函数的图象向下平移4个单位长度可得一个新函数，画出新函数的图象，并根据图象直接求，当时新函数y的取值范围．
22．已知（m为常数，且）是一次函数．
(1)求的值；
(2)若点，均在该一次函数的图象上，试比较，的大小关系，并说明理由；
(3)将该一次函数的图象关于轴对称后的直线记为，求直线与轴的交点坐标．
23．寒假期间，某健身俱乐部面向学生推出优惠活动，具体为：办理会员，每次健身费用按照八折计算．健身费用（元）与健身次数（次）之间的函数关系如图所示，其中会员的健身费用为元，非会员的健身费用为元．
(1)办理会员的费用为多少元？会员每次健身的费用为多少元？
(2)请直接写出会员和非会员健身费用（元）与健身次数（次）之间的函数关系式；
(3)八年级学生小明计划寒假前往该俱乐部健身8次，要使花费最少，是否应该办理会员？请说明理由．
24．已知，在中，，
(1)如图1，若的两个顶点、分别为直线与坐标轴的交点．
①求出、的坐标；
②求出点的坐标；
(2)如图2，，分别是坐标轴上两点，若的顶点是轴正半轴上的动点，顶点在第一象限内，过，两点作直线，交轴于点．在点的运动过程中，的长度是否发生变化？若不变，求的长度；若改变，请说明理由．(共5张PPT)
浙教版2024 八年级上册
第五章 一次函数
单元测试·培优卷分析
知识点分布
一、单选题 1 0.94 求自变量的取值范围
2 0.85 求自变量的值或函数值
3 0.75 其他问题(一次函数的实际应用)；求自变量的值或函数值；判断一次函数的增减性；求一次函数解析式
4 0.74 一次函数图象与坐标轴的交点问题；一次函数图象与对称问题
5 0.65 根据一次函数解析式判断其经过的象限；一次函数图象与坐标轴的交点问题；一次函数图象平移问题；判断一次函数的增减性
6 0.65 已知函数经过的象限求参数范围；根据一次函数增减性求参数；正比例函数的性质
7 0.65 识别一次函数
8 0.64 求一次函数解析式；求一次函数自变量或函数值
9 0.64 实际问题中用坐标表示位置；求一次函数解析式；写出直角坐标系中点的坐标
10 0.4 从函数的图象获取信息；行程问题(一次函数的实际应用)；求一次函数解析式
知识点分布
二、填空题 11 0.85 分式有意义的条件；求自变量的取值范围
12 0.75 通过对完全平方公式变形求值；用勾股定理解三角形；其他问题(一次函数的实际应用)
13 0.65 一次函数的规律探究问题
14 0.65 根据一次函数解析式判断其经过的象限；一次函数图象与坐标轴的交点问题
15 0.64 根据一次函数的定义求参数
16 0.4 一次函数与几何综合；坐标系中的动点问题（不含函数）；等腰三角形的性质和判定；用勾股定理解三角形
知识点分布
三、解答题 17 0.85 已知直线与坐标轴交点求方程的解；由直线与坐标轴的交点求不等式的解集；一次函数与几何综合
18 0.84 求一次函数解析式；其他问题(一次函数的实际应用)；求一次函数自变量或函数值
19 0.75 函数解析式；用表格表示变量间的关系
20 0.65 求一次函数解析式；根据两条直线的交点求不等式的解集；一次函数与几何综合
21 0.65 一次函数图象平移问题；求一次函数解析式
22 0.65 一次函数图象与坐标轴的交点问题；比较一次函数值的大小；根据一次函数的定义求参数；坐标与图形变化——轴对称
23 0.64 从函数的图象获取信息；用关系式表示变量间的关系；求自变量的值或函数值
24 0.4 一次函数与几何综合；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；一次函数图象与坐标轴的交点问题

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