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(共34张PPT)
北师大（2024）版数学8年级上册
第六章 数据的分析
6.3 哪个团队收益大
(x1+x2+…+xn).
将一组数据按大小顺序排列，如果数据个数为奇数，那么中间的那个数据就是中位数；如果数据个数为偶数，那么中间的两个数据的平均数是中位数．
一组数据中出现次数最多的那个数据是众数.
1．怎么计算算术平均数？
2．如何求中位数和众数？
第 1 页：情境导入 —— 收益对比的核心问题
现实场景：
甲、乙两个创业团队近 6 个月的月收益（单位：万元）如下：
甲团队：12、15、13、14、16、14（数据特点：波动较小）；
乙团队：8、20、10、18、9、21（数据特点：波动较大）；
核心疑问：
仅看 “总收益” 或 “平均收益”，能判断哪个团队收益更好吗？
收益波动大（方差大）的团队，即使平均收益高，是否存在高风险？
学习目标：
掌握 “平均收益（水平）+ 收益方差（稳定性）” 的双维度决策法；
能综合判断不同团队的收益优劣，兼顾 “收益大小” 和 “风险高低”。
第 2 页：核心方法 —— 收益对比的双维度模型
一、两个关键指标（加粗）
指标
计算公式
核心意义
决策逻辑
平均月收益\(\bar{x}\)
\(\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n}\)
反映收益的 “整体水平”
平均收益越高，收益潜力越大
收益方差\(s^2\)
\(s^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2\)
反映收益的 “波动风险”
方差越小，收益越稳定，风险越低
二、综合决策原则（加粗）
若两个团队平均收益相近：优先选方差小的团队（收益稳定，风险低）；
若两个团队平均收益差异较大：
激进型决策（能承受风险）：选平均收益高的团队（接受高波动换高收益）；
稳健型决策（规避风险）：需计算 “收益 - 风险比”（平均收益 ÷ 方差），比值越高越优。
第 3 页：例题解析 —— 甲、乙团队收益对比
例题 1：基础计算（平均收益 + 方差）
题目：计算甲、乙两个团队的平均月收益和收益方差，判断哪个团队收益更优。
解：
第一步：计算平均月收益
第二步：计算收益方差
第三步：综合判断
甲团队：\(\bar{x}_ = \frac{12+15+13+14+16+14}{6} = 14\)（万元）；
乙团队：\(\bar{x}_ = \frac{8+20+10+18+9+21}{6} = 14.33\)（万元）；
结论：乙团队平均收益略高（高 0.33 万元 / 月）。
甲团队方差：\(
s_ ^2 = \frac{1}{6}[(12-14)^2 + (15-14)^2 + (13-14)^2 + (14-14)^2 + (16-14)^2 + (14-14)^2] = \frac{1}{6}[4+1+1+0+4+0] 1.67
\)
乙团队方差：\(
s_ ^2 = \frac{1}{6}[(8-14.33)^2 + (20-14.33)^2 + (10-14.33)^2 + (18-14.33)^2 + (9-14.33)^2 + (21-14.33)^2] \frac{1}{6}[40.07+32.15+18.75+13.47+28.41+44.49] 29.56
\)
结论：乙团队方差远大于甲团队（风险极高）。
收益水平：乙＞甲（微弱优势）；
风险水平：乙＞甲（差距极大）；
决策建议：
稳健型选择（如长期合作、低风险投资）：选甲团队，收益稳定，无大幅亏损风险；
激进型选择（如短期投机、能承受亏损）：可选乙团队，平均收益略高，但需承担月收益低至 8 万元的风险。
第 4 页：变式例题 —— 多团队收益对比（含权重）
例题 2：三个团队的收益对比（含项目权重）
题目：A、B、C 三个团队负责不同项目，项目权重（重要程度）分别为 3、2、1，近 4 个月的项目收益（单位：万元）如下：
团队
项目权重
月收益 1
月收益 2
月收益 3
月收益 4
A
3
8
9
8
9
B
2
7
10
6
11
C
1
5
12
4
13
要求：结合 “加权平均收益” 和 “方差”，判断哪个团队综合收益最优。
解：
第一步：计算加权平均收益（权重越高，对总收益影响越大）
第二步：计算收益方差（仅反映自身波动，与权重无关）
第三步：综合判断
加权平均收益公式：\(\bar{x}_w = \frac{w \times \sum_{i=1}^n x_i}{n}\)（w 为项目权重）；
A 团队：\(\bar{x}_{wA} = \frac{3 (8+9+8+9)}{4} = 3 8.5 = 25.5\)（万元）；
B 团队：\(\bar{x}_{wB} = \frac{2 (7+10+6+11)}{4} = 2 8.5 = 17\)（万元）；
C 团队：\(\bar{x}_{wC} = \frac{1 (5+12+4+13)}{4} = 1 8.5 = 8.5\)（万元）；
\(s_A^2 = \frac{1}{4}[(8-8.5)^2 + (9-8.5)^2 + (8-8.5)^2 + (9-8.5)^2] = 0.25\)；
\(s_B^2 = \frac{1}{4}[(7-8.5)^2 + (10-8.5)^2 + (6-8.5)^2 + (11-8.5)^2] = 6.25\)；
\(s_C^2 = \frac{1}{4}[(5-8.5)^2 + (12-8.5)^2 + (4-8.5)^2 + (13-8.5)^2] = 20.25\)；
加权平均收益：A＞B＞C（A 团队因项目权重高，综合收益领先）；
方差：A＜B＜C（A 团队收益最稳定）；
结论：A 团队综合收益最优（收益高且稳定）。
第 5 页：解题技巧 —— 收益对比的 “三步法”
一、核心步骤（加粗）
算水平：计算平均收益（或加权平均收益），判断收益高低；
算风险：计算收益方差，判断波动大小；
做决策：
收益高 + 方差小→最优；
收益高 + 方差大→高风险高收益；
收益低 + 方差小→低风险低收益；
收益低 + 方差大→最差（不推荐）。
二、注意事项（加粗）
若团队负责项目的 “重要程度不同”，需用 “加权平均收益” 替代普通平均收益；
方差仅反映 “波动风险”，不能直接否定高收益团队，需结合风险承受能力；
当两个团队平均收益差异显著（如甲平均 15 万，乙平均 10 万），即使甲方差略大，仍可能是更优选择。
第 6 页：课堂练习（分层设计）
基础题（双团队对比）：
团队 1：月收益（万元）：10、11、9、10、11（方差 0.4）；
团队 2：月收益（万元）：8、13、7、14、8（方差 13.2）；
问题：（1）计算两个团队的平均月收益；（2）综合收益和风险，哪个团队更值得合作？
提升题（含权重的多团队对比）：
甲、乙团队的项目权重分别为 4 和 3，近 5 个月收益如下：
甲：6、7、6、7、6（方差 0.2）；
乙：5、8、4、9、4（方差 4.4）；
问题：（1）计算加权平均收益；（2）判断哪个团队综合收益更优。
拓展题（收益 - 风险比决策）：
定义 “收益 - 风险比 = 平均收益 ÷ 方差”，比值越高，单位风险带来的收益越高；
团队 A：平均收益 12 万元，方差 3；
团队 B：平均收益 15 万元，方差 6；
问题：通过收益 - 风险比，判断哪个团队的 “性价比” 更高？
第 7 页：课堂小结
核心逻辑：判断团队收益大小，不能只看 “平均收益”，需结合 “方差（风险）” 综合决策；
关键方法：平均收益（水平）+ 方差（风险）+ 权重（重要程度）= 综合收益判断；
实际应用：
稳健场景（如长期合作、企业内部项目）：优先选 “收益高 + 方差小” 的团队；
激进场景（如创业投资、短期项目）：可选择 “收益高 + 方差大” 的团队，但需做好风险防控。
探
究
一
1.为了检查面包的质量是否达标,随机抽取了同种规格的面包10个,这10个面包的质量如下图所示：
（1）这10个面包质量的中位数是 众数是＿＿＿.
（2）估算平均质量是 算一算验证你的估计.
99.8克
100克
100克
101
105
95
100
99
97
100
103
98
100
100克
知识点
统计图中分析数据
根据统计图，确定10次射击成绩的众数 、中位数 ，先估计这10次射击成绩的平均数为 ，再具体算一算，看看你的估计水平如何.
某次射击比赛，甲队员的成绩如下图：
9环
9环
9环
9.4
8.4
9.2
9.2
8.8
9
8.6
9
9
9.4
（9.4+9.4+9.2+9.2+9+9+
8.8+8.6+8.4）÷10=9（环）
9.4
次序
成绩/环
众数： __________________________________;

中位数：__________________________________________;
平均数： .
同一水平线上出现次数最多的数据
折线图上，从上到下(或从下到上)处于中间点所对应的数
可以用中位数与众数估测平均数.具体计算时可以以这个数为基准用简便算法求平均数.
探究反思
在折线统计图中，可以怎样求一组数据的众数、中位数、平均数？
探究新知
探
究
二
甲、乙、丙三支青年排球队各有12名队员，三队队员的年龄情况如下图：
（1）你能从图中分别看出三支球队队员年龄的众数吗？中位数呢？
（2）你能大致估计出三支球队队员的平均年龄哪个大、哪个小吗？你是怎么估计的？
（3）计算出三支球队队员的平均年龄，看看你的估计是否准确.
探究新知
甲、乙、丙三支青年排球队各有12名队员，三队队员的年龄情况如下图：
在条形统计图中，首先要弄清楚横、纵坐标上的数据表示的意义.例如本题中，横轴上的数据是要研究的数据：年龄（岁），纵轴上的数1、2、3表示的是人数，相当于平均数中的“权”.
思路导析
探究新知
甲队：
众数：20岁.
中位数：20岁.
平均数：20岁.
探究新知
问题解答
乙队：
问题解答
众数：19岁.
中位数：19岁.
平均年龄：比20岁小.
探究新知
丙队:
问题解答
众数：21岁.
中位数：21岁.
平均年龄：比20岁大.
探究新知
（3）计算出三支球队队员的平均年龄，看看你的估计是否准确.
探究新知
甲、乙、丙三支青年排球队各有12名队员，三队队员的年龄情况如图.
甲队：20岁
乙队：约19.3岁
丙队：约20.9岁
探究新知
归纳总结
条形统计图中，柱子最高的是众数；找中位数要先排大小顺序；还可以用数据的中位数与众数估测其平均数．
探究新知
如图是某中学男田径队队员年龄结构条形统计图 ，根据图中信息解答下列问题：
（1）田径队共有______人.
（2）该队队员年龄的众数是_____;中位数是______.
（3）该队队员的平均年龄是______.
队员人数
15岁
16岁
17岁
18岁
0
1
2
3
4
年龄
10
17岁
17岁
16.9岁
巩固练习
小明调查了班级里20位同学本学期计划购买课外书的花费情况，并将结果绘制成了统计图：
(1)在这20位同学中,本学期计划购买课外书的花费的众数、中位数分别是多少？
众数：50元.
中位数：50元.
探究新知
探
究
三
想一想 在上面的问题中，如果不知道调查的总人数，你还能求平均数吗？
(2) 计算这20名同学计划购买课外书的平均花费，你是怎么计算的？与同伴交流.
=57（元）
探究新知
=100×10%+80×25%+50×40%+30×20%+20×5%
在扇形统计图中，可以怎样求一组数据的众数、中位数、平均数？
众数： _____________________________;

中位数：________________________________________;

平均数：____________________________.
面积最大的扇形所对应的数据
扇形图中各数据按大小顺序排列，相应的百分比 第50%、51%两个数据的平均数是中位数
可以利用加权平均数进行计算
探究新知
探究反思
某地连续统计了10天日最高气温，并绘制了扇形统计图.
（1）这10天中，日最高气温的众数是多少？
（2）计算这10天日最高气温的平均值.
探究新知
素养考点 1
从统计图分析数据集中趋势的应用
例1
解：（1）根据扇形统计图，35℃占的比例最大，因此日最高气温的众数是35℃.
（2）这10天日最高气温的平均值是：
32×10％+33×20％+34×20％+35×30％+36×20％=34.3(°C)
探究新知
在一次爱心捐款中，某班有40名学生拿出自己的零花钱，有捐5元、10元、20元、50元的，图7反映了不同捐款的人数比例，那么这个班的学生平均每人捐款_________元，中位数是______元，众数是_________元.
16
5
5
巩固练习
变式训练
归纳总结
(2)条形
统计
图中
(3)扇形
统计
图中
(1)折线
统计
图中
众数：同一水平线上出现次数最多的数据；
中位数：从上到下（或从下到上）找中间点所对的数；
平均数：可以用中位数与众数估测平均数．
众数：是柱子最高的数据；
中位数：从左到右（或从右到左）找中间数；
平均数：可以用中位数与众数估测平均数．
众数：为扇形面积最大的数据；
中位数：按顺序，看相应百分比，第50%与第51%两个数据的平均数；
平均数：可以利用加权平均数进行计算．
探究新知
例2 甲、乙两名队员参加射击训练，成绩分别绘制成下列两个统计图：
素养考点 2
利用平均数、众数、中位数与统计图结合的问题
探究新知
次序
次序
根据以上信息，整理分析数据如下：
平均成绩(环) 中位数(环) 众数(环)
甲 a 7 7
乙 7 b 8
(1)写出表格中a，b的值；
解：(1)a＝7，b＝7.5
探究新知
(2)分别运用表中的三个统计量，简要分析这两名队员的射击
成绩，若选派其中一名参赛，你认为应选哪名队员？
解：(2)从平均成绩看甲、乙二人的成绩相等均为7环，从中位数看甲射中7环以上的次数小于乙，从众数看甲射中7环的次数最多而乙射中8环的次数最多.综合以上各因素，若选派一名学生参赛的话，可选择乙参赛，因为乙获得高分的可能更大.
探究新知
五一期间(5月1日～7日)，昌平区每天最高温度(单位： ℃)情况如图所示，则表示最高温度的这组数据的中位数是( )
A. 24 ℃ B. 25 ℃ C. 26 ℃ D. 27 ℃
B
巩固练习
变式训练
知识点 多种方法分析数据
（第1题）
1. 如图是甲、乙两地在某
一个月中日平均气温的箱线图，从中可以
发现这个月的日平均气温方差较大的是
______（填“甲地”或“乙地”）。
甲地
返回
（第2题）
2.已知一班和二班人数相等，在一次考试中
两班成绩的箱线图如图所示，则下列说法正
确的是( )
C
A.一班成绩比二班成绩集中
B.一班成绩的上四分位数是80
C.从中位数来看，两班成绩相当
D.从平均分来看，一班成绩高于二班成绩
返回
3.某班级学生参加数学测验，成绩统计如下（单位：分）：
85,78,92,65,88,72,90,80,86,75,82,95,70,84,89。
（1）这组数据的平均数、方差分别为______，____（保留整数）；
82分
70
（2）绘制箱线图；
解：箱线图如图：
（3）根据平均数、方差、箱线图分析该班级学生数学成绩的整体水平、
离散程度和数据分布特征。
解：该班级学生数学成绩的平均水平在82分左右。
方差约为70，方差较大，表明成绩的离散程度较大，学生之间成绩差异
明显。
数据分布特征：从箱线图看，下四分位数到最小值距离较远，说明低分
段成绩较为分散；上四分位数到最大值距离较近，说明高分段成绩相对
集中（合理即可）。
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4.［教材P随堂练习T变式］某电商平台记录了、 两款同类型商
品在过去15周的销量，数据如下：
A商品销量：12,15,18,20,22,25,28,30,32,35,38,40,42,45,48；
B商品销量：8,10,15,18,20,22,25,28,30,32,35,38,40,45,50。
（1）分别计算、 两款商品销量的平均数、方差；
解： 商品销量的平均数为
，
方差为
。
B商品销量的平均数为
,
方差为
。
（2）求出两款商品销量数据的四分位数，并绘制箱线图；
解： 商品销量的下四分位数为20，中位数为30，上四分位数为40。
B商品销量的下四分位数为18，中位数为28，上四分位数为38。
箱线图如下：
从统计图分析数据的集中趋势
折线统计图
条形统计图
扇形统计图
谢谢观看！

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