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(共25张PPT)
北师大（2024）版数学8年级上册
第六章 数据的分析
6.1.4方差的应用
某日，A，B两地的气温变化如下图所示：
（1）这一天A，B两地的平均气温分别是多少？
答：A地的平均气温是20.4℃,
B地的平均气温是21.4℃.
知识点
方差的实际应用
A地
B地
第 1 页：封面
标题：6.1.4 方差的应用
副标题：人教版初中数学七年级下册
制作者：XXX
背景图：多场景应用拼图（质量检测、成绩分析、股票波动）+ 核心结论（方差越小，稳定性越强）
第 2 页：情境导入 —— 方差的实用价值
回顾旧知：
方差\(s^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2\)，描述数据离散程度；
核心结论：方差越小，数据越稳定；方差越大，数据波动越大。
生活疑问：
买手表时，为什么优先选 “走时误差方差小” 的款式？
教练选运动员，为什么会参考 “射击成绩方差”？
投资时，“股票价格方差大” 意味着什么？
课题引入：今天我们聚焦方差的实际应用，学习用方差解决生活、生产中的决策问题，让数据说话！
第 3 页：应用场景一：质量控制与稳定性判断（核心场景）
解题关键：
产品质量、设备性能等场景中，“稳定性” 是核心指标，方差越小，质量越可靠。
例题 1：零件尺寸波动（工业生产）
题目：某工厂生产两种型号的螺栓，抽取 10 个螺栓测量直径（单位：mm），数据如下：
型号 A：10.0、10.1、9.9、10.0、10.0、9.8、10.2、10.0、9.9、10.1；
型号 B：10.2、9.7、10.1、9.6、10.3、9.8、10.4、9.5、10.5、9.9；
（1）计算两种型号螺栓直径的方差；
（2）若螺栓直径标准为 10.0±0.3mm（即 9.7~10.3mm），哪种型号更符合生产要求？
解：
（1）先算平均数（均为 10.0mm）：
型号 A 方差：\(s_A^2 = \frac{1}{10}[(0)^2 + (0.1)^2 + (-0.1)^2 + ... + (0.1)^2] = 0.012\)；
型号 B 方差：\(s_B^2 = \frac{1}{10}[(0.2)^2 + (-0.3)^2 + ... + (-0.1)^2] = 0.082\)；
（2）分析：
型号 A 方差更小（0.012 < 0.082），直径波动小；
型号 B 有 2 个数据（9.5、10.5）超出标准范围，稳定性差；
答：（1）A 方差 0.012，B 方差 0.082；（2）型号 A 更符合要求。
例题 2：电子产品续航（消费领域）
题目：测试两款充电宝的实际续航时间（单位：小时），数据如下：
甲款：12.5、12.3、12.4、12.6、12.5（方差\(s_ ^2 = 0.012\)）；
乙款：12.0、12.8、12.2、12.9、12.1（方差\(s_ ^2 = 0.132\)）；
若你购买充电宝，更倾向选哪款？说明理由。
解：
甲款方差更小（0.012 <0.132），续航时间更稳定，不会出现 “时而耐用、时而续航短” 的情况；
答：选甲款，因其续航稳定性更强。
第 4 页：应用场景二：成绩分析与能力评估（学习场景）
解题关键：
方差可反映成绩 / 能力的 “稳定性”，方差小说明发挥稳定，方差大说明波动大（偏科、发挥失常风险高）。
例题 3：学生成绩波动（班级管理）
题目：某班两名学生五次数学测验成绩（单位：分）如下：
小明：85、90、95、90、80（平均数\(\bar{x}=90\)，方差\(s_1^2 = 25\)）；
小红：88、92、90、89、91（平均数\(\bar{x}=90\)，方差\(s_2^2 = 2\)）；
（1）谁的成绩更稳定？
（2）若学校选拔 “发挥稳定的选手” 参加数学竞赛，优先选谁？为什么？
解：
（1）\(s_2^2 < s_1^2\)，小红成绩更稳定；
（2）优先选小红，因其成绩波动小，竞赛中更易保持稳定发挥，避免出现低分风险；
补充：小明方差大，虽有 95 分的高光，但也有 80 分的低谷，稳定性不足。
例题 4：球队得分能力（体育分析）
题目：A、B 两支篮球队近 10 场比赛得分如下：
A 队：85、90、88、92、89、91、87、93、86、94（方差\(s_A^2 = 7.6\)）；
B 队：70、100、80、95、85、105、75、90、80、100（方差\(s_B^2 = 132.5\)）；
分析：A 队方差小，得分稳定，战术执行一致；B 队方差大，得分起伏大，可能依赖个别球员爆发，稳定性差。
第 5 页：应用场景三：风险评估与决策（生活场景）
解题关键：
方差越大，风险越高；方差越小，风险越低，需结合 “收益” 和 “风险” 综合决策。
例题 5：投资风险评估（理财场景）
题目：两种理财产品近 6 个月的月收益率（单位：%）如下：
产品 A：3.2、3.1、3.3、3.0、3.2、3.1（平均数\(\bar{x}=3.15\)，方差\(s_A^2 = 0.008\)）；
产品 B：5.0、1.0、6.0、0.5、5.5、0.0（平均数\(\bar{x}=3.0\)，方差\(s_B^2 = 6.8\)）；
（1）哪种产品收益率更稳定？
（2）若你是保守型投资者，优先选哪种？若你是激进型投资者，可能会考虑哪种？
解：
（1）\(s_A^2 < s_B^2\)，产品 A 收益率更稳定；
（2）保守型选 A，风险低，收益稳定；激进型可能选 B，虽风险高，但有机会获得 5% 以上的高收益；
结论：方差是风险评估的重要指标，但决策需结合自身风险承受能力。
第 6 页：应用场景四：混合数据的方差决策（综合场景）
解题关键：
当数据包含 “权重”（如人数、销量）时，先算加权平均数，再算方差。
例题 6：班级成绩稳定性对比（加权场景）
题目：七年级两个班的数学成绩统计如下：
班级
人数
平均分
方差
一班
40
85
12
二班
60
88
18
（1）哪个班成绩更稳定？
（2）若计算全年级的平均成绩和方差，方差会更接近哪个班？为什么？
解：
（1）一班方差 12 < 二班方差 18，一班成绩更稳定；
（2）全年级平均成绩 =（40×85 + 60×88）÷100 = 86.8 分；
全年级方差会更接近二班，因二班人数更多（权重更大），对整体方差影响更显著；
答：（1）一班更稳定；（2）接近二班，因二班人数权重更大。
第 7 页：方差应用的核心方法总结
一、解题三步法（加粗）
算一算：计算各组数据的平均数（若平均数不同，需结合标准差；平均数相同，直接用方差）；
比一比：比较各组数据的方差大小；
判一判：根据场景结论判断 ——
质量、稳定性场景：方差越小越好；
风险、创新场景：方差大小需结合需求（如激进投资可接受大方差）。
二、注意事项（加粗）
平均数不同时，不能直接用方差比较稳定性（如甲班平均 80 分方差 10，乙班平均 90 分方差 15，需用标准差或变异系数）；
方差单位是原数据单位的平方（如分 、mm ），比较时只需看数值大小，无需纠结单位；
实际决策需结合场景（如 “成绩方差小” 适合竞赛，“科研数据方差大” 可能有新发现）。
第 8 页：课堂练习（分层设计）
基础题（质量控制）：
某品牌两款洗衣机的洗净率（%）测试数据：
款 1：95、96、94、95、95（方差\(s_1^2 = 0.4\)）；
款 2：98、92、96、90、94（方差\(s_2^2 = 8.8\)）；
哪款洗衣机洗净率更稳定？适合家庭日常使用？
提升题（成绩分析）：
三名学生的英语听力成绩（单位：分）：
甲：25、24、26、25、25（方差 0.4）；
乙：27、23、25、26、24（方差 2.8）；
丙：30、20、25、28、22（方差 13.6）；
若选拔 1 人参加听力竞赛，选谁？若选拔 2 人组成团队，选哪两人？说明理由。
拓展题（风险决策）：
两种股票近 5 天的收盘价（单位：元）：
股票 X：10、10.2、9.8、10.1、9.9（方差 0.014）；
股票 Y：8、12、9、11、10（方差 2.8）；
若你有 10 万元，想分散投资（60% 投 X，40% 投 Y），你认为组合投资的风险会比单独投 Y 低吗？为什么？
第 9 页：课堂小结
核心应用场景：质量控制、成绩分析、风险评估、混合数据决策；
核心方法：算平均数→比方差→结合场景判稳定性；
核心思想：
数据驱动决策：用方差量化波动，避免主观判断；
辩证看待方差：方差小≠绝对好，需结合实际需求（稳定 / 风险 / 创新）。
第 10 页：布置作业
教材习题 6.1 第 13、14、15 题；
实践题：
调查本校两个年级的男生身高（各抽取 20 人），计算方差，分析哪个年级男生身高更整齐；
思考题：
某运动员射击成绩方差为 0.02，若每次射击成绩都乘以 2（如 10 环变 20 环），方差会变成多少？（提示：方差性质\(s_{ax}^2 = a s_x \)）
（2）A地这一天气温的极差、方差分别是多少？B地呢？
解：A地的极差是9.5℃，方差是7.76，
B地的极差是6℃，方差是2.78.
解：A、B两地的平均气温相近，但A地的日温差较大， B地的日温差较小.
（3）A，B两地的气候各有什么特点？
探究新知
A地
B地
我们知道，一组数据的方差越小，这组数据就越稳定，那么，是不是方差越小就表示这组数据越好？
探究新知
例1 某校要从甲、乙两名跳远运动员中挑选一人参加一项校际比赛．在最近10次选拔赛中，他们的成绩（单位: cm）如下：
甲：585 596 610 598 612 597 604 600 613 601
乙：613 618 580 574 618 593 585 590 598 624
（1）这两名运动员的运动成绩各有何特点？
分析：分别计算出平均数和方差；根据平均数判断出谁的成绩好，根据方差判断出谁的成绩波动大．
探究新知
素养考点
利用方差做判断
(585+596+610+598+612+597+604+600+613+601)
=601．6，
(613+618+580+574+618+593+585+590+598+624)
=599．3，
由上面计算结果可知：甲队员的平均成绩较好，也比较稳定，乙队员的成绩也不突出，所以甲队比较突出．
探究新知
解:
s2甲≈65.84；
s2乙≈284.21．
（2）历届比赛表明，成绩达到5.96 m就很可能夺冠，你认为为了夺冠应选谁参加这项比赛？如果历届比赛成绩表明，成绩达到6.10 m就能打破纪录，那么你认为为了打破纪录应选谁参加这项比赛．
解：从平均数分析可知，甲、乙两队员都有夺冠的可能．但由方差分析可知，甲成绩比较平稳，夺冠的可能性比乙大．
但要打破纪录，成绩要比较突出，因此乙队员打破纪录的可能性大，我认为为了打破纪录，应选乙队员参加这项比赛．
（1）在解决实际问题时，方差的作用是什么？
反映数据的波动大小．方差越大,数据的波动越大；
方差越小，数据的波动越小，可用样本方差估计总体方差．
（2）运用方差解决实际问题的一般步骤是怎样的？
　　先计算样本数据平均数，当两组数据的平均数相等或相近时，再利用样本方差来估计总体数据的波动情况．
探究新知
队员 平均成绩 方差
甲 9.7 2.12
乙 9.6 0.56
丙 9.8 0.56
丁 9.6 1.34
甲、乙、丙、丁四名射击队员考核赛的平均成绩（环）及方差统计如表，现要根据这些数据，从中选出一人参加比赛，如果你是教练员，你的选择是（ ）
A. 甲 B. 乙 C.丙 D.丁
C
巩固练习
变式训练
某撑杆跳队准备从甲、乙两名运动员中选取成绩稳定的一名参加比赛.下表是这两名运动员10次测验成绩（单位：m）.
甲 4.85 4.93 5.07 4.91 4.99
5.13 4.98 5.05 5.00 5.19
乙 5.11 5.08 4.83 4.92 4.84
4.81 5.18 5.17 4.85 5.21
你认为应该选择哪名运动员参赛？为什么？
变式训练
巩固练习
解：我认为应该选甲运动员参赛.理由是：甲、乙运动员10次测验成绩的平均数分别为
甲、乙运动员10次测验成绩的方差分别为
由 可以知道，甲运动员的成绩更稳定，因此，我认为应该选甲运动员.
巩固练习
分数 50 60 70 80 90 100
人数 甲组 2 5 10 13 14 6
乙组 4 4 16 2 12 12
例2 一次科技知识竞赛,两组学生成绩统计如下:
已经算得两个组的人平均分都是80分,请根据你所学过的统计知识,进一步判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁劣,并说明理由.
探究新知
解: (1)甲组成绩的众数为90分,乙组成绩的众数为70分, 以成绩的众数比较看,甲组成绩好些.
(3)甲、乙两组成绩的中位数都是80分,甲组成绩在中位数以上(包括中位数)的人有33人,乙组成绩在中位数以上(包括中位数)的人有26人,从这一角度,看甲组成绩总体较好;
(4)从成绩统计表看,甲组成绩高于80分的人数为20人,乙组成绩高于80分的人数为24人,乙组成绩集中在高分段的人数多,同时,乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多6人,从这一角度看,乙组的成绩较好.
探究新知
(2)
因为 ，从数据的离散程度的角度看，甲组较优；
甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示：
巩固练习
变式训练
知识点1 方差的应用
1.［2024青岛中考改编］图①和图②中的两组数据，分别是甲、乙两地
2024年5月27日至31日每天的最高气温，设这两组数据的方差分别为
，，则与 的关系是( )
A
A. B. C. D.无法确定
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2.［2024上海中考改编］科学家同时培育了甲、乙、丙、丁四种花，其
开花时间的平均数及方差如下表，开花时间最短并且最平稳的是( )
种类 甲 乙 丙 丁
平均数 2.3天 2.3天 2.8天 3.1天
方差 1.05 0.78 1.05 0.78
B
A.甲种类 B.乙种类 C.丙种类 D.丁种类
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3.在一次芭蕾舞选拔赛中，甲、乙两个芭蕾舞团参加表演的8位女演员
身高的折线统计图如下。若选择甲团参赛，则理由是________________
___________。
甲团8位女演员的
身高更整齐
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知识点2 利用“组内离差平方和达到最小”分组
4.科研人员选出8株植物，在同等实验条件下，测量它们的光合作用速
率（单位： ）。统计结果为35,30,23,17,20,25,32,30，若
按照“组内离差平方和达到最小”的方法将这8株植物分成两组，则需要
将数据由____到____排序，共可以分成___种情况。
小
大
7
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5.［教材 例3变式］在一次女子体操比赛中，10名运动员的年龄
（单位：岁）分别为10，8，12，15，10，12，11，9，10，13。若想把
10名运动员分成两组，使每组组内运动员年龄差不多，且两组之间年龄
差别较明显，那么你将运用________________________的方法进行分组。
具体分组过程如下：将10名运动员的年龄按从小到大排列____________
_______________________。
把10个数据分成两组，共有9种情况：
组内离差平方和达到最小
8,9,10,10,10,11,12,12,13,15
情况 第一组 第二组
一 ___ _______________________
二
三 _______ ___________________
四 _________ ________________
8
9,10,10,10,11,12,12,13,15
8,9,10
10,10,11,12,12,13,15
8,9,10,10
10,11,12,12,13,15
情况 第一组 第二组
五 ____________ ______________
六 ______________ ___________
七 _________________ _________
八
九
8,9,10,10,10
11,12,12,13,15
8,9,10,10,10,11
12,12,13,15
8,9,10,10,10,11,12
12,13,15
续表
情况 平均数（除不尽的保留2位 小数） 组内离差平方和 第一组 第二组 第一组 第二组 两组和
一 ___ 11.33 ___ __________
二 8.5 11.625 0.5 21.875 22.375
三 9 11.86 2
四 9.25 12.17 2.75
五 9.4 12.6 3.2 9.2 12.4
8
0
续表
情况 平均数（除不尽的保留2位 小数） 组内离差平方和 第一组 第二组 第一组 第二组 两组和
六 9.67 13 6
七 10 13.33 10
八 10.25 ____ 13.5 ___ _____
九 10.56 15 ___ __________
14
2
15.5
0
续表
通过计算得到，第____种情况得到的组内离差平方和最小，因此将10名
运动员按年龄大小分成两组为__________________________________。
六
，
返回
根据方差做决策
方差的作用：比较数据的稳定性
利用方差解答实际问题
谢谢观看！

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