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北师大（2024）版数学8年级上册
第六章 数据的分析
6.1.2加权平均数
一般地，对于n个数x1 ，x2 ，… ，xn ，我们把
（ x1 + x2 + … + xn）
叫做这n个数的算术平均数，简称平均数，记作 x .
1.什么是算术平均数？
2.什么是加权平均数？
第 1 页：封面
标题：6.1.2 加权平均数
副标题：人教版初中数学七年级下册
制作者：XXX
背景图：权重占比饼图 + 加权平均数公式 + 实际应用场景（成绩核算、商品定价），突出核心主题
第 2 页：情境导入 —— 为什么需要加权平均数？
回顾旧知：
算术平均数：\(\bar{x} = \frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}\)，适用于所有数据 “重要程度相同” 的场景（如 5 名学生的平均成绩）；
上节课伏笔：例 5 中 “笔试占 60%，面试占 40%” 的综合成绩计算，已涉及 “权重” 思想。
问题情境：
情境 1（成绩核算）：某班期末考试，语文、数学、英语的权重分别为 3、4、3，某学生三科成绩分别为 85 分、92 分、88 分，如何计算综合成绩？
情境 2（商品定价）：某超市购进 A、B 两种大米，A 种 50 千克，单价 6 元 / 千克；B 种 30 千克，单价 8 元 / 千克，求混合后大米的平均单价？
思考设问：
上述情境中，能直接用算术平均数计算吗？（如（85+92+88）÷3 或（6+8）÷2）
为什么需要考虑 “权重”？（不同数据对结果的影响程度不同）
课题引入：今天我们学习算术平均数的拓展 —— 加权平均数，掌握 “考虑数据重要程度” 的平均数计算方法！
第 3 页：探究一：权重的定义与意义
一、核心概念（加粗）
权重：衡量数据 “重要程度” 或 “出现频率” 的数值，记作\(w_1, w_2, ..., w_n\)（权重可以是比例、次数、百分比等）。
常见权重形式：
次数权重：如 “80 分（3 人）、85 分（5 人）” 中，3 和 5 是对应分数的次数权重；
比例权重：如 “笔试占 60%，面试占 40%” 中，60% 和 40% 是比例权重；
系数权重：如 “语文 3、数学 4、英语 3” 中，3、4、3 是系数权重。
二、权重的实际意义
权重反映数据对 “最终结果” 的影响程度：权重越大，对应数据对结果的影响越显著。
示例：成绩核算中，数学权重 4（最高），说明数学成绩对综合成绩的影响最大。
第 4 页：探究二：加权平均数的定义与公式
一、核心概念（加粗）
加权平均数：若一组数据\(x_1, x_2, ..., x_n\)对应的权重为\(w_1, w_2, ..., w_n\)，则这组数据的加权平均数为：\(
\bar{x} = \frac{x_1w_1 + x_2w_2 + ... + x_nw_n}{w_1 + w_2 + ... + w_n}
\)
符号说明：
\(x_i\)：第 i 个数据的数值；
\(w_i\)：第 i 个数据的权重；
分子：数据与对应权重的乘积和（加权和）；
分母：所有权重的和（确保权重占比合理）。
二、公式特例（加粗）
当权重为 “次数” 时（如数据重复出现）：
公式简化为：\(\bar{x} = \frac{x_1n_1 + x_2n_2 + ... + x_nn_n}{n_1 + n_2 + ... + n_n}\)（\(n_i\)为数据出现的次数）；
本质：与上节课 “含重复数据的算术平均数” 一致（如例 3 中，次数 3、5、8、4 是权重）。
当权重为 “百分比” 时（比例权重）：
公式简化为：\(\bar{x} = x_1p_1 + x_2p_2 + ... + x_np_n\)（\(p_i\)为百分比权重，且\(p_1+p_2+...+p_n=1\)）；
示例：笔试 85 分（60%）、面试 90 分（40%），综合成绩 = 85×60% + 90×40% = 87 分。
当所有权重相等时（\(w_1=w_2=...=w_n\)）：
加权平均数 = 算术平均数（如权重均为 1 时，\(\bar{x} = \frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}\)）；
结论：算术平均数是加权平均数的特殊情况（权重相等）。
第 5 页：例题讲解（基础题型：不同权重形式）
例 1：次数权重（重复数据）
题目：某车间 10 名工人的日产量（单位：件）为：50（2 人）、60（3 人）、70（4 人）、80（1 人），求平均日产量。
解：
权重\(w_1=2, w_2=3, w_3=4, w_4=1\)；
加权和 = 50×2 + 60×3 + 70×4 + 80×1 = 100 + 180 + 280 + 80 = 640；
权重和 = 2+3+4+1=10；
平均日产量\(\bar{x} = \frac{640}{10} = 64\)（件）；
答：平均日产量为 64 件。
例 2：比例权重（百分比）
题目：某公司招聘，笔试、面试、实习成绩的权重分别为 30%、40%、30%，应聘者小李三项成绩分别为 90 分、85 分、92 分，求小李的综合成绩。
解：
综合成绩 = 90×30% + 85×40% + 92×30%；
=27 + 34 + 27.6 = 88.6（分）；
答：小李的综合成绩为 88.6 分。
例 3：系数权重（比例系数）
题目：某学科的平时作业、单元测验、期末考试权重比为 2:3:5，某学生三项成绩分别为 80 分、85 分、90 分，求该学生的学期成绩。
解：
权重\(w_1=2, w_2=3, w_3=5\)，权重和 = 2+3+5=10；
学期成绩\(\bar{x} = \frac{80 2 + 85 3 + 90 5}{10}\)；
= \(\frac{160 + 255 + 450}{10} = \frac{865}{10} = 86.5\)（分）；
答：该学生的学期成绩为 86.5 分。
第 6 页：例题讲解（实际应用：混合配比问题）
例 4：商品混合定价
题目：某水果店购进两种苹果，A 种苹果 150 千克，进价 4 元 / 千克；B 种苹果 100 千克，进价 6 元 / 千克。若两种苹果混合销售，要保证不亏本，混合后的最低售价为多少元 / 千克？
解：
核心：混合后的平均进价 = 总进价 ÷ 总重量（权重为购进重量）；
总进价 = 150×4 + 100×6 = 600 + 600 = 1200（元）；
总重量 = 150 + 100 = 250（千克）；
平均进价\(\bar{x} = \frac{1200}{250} = 4.8\)（元 / 千克）；
答：混合后的最低售价为 4.8 元 / 千克。
例 5：人口平均年龄
题目：某小区有三个年龄段的居民：青少年（200 人，平均年龄 15 岁）、成年人（500 人，平均年龄 40 岁）、老年人（300 人，平均年龄 65 岁），求该小区居民的平均年龄。
解：
权重为各年龄段人数，加权和 = 200×15 + 500×40 + 300×65；
=3000 + 20000 + 19500 = 42500；
总人数 = 200+500+300=1000；
平均年龄\(\bar{x} = \frac{42500}{1000} = 42.5\)（岁）；
答：该小区居民的平均年龄为 42.5 岁。
第 7 页：加权平均数与算术平均数的区别与联系
一、核心对比（加粗）
统计量
适用场景
权重特点
公式本质
算术平均数
数据重要程度相同
所有权重相等（\(w_1=w_2=...\)）
加权平均数的特殊情况
加权平均数
数据重要程度不同或重复
权重可不同（次数、比例等）
考虑权重的 “公平” 平均数
二、关键提醒（加粗）
选择哪种平均数，核心看 “数据是否有差异权重”：
无差异（如 5 名学生的单人成绩）→ 算术平均数；
有差异（如成绩权重、商品销量、人口数量）→ 加权平均数。
计算加权平均数时，务必确保 “权重与数据一一对应”，且权重和不为 0。
第 8 页：解题技巧与易错点
一、核心技巧
权重转化：
比例权重（如 2:3:5）可直接作为权重代入公式，无需转化为百分比；
百分比权重（如 30%、40%）可转化为小数（0.3、0.4）计算，简化运算。
公式选择：
数据重复→用 “次数权重” 公式（加权和 = 数值 × 次数和）；
重要程度不同→用 “比例 / 系数权重” 公式；
实际应用：
混合配比、平均定价问题→权重为 “数量 / 重量”；
成绩、绩效核算→权重为 “比例 / 系数”。
二、常见易错点
权重混淆：
误将数据当作权重（如例 3 中，把成绩 80、85、90 当作权重，3、4、3 当作数据）；
比例权重求和不为 1 时，未统一权重（如权重 20%、30%、40%，需补充 10% 或检查数据）。
计算错误：
加权和漏乘权重（如例 2 中，误算为 90+85×0.4+92×0.3）；
权重和计算错误（如例 1 中，误将权重和算成 2+3+4=9，遗漏 1）。
场景误判：
数据有重复或权重差异时，强行用算术平均数（如混合大米单价用（6+8）÷2=7 元 / 千克，导致结果错误）。
第 9 页：课堂练习
基础题：
（1）某小组 5 名学生的数学作业得分：90（1 人）、85（2 人）、80（2 人），求平均得分；
（2）某员工的绩效由工作态度（权重 20%）、工作能力（30%）、工作业绩（50%）组成，三项得分分别为 80 分、85 分、90 分，求绩效总分。
提升题：
某超市购进 A、B、C 三种饮料，A 种 20 箱，单价 30 元 / 箱；B 种 30 箱，单价 25 元 / 箱；C 种 50 箱，单价 20 元 / 箱，求三种饮料的平均单价。
拓展题：
某校七年级两个班的数学平均分分别为 85 分和 90 分，一班有 40 人，二班有 60 人，求七年级的数学平均成绩（提示：权重为班级人数）。
第 10 页：课堂小结
核心内容：
权重：数据重要程度或出现频率的衡量标准；
加权平均数公式：\(\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^n x_iw_i}{\sum_{i=1}^n w_i}\)；
应用场景：数据重要程度不同、数据重复、混合配比等。
数学思想：
公平性思想：加权平均数能更公平地反映数据的实际影响；
转化思想：将比例、次数等权重转化为统一形式计算；
应用思想：根据实际场景选择合适的平均数统计量。
关键收获：
掌握加权平均数的定义和不同权重形式的计算方法；
能根据实际问题判断是否需要用加权平均数；
体会加权平均数在生活、商业、教育中的广泛应用。
第 11 页：布置作业
教材习题 6.1 第 4、6、7、8 题；
实践题：
调查本班同学的各科成绩权重（如语文 3、数学 4、英语 3、体育 2），计算自己的综合成绩，并与算术平均数对比，分析差异原因；
思考题：
当权重发生变化时（如数学权重从 4 改为 5），综合成绩会如何变化？这说明什么？
一般地,如果在n个数中,x1出现f1次,x2出现f2次, ……，xk出现fk次(这时 f1+f2+……+fk=n ),那么这n个数的加权平均数为
服装统一 进退场有序 动作规范 动作整齐
一 班 9 8 9 8
二 班 10 9 7 8
三 班 8 9 8 9
问题一 某学校进行广播操比赛，比赛打分包括以下几项：服装统一、进退场有序、动作规范、动作整齐(每项满分10分),其中三个班级的成绩分别如下：
知识点
加权平均数的应用
（1）若将服装统一、进退场有序、动作规范、动作整齐这四项得分依次按10%，20%，30%，40%的比例计算各班的广播操比赛成绩，那么哪个班的成绩最高？
（2）你认为上述四项中，哪一项更为重要？请你按自己的想法设计一个评分方案.根据你的评分方案，哪一个班的广播操比赛成绩最高？与同伴进行交流.
服装统一 进退场有序 动作规范 动作整齐
一 班 9 8 9 8
二 班 10 9 7 8
三 班 8 9 8 9
解:(1)一班的广播操成绩为：
9×10%＋8×20%＋9×30%＋8×40%=8.4(分)
二班的广播操成绩为：
10×10%＋9×20%＋7×30%＋8×40%=8.1(分)
三班的广播操成绩为：
8×10%＋9×20%＋8×30%＋9×40%=8.6(分)
因此，三班的广播操成绩最高.
(2)权有差异，得出的结果就会不同，也就是说
权的差异对结果有影响.
小颖家去年的饮食支出为3600元，教育支出为1200 元，其他支出为7200 元.小颖家今年的这三项支出依次比去年增长了9%，30%，6%，小颖家今年的总支出比去年增长的百分数是多少？
以下是小明和小亮的两种解法，谁做得对？说说你的理由.
小明:(9%+30%+6%)÷3=15%
小亮:(9%×3600+30%×1200+6%×7200)
÷(3600+1200+7200)=9.3%
问题二
由于小颖家去年的饮食、教育和其他三项支出金额不等，因此，饮食、教育和其他三项支出的增长率“地位”不同，它们对总支出增长率的“影响”不同，不能简单地用算术平均数计算总支出的增长率，而应将这三项支出金额3600，1200,7200分别视为三项支出增长率的“权”，从而总支出的增长率为小亮的解法是对的.
日常生活中的许多“平均” 现象是“加权平均”.
你能举出生活中加权平均数的实例吗？
你知道大学里学期总评成绩是如何计算的吗？
是否简单地将平时成绩与考试成绩相加除以2呢？
是按照“平时成绩40%，考试成绩60%”的比例计算，
假如平时成绩70分，考试成绩为90分，那么学期总评成绩为多少？
70×40%+90×60%=82（分）
82分是上述两个成绩的加权平均数
权重
探究新知
解:(1)1小明的平均速度是(15×1+5×1)÷(1+1)=10（千米/时）.
(2)小明的平均速度是(15×2+5×3)÷(2+3)=9（千米/时）,
小明骑自行车的速度是15千米/时，步行的速度是5千米/时.
(1)如果小明先骑自行车1小时，然后又步行了1小时，那么他的平均速度是多少？
(2)如果小明先骑自行车2小时，然后步行了3小时，那么他的平均速度是多少？你能从权的角度来理解这样的平均速度吗？
巩固练习
小明骑自行车和步行的时间2小时，3小时分别是骑自行车和步行速度的权.
射击比赛中，某队员10次射击成绩如图所示，则该队员的平均成绩是_________环．
8.5　
连接中考
1.面试时，某人的基本知识、表达能力、工作态度的得分分别是80分，70分，85分，若依次按 30%，30%，40% 的比例确定成绩，则这个人的面试成绩是多少？
解:80×30%+70×30%+85×40%=79(分)
答：这个人的面试成绩是79分.
课堂检测
基础巩固题
知识点1 加权平均数
1.在一次数学测评中，六年级一班的23名男生的平均分为 ，22名女生
的平均分为 ，则这个班全体同学的平均分为( )
C
A. B. C. D.
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2.小董参加“吾有所爱，其名华夏”主题演讲比赛，形象、表达、内容三
项得分分别是9分、8分、10分（每项满分为10分）。若将三项得分依次
按 的比例确定最终成绩，则小董的最终成绩为( )
B
A.9.3分 B.8.9分 C.9分 D.9.6分
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3.［教材随堂练习 变式］［2024德阳
中考］某校拟招聘一名优秀的数学教师，
设置了笔试、面试、试讲三项水平测试，
综合成绩按照笔试占，面试占 ，
试讲占 进行计算，小徐的三项测试成
绩如图所示，则她的综合成绩为_____分。
85.8
返回
知识点2 加权平均数与算术平均数的关系
4.若一组数据中有个10，个20， 个30，则这组数据的平均数是
( )
D
A.20 B.
C. D.
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5.某校学期综合评价成绩是由平时作业、期中检测、期末考试三项成绩
构成的，学期综合评价成绩在90分以上则评为“优秀”。下表是小明和小
勇两名同学某学科的成绩。
学生 平时作业/分 期中检测/分 期末考试/分
小明 90 76 89
小勇 92 80 94
（1）若将三项成绩的平均分记为学期综合评价成绩，则小明的学期综
合评价成绩为____分；
85
（2）若将平时作业、期中检测、期末考试三项成绩按 的比例来确
定学期综合评价成绩，则小勇该学科______（填“能”或“不能”）被评为
“优秀”。
不能
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加权平均数的应用
加权平均数的影响
加权平均数的实际应用
权的不同，导致结果不同，故权的差异对结果有影响
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