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北师大（2024）版数学8年级上册
第六章 数据的分析
6.1.3方差
复习导入
第 1 页：封面
标题：6.1.3 方差
副标题：人教版初中数学七年级下册
制作者：XXX
背景图：两组数据波动对比折线图 + 方差公式，突出 “数据波动” 核心主题
第 2 页：情境导入 —— 为什么需要方差？
回顾旧知：
平均数、众数描述数据的 “集中趋势”（如平均成绩、最常见销量）；
但仅靠集中趋势不够：两组数据可能平均数相同，但波动程度差异巨大。
问题情境：
两组学生的数学成绩（单位：分）：
甲组：80、85、90、95、100（平均数\(\bar{x}=90\)）；
乙组：70、80、90、100、110（平均数\(\bar{x}=90\)）；
思考设问：
① 两组数据的平均数相同，为什么直观感受乙组成绩波动更大？
② 用什么统计量能精准量化数据的 “波动程度”？
课题引入：今天我们学习描述数据离散程度的核心统计量 —— 方差，掌握数据波动的量化方法！
第 3 页：探究一：方差的定义与核心思想
一、核心思想（加粗）
数据波动的本质：各数据与平均数的 “偏离程度”；
偏离程度的衡量：用 “各数据与平均数的差的平方”（避免正负抵消，放大极端差异）；
方差的本质：所有数据偏离平均数的平方的 “平均水平”（反映整体波动）。
二、定义（加粗）
设一组数据\(x_1, x_2, ..., x_n\)的平均数为\(\bar{x}\)，则这组数据的方差记作\(s^2\)，定义为：\(
s^2 = \frac{1}{n}\left[(x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2 + ... + (x_n - \bar{x})^2\right]
\)
符号说明：
\(x_i - \bar{x}\)：第 i 个数据与平均数的偏差；
\((x_i - \bar{x})^2\)：偏差的平方（消除正负，强化差异）；
\(n\)：数据个数；
方差越大，数据波动越大；方差越小，数据越稳定。
三、标准差（补充概念）
方差的算术平方根叫做标准差，记作\(s\)（单位与原数据一致）：\(
s = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2}
\)
意义：与方差作用相同，更易理解（如方差单位是 “分 ”，标准差单位是 “分”）。
第 4 页：探究二：方差的计算步骤
步骤详解（以情境中甲组数据为例）
算平均数：计算这组数据的算术平均数\(\bar{x}\)；
甲组：\(\bar{x} = \frac{80+85+90+95+100}{5} = 90\)；
求偏差：计算每个数据与平均数的差\(x_i - \bar{x}\)；
80-90=-10，85-90=-5，90-90=0，95-90=5，100-90=10；
偏差平方：将每个偏差平方，得到\((x_i - \bar{x})^2\)；
\((-10)^2=100\)，\((-5)^2=25\)，\(0^2=0\)，\(5^2=25\)，\(10^2=100\)；
求平均：将所有偏差平方求和，再除以数据个数\(n\)；
平方和 = 100+25+0+25+100=250；
方差\(s^2 = \frac{250}{5} = 50\)；
（可选）算标准差：\(s = \sqrt{50} 7.07\)。
总结：方差计算五步曲 —— 算平均→求偏差→平方→求和→再平均
第 5 页：例题讲解（基础计算：两组数据对比）
例 1：计算情境中甲、乙两组数据的方差，验证波动差异。
解：
甲组（80、85、90、95、100）：
① 平均数\(\bar{x}=90\)；
② 方差\(s_ ^2 = \frac{1}{5}[(80-90)^2 + (85-90)^2 + (90-90)^2 + (95-90)^2 + (100-90)^2]\)；
③ = \(\frac{1}{5}[100 + 25 + 0 + 25 + 100] = 50\)；
乙组（70、80、90、100、110）：
① 平均数\(\bar{x}=90\)；
② 方差\(s_ ^2 = \frac{1}{5}[(70-90)^2 + (80-90)^2 + (90-90)^2 + (100-90)^2 + (110-90)^2]\)；
③ = \(\frac{1}{5}[400 + 100 + 0 + 100 + 400] = 200\)；
结论：\(s_ ^2 < s_ ^2\)，因此甲组数据更稳定，乙组波动更大（与直观感受一致）。
例 2：计算下列数据的方差和标准差（单位：kg）：45、48、50、52、55。
解：
① 平均数\(\bar{x} = \frac{45+48+50+52+55}{5} = 50\)；
② 方差\(s^2 = \frac{1}{5}[(45-50)^2 + (48-50)^2 + (50-50)^2 + (52-50)^2 + (55-50)^2]\)；
③ = \(\frac{1}{5}[25 + 4 + 0 + 4 + 25] = 11.6\)；
④ 标准差\(s = \sqrt{11.6} 3.41\)；
答：方差为 11.6，标准差约为 3.41。
第 6 页：例题讲解（实际应用：稳定性判断）
例 3：某手表厂测试两款手表的走时误差（单位：秒 / 天），数据如下：
A 款：-1、0、1、-2、2（平均数\(\bar{x}=0\)）；
B 款：-3、-1、0、1、3（平均数\(\bar{x}=0\)）；
（1）计算两款手表走时误差的方差；
（2）判断哪款手表走时更稳定？
解：
（1）A 款方差：\(s_A^2 = \frac{1}{5}[(-1-0)^2 + (0-0)^2 + (1-0)^2 + (-2-0)^2 + (2-0)^2] = \frac{1}{5}[1+0+1+4+4] = 2\)；
B 款方差：\(s_B^2 = \frac{1}{5}[(-3-0)^2 + (-1-0)^2 + (0-0)^2 + (1-0)^2 + (3-0)^2] = \frac{1}{5}[9+1+0+1+9] = 4\)；
（2）∵ \(s_A^2 < s_B^2\)，∴ A 款手表走时更稳定；
答：（1）A 款方差为 2，B 款方差为 4；（2）A 款更稳定。
例 4：某运动员在训练中五次射击的成绩（单位：环）为：9.8、9.9、10.0、10.1、10.2，求成绩的方差（精准到 0.0001）。
解：
① 平均数\(\bar{x} = \frac{9.8+9.9+10.0+10.1+10.2}{5} = 10.0\)；
② 方差\(s^2 = \frac{1}{5}[(9.8-10.0)^2 + (9.9-10.0)^2 + (10.0-10.0)^2 + (10.1-10.0)^2 + (10.2-10.0)^2]\)；
③ = \(\frac{1}{5}[0.04 + 0.01 + 0 + 0.01 + 0.04] = \frac{0.1}{5} = 0.0200\)；
答：成绩的方差为 0.0200。
第 7 页：方差的性质与应用场景
一、核心性质（加粗）
非负性：方差\(s^2 0\)（平方和的平均数，不可能为负）；
当且仅当所有数据相等时，方差\(s^2 = 0\)（无波动）；
单位特性：方差的单位是原数据单位的平方（如数据单位是 “分”，方差单位是 “分 ”）；
敏感性：方差对极端值敏感（偏差平方会放大极端数据的影响）。
二、典型应用场景（加粗）
质量控制：如手表走时误差、零件尺寸波动（方差越小，质量越稳定）；
成绩分析：如学生成绩波动、球队得分稳定性（方差小说明发挥稳定）；
风险评估：如股票价格波动（方差大说明风险高，方差小说明风险低）。
第 8 页：解题技巧与易错点
一、核心技巧
计算简化：
若数据接近整数，可先 “平移数据”（如数据 102、103、104，先减 100 得 2、3、4，算方差后结果不变）；
分步计算：先算平均数，再列偏差表，避免漏算或错算。
结果判断：
比较两组数据稳定性时，需先确认平均数是否相同（平均数不同时，用标准差更合理）；
方差越小，数据越稳定，反之波动越大。
二、常见易错点
计算错误：
漏算 “除以 n”（直接将偏差平方和当作方差）；
偏差符号错误（如 80-90 误算为 10，而非 - 10，但平方后不影响结果）；
平方计算错误（如 (-2) 误算为 - 4，忽略平方非负性）。
理解错误：
混淆 “方差” 与 “标准差”（标准差是方差的平方根，单位与原数据一致）；
认为 “方差越大越好”（需结合场景：质量控制方差越小越好，创新项目可能需要一定波动）。
应用错误：
两组数据平均数不同时，直接用方差比较稳定性（如甲班平均 80 分方差 10，乙班平均 90 分方差 15，不能直接说甲班更稳定）。
第 9 页：课堂练习
基础题：
（1）计算数据：6、8、10、12、14 的方差和标准差；
（2）两组数据：A 组（3、5、7），B 组（2、5、8），哪组数据更稳定？
提升题：
某超市一周内两种品牌牛奶的日销量（单位：箱）：
品牌 A：25、28、30、27、25、29、26；
品牌 B：20、30、25、35、20、30、25；
求两种品牌销量的方差，判断哪种品牌销量更稳定。
拓展题：
若一组数据\(x_1, x_2, x_3\)的方差为 2，求数据\(2x_1+1, 2x_2+1, 2x_3+1\)的方差（提示：方差性质：若\(y_i=ax_i+b\)，则\(s_y^2=a s_x \)）。
第 10 页：课堂小结
核心内容：
方差定义：数据偏离平均数的平方的平均水平，记作\(s^2\)；
计算公式：\(s^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2\)；
核心意义：描述数据离散程度（方差越小，数据越稳定）。
数学思想：
量化思想：将 “波动” 这一直观感受转化为具体数值；
转化思想：通过平方消除偏差正负，通过平均反映整体波动；
应用思想：根据方差大小判断数据稳定性，服务实际决策。
关键收获：
掌握方差的定义和分步计算方法；
能利用方差比较两组数据的稳定性；
体会方差在质量控制、成绩分析等场景的实用价值。
第 11 页：布置作业
教材习题 6.1 第 9、10、11、12 题；
实践题：
记录自己一周内每天的睡眠时间（单位：小时），计算方差和标准差，分析自己的睡眠稳定性；
思考题：
除了方差和标准差，还有哪种统计量能描述数据的离散程度？（提示：极差 = 最大值 - 最小值）
一般地，若n个数x1, x2, …, xn的权分别是f1,f2,…,fn ，则 就是这n个数的加权平均数.
一般地，n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数．
一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数.
我们学习了上面三个量是用来刻画数据的集中趋势的，那数据的离散程度如何表示呢？
探究 为了提高农副产品的国际竞争力，一些行业协会对农副产品的规格进行了划分.
某外贸公司要出口一批规格为75 g的鸡腿，现有2个厂家提供货源，它们的价格相同，鸡腿品质也相近.
知识点
极差、方差、标准差的概念
质检员分别从甲、乙两厂的产品中抽样调查了20只鸡腿，质量（单位：g）如下：
甲厂：75 74 74 76 73 76 75 77 77 74
74 75 75 76 73 76 73 78 77 72
乙厂：75 78 72 77 74 75 73 79 72 75
80 71 76 77 73 78 71 76 73 75
把这些数据表示成下图：
探究新知
（1）你能从图中估计出甲、乙两厂被抽取鸡腿的平均质量吗？
探究新知
（2）求甲、乙两厂被抽取鸡腿的平均质量，并在图上画出表示平均质量的直线.
甲、乙两厂被抽鸡腿的平均质量约为75g.
探究新知
(3)从甲厂抽取的这20只鸡腿质量的最大值是多少？最小值又是多少？它们相差几克？乙厂呢？
(4)如果只考虑鸡腿的规格，你认为外贸公司应购买哪个厂家的鸡腿？
解：甲厂：最大值78g，最小值72g，相差6g；
乙厂：最大值80g，最小值71g，相差9g；
解：平均质量只能反映总体的集中趋势,并不能反映个体的变化情况.从图中看,甲厂的产品更符合要求.
探究新知
现实生活中，除了关心数据的“平均水平”外，人们还关注数据的离散程度，即它们相对于平均水平的偏离情况.极差就是刻画数据离散程度的一个统计量.
极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差.
极差越大,偏离平均数越大,产品的质量(性能)越不稳定.
如果丙厂也参与了竞争，从该厂抽样调查了20只鸡腿，它们的质量数据如图：
(1)丙厂这20只鸡腿质量的平均数和极差分别是多少？
丙厂这20只鸡腿质量的平均数为75.1克，极差是7克.
探究新知
（2）如何刻画丙厂这20只鸡腿的质量与其平均数的差距？
可分别用这20只鸡腿的质量与其平均数差的绝对值刻画.
探究新知
（3）分别求出甲、丙两厂的20只鸡腿质量与其相应平均数的差距．
甲厂的差距依次是：
0 1 1 1 2
1 0 2 2 1
1 0 0 1 2
1 2 3 2 3
丙厂的差距依次是：
0.1 1.1 2.1 2.9 3.1 0.9 1.1 0.9 1.1 0.1 1.1 3.1 2.1 3.1 2.9 0.9 1.9 1.9 1.9 3.9
甲厂
丙厂
探究新知
（4）在甲、丙两厂中，你认为哪个厂的鸡腿质量更符合要求？为什么？
差距和较小
甲厂的差距依次是：
0 1 1 1 2
1 0 2 2 1
1 0 0 1 2
1 2 3 2 3
丙厂的差距依次是：
0.1 1.1 2.1 2.9 3.1 0.9 1.1 0.9 1.1 0.1 1.1 3.1 2.1 3.1 2.9 0.9 1.9 1.9 1.9 3.9
甲厂
丙厂
差距和
较大
探究新知
数学上，数据的离散程度还可以用方差或标准差来刻画.
方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数,
即
一般而言,一组数据的极差、方差或标准差越小,这组数据就越稳定.
其中 是x1,x2,……，xn的平均数，s2是方差，而标准差就是方差的算术平方根.
探究新知
计算出从甲厂抽取的20只鸡腿质量的方差？
甲厂20只鸡腿质量的方差:
2.5.
解：甲厂20只鸡腿的平均质量:
=2.5.
或
探究新知
=75（g）.
甲厂：75 74 74 76 73 76 75 77 77 74
74 75 75 76 73 76 73 78 77 72
例
（1）计算出从丙厂抽取的20只鸡腿质量的方差？
（2）根据计算的结果，你认为甲、丙两厂的产品哪个更符合规格？
丙厂:
解：(1)
(2)因为S2甲＜ S2丙 ，所以甲厂更符合规定.
探究新知
做一做
4.2.
S2丙 =
甲团
163
164
164
165
165
166
166
167
乙团
163
165
165
166
166
167
168
168
　　哪个芭蕾舞团女演员的身高更整齐？　　
例 在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，参加表演的女演员的身高（单位：cm）分别是：
探究新知
素养考点
利用加权平均数方差解答实际问题
解:甲、乙两团演员的平均身高分别是
探究新知
方法一：
方差分别是
方法二：
解: 取 a = 165
甲芭蕾舞团数据为： -2，-1， -1， 0，0，1，1，2
乙芭蕾舞团数据为： -2，0，0，1，1，2，3，3
求两组新数据方差.
探究新知
探究新知
方法点拨
求一组较大数据的方差，有如下简便计算方法：
1.任取一个基准数a；
2.将原数据减去a，得到一组新数据；
3.求新数据的方差.
甲、乙两台编织机纺织一种毛衣，在5天中两台编织机每天出的合格品数如下（单位：件）：
甲：7 10 8 8 7 ；
乙：8 9 7 9 7 .
计算在这5天中，哪台编织机出合格品的波动较小？
∴乙台编织机出的产品的波动性较小.
巩固练习
∵
解:
变式训练
1.打开计算器，依次按以下键进入统计状态.
2.按键输入数据2,3,4；
3.进入统计计算指令：
按 则显示改组数据的平均数；
按 则显示改组数据的标准差.
使用计算器说明：
探究新知
1.极差的定义：
极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差.
2.方差的定义：
方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数，即
其中，x是x1，x2 ，… ，xn的平均数，是方差.
3.标准差的定义：
标准差是方差的算术平方根.
4.数据的稳定性：
一般而言，一组数据的极差、方差或标准差越小，这组数据就越稳定.
知识点1 离差平方和
1.［2025西安高新一中月考］一组数据2，3，2，3，5，这组数据的平
均数 是___，离差平方和
___。
3
6
返回
2.教练对王亮进行5次3分投篮测试，每次投10个球，这5次投篮测试中
投中的个数分别为6，7，8，7，7，则这5次测试王亮成绩的离差平方和
为___。
2
返回
知识点2 方差、标准差
3.在方差的计算公式
中，数字10和20分
别表示数据的( )
C
A.个数和方差 B.平均数和个数 C.个数和平均数 D.方差和平均数
返回
4.若一组数据为2，3，3，4，则这组数据的方差为( )
D
A.1 B.0.8 C.0.6 D.0.5
返回
5.若一组数据的方差是2，则其标准差是( )
D
A.4 B.2 C. D.
返回
6.［教材随堂练习 变式］为了解甲、乙两种小麦的长势，在同一
时期分别从中随机抽取部分麦苗，获得甲、乙苗高的标准差分别为
, ，则麦苗长势较整齐的是____种小麦。
甲
返回
7.［教材 例2变式］［2024淄博中考改编］
数学兴趣小组成员小刚对自己的学习质量进
行了测试。如图是他最近五次测试成绩
（满分为100分）的折线统计图，那么其平均
数是______，方差是____。
96分
10
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