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(共28张PPT)
北师大（2024）版数学8年级上册
第六章 数据的分析
6.1.1平均数与方差--众数与算术平均数
什么是平均数？如何计算平均数？
将几个不全相等的数，通过移多补少的方法使它们相等，这个相等的数就是平均数．平均数的计算公式：总数量÷总份数＝平均数.
故事导入
小马想要过一条河流.小松鼠对小马说：这条河平均水深1米，太危险了.小马说：我的身高已经长到1米5了，上一次都轻松过河了，这次就更没有问题了.
请问小马过河有危险么？
第 1 页：封面
标题：6.1.1 平均数与方差 —— 众数与算术平均数
副标题：人教版初中数学七年级下册
制作者：XXX
背景图：统计图表（条形图、数据表格）+ 核心公式（算术平均数\(\bar{x}=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}\)），突出统计主题
第 2 页：情境导入 —— 数据描述的需求
生活情境：
某超市一周内苹果的日销量（单位：千克）为：50、60、60、70、60、80、90，如何描述这组数据的 “集中趋势”？
某校七年级（1）班 10 名学生的数学成绩（单位：分）为：85、90、90、80、95、90、85、95、85、90，哪种成绩出现的次数最多？平均成绩是多少？
思考设问：
当一组数据较多时，用哪个量能快速反映 “出现次数最多” 的数值？
如何用一个数值代表一组数据的 “平均水平”？
课题引入：今天我们学习描述数据集中趋势的两个核心统计量 —— 众数与算术平均数，掌握数据描述的基础方法！
第 3 页：探究一：众数的定义与辨析
一、核心概念（加粗）
众数：一组数据中，出现次数最多的数值，叫做这组数据的众数（记作：Mode）。
注意：
众数是数据集中 “出现频率最高” 的数，而非出现的次数；
一组数据的众数可能有 1 个、多个，也可能没有：
1 个众数：如数据 5、6、6、7，众数为 6；
多个众数：如数据 2、3、3、4、4、5，众数为 3 和 4；
无众数：如数据 1、2、3、4、5，每个数出现次数相同，无众数。
二、例题讲解（众数求解）
例 1：求下列各组数据的众数：
（1）3、5、7、3、6、3、8（数据来源：某班学生的课外书数量）；
解：数字 3 出现 3 次，次数最多→众数为 3；
（2）10、12、15、12、18、12、20、15（数据来源：某品牌运动鞋的尺码销量）；
解：数字 12 出现 3 次，15 出现 2 次→众数为 12；
（3）2.5、3.2、2.8、3.2、2.5、3.6（数据来源：某小组同学的身高，单位：米）；
解：2.5 和 3.2 均出现 2 次，次数最多→众数为 2.5 和 3.2。
三、众数的实际意义
众数反映数据的 “流行趋势” 或 “普遍情况”，常用于商业决策（如销量最高的尺码、最受欢迎的产品型号）、统计调查（如最常见的家庭人口数）。
第 4 页：探究二：算术平均数的定义与计算
一、核心概念（加粗）
算术平均数：一组数据\(x_1, x_2, ..., x_n\)的总和除以数据的个数 n，叫做这组数据的算术平均数（简称平均数，记作：\(\bar{x}\)，读作 “x 拔”）。
计算公式（加粗）：\(
\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n}
\)
符号说明：
\(x_1, x_2, ..., x_n\)：一组数据中的各个数值；
n：数据的个数；
\(\sum_{i=1}^n x_i = x_1 + x_2 + ... + x_n\)（求和符号，读作 “西格玛”），因此平均数公式可简写为：\(\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i\)。
二、例题讲解（基础计算）
例 2：计算下列各组数据的算术平均数：
（1）5、7、9、11、13（数据来源：5 名学生的跳绳次数）；
解：总和 = 5+7+9+11+13=45，个数 n=5→\(\bar{x} = \frac{45}{5} = 9\)；
（2）100、98、95、102、97（数据来源：5 次数学测验的班级平均分）；
解：总和 = 100+98+95+102+97=492，n=5→\(\bar{x} = \frac{492}{5} = 98.4\)。
三、进阶计算：含重复数据的平均数
例 3：某班 20 名学生的英语成绩如下（单位：分）：80（3 人）、85（5 人）、90（8 人）、95（4 人），求该班英语的平均成绩。
解：
方法一：加权求和（重复数据可简化计算）；
总和 = 80×3 + 85×5 + 90×8 + 95×4 = 240 + 425 + 720 + 380 = 1765；
平均成绩\(\bar{x} = \frac{1765}{20} = 88.25\)（分）；
结论：当数据重复出现时，可用 “数值 × 次数” 求和，再除以总个数（本质是加权平均数的特殊形式）。
第 5 页：例题讲解（实际应用：平均数与众数的综合）
例 4：某商场 7 天内某品牌 T 恤的销量数据如下（单位：件）：
日期
周一
周二
周三
周四
周五
周六
周日
销量
20
25
25
30
25
40
35
（1）求这组数据的众数；
（2）求这 7 天的平均日销量；
（3）若该商场每月按 30 天计算，预计该品牌 T 恤的月销量。
解：
（1）众数：25 出现 3 次，次数最多→众数为 25；
（2）平均日销量：总和 = 20+25+25+30+25+40+35=200，\(\bar{x} = \frac{200}{7} 28.57\)（件）；
（3）月销量预计：28.57×30≈857（件）（实际应用中可取整数）；
答：（1）众数为 25；（2）平均日销量约 28.57 件；（3）月销量预计 857 件。
例 5：某校招聘教师，对应聘者进行笔试和面试，两项成绩满分均为 100 分。某应聘者笔试成绩 85 分，面试成绩 90 分，若学校按 “笔试占 60%，面试占 40%” 计算综合成绩，求该应聘者的综合成绩（加权平均数）。
解：
综合成绩 = 85×60% + 90×40% = 51 + 36 = 87（分）；
提示：加权平均数是算术平均数的拓展，当不同数据的 “重要程度” 不同时，需赋予权重计算。
第 6 页：众数与算术平均数的区别与联系
一、核心区别（加粗）
统计量
定义本质
特点
适用场景
众数
出现次数最多的数值
不受极端值影响，可能不唯一
描述 “普遍情况”（如销量、偏好）
算术平均数
数据的平均水平
受极端值影响，唯一确定
描述 “整体平均”（如成绩、收入）
二、实例对比（加粗）
数据：10、20、20、30、100（某小组 5 人的月零花钱，单位：元）；
众数：20（出现 2 次）；
算术平均数：\(\bar{x} = \frac{10+20+20+30+100}{5} = 36\)；
分析：极端值 100 拉高了平均数，而众数 20 更能反映大多数人的零花钱水平。
三、关键提醒：
当数据中存在极端值（过大或过小）时，众数比平均数更能反映数据的集中趋势；
当数据分布均匀、无极端值时，平均数能更全面地代表数据的整体水平。
第 7 页：解题技巧与易错点
一、核心技巧
众数求解：
先整理数据（可列表或排序），统计每个数值的出现次数，次数最多的即为众数；
注意区分 “数值” 和 “次数”（如数据 5 出现 3 次，众数是 5，而非 3）。
平均数求解：
数据较少时，直接求和再除以个数；
数据较多或重复时，用 “数值 × 次数” 加权求和，简化计算；
含百分比权重时，先将百分比转化为小数，再计算加权平均数。
二、常见易错点
众数错误：
误将 “出现次数” 当作众数（如数据 3、3、5，众数是 3，而非 2）；
忽略 “多个众数” 的情况（如数据 2、2、3、3，众数是 2 和 3，而非无众数）。
平均数错误：
求和时漏加或错加数据（如数据 10、20、30，误算总和为 50）；
含重复数据时，未乘次数直接求和（如例 3 中误将 80+85+90+95 作为总和）；
加权平均数中，权重比例计算错误（如例 5 中误将笔试占比 60% 算成 0.06）。
第 8 页：课堂练习
基础题：
（1）求数据：7、8、6、7、9、7、10 的众数和算术平均数；
（2）某小组 6 名学生的体重（单位：kg）为：45、48、50、50、52、55，求众数和平均体重。
提升题：
某品牌手机连续 10 天的销量（单位：部）为：50、55、55、60、60、60、65、65、70、75，求众数、平均日销量，并预计该手机一个月（30 天）的销量。
拓展题（加权平均数）：
某学生的语文、数学、英语成绩分别为 85 分、92 分、88 分，若三科成绩按 “3:4:3” 的比例计算综合成绩，求该学生的综合成绩。
第 9 页：课堂小结
核心内容：
众数：出现次数最多的数值，反映数据的普遍趋势，可能不唯一；
算术平均数：数据总和与个数的比值，反映数据的平均水平，唯一确定；
加权平均数：含权重的平均数，适用于不同数据重要程度不同的场景。
数学思想：
统计思想：用简洁的数值描述复杂数据的集中趋势；
转化思想：将重复数据、加权数据转化为基础平均数计算；
应用思想：根据实际场景选择合适的统计量（众数或平均数）。
关键收获：
掌握众数与算术平均数的定义和计算方法；
能根据数据特点和实际需求选择合适的统计量；
体会统计在生活、商业、学习中的实用价值。
第 10 页：布置作业
教材习题 6.1 第 1、2、3、5 题；
实践题：
调查本班同学的数学作业完成时间（单位：分钟），整理数据后求众数和平均完成时间，并分析数据反映的情况；
思考题：
当数据中存在极端值时，除了众数，还有哪种统计量能更合理地反映数据的集中趋势？（提示：中位数）
在篮球比赛中，队员的身高、年龄都是影响球队实力的因素，如何衡量两个球队队员的身高？
怎样理解“甲队队员的身高比乙队更高”？怎样理解“甲队队员比乙队更年轻”？
北京金隅队 广东东莞银行队 号码 身高/cm 年龄/岁 号码 身高/cm 年龄/岁
3 188 35 3 205 31
6 175 28 5 206 21
7 190 27 6 188 23
8 188 22 7 196 29
9 196 22 8 201 29
10 206 22 9 211 25
12 195 29 10 190 23
13 209 22 11 206 23
20 204 19 12 212 23
21 185 23 20 203 21
25 204 23 22 216 22
31 195 28 30 180 19
32 211 26 32 207 21
51 202 26 0 183 27
55 227 29
探究新知
哪支球队队员身材更为高大？
哪支球队的队员更为年轻？
北京金隅队的平均年龄
广东东莞银行队的平均年龄
所以广东东莞银行队的队员更为年轻.
探究新知
=25.4 （岁），
≈24.1 （岁），
日常生活中，我们常用平均数表示一组数据的“平均水平”，它反映了一组数据的“集中趋势”.
记作：
x 读作：“x拔”
探究新知
一般地，对于n个数x1,x2,…,xn，我们把
叫做这n个数的算术平均数，简称平均数.
年龄/岁 19 22 23 26 27 28 29 35
相应的队员数 1 4 2 2 1 2 2 1
小明是这样计算北京金隅队队员的平均年龄的：
平均年龄 =（19×1+22×4+23×2+26×2+27×1+28×2+29×2+35×1）÷
（1+4+2+2+1+2+2+1）
=25.4（岁）
小明的做法有道理吗？
探究新知
如果在n个数中，x1出现f1次，x2出现f2次，…，xk出现fk次（这里f1+f2+… +fk=n），那么
当一组数据中有若干个数据多次重复出现时，可以考虑下面的做法：
探究新知
（1）如果根据三项测试的平均成绩决定录用人选，那么谁将被录用？
测 试 项 目 测 试 成 绩 A B C
创 新
综合知识
语 言
72
50
88
85
74
45
67
70
67
探究新知
某广告公司欲招聘广告策划人员一名，对A,B,C三名候选人进行了三项素质测试，他们的各项测试成绩如下表所示：
例
（1）如果根据三项测试的平均成绩决定录用人选，那么谁将被录用？
测 试 项 目 测 试 成 绩 A B C
创 新
综合知识
语 言
72
50
88
85
74
45
67
70
67
解：A的平均成绩为（72+50+88）÷3=70（分），
B的平均成绩为（85+74+45）÷3=68（分）.
C的平均成绩为（67+70+67）÷3=68（分）.
由70>68，故A将被录用.
探究新知
这样选择好不好？
测 试 项 目 测 试 成 绩 A B C
创 新
综合知识
语 言
72
50
88
85
74
45
67
70
67
（2）根据实际需要，公司将创新、综合知识和语言三项测试得分按4∶3∶1的比例确定各人测试成绩，此时谁将被录用？
解∶
A的测试成绩为∶（72×4+50×3+88×1）÷（4+3+1）=65.75（分）,
B的测试成绩为∶（85×4+74×3+45×1）÷（4+3+1）=75.875（分）,
C的测试成绩为∶（67×4+70×3+67×1）÷（4+3+1）=68.125（分）.
因此候选人B将被录用.
探究新知
为何结果不一样？
(1)(2)的结果不一样说明了什么？
思 考
实际问题中，一组数据的各个数据的“重要程度”未必相同.因此，在计算这组数据的平均数时，往往给每个数据一个“权”，如上例中的4就是创新的权、3是综合知识的权、1是语言的权 ，而称
为A的三项测试成绩的加权平均数.
探究新知
一般地，若n个数x1, x2, …, xn的权分别是f1,f2,…,fn ，则
叫做这n个数的加权平均数.
探究新知
权的意义：（1）数据的重要程度
（2）权衡轻重或份量大小
应试者 听 说 读 写
甲 85 78 85 73
乙 73 80 82 83
（1）如果这家公司想找一名综合能力较强的翻译，那听、说、读、写成绩按多少比确定？如何计算平均成绩，说明你的方法.
（2）如果公司要招聘一名笔译能力较强的翻译，那听、说、读、写成绩按2:1:3:4的比确定，计算两名应试者的平均成绩，从他们的成绩看，应该录取谁？
例1 一家公司打算招聘一名英文翻译.对甲、乙两名应试者进行了听、说、读、写的英语水平测试，他们的各项成绩（百分制）如下表所示：
探究新知
素养考点 1
利用加权平均数解答实际问题
探究新知
因为79.5＜80.4，所以应该录取乙.
因为80.25＞79.5，所以应该录取甲.
解：（1）甲的平均成绩
(分)，
乙的平均成绩
(分)，
（2）甲的平均成绩
(分)，
乙的平均成绩
(分)，
（3）如果公司想招一名口语能力较强的翻译，则应该录取谁？
应试者 听 说 读 写
甲 85 78 85 73
乙 73 80 82 83
听、说、读、写的成绩按照3:3:2:2的比确定．
探究新知
解：通过计算比较，应该录取甲.
同样一张应试者的应聘成绩单，由于各个数据所赋的权数不同，造成的录取结果截然不同.
讨论 将问题（1）、（2）、（3）比较，你能体会到权的作用吗？
应试者 听 说 读 写
甲 85 78 85 73
乙 73 80 82 83
数据的权能够反映数据的相对重要程度！
探究新知
你能说说算术平均数与加权平均数的区别和联系吗？
2.在实际问题中，各项权不相等时，计算平均数时就要采用加权平均数，当各项权相等时，计算平均数就要采用算术平均数.
1.算术平均数是加权平均数的一种特殊情况（它特殊在各项的权相等）；
探究新知
例2 某跳水队为了解运动员的年龄情况，作了一次年龄调查，结果如下：13岁8人，14岁16人，15岁24人，16岁2人.求这个跳水队运动员的平均年龄（结果取整数）.
解：这个跳水队运动员的平均年龄为：　
=
≈______（岁）.
答：这个跳水队运动员的平均年龄约为___岁.
8
16
24
2
14
探究新知
素养考点 1
加权平均数的应用
14
某校八年级一班有学生50人，八年级二班有学生45人，期末数学测试中，一班学生的平均分为81.5分，二班学生的平均分为83.4分，这两个班95名学生的平均分是多少？
解：（81.5×50 +83.4×45）÷95
=7828÷95
=82.4（分）
答：这两个班95名学生的平均分是82.4分.
巩固练习
变式训练
知识点1 众数
1.在数据2,4,4,5,5,6,8中，2出现了___次，4出现了___次，5出现了___次，
6出现了___次，8出现了___次，出现次数最多的数据是______，故这组
数据的众数是______。
1
2
2
1
1
4和5
4和5
返回
2.［2024河北中考］某校生物小组的9名同学各用100粒种子做发芽实验，
几天后观察并记录种子的发芽粒数分别为89，73，90，86，75，86，89，
95，89，以上数据的众数为____。
89
返回
3.某校开展视力检查，某班51名同学视力检查数据如下表：
视力 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0
人数 7 4 4 7 11 10 5 3
这51名同学视力检查数据的众数是( )
B
A.4.6 B.4.7 C.4.8 D.4.9
返回
知识点2 算术平均数
4.一组数据3，2，4，6，5的平均数是( )
B
A.3 B.4 C.5 D.6
返回
5.［教材 操作·思考变式］
在学校的体育训练中，小
杰投掷实心球的7次成绩如图所示，若去掉一
个最高成绩，去掉一个最低成绩，其余成绩
A
A. B. C. D.
的平均值作为本次训练的最终成绩，则小杰训练中的最终成绩为( )
返回
平均数与加权平均数
算术平均数：
加权平均数：
（f（ f1 + f2 + …+ fk =n）
谢谢观看！

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